/>Сургутский Государственный Педагогический Институт
Кафедра высшейматематики.
Реферат
«Методы расчета ферм при подвижной нагрузке»
по дисциплине: Простейшие динамическиемодели.
Выполнил: студентка Факультет ДНиМО, 4 курс
Макарова Елена Вячеславовна
Проверил:
профессор Кащеев В. П.
Сургут, 2001 год.Оглавление
Введение. 2
Глава 1. Расчет плоских ферм. 3
§1 Метод вырезания узлов. 4
§2 Определение усилий в стержняхфермы построением диаграммы Максвелла-Кремоны. 5
§3 Определение усилий в стержняхфермы методом сечений (методом Риттера). 7
Глава 2.Расчет плоской фермы наподвижную нагрузку. 8
Заключение. 12
Литература. 13/> />/>Введение
Такая конструкция как плоская ферма, используетсяочень часто в строительстве, в проектировании. Любая ферма, и ее стержни, каксоставляющие, несет на себе некую нагрузку. Как правило, нагрузка на ферму –подвижна (примером тому можно привести фермы мостов). Расчет необходимой прочностистержней мостов, расчет усилий для каждого стержня при заданной нагрузке, вэтом случае, один из важнейших элементов подготовки к строительству.
Для раскрытия темы реферата потребуетсятеоретический материал, а также иллюстрация его практического применения. Внеобходимое теоретическое обоснование решения представленной задачи входятописание основных теоретических методов расчета плоских ферм на нагрузку.
Практическая частьработы представлена решением следующей задачи:Рассчитатьна прочность (т. е. подобрать площадь сечения) стержни 1, 2, 3, определивпредварительно опасное положение силы Р=50 тонн, движущейся по нижнему поясуфермы; нагрузка, при движении груза, передается только на узлы фермы. Принятьдопустимое напряжение s = 7600 кг/см2.
/>
Решение поставленной задачи позволяетрассчитать линейные размеры конструкции при определенных начальных условиях,таких как максимальная нагрузка и допустимое для материала, из которогоизготовлена конструкция./>/>/>/>Глава1. Расчет плоских ферм
Фермой называется жесткая (геометрически неизменяемая)конструкция из прямолинейных стержней, соединенных на концах шарнирами (рис.1).
/>
Фермуназываютплоской, если все ее стержни лежат в одной плоскости. Методсоединения стержней фермы называютузлами. Все внешние нагрузки к ферме прикладываются только вузлах. При расчете фермы, трением в узлах и весом стержней (по сравнению свнешними нагрузками), пренебрегают или распределяют веса стержней по узлам,тогда на каждый из стержней фермы будут действовать две силы, приложенные к егоконцам, которые при равновесии могут быть направлены только вдоль стержня. Следовательно,можно считать, что стержни фермы работают только на растяжение или сжатие.
Ферма считаетсястатически определимой, если число узлов n и число стержней mудовлетворяют уравнению:
m=2n-3 если число стержней не удовлетворяет этомуравенству, то возможны два случая:
1. если: m>2n-3,
ферма является в этомслучае статически неопределимой;
2. если: m
то конструкцияперестает быть геометрически неизменяемой. Получает подвижность, следовательно,становится механизмом.
Расчет фермы сводитсяк определению опорных реакций и усилий в ее стержнях. Опорные реакции можнонайти обычными методами статики, рассматривая ферму в целом как твердое тело.Расчет усилий в стержнях фермы методами статики может быть произведен толькодля статически определимых ферм./>/>/>/>§1Метод вырезания узлов.
Этимметодом удобно пользоваться, когда надо найти усилия во всех стержнях фермы. Онсводится к последовательному рассмотрению условий равновесия сил, сходящихся вкаждом из узлов, определению усилий в стержнях фермы.
Активные силы иреакции опор являются внешними силами для всей фермы, рассматриваемой кактвердое тело; усилия в стержнях в этом случае — внутренние силы. Поэтому дляопределения усилий необходимо рассмотреть равновесие части фермы, для которойискомые усилия являются внешними силами.
При решении задач нарасчете ферм способом вырезания узлов необходимо придерживаться следующегоплана действий:
1. Выбор тела (или т ел), равновесие которого должно бытьрассмотрено. Для решения задачи надо рассмотреть равновесие тела, к которомуприложены заданные и искомые силы или силы, равные искомым (например, если надонайти давление на опору, то можно рассмотреть равновесие тела, к которомуприложена численно равная этой силе реакция опоры и т. п.).
2. Когда заданные силы действуют на одно тело, а искомыена другое или когда те и другие силы действуют одновременно на несколько тел,может оказаться необходимым рассмотреть равновесие системы этих тел или последовательноравновесие каждого тела в отдельности.
3. Изображение действующих (активных) сил. Установивравновесие какого тела или тел рассматривается (и только после этого), следуетна чертеже изобразить все действующие на это тело, (или тела) внешние силы, включаякак заданные, таи и искомые сковы, в том числе реакции всех связей.
4. Составление условий равновесия. Условия равновесиясоставляют для сил, действующих на тело (или тела), равновесие которыхрассматривается.
5. Определение, реакции опор, пользуясь уравнениямиравновесия для всей фермы, рассматриваемой как твердое тело, проверкаправильности решения и исследование полученных результатов.
6. Вырезать узел, в котором сходятся два стержня, ирассмотреть его равновесие под действием активных сил и реакций разрезанныхстержней; определить эти реакции
7. Переходя от узла к узлу, рассматривать аналогичноравновесие каждого узла.
/>/>/>/>/>§2Определение усилий в стержнях фермы построением диаграммы Максвелла-Кремоны.
Этографический способ расчета усилий в стержнях фермы. Построение диаграммыМаксвелла-Кремоны заключается в построении силовых многоугольников, построенныхдля всех узлов фермы, в один чертеж так, чтобы ни одно из усилий не повторялосьдважды (рис. 3).
При расчете фермы способом Максвелла-Кремоны следует придерживаться следующей последовательностидействий:
Определить реакцииопор, пользуясь уравнениями равновесия для всей фермы, рассматриваемой кактвердое тело.
Отбросить опоры иизобразить все приложенные к ферме внешние силы, включая реакции опор, такчтобы эти векторы располагались вне контура фермы.
Части плоскости,ограниченные контуром фермы и линиями действия внешних сил, а так же те, чтоограниченны стержнями фермы, обозначить буквами; узлы обозначить римскимицифрами, стержни — нумеруем арабскими.
Построить замкнутыймногоугольник внешних сил, откладывая силы в том порядке, в котором онивстречаются при обходе фермы (направление произвольно) силы обозначаются малымибуквами, соответствующими обозначениям смежных участков плоскости.
Последовательно, натом же рисунке, построить силовые многоугольники для каждого узла (узлывыбираются таким образом, чтобы число неизвестных усилий в стержнях равнялосьдвум), направление обхода узла должно совпадать с направлением обходаплоскости.
Стержень считатьсжатым, если направление, указанное известными силами, направлено к узлу, впротивном случае стержень растянут
Измерить на диаграммеотрезки, изображающие искомые усилия в стержнях фермы, и найти усилия, учитываяпринятый масштаб сил.
/>/>/>/>/>§3Определение усилий в стержнях фермы методом сечений (методом Риттера).
Этимметодом удобно пользоваться для определения усилий в отдельных стержнях фермы,например, для проверочных расчетов (рис. 4)
При расчете методом сечении рекомендуетсятакая последовательность действии:
1. Определитьреакции опор, пользуясь уравнениями равновесия для всей фермы, рассматриваемойкак твердое тело, находящееся под действием плоской системы сил.
2. Ферму разделяют на две части сечением,проходящим через три стержня, в которых (или в одном из которых) требуетсяопределить усилия, и рассматривают равновесие одной из этих частей. Действиеотброшенной части заменяют соответствующими силами, направляя их вдоль разрезанныхстержней от узлов, т. е., считая их растянутыми.
3. Затем составляются уравнения равновесия так,чтобы в каждое уравнение входило одно неизвестное усилие.
/>
4. Из полученных уравнений находятся неизвестныеусилия в стержнях; если в ответе получается знак «-», то это означает, чтостержень сжат, а не растянут.
/>/>/>Глава 2.Расчет плоской фермына подвижную нагрузку.
Содержание главы представляет из себя решение задачина расчет плоской фермы при подвижной нагрузке.
Задача:
Рассчитатьна прочность (т. е. подобрать площадь сечения) стержни 1, 2, 3, определивпредварительно опасное положение силы Р=50 тонн, движущейся по нижнему поясуфермы; нагрузка, при движении груза, передается только на узлы фермы. Принятьдопустимое напряжение сигма = 1600кг/см2.
/>
Дляопределения усилий в стержнях сначала необходимо найти реакции опор А и В. Дляэтого мысленно отбросим опоры и заменим их действие на ферму реакциями ra и rb. Составим условия равновесия:
/>
04с
Проверим правильностьполученных реакций:
åFky=RA+RB-P=0, 0=0
Проведем сечениеконструкции так, как указано на рис.1, и рассмотрим равновесие левой частифермы (рис.2), заменяя действие на нее правой части силами, направленными вдольстержней (соответственно N0, N2, N3). Составимусловия равновесия, учитывая, что нагрузка движется слева направо, а«х» есть изменение расстояние от опоры до узла, в котором приложенасила. Найдем усилия в стержнях для случая, когда 0с
/>
/>
Рассмотрим теперьслучай, когда 2с4с (рис. 3). Так как нагрузка передается только наузлы, то условия равновесия будут иметь следующий вид:
/>
Такимобразом, найдены усилия в стержнях 2 и 3. Для того, чтобы найти усилие встержне 1, применим метод вырезания узлов. Вырежем узел I. (Рис. 4) Составимусловия равновесия, учитывая, что 0с.
/>
åFky = N2 +N1*cos(45°)- P = 0; Û N1= (P – Px/ 4c)Ö2
Составим условияравновесия, учитывая, что 2с4с.
åFky = N2 +N1*cos(45°) = 0; Û N1= (P – Px/ 4c)Ö2
Можносделать вывод, что усилие в стержне 1 не зависит от точки приложения груза.Изобразим наглядно изменения усилий в стержнях при подвижной нагрузке.
Длястержня 1:
/>
/>
/>
Изграфиков легко можно определить наиболее опасные положения груза для каждого израссматриваемых стержней, а, следовательно, и определить оптимальные площадисечений для них.
Площадь сечения (обозначим ее буквой S)элемента конструкции должна быть больше или равна отношению усилия,прилагаемого к этому элементу, к допустимому напряжению.
Для стержня 1:
наиболее опасно положение груза при х= 0,тогда абсолютное значение усилия N1(0)»70.710 (т), а S1 =70710 (кг) /1600 (кг/см2) » 44.194 см2
Для стержня 2:
наиболее опасно положение груза при х= 2с,тогда абсолютное значение усилия N2(2c)=25 (т), а S1=25000 (кг) /1600 (кг/см2)= 15.625 см2
Для стержня 3:
наиболее опасно положение груза при х= с,тогда абсолютное значение усилия N3(с)»37.5 (т), а S3 =37500 (кг) /1600 (кг/см2) » 23.4375 см2
Таким образом, можносделать вывод, что стержень 1 подвергается наибольшему воздействию, из трехисследуемых стержней. Задача решена./>/>/>/>Заключение.
В своей курсовойработе я рассмотрела одну из областей применения методов математики натеоретическом и практическом материале.
В теоретическое обоснование решенияматематической задачи, поставленной темой курсовой, вошли: основные понятиястатики, исходные положения статики, теория о связях и их реакциях, теория осистемах сил (сходящихся и плоских), а также методы расчета плоских ферм.
Итог курсовой работы — применениеизложенной теории к решению конкретной задачи.Литература
1. Б а т ь М. И., Джанелидзе Г. Ю.,КельзонА. С.Теоретическая механика в примерах и задачах: Учеб. пособиедля втузов. Т. 1. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат… лит., 1990.
2. Т а р г С. М. Краткий курстеоретической механики: Учебник длявтузов. 12-е издание, — М.: Высшая школа, 1998.