Перехiднi процеси в лiнiйних електричних колах.
Класичний метод аналізу перехідних процесів
1.Основнi поняття та визначення
Стацiонарнийрежим (процес) характеризується тим, що струми i напруги або незмiннi у часi(кола постiйного струму), або є перiодичними функцiями часу (кола змiнногоструму).
Реальнiелектричнi процеси завжди вiдрiзняються вiд стацiонарних, тому що будь-яканеперiодична змiна типу дiї або змiна параметрiв кола (або вигляду схеми)викликає порушення стацiонарностi режиму.
Перехiднимзветься процес, який виникає в електричному колi при переходi вiд одногоусталеного режиму до iншого. Перехiднi процеси виникають за певних умов,наприклад, при комутацiї.
Комутацiя-це змiна параметрiв або схеми кола, пiдключення або вiдключення джерелаелектричної енергiї. Якщо коло мiстить тiльки активнi опори, то комутацiя«миттєво» викликає вiдповiднi змiни струмiв i напруг у вiтках. Занаявностi реактивних елементiв комутацiя супроводжується появою перехiднихпроцесiв.
Отже,умовами виникнення перехiдних процесiв є:
1)комутацiя; 2) наявнiсть у колi реактивних елементiв.
2.Закони комутацiї i початковi умови
Виникненняперехiдних процесiв пов'язано з особливостями змiнювання енергiїелектромагнiтного поля у реактивних елементах. З фiзичних мiркувань зрозумiло,що енергiя поля в iндуктивностях /> та ємностях /> не може змiнюватисямиттєво: енергiя може змiнюватися неперервно, без стрибкiв, тому що упротилежному випадку потужнiсть />, яка дорiвнює похiднiй енергiї зачасом, досягала б нескiнченного значення, що фiзично неможливо.
Напідставі цього твердження формулюються закони комутацiї.
Якщомомент комутацiї розглядати як початок вiдлiку часу />, то момент безпосередньо передкомутацiєю позначається />, а момент безпосередньо пiслякомутацiї />.Враховуючи цi позначення, можна записати:
/> -перший закон комутацiї;
/> -другий закон комутацiї.
Отже,у початковий момент пiсля комутацiїструм в iндуктивностi(напруга на ємностi) залишаєтьсясаме таким, яким вiн бувбезпосередньо перед комутацiєю,а потiмплавно змiнюється. При цьому слiдпам'ятати, що стрибкоподiбно можуть змiнюватисяструми в опорах та ємностях, а також напруги на опорах та iндуктивностях.
Значенняструму в iндуктивностi та напруги на ємностi в момент комутацiї звутьсянезалежними початковими умовами. За нульових початкових умов, тобто коли />, />, iндуктивнiстьу початковий момент часу пiсля комутацiї еквiвалентна розриву кола, а ємнiсть — короткому замиканню. У випадку ненульових початкових умов, тобто коли />, />, iндуктивнiстьв перший момент пiсля комутацiї еквiвалентна джерелу струму />, а ємнiсть — джерелу ЕРС />.
Отже,залежно від моменту часу (0+ або ¥), а також від типузовнішньої дії (постійна або синусоїдна) реактивні елементи в схемах подаютьсяпо-різному (табл.1).
Таблиця1Елемент
/>
/> Нульові початкові умови Ненульові початкові умови Постійний струм Синусоїдний струм L Х.Х
/> К.З
/> C К.З.
/> Х.Х
/>
Аналізуючиперехiдні процеси у розгалужених колах, поряд з незалежними початковими умовамивикористовують так званi залежнi початковi умови, а саме: значення всiх струмiвi напруг, крiм />, />, а також їх похiднi при />. Цi значеннярозраховуються за незалежними початковими умовами, виходячи iз законiвКiрхгофа.
3.Класичний метод аналiзу перехiдних процесiв. Вимушений i вiльний режими
Аналiзелектричних процесiв в ЛЕК, як вiдомо, базується на розв'язаннi рiвняньКiрхгофа для миттєвих значень напруг i струмiв в елементах кола. Цi рiвнянняприводяться до лiнiйного неоднорiдного диференцiйного рiвняння з постiйнимикоефiцiєнтами.
Узагальному виглядi процеси в ЛЕК описуються лiнiйним диференцiйним рiвняннямn-го порядку:
/>, (1)
де/> -шукана функцiя; /> -вiдомафункцiя,яка залежить вiд зовнiшньоїдiї;/> -постiйнiкоефiцiєнти.
Вматематицi існують рiзнi способи розв'язання рiвняння (1). Згiдно з класичнимметодом розв'язок (1) слiд шукати у виглядi суми двох функцiй:
/>, (2)
де/> -загальний розв'язок (1), який характеризує електричнiявища за вiдсутнiстюзовнiшньоїдiї(/>). Якщо/>, то колознаходиться в режимi власних (вiльних) коливань. Функцiї, що визначаються зазагальним розв'язком, звуться вiльними складовими (струмiв, напруг тощо). В (2)/> -частинний розв'язок, що характеризує вимушений режим, який обумовленийзовнiшнiм джерелом. Якщо /> - постiйнафункцiя або перiодична за часом, то вимушений струм (напруга) буде одночасно iусталеним.
Iснуєунiверсальний метод визначення вiльної складової, згiдно з яким оператордиференцiювання в (1) замiнюють алгебраїчним оператором p:
/>;… />; />; />.
Пiсляцiєї замiни отримуємо характеристичне рiвняння кола:
/>. (3)
Степiньхарактеристичного полiнома визначається порядком диференцiйного рiвняння (3) iзветься порядком кола.
Розв'язуючи(3), визначають коренi характеристичного рiвняння /> (k =1,2,..., n). За знайденимикоренями знаходять шуканий розв'язок
/>, (4)
де/> -сталi iнтегрування, якi обчислюються за початковими умовами.
Длязнаходження сталих iнтегрування вираз (4), а також початковi умови />, /> пiдставляютьдо (2) i розв'язують здобуте рiвняння чи систему рiвнянь. Наприклад, для колапершого порядку маємо />, звiдки />.
Слiдпам'ятати, що фiзично iснують тiльки повнi струми (напруги), якi дорiвнюютьсумi вимушеної та вiльної складової. Саме їх можна вимiряти або спостерiгати задопомогою приладiв (осцилографа, вольтметра тощо). Щодо них слушнi законикомутацiї. Вимушена та вiльна складовi є розрахунковими величинами, сума якихдає реальнi (фiзичнi) струми i напруги.
4.Перехідні процеси в колах RL і RC
4.1Режим вiльних коливань у колi RC
Розв'яжемозадачу аналiзу коливань в RC колi, схема якого зображена на рис.1а, започаткової умови />. Спади напруг на ємностi /> та на опорi /> задовольняютьдругому закону Кiрхгофа, згiдно з яким
/>, або />. (5)
/>
а) б)
Рисунок1
Диференцiйномурiвнянню (5) вiдповiдає характеристичне: />. Це рiвняння має єдиний корiнь />, який єдiйсним вiд'ємним числом. Iнакше, />, де стала /> має вимiрнiсть часу.Вона зветься сталою часу кола ([t] = [RC] = Ом´Ф= Ом´А´с/В= с).
Отже,загальний розв'язок рiвняння (5) такий:
/>. (6)
КоефiцiєнтA розраховується з початкових умов з використанням закону комутацiї. Заформулою (6) />; згiдно з законом комутацiї заненульових початкових умов />. Тобто A = E, i (6) приймаєвигляд />.
Знайдемострум у колi та спад напруги на опорi:
/>; />, де />.
Вiдповiднiграфiки зображено на рис.2а. З рисунку видно, що згiдно з другим закономКiрхгофа, в будь-який момент часу алгебраїчна сума спадiв напруг у колiдорiвнює нулю. Розглянемо змiст сталої часу. Якщо />, то />; />. Отже, стала часу tдорівнює інтервалу часу, за який напруга i струм в колi RC зменшуються заабсолютною величиною в режимi вiльних коливань у e = 2,72 разiв.
/>
а) б)
Рисунок2
Сталачасу електричного кола — величина, що характеризує електричнеколо з одним iнерцiйним елементом (iндуктивнiстю чи ємнiстю) i дорiвнює довжинiпiддотичної до кривої вiльної складової перехiдного струму. Дiйсно, />. Графiкфункцiї /> зображенона рис.2б, а чисельнi значення наведено у таблицi 2.
Таблиця2
/> 1 2 2,3 3 4,6
/> 0,368 0,136 0,1 0,05 0,01
Iззнайдених рiшень виходить, що процес зменшування напруги та струмупродовжується нескiнченно, але практично вiльнi коливання вважають закiнченимипри />, коли/> або при />, коли />. Вважатимемо,що тривалiсть перехiдного процесу становить />.
Длянаочного уявлення про характер перехiдних процесiв у ЛЕК прийнято коренiхарактеристичного рiвняння зображати точками на комплекснiй площинi.
4.2Увiмкнення джерела постiйної напруги до кола RC
Знайдемозакони змiнювання струму i напруги для кола (рис.1а). Увiмкненню джерела Eвiдповiдає зміна положення перемикача S: 2®1. При цьому маємонульовi початковi умови: />. Згiдно з другим закономКiрхгофа:
/>; />. (7)
Закласичним методом розв’язок однорiдного диференцiйного рiвняння (7) шукаємо увиглядi
/>.
Знаходимохарактеристичне рiвняння:
/>; />.
Загальнийрозв’язок (7) (або вiльна складова) збiгається з (6). Оскiльки при t®¥конденсатор заряджається до рiвня E, то вимушена складова />.
Тодi
/>. (8)
Длявизначення сталої A складемо систему рiвнянь:
/>.
Згiдноз законом комутацiї />. Тодi />, />. Отже, за нульових початковихумов маємо (рис.3а):
/>; />; />.
/>
а) б)
Рисунок3
4.3Вiльнi коливання у колi RL
Розв'яжемозадачу аналiзу вiльних коливань у колi RL (рис.1б) за начальної умови />. Згiдно здругим законом Кiрхгофа
/>; />. (9)
Рiвняння(9) аналогiчне рiвнянню(5) iдуальне до останнього вiдносно шуканоїзмiнної.Вiдповiднехарактеристичне рiвняння /> має єдиний корiнь /> (/>), який є дiйснимвiд'ємним числом. Тому загальний розв’язок (9) матиме вигляд:
/>. (10)
Значеннясталої A отримуємо з початкових умов i рiвняння (10): />, />, тоді />. Отже,
/>; />; />.
Сталачасу tмає той же змiст, що i у колi RC (рис.3б).
4.4Увiмкнення джерела постiйної напруги до кола RL (рис.4а)
Початковiумови нульовi: />. Згiдно з другим законом Кiрхгофа(пiсля переведення перемикача до положення ”1”) виконується рівність:
/>. (11)
Закласичним методом розв’язок (11) шукаємо у виглядi
/>.
Записуємохарактеристичне рiвняння:
/>, />.
Вiльнаскладова збiгається з (10):
/>
Оскiлькипри t®¥струм у колi /> (для постiйного струмуiндуктивнiсть еквiвалентна короткому замиканню), то />. Тодi />.
ВизначаємоA:
/>; />; />.
Отже,маємо:
/>; />;
/>.
Вiдповiднiграфiки зображено на рис.4б.
Тривалiстьперехiдного процесу практично оцiнюється за тими самими критерiями, що й у колiRC.
/>
а) б)
Рисунок4
4.5Увiмкнення джерела синусоїдної дiї до кола RC
Розв'яжемозадачу аналiзу коливань для кола RC (рис.5а) при синусоїднiй дiї />. У положеннi 2перемикача S визначаються початковi умови: />; у положенні 1 коло замикається.
/>
а) б)
Рисунок5
Згiдноз другим законом Кiрхгофа
/>; />; />;
/>. (12)
Закласичним методом розв’язок (12) шукаємо у виглядi:
/>; />; />;
/>/>.
Оскiлькидiя є синусоїдною, вимушена складова визначається методом комплексних амплiтуд:
/>
/>;/>.
Перейдемовiд комплексної амплiтуди до миттєвого значення
/>,
де/>; />.
Отже,/>.
КоефiцiєнтA визначається з початкових умов:
/>; />; />.
ВизначившиA, маємо:
/>. (13)
Згiдноз (13), напруга на ємностi дорівнює сумі двох складових, при цьому /> залежить вiдвеличини />.Розглянемо два характерних випадки.
1.Припустимо, що в момент увiмкнення джерела миттєве значення вимушеної складовоїдорiвнює нулю. Це можливо, якщо />. Тодi />, />, нiяких перехiдних процесiв невиникає, i у колi вiдразу встановлюється стацiонарний режим.
2.Загалом, коли />; />, спад напруги на ємностi, як цевидно з (13), може суттєво вiдрiзнятися вiд напруги вимушених коливань />.Найхарактернішим є перехiдний процес, який спостерiгається при /> (рис.6а). У нульовиймомент часу сума напруг />. Потiм виникає перехiдний процес,який закiнчується через промiжок часу 4,6t. При /> вiльна складова прямуєдо нуля, i графiк /> збігається з кривою />. Як бачимо,максимальна напруга на ємностi може бути бiльшою нiж амплiтуда синусоїдної дiїмайже у два рази (особливо, якщо стала часу велика).
/> а) б)
Рисунок6
4.6Увiмкнення джерела синусоїдної дiї до кола RL
Розв'яжемозадачу аналiзу коливань для кола RL(рис.6б) при синусоїднiй дiї/>,виключаючи етап складання диференцiйногорiвняння,за нульових початкових умов. Тоді запишемо:
/>.
Вимушенускладову знайдемо за допомогою методу комплексних амплiтуд:
/>,
де/>; />; />; />.
Тодi />.
КоефiцiєнтA визначимо з початкових умов: />; />; />. Визначивши A, знайдемо
перехідний процес лінійне електричне коло
/>. (14)
Аналогiчноз попереднiм підроздiлом маємо два характерних випадки.
1.Вiдсутнiсть перехiдного процесу, коли />.
2.У загальному випадку вимушена складова струму у початковий момент вiдрiзняєтьсявiд нуля, iу колi спостерiгаєтьсяперехiдний процес (рис.6б).Максимальні значення струму у колi,як це виходить з (14), спостерiгаютьсяза умови /> або/>. Якщостала часу велика, то на iнтервалi,де />,максимуми струму наближаються до />.
Размещено на www.