Министерство общего ипрофессионального образования РФ
Вятский государственныйтехнический университет
Кафедра«Электропривод и автоматизация промышленных установок»
КУРСОВАЯРАБОТА
подисциплине
«Теорияавтоматического управления»
Содержание
1. Составлениематематического описания системы
1.1 Схема (рис.1) иисходные данные
1.2 Уравнения во временнойобласти и их операторные преобразования. Нахождение передаточных функций длявсех элементов системы
1.3 Составить полную илинеаризированную структурные схемы
1.4 Определение численныхзначений коэффициентов связи и постоянных времени неизменяемой части системы
2. Составление структурнойсхемы для установившегося режима
2.1 Составление структурнойсхемы для установившегося режима
2.2 Определениенеобходимого коэффициента передачи
2.3.Определение значенияпеременных (Uзад, U2, U3, Ud,Uтг, U1) для режима с заданной частотой nзад
2.4 Определение статическихотклонений n частоты вращения вала привода от заданного значения nзад
3. Исследование динамикисистемы
3.1 Построениеаппроксимированной ЛАЧХ системы в разомкнутом состоянии и проверка устойчивости
3.2 Построение желаемойЛАЧХ системы в разомкнутом состоянии
3.3 Нахождение ЛАЧХпоследовательного корректирующего устройства, определение передаточной функциикорректирующего устройства
3.4 Расчёт кривой переходногопроцесса на ЭВМ
Литература
1. Составление математического описаниясистемы />1.1Схема (рис.1) и исходные данные
/>
Рисунок 1 — Принципиальнаясхема.
На рис.1 приведена принципиальная схема замкнутойсистемы электропривода, состоящего из:
– двигателя постоянноготока независимого возбуждения М;
– тиристорногопреобразователя ТП с системой импульсно-фазового управления СИФУ, управляемымивентилями В и дросселем Др;
– операционного усилителяУ1, ре3ализующего устройство коррекции (УК), обеспечивая необходимый из условийстатики коэффициент усиления замкнутого контура системы и заданные динамическиесвойства замкнутой системы;
– сумматора на операционномусилителе У2;
– тахогенератора ТГ с R-Cфильтром.
Данные дляпостроения статической характеристики тиристорного преобразователя приведены в таблице 1, емкостьконденсатора Cф=20 мкФ, сопротивление Rф=1 кОм фильтра и сопротивления R1=R2=R3=10 êÎì.Паспортные данные электродвигателя М: номинальное напряжение Uн, номинальная скоростьnн, номинальный ток Iн, момент инерцииJ системы электропривода;заданная скоростьnзад; данные силовой цепи ТП-Д — сопротивление Rя и индуктивность Lяц якорной цепи, а также коэффициент передачи тахогенератора Ктг, приведены в таблице 2.
Таблица 1. Статическаяхарактеристика ТП. Ud, В 15 50 100 160
200 220 240 250 255 260 Uз, В 5 10 15 20 25 30 35 40 45
50
Таблица 2.Исходные данныеВариант Данные электродвигателя Силовая цепь ТГ Uн, В Iн, А nн, 1/с Рн, кВт J, кг×м2 nзад, 1/с Rяц, Ом Lяц, мГн Kтг, В×с 25 220 32,6 104,7 6 0,14 42 0,76 20,2 0,286
/>
Рисунок 2 — Статическая характеристика ТП.
1.2 Уравнения во временной области и их операторные преобразования. Нахождение передаточных функцийдля всех элементов системы
Математическое описаниесистемы приводится на основе составления системы дифференциальных уравнений дляэлементов системы при общепринятых допущениях:
-Электродвигатель постоянного тока независимого возбуждения с рабочей машиной,при допущениях постоянного магнитного потока двигателя, скомпенсированнойреакции якоря двигателя, абсолютно жёстких механических соединениях ипостоянном моменте инерции J привода, описывается системой уравнений, состоящейиз дифференциальных уравнений баланса напряжений якорной цепи и движенияпривода, а также соотношений между э.д.с. Е и частотой вращения n,электромагнитным моментом М и током I якорной цепи:
/>(1)
где Се — коэффициент, учитывающий магнитный поток и конструктивное исполнениеэлектродвигателя;
в операторнойформе система будет выглядеть:
/>(1’)
Приопределении передаточной функции электродвигателя за выходную переменнуюследует принимать частоту, вращения вала n, за входное задающее воздействие — напряжение Ud, в качестве возмущающего воздействия — отклонение напряжении сетиDUc.Следует учесть, что динамические свойства электродвигателя характеризуютсядвумя постоянными времени: электромагнитной />и электромеханической />. Коэффициентпередачи двигателя относительно Ud определяется соотношением Кд=1/Се
/>(2)
На основании системы (1’) можно изобразитьструктурную схему механической части системы:
/>
Рисунок 3 –Исходная схема
/>
Рисунок 4 –Преобразованная схема
На рисунке 4изображена преобразованная схема, где двигатель представлен колебательным звеном,поскольку коэффициент демпфирования 0
— Тиристорныйпреобразователь ТП с СИФУ описывается неоднородным дифференциальным уравнениемпервого порядка.
/>,(3)
где Тп — постоянная времени (Тп=0,05 с);
Kп — коэффициент,определяемый статической характеристикой ТП;
В операторной области уравнение (3) будетвыглядеть:
/>, (4)
откуда
/>(5)
Тогда передаточная функция тиристорногопреобразователя:
/>(6)
На основанииэтого линеаризованная структурная схема будет выглядеть:
/>
Рисунок 5 – Линеаризованнаясхема
— Операционныеусилители звена коррекции и сумматора У1, У2 описываются передаточной функцией:
/>,(7)
где Zoc(p) и Zвх(p) — операторные сопротивления цепей обратной связи и входной данного операционного усилителя.
При этомоператорное сопротивление активной цепи равно R, емкостной — 1/Cp, индуктивной- Lp. Если на вход операционного усилителя (У2) прикладывается несколько различных воздействий U1,U2, с входными сопротивлениями Z1 и Z2, то операционный усилитель описывается
/>,(8)
где
/>,(9)
т.е. при Zос=Z1= Z2 операционный усилитель может служить сумматором.
/>
Рисунок 6 –операционный усилитель
— Тахогенератор можнопредставить в виде линейного безынерционного усилительного звена с передаточнымкоэффициентом Kтг;
/>
Рисунок 7 –Тахогенератор
Значениевыходного напряжение тахогенератора Uтг будет определяться соотношением:
/>(10)
- Фильтр навыходе тахогенератора можно рассматривать как отдельное звено с входнымнапряжением Uтг и выходным U1.
/>
Рисунок 8 –Фильтр на выходе тахогенератора
Такоедопущение основывается на том, что внутреннее сопротивление тахогенератораможно считать пренебрежимо малым, а нагрузочное сопротивление R2 на порядокбольше внутреннего сопротивления фильтра. Полярность Uтг подбирается такой,чтобы в установившемся режиме сигнал обратной связи на входе У2 был обратным познаку сигналу Uзад. Постоянная времени фильтра определяется произведением CфRф.
Выходноенапряжение фильтра U1 определяется в соответствии со следующими выражениями:
/>(11)
/>(12)
/>/> 1.3 Составить полную и линеаризированнуюструктурные схемы
В целомрассматриваемая система электропривода представляет собой одноконтурнуюзамкнутую САУ с последовательным корректирующим устройством.
Прямой каналполной структурной схемы САУ включает в себя последовательное соединениезвеньев сумматора У2 с входными воздействиями — задающим Uзад и обратной связи U1,и выходным воздействием U2; коррекции У1 с входом U2 и выходом U3; тиристорногопреобразователя, состоящего из инерционного звена 1-го порядка с коэффициентомусиления равным единице и безынерционного нелинейного звена с графическимизображением статической характеристики преобразователя, входным воздействиемпреобразователя служит Uз, а выходным — Ud; электродвигателя с указанными вышевоздействиями Ud, n, DUc, Mc.
Каналобратной связи состоит из усилительного звена тахогенератора ТГ с коэффициентампередачи Kтг, входным воздействием n и выходным Uтг и фильтра в видеинерционного звена 1-го порядка.
/>
Рисунок 9 — Полная структурная схема САУ
Линеаризованная структурная схема САУ получается,если полные переменные Х(Uзад, U2, U3, Ud, DUc, I, M, Mc, n, Uтг, U1) представить в виде суммы ХA+DX, где ХA — значения переменных в рабочейточке А статических характеристик звеньев. После сокращения статических составляющих вправой и левой части уравнений звеньев, линеаризованныеструктурные схемы звеньев отразят зависимость между приращениями выходных и входных переменных (DUзад, DU2, …, DU1). Форма записипередаточных функций линейных звеньев при этом не изменяется, а статическиехарактеристики нелинейных безынерционных звеньев будут представлены в видекоэффициентов динамической линеаризации в рабочей точке.
/>
Рисунок 10 — Линеаризованная структурная схема САУ
/>1.4Определение численных значений коэффициентов связи и постоянных времени неизменяемой части системы
Найдёмсопротивление якоря двигателя.
/>(13)
/>
Электромагнитнаяпостоянная времени якорной цепи:
/>(14)
/>
Конструктивный коэффициент электродвигателя Сeрассчитывается по уравнению баланса напряжений якоря двигателя в установившемсяноминальном режиме.
/>(15)
Тогда
/>(16)
/>
Найдём коэффициент передачи двигателя:
/>.(17)
/>
И электромеханическую постоянную временидвигателя:
/>(18)
/>
Сравнивая передаточные функции электродвигателяпо задающему воздействию и колебательного звена можно определить коэффициентзатухания:
/>(19)
/>
/>(20)
/>
Как видно, коэффициент демпфирования 0
/>(21)
/>
Из графической зависимости Ud(U3) по даннымтаблицы 1, построенном в одинаковом масштабе по обеим осям, определяетсякоэффициент Kп динамической линеаризации статической характеристикитиристорного преобразователя. />Или графически Kп равен тангенсуугла наклона касательной, проведенной к статической характеристике в рабочейточке А. Рабочая точка А определяется значением выпрямленного напряжения Ud|A,в режиме идеального холостого хода электродвигателя. Значение Kп определяется втрех рабочих точках:
— Kпмин при минимальном значении Ud в заданномдиапазоне регулирования D=10, т.е. Udмин= Uн/D, Udмин=22(В); Kпмин =22/4 =6
— Kпмакс — в точке с максимальным наклономстатической характеристики:
Kпмакс =60/5=12
— Kпзад при заданном значении выпрямленного напряженияUdЗАД=СЕ×nЗАД=1,98×42=83,2(В) Kпзад=83,2/8=10 используется для построенияЛАЧХ САУ в заданном рабочем режиме.
/>(22)
2.Анализ />установившегосярежима системы/> 2.1 Составление структурной схемы дляустановившегося режима
/>
Рисунок 11 — Структурная схема для установившегося режима
Структурнаясхема дня установившегося режима составляется на основе уравнений элементов САУв статике или на основе линеаризованной структурной схемы САУ формальным путёмприравнивания оператора p к нулю. Следует обратить внимание, что последнимспособом установившийся режим работы двигателя может быть описан лишь на основеполной передаточной функции двигателя по отношению к Ud и Мс с выходом почастоте вращения, т.е. с учетом внутренней обратной связи двигателя./>2.2 Определениенеобходимого коэффициента передачи
По полученной структурной схеме в установившемсярежиме можно определить статическое отклонение частоты вращения вала Dn при приложении Мc= Mн вразомкнутой системе без обратной связи (без тахогенератора и фильтра) — DnpMc, и в замкнутой САУ — DnзMc.Нетрудно убедиться, что соблюдается равенство
/>(23)
где
Kp=K1×Kп×Kд×Kтг (24)
коэффициентпередачи замкнутого контура САУ в разомкнутом состоянии.
Отклонение DnpMc рассчитываетсянепосредственно из структурной схемы в установившемся режиме, при этом согласно(1)
Мс=Мн=СeIн. (25)
Мс=1,98×32,6 = 64,55 (Н×м)
/>(26)
Учитывая, чтоотносительное падение частоты вращения в статике при приложении Мс имеетмаксимальную величину при минимальной частоте вращения в пределах заданногодиапазона регулирования D, и, исходя из требований п.п. 2 задания, имеем
/> (27)
/>
Тогданеобходимый коэффициент передачи Kpмин может быть найден из уравнения (23), атребуемый из условий статики коэффициент K1 операционного усилителя У1 изуравнения (24), учитывая, что Kpмин в качестве сомножителя имеет коэффициентпередачи тиристорного преобразователя равный Kпмин.
/>(28)
/>
/>(29)
/>
/>(30)
/>
/>/>2.3Определение значения переменных (Uзад,U2, U3, Ud,Uтг, U1) для режима с заданной частотой nзад
/>(31)
/>
U3=14(В) — постатической характеристике при Udзад=83,16(В)
/>(32)
/>
/>(33)
/>
/>(34)
/>/>2.4Определение статических отклонений Dnчастоты вращения вала привода от заданного значения nзад
Статическоеотклонение частоты вращения Dn вала при приложении Мс=Мн в разомкнутой системебез обратной связи:
/>
/>(35)
/>
В замкнутой САУ:
/>(36)
/>(37)
/>
Статическоеотклонение частоты вращения Dn вала при ступенчатом воздействии возмущения DUc=0,1Udзад в разомкнутомсостоянии системы:
/>(38)
/>
в замкнутойСАУ:
/>(39)
Из полученныхзначений видно, что точность поддержания частоты вращения вала в замкнутой САУвыше, чем в разомкнутой, т.к. статическое отклонение в замкнутой САУуменьшается на коэффициент />, появляющийся при наличииобратной связи.
3. Исследование динамики системы 3.1 Построениеаппроксимированной ЛАЧХ системы в разомкнутом состоянии и проверка устойчивости
Некорректированная САУ в разомкнутом, состояниисостоит из последовательно соединенных звеньев:
— усилительного — усилителя У1 с коэффициентомпередачи K1, найденным из условия статики во второй части задания;
— инерционного — тиристорного преобразователя с коэффициентомпередачи Kп и частотой сопряжения wп= 1/Тп;
— колебательного — электродвигателя с коэффициентом передачиКд и собственной частотой колебаний />;
— усилительного — тахогенератора с коэффициентом передачи Kп;
— инерционного — фильтра с единичнымкоэффициентом передачи и частотой сопряжения wф=1/Тф.
Коэффициенты передачи всех звеньев (в том числе ижелаемый K1) могут быть объединены в соответствии с (7) в один коэффициентовKp. Следует учитывать, что наихудшие условия с точки зрения устойчивости призаданных параметрах динамических звеньев будут при максимальном значении Kp втребуемом диапазоне регулирования, т.е. при Kp= Kpмакс.
Процесс построения аппроксимированной ЛАЧХнекорректированной САУ в разомкнутом состоянии можно ускорить, есливоспользоваться следующей методикой:
— определить значенияординаты Lp(0) = lg Kpмакс и абсцисс частот сопряжения и колебаний lg wп, lg wд, lg wф;
— на низких частотахграфика Lнкp(w) отложить ординату, равную Lp(0), и провести÷åðåç эту ординату прямую с нулевым наклоном (параллельно оси абсцисс) до ближайшей меньшей собственной частоты одного иззвеньев;
— по мере увеличения частотыизменять наклон ЛАЧХ на -1 лог/дек в абсциссах, соответствующих частотам,сопряжения инерционных звеньев и на -2 лог/дек в абсциссах, соответствующихсобственной частоте колебательного звена.
Таким образом, для построения ЛАЧХ необходимыследующие значения:
/>1,67
/>
/>1,57
/>
Устойчивость замкнутой САУ может быть определенас помощью критерия Найквиста, который в случае рассматриваемой устойчивой САУ вразомкнутом состоянии и анализа ее частотных характеристик в логарифмическоммасштабе сводится к условию, чтобы
/>(40)
где частотасреза wссистемы определяется значением частоты точки пересечения ЛАЧХ САУ в разомкнутомсостоянии и оси абсцисс (Lp(wс) = 0). Показатели качества переходного процессав замкнутой САУ тем лучше, чем больше запас устойчивости по фазе Dj (Dj = 180°-|jp(wс)|) и по амплитуде DL (DL равно абсолютномузначению Lp при частоте, где |jp| =180°). В частности, этоиллюстрируется рисунком 12, где представлены зависимости перерегулирования s в замкнутой САУ позадающему воздействию от Dj и DL.
/>
Рисунок. 12.Кривые запасов устойчивости по модулю DL и по фазе Dj от перерегулирования s.
В работе рассматривается минимально-фазоваясистема, т.е. система в разомкнутом состоянии состоит из звеньев, имеющиходнозначную зависимость между АЧХ и ФЧХ. Для такой системы анализ устойчивостиможно провести по аппроксимированной ЛАЧХ системы в разомкнутом состоянии безпостроения ФЧХ. Значение j(wi) при любой выбранной частоте wi для минимально-фазовойсистемы может быть приближенно определено по усредненному наклону ЛАЧХ в этойчастоте и равно
/>(41)
где
/>/>(42)
Усредненныйнаклон nср(wi) определяется путемнахождения координаты Lв(wi), отстоящей на одну декаду в сторону высокихчастот, т.е. Lв(wi) = Lв(10wi), и координаты Lн(wi), отстоящей на однудекаду в сторону низких частот, т.е. Lн(wi) = L(0,1wi).
На рисунке 13приведена наиболее типичная для заданных вариантов ЛАЧХ Lнкp(w) некорректированной САУв разомкнутом состоянии, построенная по данной методике. Параметры системытаковы, что некорректированная САУ либо неустойчива, либо имеет малый запасустойчивости, не удовлетворяющий требованиям обеспечения заданного качестварегулирования. Для примера, на рисунке 13, определяя значение ФЧХ в частоте wнкс срезанекорректированной САУ, имеем Lнкв(wнкс) = — 4 лог, Lнкн(wнкс) = 1,67 лог и
/>,(43)
т.е.некорректированная САУ неустойчива, т.к.
/>.(44)
/>
Рисунок 13 –ЛАЧХ/>
3.2 Построение желаемой ЛАЧХ системы вразомкнутом состоянии
При построении желаемой ЛАЧХ системы вразомкнутом состоянии требованию обеспечения перерегулирования s по задающему воздействиюне более 30% необходим (согласно рисунку 12) запас по фазе Dj³45° и по амплитуде DL³0,75 лог. Этосоответствует фазе />в частоте среза wc скорректированной САУ />или согласно (41)и (42)
/> лог(45)
Следует иметь в виду, что требование минимальноговремени регулирования выполняется при максимально возможной величине частоты wс скорректированнойсистемы, а требование максимального ослабления возмущений выполняется приминимальном уменьшении координат Lр в области низких частот (до wс).
Частота сопряжения участков желаемой ЛАЧХ />с различныминаклонами следует выбирать с таким расчетом, чтобы передаточная функциякорректирующего устройства была бы реализована наиболее просто. Последнеедостигается, если частоты сопряжения участков желаемой ЛАЧХ выбирать равнымичастотам звеньев исходной некорректированной системы. Тогда примем частотысопряжения участков с наклонами -1 лог/дек и -2 лог/дек равной wд, участков с наклонами-2 лог/дек и -3 лог/дек равной wф, и частоту сопряжения w4 участков с наклонами -3лог/дек и -4 лог/дек достаточно высокой, чтобы она не влияла на запасыустойчивости DL и Dj. Для такой конфигурации /> DL определяетсякоординатой при абсциссе, лежащей на середине отрезка между lg wд и lg wф, т.е. должно соблюдатьсянеравенство
/>лог(46)
или
/>(47)
Аналогично определим Lн(wс) = 1 лог (посколькунаклон />дочастоты wсравен -1 лог/дек, а lg Kpмакс>1),
/>Лога согласно (45)
/> лог,(48)
откуда
/> (49)
Частота wс среза желаемой ЛАЧХпринимается равной наименьшему из значений, рассчитанных по (47) и (49).Например, для рис.3 имеем:
по (47)/>
по (49)/>
Выбираем />.
По приведенной выше методике может бытьопределена частота среза и построена желаемая ЛАЧХ /> и иной конфигурации. Таким образом,желаемая ЛАЧХ строится по следующим значениям:
/>; />; />;/>(рисунок 13).
/>3.3 Нахождение ЛАЧХ последовательного корректирующего
устройства, определение передаточной функциикорректирующего
устройства
Динамическая составляющая ЛАЧХ />корректирующегоустройства (коэффициент передачи K1 учтен в Кpмакс) получается путем вычитаниязависимости />из/>, т.е.
/>.(50)
Полная ЛАЧХ корректирующего устройства
/>.(51)
В качестве схемотехнической к реализациикорректирующего устройства может быть рекомендован операционной усилитель,включенный по схеме:
/>
Рисунок 14 — Принципиальная схема корректирующего устройства
Используя методику, изложенную к первой частизадания, нетрудно получить выражение передаточной функции в виде:
/> (52)
Постоянные времени числителя передаточной функциисоответствуют частотам сопряжения аппроксимированной ЛАЧХ />с положительнымпереходом, т.е. с наклона -1 на 0 или с 0 на +1, а знаменатель — частотамсопряжения участков /> с отрицательным переходом, т.е. с0 на -1 или с +1 на 0, если следовать по /> в сторону возрастания частот.
/>
/>
/>
/>
Из выраженияпередаточной функции можно составить систему из 5 -и уравнений:
/>(53)
Для решенияэтой системы необходимо задаться одним из параметров С2=1мкФ, тогда:
/>, (54)
/>(55)
/>(56)
/>(57)
/>(58)
/>3.4 Расчёт кривой переходного процесса на ЭВМ
Расчет кривой переходного процесса Dn(t) по возмущающемувоздействию может быть проведен моделированием на ЭВМ. Результатоммоделирования получается график Dn(t) показывающегоизменение параметра (оборотов двигателя) от Dnзад при воздействиивозмущения DUc. Моделирование производится на ЭВМ в пакете PDS по следующейструктурной схеме:
/>
Рисунок 16 –Структурная схема САУ
Таблица 3 – Значения элементов САУТ1=5,6, с Т2=0,05, с Т3=0,027, с Т4=0,01, с К1=26,36 Се=1,98 КПзад=10 Тф=0,02, с Тя=0,026, с Тп=0,05, с J=0,14 Rя=0,38, Ом
1/Rя=2,63
Т2Т3р2+Т2р+Т3р+1=0,00135р2+0,077р+1
Т1Т4р2+(Т1+Т4)р+1=0,056р2+5,61р+1
/>
Рисунок 17 — Схема разомкнутой нескорректированной системы
/>
Рисунок 18 — ЛАЧХ разомкнутой нескорректированнойсистемы
/>
Рисунок 19 – Схемаразомкнутой скорректированной системы
/>
Рисунок 20 — ЛАЧХразомкнутой скорректированной системы
/>
Рисунок 21 – Переходныйпроцесс
Таблица 4 — Сравнение показателей регулирования Моделирование на ЭВМ по задающему по возмущающему Dx 3,427 0,001 tp 0,53 0,68 s - 38900 Dxu M 2
/>Литература
1. Теорияавтоматического управления, под общей редакцией Нетушила А.В., ч. I, М., “Высшая школа”,1976.
2. КуропаткинП.В. Теория автоматического управления, М., ”Высшая школа”, 1973.
3. В.В.Солодовников, В.И. Плотников, А.В. Яковлев. Основы теории и элементы системавтоматического регулирования. М., “Машиностроение”,1985.
4. А.П.Протасов. Теория управления. Задания и методические указания к курсовой работе.Для специальности 180400-“Электропривод и автоматизация промышленныхустановок”, Киров, изд. ВятГТУ, 1996, с.30.