Академия России
Кафедра Физики
ПЕРЕХОДНЫЕИ СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЦЕПЯХ С ОДНИМ РЕАКТИВНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ ПРИ СТУПЕНЧАТОМВОЗДЕЙСТВИИ Орел 2009
Содержание
Вступление
Переходные колебания в цепи с емкостью
Переходные колебания в цепи с индуктивностью
Методика нахождения реакций
Свободные колебания в электрической цепиБиблиографический список
ВСТУПЛЕНИЕ
В данной лекциибудет показан принцип применения операторного метода для анализа переходныхколебаний в электрических цепях, содержащих один реактивный элемент ирезисторы.
Будем считать, что на электрическуюцепь, содержащую один реактивный элемент и резисторы, в момент /> действует ступенчатоевоздействие в виде перепада постоянного тока или постоянного напряжения,условное обозначение которых показано на рисунке 1. Цепь находится при нулевыхначальных условиях (НУ).
/>
Рис. 1
В результате изученияматериала курсанты должны уметь находить математическое выражение и строитьграфик любой реакции на ступенчатое воздействие в цепях, содержащих одинреактивный элемент и один или несколько резисторов.
Переходныеколебания в цепи с емкостью
Рассмотрим воздействиеперепада напряжения на последовательную RC-цепь. Пусть напоследовательную RC-цепь, находящуюся при нулевых НУ в момент /> воздействует перепаднапряжения /> (рис. 2).
/>Рис. 2
Найдем законы изменениятока в цепи /> и напряжений на ееэлементах /> и />.
На основании 2 законакоммутации: />.
Для анализа переходногопроцесса используем операторный метод, для чего перейдем к операторной схемезамещения RC-цепи (рис. 3)
/>
Рис. 3
Изображение тока в цепи определяется по закону Ома воператорной форме:
/>.
По таблицесоответствий найдем оригинал:
/>,
где /> есть постоянная временицепи.
Постоянная времениτ — промежутоквремени, в течение которого напряжение (ток), убывая по экспоненциальномузакону, уменьшается в е раз по отношению к значению напряжения (тока) вначале анализируемого промежутка времени. Она зависит от параметров цепи ивлияет на крутизну экспоненты.
Напряжение на резистореопределяется по закону Ома для оригинала:
/>.
Закон изменения напряжения на емкости проще всегонайти по 2‑ому закону Кирхгофа для оригиналов:
/>.
Отметим, что при />, />, т. е. в моментперепада напряжения конденсатор представляет собой КЗ.
Графики данных функцийописываются экспоненциальным законом и отличаются лишь начальным значениемреакций. Их можно построить, составив таблицу значений /> для /> и /> для />:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> 1 0,368 0,135 0,05 0,01 /> 0,632 0,865 0,95 0,99 >0,99
На рисунке 4 показаныграфики /> и /> и их деформация приизменении /> цепи.
/>
Рис. 4
Постоянную времени цепи τможно определить по следующему отношению величин, взятых из графика (рис. 4).
/>.
Постоянная времени τзависит от параметров цепи (Rи С) и влияет на крутизну экспоненты (рис. 4):
- при уменьшении τэкспонента проходит круче и процесс переходных колебаний ускоряется;
- при увеличении τ,наоборот, экспонента проходит положе и процесс переходных колебанийзамедляется.
Из графика видно, чтотеоретически переходные колебания в RC-цепи продолжаются бесконечно долго: f(t) → 0 (Е) при t → ∞.
Если рассмотретьпромежуток времени t= 3τ, то окажется, что значение исходной функции уменьшается до0,05 (увеличивается до 0,95) от начального значения, а при t = 4,6τ значение функциибудет составлять всего 0,01 (0,99) от первоначального. Принято считатьпромежуток времени от t= 0 до t = (3/>4,6)τдлительностью процесса переходных колебаний или временем установления.
Таким образом, tУСТ = (3/>4,6)τ.
Примечание: постоянная времени сложной цепиопределяется по той же формуле τ = RC, где R = RЭКВ – эквивалентное сопротивление,подключенное к элементу емкости после совершения коммутации, т. е. при t = +0. Это сопротивление находится,как в обычной резистивной цепи.
Соответствующая операторнаясхема показана на рисунке 6.
/>
Рис. 6
Воспользуемся методомконтурных токов:
/>;
/>;
/>.
Далее находим остальныереакции по первому закону Кирхгофа:
/>.
Графики этих реакций, при/>, будут иметь вид (рис. 7):
/>
Рис. 7
Напряжения на резисторахлегко определяются путем умножения токов /> и/> на соответствующиесопротивления, а напряжение на емкости можно найти по второму закону Кирхгофа:
/>.
График данной функции имееттакой же вид, как и на рисунке 4.
Выводы:
1. Временныезависимости всех реакций определяются экспоненциальной функцией.
2. Переходныепроцессы теоретически длятся бесконечно долго, однако на практике их считаютзаконченными за время />, котороеназывают временем установления. Изменяя постоянную времени цепи /> можно менять длительностьпереходного процесса.
3. С физической точки зрения всеграфики объясняются процессом заряда емкости при ступенчатом воздействии.
Переходные колебания вцепи с индуктивностью
Анализ переходныхколебаний в цепи с индуктивностью при воздействии перепада напряженийвыполняется аналогично рассмотренному выше. Найдем реакции в последовательнойцепи />, показанной нарисунке 8.
/>/>
Рис. 8
/>,
где /> — постоянная временицепи />.
Отметим, что при /> – />, а />, т. е. при перепаденапряжения индуктивность эквивалентна обрыву цепи, а при /> эквивалентна КЗ.
Графики временнойзависимости напряжений приведены на рисунке 9.
/>
Рис. 9
Изменяя величину />, можно регулироватьдлительность переходного процесса.
Аналогично можнорассмотреть переходные процессы в параллельной />-цепипри воздействии на нее перепада тока и изобразить графики временной зависимоститоков в ветвях />, /> и напряжения />.
Методика нахожденияреакций на ступенчатое воздействие в цепях с одним реактивным элементом инесколькими резисторами
Если цепь содержитнесколько резисторов, то их по отношению к реактивному элементу известнымиспособами можно свести к одному эквивалентному резистивному сопротивлению.Поэтому ранее полученные выводы справедливы и для этих цепей. В такихслучаях для нахождения реакций можно не составлять уравнения в операторнойформе, а сразу записать решение в виде:
/>,
где /> и /> – значения искомой функциисоответственно в момент коммутации и в установившемся режиме.
При нахождении величин вприведенной формуле следует пользоваться следующими соображениями:
1. Постояннаявремени /> находится для />-цепи /> для />-цепи – />, где /> — эквивалентноерезистивное сопротивление со стороны зажимов реактивного элемента припогашенном источнике.
2. При отыскании /> незаряженный конденсаторзаменить КЗ, а индуктивность – разрывом.
3. При определении /> конденсатор следуетзаменить разрывом, а индуктивность – КЗ.
Свободныеколебания в электрической цепи с одним реактивным элементом
4.1. Свободные переходные процессы вцепи с емкостью
Пусть заряженная до напряжения E емкость C в момент времени t = 0 подключается к резистору R (рисунок 10).
/>
Рис. 10
За счет энергии, запасенной в емкостиC, в цепи будут происходить свободныеколебания. Найдем временные зависимости тока в цепи и напряжений на элементах R и C, которые, как видно из рисунка 10, одинаковы.
Начальные значения тока инапряжения на элементах можно определить на основании законов коммутации. Таккак напряжение на емкости не может измениться скачком, то uC(-0) = uC(+0) = E, т. е. начальные условия ненулевые. Рассматриваемая схема для моментавремени t = +0 (сразу же после коммутации)имеет вид, показанный на рисунке 11, при этом емкость можно рассматривать какисточник заданного напряжения.
/>
Рис. 11
Применим операторныйметод, для чего заряженную емкость заменим одной из эквивалентных схемзамещения (иначе нельзя применять закон Ома в операторной форме). В данномслучае удобнее использовать последовательную схему замещения. При этом ЭДСоператорного источника напряжения соответствует начальному напряжению наемкости. На рисунке 12 схема замещения заряженной емкости выделена пунктиром.
/>
Рис. 12
По закону Ома воператорной форме:
/>/>; />.
Задача в операторнойформе решена – получено выражение для преобразованного тока в цепи.
Перейдем от изображения коригиналу. Согласно таблице соответствий
/>. Следовательно: />.
Произведение RC обозначается τ,измеряется в секундах и называется постоянной времени RC-цепи.
Так как uC = uR, то их временные зависимости такжеодинаковы. Поэтому, зная выражение для тока в цепи, можно получить и выражениедля напряжений на элементах:
/>.
Графики полученныхвыражений целесообразно построить в виде отношения
/>,
где f(t) = i(t) или f(t)= uC(t) = uR(t) ,
/> – максимальное значение определяемойвеличины, полученное на основании законов коммутации и физического смысла:
/> (нет скачка),
/> (скачок напряжения),
/> (скачок тока).
Заметим, что все этиотношения одинаковы, поэтому достаточно построить один график зависимости />. В таблице приведены результаты расчета />.
t
τ
2τ
3τ
4,6τ → ∞
/> 1 0,368 0,135 0,05 0,01 → 0
На рисунке 13 показаныграфики функций /> для разных значений τ:
/>
Рис. 13
Данный графикпредставляет собой экспоненту, убывающую с ростом времени t. Важно заметить, что за промежутоквремени τ значения экспоненты уменьшаются в е = 2,718… раз,причем такое убывание характерно для любого участка экспоненты.
4.2. Свободныепереходные процессы в цепи с индуктивностью
Пусть через индуктивностьL протекает ток I0, т. е. при />, />. В момент времени /> происходит коммутация –гасится источник (рис. 14).
/>
Рис. 14
За счет энергии,запасенной индуктивностью, происходит процесс свободных колебаний, пока всяэнергия не израсходуется на нагрев резистора R. Найдем временные зависимости тока в цепи инапряжений на элементах R и L, которые, как видно из рисунка 14,одинаковы.
Наосновании 1-го закона коммутации ток через индуктивность не может изменитьсяскачком, т. е. />, и в момент времени/>, />, то есть начальные условия ненулевые.
Рассматриваемая схема длямомента времени />, т. е. сразу жепосле коммутации, имеет вид, показанный на рисунке 15, при этом индуктивностьможно рассматривать как источник задающего тока.
/>
Рис. 15
Для нахождения законаизменения тока в цепи и напряжений на элементах R и Lвоспользуемся операторным методом, для чего индуктивность с током заменим однойиз эквивалентных схем замещения. Здесь удобнее использовать параллельную схемузамещения, при этом ток операторного источника тока соответствует начальномутоку через индуктивность. На рисунке 16 схема замещения индуктивности с токомвыделена пунктиром.
/>
Рис. 16
На основании правиладеления токов:
/>.
Задача в операторнойформе решена – получено выражение для преобразованного тока в цепи. Наосновании таблицы соответствий получим оригинал – временную зависимость тока врежиме свободных колебаний:
/>,
где τ = /> – постоянная времени цепи,имеющая размерность [с].
Так как uL = uR, то их временные зависимости такжеодинаковы. По закону Ома для оригиналов:
/>.
Таким образом, в цепи синдуктивностью в режиме свободных колебаний ток и напряжение на элементах R и L будут изменяться (как и в цепи с емкостью) поэкспоненциальному закону с постоянной времени τ = />. Физический смысл τтакой же, как и в цепи с емкостью. Постоянная времени зависит от параметровцепи R и L и влияет на крутизну экспоненты:
- при увеличении τ,что достигается уменьшением величины R или увеличением величины L, экспонента проходит положе – процесс затухания свободныхколебаний замедляется;
- при уменьшении τ,что достигается увеличением величины R или уменьшением L, экспонента проходит круче, и процесс затухания свободныхколебаний ускоряется.
При этом />, то есть скачок токаневозможен, а />, то естьнаблюдается скачок напряжения.
Тогда />.
Этот график представляетсобой убывающую экспоненту. Крутизна убывания определяется величиной постояннойвремени τ. Вид графика не отличается от ранее рассмотренного дляцепи с емкостью.
Время окончания свободныхколебаний зависит от постоянной времени цепи и определяется так же, как и дляцепи с емкостью:
tУСТ = (3/>4,6)τ.
Примечание: Постояннаявремени сложной цепи определяется по формуле, τ =/>, где R = RЭ – эквивалентное сопротивление, подключенное кэлементу индуктивности после совершения коммутации, то есть при />. Это сопротивлениенаходится как в обычной резистивной цепи.
В результате анализасвободных колебаний в цепи с одним реактивным элементом можно сделать общиевыводы.
1. Реакция (ток, напряжение) цепи наступенчатое воздействие, формируется путем отключения от цепи источникаэнергии, представляет собой экспоненциальную убывающую функцию вида:
/>.
Этосоответствует физическому смыслу: при отключении источника накопленная энергияубывает, она расходуется на нагрев активного сопротивления.
При анализе свободныхколебаний необходимо определить начальное значение реакции, используя законыкоммутации, начальные условия, постоянную времени цепи.
2. Закон изменения реакций справедлив идля сложных цепей, содержащих один реактивный элемент и несколько резисторов.
Библиографический список
1. Белецкий А. Ф. ТЛЭЦ: учебник для вузов. – М.:Радио и связь, 1986.
2. Шалашов Г. В. Переходные процессы в электрическихцепях.
3. Бакалов В. П. ТЭЦ: учебник для вузов. – М.: Радио исвязь, 1998