Задача №5.
Расчет статически неопределимой рамы методом сил
Для статически неопределимой Е-образной рамы с одной скользящей и двумя неподвижными опорами используя метод сил, формулу Мора и правило Верещагина необходимо определить реакции опор и построить эпюры моментов, поперечных и продольных сил
/>
Построить эпюры M, Q и N.
Решение
Данная система дважды статически неопределима, так как рама прикреплена пятью связями, а уравнений статики для их определения – три. Выбираем основную систему путем отбрасывания лишних связей и заменой их неизвестными усилиями Х1 и Х2. Фактически Х1 будет являться реакцией опоры С, а Х2– вертикальной составляющей реакции опоры В.
/>
Составляем систему канонических уравнений метода сил:
/>d11×Х1 + d12×Х2 + D1Р = 0;
d21×Х1+ d22×Х2+ D2Р= 0.
Для определения коэффициентов при неизвестных и свободных членах необходимо построить эпюры изгибающих моментов поочередно для каждой силы.
/>
Эпюра единичных изгибающих моментов от единичной силы Х1
/>
Эпюра единичных изгибающих моментов от единичной силы Х2
/>
Грузовая эпюра от заданной нагрузки – силы Р.
Подсчитываем коэффициенты по формуле Мора используя правило Верещагина:
/>
где />– величина изгибающего момента единичной эпюры Хjв точке, где расположен центр тяжести фигуры, образованной единичной эпюрой Хi;
/> – площадь фигуры, образованной единичной эпюрой Хi.
Например, для трапециевидного участка длиной Lи размерами сторон ми Мединичной эпюры Х1находим координату центра тяжести для трапеции:
/>;
Далее находим значение Мц.т.в этой точке для всех эпюр.
– для эпюры Х1это будет:
/>,
для эпюры Х2 в любой точке данного участка М равно а, следовательно:
/>
для эпюры Р это будет:
/>
Соответственно площади эпюр на данном участке будут равны:
/>
/>
/>
Аналогичным образом находим составляющие уравнения Мора для других, более простых участков и вычисляем требуемые коэффициенты:
/>
/>
/>
/>
/>
Подставив найденные коэффициенты в систему канонических уравнений и сократив на />и а3получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:
/>/>/>×Х1+ />×Х2+ Р = 0; 56×Х1+ 11×Х2+ 6Р = 0;
/>×Х1+ />×Х2+ />×Р = 0.11×Х1+ 10×Х2+ 7Р = 0;
Вычитая из первого уравнения второе, получим более простое выражение, из которого выразим Х2и подставим затем во второе уравнение;
45Х1+ Х2– Р = 0;®Х2= Р – 45Х1;
11 Х1+ 10Р – 450 Х1+ 5Р = 0;
Х1= />Р = 0,034Р;
Х2= Р – />Р = –/>Р = –0,538Р;
Найдя значения неизвестных усилий Х1и Х2, обратимся к основной системе и найдем ХА, УАи ХВ.
SУ = 0;
УА – Х1 – Х2 – Р = 0;
УА = Х1 + Х2 + Р = 0,034Р – 0,538Р + Р = 0,496Р;
SМА = 0;
Х1×а + ХВ×а – Р×а = 0;
ХВ = Р – Х1 = 0,966Р;
SХ = 0;
ХА– ХВ= 0;
ХА= ХВ= 0,966Р;
Зная значения всех усилий, действующих на раму, строим эпюры М, Qи N:
/>
/>
/>