ИССЛЕДОВАНИЕУСТОЙЧИВОСТИ РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРОПРИВОДА ТПН-АД
1. Природа возникновения колебаний, виды и особенностиколебательных процессов
Одним из актуальных вопросов исследования динамическихрежимов работы электропривода «Тиристорный преобразователь напряжения –асинхронный двигатель» является исследование устойчивости ЭП. Как показалиэксперименты, в разомкнутых системах ЭП ТПН-АД с синхронизацией с напряжениемсети на рабочем участке механических характеристик, в ряде случаев, могутнаблюдаться устойчивые автоколебания выходных величин [4,40,42]. Колебания нарушают нормальную работу разомкнутыхсистем ЭП, усложняют расчет и настройку замкнутых систем, ухудшают качестворегулирования координат и энергетику ЭП.
Характер и количественные показатели колебательныхпроцессов весьма различны. Они зависят от множества параметров и факторов, вчисло которых можно включить
величину угла включения вентилей;
параметры АД;
моменты нагрузки на валу АД;
суммарный приведенный момент инерции электропривода;
начальные электромагнитные условия (НЭМУ);
начальную скорость АД;
схемотехническую конструкцию ТПН и способ синхронизациивентилей.
Это определяет задачу по разработке методов исследованияустойчивости разомкнутой системы электропривода ТПН-АД, а также оценки влиянияразличных факторов и параметров ЭП на вид и характер колебательных процессов.
Появление автоколебаний в разомкнутых системах ЭП ТПН-АД,возможно объяснить наличием положительной обратной связи между углом сдвигатока нагрузки и амплитудой первой гармоники выходного напряженияпреобразователя, а так же нелинейностью параметров электропривода.Колебательный процесс можно условно разделить на две категории — режимы «малых»и «больших» колебаний [4].
«Малые» колебания — это незатухающие гармоническиеколебания выходных параметров АД при условии, что скорость ротора изменяется впределах первого квадранта (не превышает синхронную, т.е. 0
/>
Особенности процессов в режиме больших колебанийпозволяют говорить о том, что их возникновение связано, не столько с изменениемскорости ротора и обменом энергии, сколько с колебательным движением ивзаимодействием между собой обобщенных векторов напряжения сети и ЭДС обмотокстатора, а так же потокосцеплений статора и ротора.
Вторая категория – это режим больших колебаний (рис 3.2).В данном случае скорость двигателя может превысить синхронную, а областьколебаний охватывает первый и второй квадранты.
2. Методика исследования устойчивости разомкнутой системыэлектропривода ТПН-АД
Динамические свойства асинхронных двигателей. Реальныепереходные процессы асинхронного электропривода сопровождаются изменениемскорости двигателя. Однако, в ряде случаев, полезно использовать результатырешения системы дифференциальных уравнений асинхронной машины при постояннойскорости ее вращения. Расчетная структурная схема разомкнутой системыэлектропривода ТПН-АД изображена на рис.3.3 [10, 40]./> />
Рис. 3.3.Расчетная структурная схема разомкнутой системы ЭП ТПН-АД
Характерной особенностью приведенной схемы являетсяприменение зависимости фазы тока не от скольжения, а от текущего значенияскорости. При таком представлении выходные сигналы всех звеньев имеют прямуюзависимость от входных сигналов, а внутренний контур системы представляетположительную обратную связь. При математическом описании элементов структурнойсхемы выполняется учет их нелинейных свойств.
Асинхронный двигатель изображается тремя звеньями спередаточными функциями, которые обозначаются
/> –передаточная функция электромагнитной части АД;
/> –передаточная функция электромеханической части ЭП;
/> –передаточная функция звена внутренней обратной связи, по углу нагрузки;
где Кj- /> - переменная величина,зависящая от значения скорости;
JS– суммарный приведенный момент инерции ЭП.
Тиристорный преобразователь представлен усилительнымзвеном с коэффициентом усиления Ктп, который при переходе к приращениямопределяется [9]
/>, (3.1)
в точке, определяемой углом управления a и скольжением s.
Существенная нелинейность, вводимая вентилями учитываетсяза счет аппроксимации выходного напряжения ТПН. Уравнения амплитуды напряженияпервой гармоники U1, полученные в процессе идентификации имеют вид [3]
/> (3.2)
с учетом рекомендуемых ограничений
/>
Фаза тока определяется по эквивалентным значениямактивных и реактивных составляющих сопротивлений схемы замещения АД
/> (3.4)
где xэ, rэ — эквивалентные сопротивления асинхронногодвигателя для Т-образной схемы замещения, которые определяются по выражениям
/> (3.5)
Звено, характеризующее электромагнитную частьасинхронного двигателя, описывается на основании аналитического выражения,определяющего переходную составляющую электромагнитного момента АД, как реакциюна скачок входного напряжения [87]
/> (3.6)
Это выражение содержит девять составляющих, из которыхпервая – это установившееся значение момента, две — экспоненциальные, три — косинусные и три — синусные составляющие
/> (3.7)
/> (3.8)
/> (3.9)
/>(3.10)
/>(3.11)
/>(3.12)
/>(3.13)
/>(3.14)
/>(3.15)
Амплитуды Аi, частоты свободных колебаний Wi и постоянные временизатухания Ti экспоненциальных и периодических составляющих зависят отпараметров двигателя, значений скольжений ротора и характеризуются двумякоэффициентами затухания (a1,a2) и двумя базовымичастотами колебаний (w1,w2) [87]
/> (3.16)
Коэффициенты а и b находятся по выражениям
/> (3.17)
Коэффициенты А и В определяются
/> (3.18)
/> (3.19)
где r1, r2 — активные сопротивления статора и ротора АД,соответственно;
xs, xr, x0 – реактивные сопротивления, соответственно,статора, ротора и цепи намагничивания АД, определяемые по схеме замещения.
Нелинейные свойства АД учитываются за счет изменениявеличин сопротивлений xэ и rэ и, как следствие угла нагрузки jэ.
Рассмотрим свойства двигателей при скольжениях вдиапазоне 0 £ s £ sк, т.е. на рабочемучастке механической характеристики.
На рис. 3.4 изображены графики составляющихэлектромагнитного момента при включении с нулевыми НЭМУ и номинальнымскольжением АД для нескольких четырехполюсных асинхронных двигателей серии 4Аразличных типоразмеров. Расчет значений графиков выполнялся при учете всехсоставляющих (3.7) -(3.15), при нулевых начальных электромагнитных условиях ипостоянном скольжении, равном номинальному. В табл. 3.1 приведены параметры, характеризующиекаждую из составляющих АД. Для экспоненциальных составляющих – это амплитуды иэлектромагнитные постоянные времени затухания, для косинусных и синусныхсоставляющих – это максимальные амплитуды, электромагнитные постоянные временизатухания и частоты свободных колебаний. Параметры АД приняты в соответствии сданными, приведенными в [21].
Приведенные результаты дают возможность проследитьхарактер изменения отдельных составляющих в зависимости от параметровэлектродвигателей. Так, амплитуды экспоненциальных и косинусных составляющихболее выражены у двигателей меньшей мощности. С ростом мощности АД онизначительно уменьшаются. Синусные составляющие, напротив, более сильнопроявляются с ростом мощности АД. Электромагнитные постоянные времени затуханияТi значительно зависят от параметров двигателей. Очевидно, что при постоянномскольжении постоянные времени затухания отдельных составляющих увеличиваются сростом номинальной мощности АД. Это подтверждает известный факт, что суммарныйэлектромагнитный момент маломощных двигателей гораздо раньше достигаетустановившегося значения. Важно отметить, что для двигателей всех типоразмеров,во всем диапазоне скольжений 4-ая и 7-ая периодические составляющиехарактеризуются максимальными постоянными времени затухания Т4, Т7 (см. табл.3.1) и, следовательно, определяют длительность затухания переходногоэлектромагнитного момента в целом.
Таблица 3.1
Параметры составляющих переходного момента при включенииасинхронных двигателей серии 4А с нулевыми НЭМУ и постоянным скольжением s = sнСоставляющая момента Характеризующие параметры Типоразмер асинхронного двигателя № Вид составляющей 4А80B4, 1,5 кВт 4А100L4, 4,0 кВт 4А132М4, 11 кВт 4А355S4, 250 кВт М1 Постоянная А1 = Муст 1,000 1,000 1,000 1,000 М2 Экспонен. А2, о.е. -8,369 -2,620 -1,285 -0,356 Т2, с 6,67×10-3 6,71×10-3 10,7×10-3 26,7×10-3 М3 Экспонен. А3, о.е. -3,184 -2,171 -1,029 -0,381 Т3, с 2,14×10-3 4,91×10-3 7,71×10-3 26,6×10-3 М4 Косинусная А4(max), о.е. 4,185 -0,542 -0,743 -1,023 Т4, с 13,33×10-3 17,41×10-3 21,43×10-3 53,47×10-3 W4, с-1 85,65 39,77 18,37 4,23 М5 Косинусная А5(max), о.е. -6,185 -1,458 -1,257 -0,976 Т5, с 4,28×10-3 10,43×10-3 15,41×10-3 53,02×10-3 W5, с-1 246,56 288,69 304,42 312,91 М6 Косинусная А6(max), о.е. 12,553 5,723 3,314 1,731 Т6, с 3,24×10-3 5,67×10-3 8,96×10-3 26,62×10-3 W6, с-1 -160,91 -248,91 -286,04 -308,69 М7 Синусная А7(max), о.е. -5,091 -6,923 -6,158 -5,844 Т7, с 13,33×10-3 17,41×10-3 21,43×10-3 53,47×10-3 W7, с-1 85,65 39,77 18,37 4,23 М8 Синусная А8(max), о.е. 5,091 6,923 6,158 5,844 Т8, с 4,28×10-3 10,43×10-3 15,41×10-3 53,02×10-3 W8, с-1 246,56 288,69 304,42 312,91 М9 Синусная А9(max), о.е. 5,091 6,923 6,158 4,844 Т9, с 3,24×10-3 5,67×10-3 8,96×10-3 26,62×10-3 W9, с-1 -160,91 -248,91 -286,04 -308,69 Параметры Г-образной схемы замещения (в относительных единицах) X0 1,9 2,4 3,2 4,6 R¢1 0,120 0,067 0,043 0,013 X¢1 0,078 0,079 0,085 0,090 R¢¢2 0,069 0,053 0,032 0,013 X¢¢2 0,120 0,140 0,130 0,130
Частоты свободных колебаний периодических составляющихмомента, также определяются сложной функцией параметров асинхронной машины.Физический смысл отрицательных частот свободных колебаний для 6-х и 9-хсоставляющих состоит в изменении направления вращения этих составляющихэлектромагнитного момента. Это выражается в том, что прямо и обратновращающиеся периодические составляющие находятся в противофазе, например М8 иМ9, изображенные на рис.3.4, б.
Представляет интерес также исследование зависимостейзначений базовых частот и коэффициентов затухания (постоянных времени) отскольжения АД. На рис. 3.5 приведены зависимости значений коэффициентовзатухания и базовых частот переходных моментов от скольжений для нескольких АД.На основании этих зависимостей можно утверждать, что условие a1 £ a2, выполняется для всех рассматриваемых АД.Поэтому, именно первый коэффициент затухания a1 определяет длительность электромагнитногопереходного процесса во всем диапазоне скольжений. С другой стороны, сувеличением мощности АД, при скольжениях, меньших определенного значенияхарактерного для данного типа двигателя, (например, для 4А355S4 при скольженияхменьших s
Переход от временных зависимостей (3.7) – (3.15) кпередаточной функции звена, описывающего электромагнитную часть АД, возможенпри помощи преобразования Лапласа [47]
/> (3.20)
где />–изображение переходной функции звена как суммы каждой из составляющих (3.7) –(3.15).
Например, переход от временной зависимости составляющейМ4 (затухающей косинусоиды) имеет вид
/>/> (3.21)
Передаточная функция звена, описывающая электромагнитнуючасть АД, с учетом всех девяти составляющих
/>
/>
/>
/>
где Аi, Тi, Wi – начальные значения амплитуд, постоянных времени затухания иугловых частот свободных колебаний составляющих переходного момента.
Передаточная функция разомкнутой системы электроприводаТПН-АД без учета внутренней обратной связи в имеет вид
/> (3.23)
Передаточная функция системы с учетом внутреннейположительной обратной связи по углу j
/> (3.24)
После преобразований (3.24) получим характеристическоеуравнение разомкнутой системы электропривода ТПН-АД, которое имеет вид
/>/> (3.25)
где а0 — а13 – коэффициенты уравнения, представляющиесобой алгебраические выражения, приведенные в приложении А.
Анализ устойчивости основывается на использованииалгебраического критерия Гурвица c применением средств ЭВМ [2, 46, 77]. Фрагменты расчетнойпрограммы приведены в приложении А. Результаты исследования иллюстрирует рис.3.8(а, в, д, ж), где представлены семейства механических характеристик дляасинхронных двигателей серии 4А: 4А80B4, 4А100L4, 4А132М4, 4А355S4, собозначением областей неустойчивой работы, построенных на основании изложеннойрасчетной методики (JS= Jдв, нулевые НЭМУ). Также, на рис.3.8 (б, г, е, з) приведены характеристики,рассчитанные при помощи модели электропривода ТПН-АД с СН. Осуществлялся пускАД с заданным моментом нагрузки и углом управления ТПН, и при достиженииустановившегося режима работы выявлялось наличие или отсутствие автоколебанийскорости АД в каждой из точек характеристики. В разомкнутой системе ЭП ТПН-АД сСТ колебания отсутствуют для всех исследуемых АД, что подтверждает предыдущиеисследования [9].
3. Оценка влияния на устойчивость параметров ЭП
Как показывают результаты исследований, у асинхронныхдвигателей, работающих в составе разомкнутой системы ЭП ТПН-АД с СН отпараметров ЭП зависит не только характер колебаний, но и само их наличие. Этоопределяет основную задачу — на основании расчетной методики и результатовмоделирования оценить динамические свойства АД и влияние параметров асинхронныхдвигателей на устойчивость электропривода ТПН-АД.
Рассмотрим семейство четырехполюсных электродвигателейсерии 4А обычного исполнения мощностью 0,25…250 кВт. Известно, что приувеличении суммарного момента инерции системы область устойчивой работыувеличивается и наоборот. Для двигателя 4А355S4, 250 кВт не удалось выявить ниодной точки где существуют автоколебания, что показано на рис. 3.8, з. Суменьшением мощностей асинхронных двигателей, и как следствие моментов инерции,появляется и увеличивается зона неустойчивой работы (см. рис.3.8, е и 3.8, г).Это наблюдается для электродвигателей мощностью 1,5кВт (рис.3.8, б) и более.Вместе с тем, при рассмотрении ЭП с электродвигателями мощностью менее 1,5 кВтнаблюдается обратная картина – зона неустойчивой работы уменьшается с уменьшениеммощностей АД (см. рис.3.10, а и 3.10, б ), а для электродвигателя 4АА63А4, 0,25кВт она вовсе отсутствует [28].
Это явление может быть объяснено тем, что вдействительности, устойчивость системы определяется не абсолютным значениемсуммарного момента инерции ЭП, а влиянием его относительной величины нахарактер переходного процесса АД. Это влияние может быть выражено отношениемэлектромеханической постоянной времени Тм к электромагнитной постоянной временичетвертой переходной составляющей электромагнитного момента — Т4 (3.10), (3.16- 3.19). При линеаризации механической характеристики в области 0
/> (3.26)
где JS– суммарный приведенный момент инерции, кг×м2.
/> />
4. Алгоритм модели электропривода ТПН-АД
5. Методы решения дифференциальных уравнений ЭП
Математическая модель ЭП представляет собой системуалгебраических, дифференциальных и логических уравнений. Как правило, системасодержит уравнения преимущественно первого порядка. К ним можно отнестиуравнение Даламбера, выражение электромагнитного момента. Решениедифференциальных уравнений предусматривает применение численных методов,основанных на разложении в ряд Тейлора.
Одношаговые методы, к которым относятся методыРунге-Кутта, предусматривают определение значения искомой функции на основаниирешения, найденного для одного предыдущего шага, а для первого шага – наосновании начальных условий. Наиболее предпочтительным для решения текущихзадач является метод Рунге-Кутта четвертого порядка, предполагающий разложениеи учет пяти членов ряда Тейлора. В сравнении с методами более низкого порядка,при одинаковом шаге интегрирования — h, метод Рунге-Кутта четвертого порядкаобеспечивает наибольшую точность вычисления. Он наиболее часто используется ирекомендуется многими исследователями.
Расчетное рекуррентное выражение по методу Рунге-Куттачетвертого порядка имеет вид
/> (2.43)
где
/>(2.44)
Шаг интегрирования h устанавливается для каждой решаемойзадачи индивидуально, но не должен составлять более 1/10 постоянной времениэлемента ЭП, характеризующегося наименьшей инерционностью. При применениибыстродействующих программных и аппаратных средств вычислительной техники дляповышения точности расчетов, следует уменьшать шаг интегрирования до значений,соответствующих 1000 и более расчетных точек за период напряжения источникапитания.
Выводы
Усовершенствована методика исследования устойчивостиразомкнутой системы электропривода ТПН-АД, сочетающая аналитические способыисследования с численными методами. Методика является универсальной, учитываетнелинейности АД и может применяться для широкого ряда двигателей.
Получена передаточная функция электромагнитной частиасинхронного двигателя, которая характеризует переходную функцию при учете всехдевяти составляющих электромагнитного момента двигателя.
Выполнено исследование динамических свойств асинхронныхдвигателей в разомкнутой системе электропривода ТПН-АД с СН. Вид, характер исамо наличие неустойчивых режимов работы АД полностью зависит от параметровэлектропривода и начальных электромагнитных условий, что было проиллюстрированона характерных примерах.
В области рабочих скольжений неустойчивым режимам работынаиболее подвержены ЭП с асинхронными двигателями средней мощности. В каждомсемействе асинхронных двигателей серии 4А существует «граничный» АД с которымэлектропривод обладает максимальной зоной неустойчивой работы, тогда как прииспользовании двигателей большей или меньшей мощности, зона неустойчивой работыуменьшается.