Розробка та аналіз математичної моделі технологічного об'єкта із заданими параметрами
1 Аналітичне моделювання статичного режиму
/>
Рис. 1
Розрахувати статичну модель />і побудувати статичну характеристику повітряного ресиверу для випадку ізотермічного розширення газу.
G1=25
G2=25
p0=6
p=2
p1=1,5
Визначимо границі об’єкту моделювання, його виходи і входи. У відповідності з математичною моделю маємо 1 вихідну величину – Р і 2 вхідні />та />. Виличини Р0 і Р1 будемо вважати постійними. Складемо рівняння математичного балансу.
/>
/>
Де />та />— коефіцієнти витрати клапанів; />та />значення щільності газу відповідно для Р0 і Р1
/>
Це рівняння є рівнянням статики, яке зв’язує вихідну величину Р зі вхідними />та />.
Але в цьому рівняння присутні значення значення щільності газу />та />, які для ізотермічного процесу повністю визначаються значеннями тиску Р0 і Р1.
І в зв’язку з тим, що Р0, а значить, і />являються постійними величинами, тиск слід виразити через значення щільності.
Для ізотермічного процесу, який протікає при постійній температурі з рівнянням стану ідеального газу.
/>
З цієї формули слідує, що при постійній температурі і незмінному значенні маси газу і його молярній масі М добуток тиску газу на його об’єм повинно залишатися постійною.
/>
Відомо, що :
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>--PAGE_BREAK--
Значення функціональної залежності />отримано в загальному вигляді. Перейдемо до чисельного представлення отриманої функціональної залежності. Для цього визначаємо чисельне значення усіх необхідних величин ( основного статичного режиму).
Таблиця 1
Значення параметрів ресивера в номінальному статичному режимі
№
Назва параметру
Позначення
Розмірність
Дані
1
Витрати повітря на вході
G1
кг/год
20
2
Витрати повітря на виході
G2
кг/год
20
3
Тиск повітря на вході
P0
кг/см2
6
4
Тиск повітря в ресивері
P
кг/см2
4
5
Тиск повітря на виході
P1
кг/см2
3
6
Ступінь відкриття вхідного клапану
/>
-
0.4
7
Ступінь відкриття вихідного клапану
/>
-
0.6
8
Температура повітря
t
оС
20
9
Щільність повітря
/>
кг/см3
/>
10
Щільність повітря в ресивері
/>
кг/см3
/>
11
Коефіцієнт витрати вхідного клапана
/>
/>
12
Коефіцієнт витрати вихідного клапана
/>
/>
13
З довідника відомо, що />при тиску і температури 20С дорівнює />кг/см2
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Отримана залежність — статична модель об'єкта в явній формі, що відповідає поставленому завданню. Розрахуємо характеристику />
/>
/>
/>
Р кг/см2
3
0,1
3,116
0,2
3,386
0,3
3,7
0,4
4
0,5
4,269
0,6
4,5
0,7
4,698 продолжение
--PAGE_BREAK--
0,8
4,866
0,9
5,008
1
5,128
2 Аналітичне моделювання динамічного режиму
Отримати рівняння динаміки двохємкістного ресивера, схематично зображеного на рис.1. Визначальним параметром даного об’єкта є тиск Р3. Необхідно знайти залежність:
/>, де />ступінь відкриття клапану на вхідному потоці; />— витрати газу з ресивера, кг/год.
/>
Рис. 2. Розрахункова схема об’єкту моделювання
Основний статичний режим визначається такими значеннями параметрів
/>Н/см2; />Н/см2; />Н/см2; />кг/год />
Ємкості ресивера мають об’єм />; />
На основі матеріальних балансів складаємо рівняння статики для кожної із єкостей
/>
Витрати />та />потрібно виразити через залежності від відповідних значень тиску, та ступеню відкриття клапану на вхідному потоці:
/>,
де />та />— коефіцієнти витрати; />та />— це значення щільності газу відповідно перед вхідним клапоном та у першій ємкості.
/>
Враховуючи акумулюючу здатність кожної з ємкостей, перетворимо рівняння статики на рівняння динаміки:
/>
За умовою, що
/>та />,
Отримуємл наступну систему диференційних рівнянь:
/>
Зробимо аналіз змінних, що входять у рівняння. Змінними є: />. Якщо />та />будуть змінюватися, то навіть за сталим значенням />будуть змінюватися />та />, а в зв’язку з тим, що />— змінна, то змінною буду і />. Таким чином, змінними в рівняннях будуть />. Рівняння, з врахуванням визначенних змінних, будуть нелінійними. Лінеаризуємо рівняння розкладанням в ряд Тейлора. продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
В рівняннях є залежні між собою змінні. Це тиск />та щільність />, тиск />та щільність />. Іх однозначана залежність буде визначатися законом розширення газу. Якщо теплообмін з навколішнім середовищем близький до ідеального та не дуже великий перепад тиску, можна прийняти ізотермічний закон розширення газу PV=RT.Тоді можна записати:
/>, />
Введемо умовне позначення />.
/>
Де />
/>/>/>
Виключивши з рівнянь змінни />та розділивши всі складові рівняння на коефіцієнт при />, отримаємо:
/>
Де />/>/>/>/>
/>; />; />;
/>; />; />;
Розмірність всіх додатків рівняння динамікт однакова, що є необхідною, хоч і не достатьньою умовою стверджувати, що рівняння динаміки отримано вірно.
Визначимо із статичних залежностей та з довідників значення величин />. Спочатку визначимо />. Тиск та щільність для незмінної температури знаходяться у такій залежності:
/>,
де />— атмосферний тиск, />Н/см2;
/>— абсолютне значення тиску відповідно перед ресивером, у першій та другій ємкості, />; />; />. продолжение
--PAGE_BREAK--
Щільність повітря ддля атмосферного тиску за довідником />кг/м3.
Враховуючи викладне вище, із залежності вирахуємо числові значення />для основного статичного режиму:
/>, />, />
Визначимо числові значення коефіцієнтів витрати />.
/>/>
/>/>.
Знайдемо числове значення виразу />, />/>.
Запишимо значення всіх констант та змінних в номінальному (початковому) режимі в табл.2. Користуючись значенням величин, записаних у табл. 2, знайдемо числові значення проміжних коефіцієнтів B, D, CтаE.
/>; />; />; />.
Таблиця 2
Значення параметрів ресивера в номінальноу статичному режимі
№ п.п
Назва параметру
Позначення
Розмірність
Числові значення
1.
Тиск повітря на вході
/>
Н/см2
80
2.
Тиск повітря в першій ємкості
/>
Н/см2
50
3.
Тиск повітря в другій ємкості
/>
Н/см2
16
4.
Витрати повітря (/>)
/>
Кг/год
60
5.
Об'єм першої ємкості
/>
м3
3
6.
Об'єм другої ємкості
/>
м3
5
7.
Ступінь відкриття клапану
/>
-
0.5
8.
Щільність повітря на вході
/>
Кг/м3
11.9
9.
Щільність повітря в перщій ємкості
/>
Кг/м3
7.9
10.
Щільність повітря в другій ємкості.
/>
Кг/м3
3.42
11.
Коефіцієнт витрати через клапан
/> продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
6.35
12.
Коефіцієнт витрати парубка між ємкостями
/>
/>
3.6
13.
/>
/>
0.133
Користуючись розрахованими значеннями В, D, Cта Е, а також значеннями параметрів із таблиці 1, з використанням залежностей обчислимо значення коефіціентів рівняння динаміки.
/>год2; />год; />/>; />/>; />/>.
Підставляючи значення коефіцієнтів у рівняння динаміки запишемо його у числовій формі
/>.
Це рівняння є рівнянням динамікт ресивера відповідно до залежності />.
Знайдемо розв'язання рівняння
/>
у вигляді />, де />— вільна складова; />— примусова складова.
Початкові умови приймемо нульовими: />
Керуючий вплив визначаємо наступним чином: />. Збурюючий вплив />та його похідну приймаємо нульовими. Харакеристичне рівняння диференційного рівняння має вид: />, />; />.
Таким чином вільна складова вирішення має наступний вид:
/>
де, С1та С2– сталі інтегрування.
Примусова складова, у урахуванням того, що />не залежить від часу, складе:
/>Н/см2
Для визначення сталих інтегрування С1та С2складемо систему равняння з урахуванням початкових умов та того, що похідна від />має наступний вид:
/>
Система рівнянь формується наступним чином:
/> продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
Звідси маємо:
/>
Розв'язання системи рівняння дозволяє отримати такі значення С1та С2:
/>, />.
Таким чином, остаточно запишемо розв'язання рівняння
/>
За цією формулою проведемо розрахунки />, результати яких наведені в таблиці.
/>
/>
/>
1
0,174
2
0,542
3
0,972
4
1,399
5
1,798
6
2,157
7
2,474
8
2,751
9
2,992
1
3,201