--PAGE_BREAK--| | |
| | | | |
| Жидкий | | 21 | 2,0 |
| кислород | то же | 91 | 13,0 |
-----------------------------------------------------------------
Коэффициент поверхностного натяжения… падает с ростом температуры и практически не зависит от давления. Поверхностное натяжение может быть существенно снижено с помощью поверхностно-активных веществ, к числу которых относятся моющие средства.
Величина… может служить мерой свободной энергии, которой обладает граница раздела:
...
где… — площадь свободной поверхности.
В этом случае
...
что согласуется с ранее указанной размерностью.
Существование поверхностного натяжения должно приводить к возникновению на криволинейной поверхности перепада давлений, которые будут зависеть от конкретной геометрии поверхности.
Для объяснения этого факта рассмотрим равновесие элемента неплоской поверхности с линейными размерами… и… и главными радиусами кривизны… и… соответственно.
...
...
Равнодействующие сил поверхностного натяжения, действующих на границе выделенного контура, равны… и ..., а возникающая вследствие этого сила, действующая по нормали к выделенной площадке, в первом приближении равна
...
С учётом того, что
...
имеем выражение для силы
...
Эта величина, очевидно, и есть скачок давления на поверхности раздела двух сред, обусловленный поверхностным натяжением.
Обозначив теперь через… и… давление в средах на границе раздела из условия равновесия элементарной площадки, запишем соотношение
...
которое называется формулой Лапласа.
Для цилиндрических поверхностей с круговым поперечным сечением радиуса… имеем… = ...,… =… и формула Лапласа принимает вид:
...
В случае сферических поверхностей… =… =… и тогда получаем:
...
Если радиус сферической полости мал, то давления, развиваемое поверхностным натяжением, могут стать значительными.
...
...
Весьма характерной является система газ — жидкость — твёрдая стенка. В этом случае вводят значение краевого угла (угла … или угла смачивания).
Характерные значения краевых углов приведены в таблице
Таблица
|
Тв. вещества|
Жидкость
| Кр. угол, град | | | |
|
|
|
|
Сталь | | |
Сталь |
Вода
Жидкий водород
Жидкий кислород
Ртуть
| 70 — 90 |
| 0 |
| 0 |
| 128...148 |
Если ... , жидкость называется смачивающей, если ...
— несмачивающей.
Высота подъёма или опускания жидкости в капиляре определяется с помощью соотношения
...
где… — диаметр капиляра, а… — угол смачивания.
Уравнение состояния воды. Адиабата Тэйда
Опыт показывает, что между основными параметрами, характеризующими состояние газа (давление, плотность, температура) существует определённая зависимость.
Уравнение
...
устанавливающее связь между этими параметрами, называется уравнением состояния.
Поэтому состояние любого газа определяется двумя параметрами (например, плотностью и температурой), так как третий параметр (давление) можно найти из уравнения состояния.
Для идеального газа уравнение состояния можно представить в виде
...
где ... — газовая постоянная, зависящая от
относительной молекулярной массы…. Для воздуха… = 29,
… = 287… .
Существенное отклонение свойств воздуха от свойств идеального газа наблюдается при высоких давления и низких температурах. На состояние газа влияют такие процессы, как диссоциация и… .
Уравнение состояния воды
Пусть в равновесном состоянии справедливо уравнение
. Тогда при малых отклонениях параметров Р и Т от… и… уравнение состояния воды в линейном приближении можно записать в форме, предложенной Буссинеском:
...
где — коэффициент изотермической сжимае-
мости
— коэффициент теплового расширения При температуре 293 К
...
Зависимость… от давления весьма стойкая.
Адиабатические процессы, характеризующиеся отсутствием внешнего подвода или отвода тепла, протекают в воде практически при постоянной температуре. Это объясняется особенностью молекулярного строения жидкости. Ввиду большой плотности упаковки молекулы жидкости помимо обмена импульсами в ... движении испытывают дополнительные силы отталкивания. При сжатии жидкости даже без нагревания развивается большое внутреннее давление нетеплового происхождения. Изменение давления происходит только в результате давления происходит только в результате изменения его механической компоненты.
В случае значительных изменений давления связь между плотностью и давлением становится существенно нелинейной. Наиболее широкое распространение получило эмпирическое уравнение ...
, которое носит название уравнения Тэйда:
...
где С и… — константы ( С… 3200… Па,… = 7.15).
Уравнение Тэйда устанавливает зависимость плотности только от давления. Это означает, что оно описывает баротропный процесс.
Тема 3
Кинематика течений жидкости
1. Два подхода к описанию движения сплошной среды.
Переменные Эйлера и Лагранжа.
2. Траектория. Линия (поверхность) тока.
3. Кинематика вихрей. Циркуляция скорости.
Кинематикой называется раздел механики, изучающий движение материальных тел в пространстве с геометрической точки зрения без выяснения причин его возникновения. Все кинематические величины, характеризующие движение твёрдого тела и движение отдельных точек (расстояния, скорости, ускорения и т.д.), рассматриваются как функции времени.
1. Два подхода к описанию движения сплошной среды.
Переменные Эйлера и Лагранжа
Для описания движения сплошной среды возможны два подхода. Один из них называется лагранжевым, другой — эйлеровым.
Лагранжев метод описания движения относится к типу отсчётных. В некоторый (начальный) момент времени… каждая из жидких частиц маркируется путём присвоения ей значения координат в данный момент времени.
В трёхмерном пространстве введём обозначения
...
В дальнейшем прослеживается движение каждой частицы индивидуально. При таком подходе положение частицы в каждый момент времени
... будет зависеть от параметров а, б, с и ..., которые назы-
ваются переменными Лагранжа. Можно записать, что вектор положения
жидкой частицы равен
...
Скорость жидкой частицы выразится через производную радиус-вектора
...
а ускорение через производную скорости
...
В последних двух формулах при дифференцировании параметры а, б, с являются постоянными,… и… являются только функционалами времени и в этом случае энергии дифференцирования… и… тождественны.
Эйлеров метод описания движения относится к типу пространственных. В каждой точке пространства с координатами… изучаются параметры движения в различные моменты времени…. Таким образом, скорость жидкости в различных точках пространства должна быть функцией четырёх переменных ... , называемых переменными Эйлера,
...
а её дифференциал
...
В движущейся среде приращения ... не ...
независимыми, а соответственно равны
...
Поэтому справедливо равенство
...
где
...
Это означает, что полное ускорение… индивидуальной жидкой частицы, находящейся в момент времени… в точке пространства
с координатами ... , состоит из двух частей: локального ускоре-
ния ... , обусловленного изменением скорости во времени в данной
точке, и конвективного ускорения ... , обусловленного неоднородностью поля скоростей в окрестности данной точки и связанного с этим обстоятельством конвективного переноса.
Производная ... носит название индивидуальной или субстанциональной производной.
Если ... , поле скоростей стационарно, однако это ещё
не означает, что в жидкости отсутствуют ускорения. Стационарность
или нестационарность поля скоростей зависит от выбора системы координат.
Если ... = 0, поле скоростей однородно.
2. Траектория. Линия (поверхность) тока
Траекторией жидкой частицы называется геометрическое место точек пространства, через которое частица последовательно проходит во времени.
В переменных Лагранжа траекторию определяет уравнение
...
Если задача решена в переменных Эйлера, то известно поле скоростей ... и траекторию следует находить путём решения дифференциального уравнения
...
с начальным условием: при ... .
Линией тока называется линия, в каждой точке которой в каждый момент времени скорость направлена по касательной к этой линии.
В векторной форме условие тангенциальности можно записать в виде
...
В проекциях на оси координат получим систему уравнений
...
которую можно переписать также в виде
...
Время здесь является фиксированным параметром.
В стационарном случае траектория и линия тока совпадают. В нестационарных течениях траектории отличаются от линий тока.
Поверхность тока определяется как поверхность, в каждой точке которой в фиксированный момент времени вектор скорости лежит в касательной плоскости. Такую поверхность можно образовать, например, путём проведения через замкнутую кривую непрерывной совокупности линий тока. В этом случае говорят о трубке тока.
2. Кинематика вихрей
Рассмотрим вектор вихря скорости, который определяется соотношением
...
называемый иногда вектором завихренности.
Линии в потоке жидкости, в каждой точке которой вектор вихря скорости является касательным к данной линии, называются вихревыми линиями.
...
...
Обобщение данного понятия на поверхность (вектор вихря в каждой точке поверхности должен лежать в касательной плоскости) даёт понятие вихревой поверхности или вихревого слоя.
Совокупность вихревых линий, проведенных через замкнутый контур, образует вихревую поверхность, а жидкость, заключённая внутри вихревой поверхности, — вихревую трубку.
Интенсивность вихревой трубки удобнее выразить через циркуляцию вектора скорости Г.
В общем случае Г определяется как
...
где… — вектор перемещения вдоль произвольного контура, соединяющего точки А и Б.
Если контур замкнут, то
...
Тема 4
Система уравнений гидростатики.
Динамика течений невязкой (идеальной) жидкости
1. Уравнение неразрывности.
2. Уравнение Эйлера.
3. Уравнение адиабатического движения жидкости.
4. Уравнения Эйлера в форме Громеки.
5. Гидростатика.
6. Уравнение Бернулли.
Система уравнений, описывающих течение жидкостей и газов, основывается на фундаментальных законах сохранения. К ним относятся законы сохранения массы, количества движения, энергии.
Уравнения записываются в интегральной или дифференциальной форме в зависимости от типа решаемой задачи.
Рассмотрим систему уравнений, которая описывает динамику течений невязкой (идеальной ) жидкости.
Идеальной называется жидкость, у которой нет трения, т.е. жидкие элементы, могут свободно перемещаться в касательном направлении один относительно другого. В такой жидкости отсутствует теплообмен между различными её участками, а тангенциальные и нормальные силы внутреннего трения не возникают.
В идеальной жидкости существуют силы только нормального давления, однозначно определяемые её плотностью и температурой. Идеальная жидкость — абстракция, которой можно пользоваться на практике, если скорости изменения деформации в жидкости малы. Поскольку касательные напряжения связаны с понятием вязкости, можно утверждать, что идеальная жидкость — это невязкая жидкость.
Движение идеальной жидкости будем рассматривать в поле сил, характеризуемых объёмной плотностью на единицу объёма жидкости.
1. Уравнение неразрывности
Вывод основных гидродинамических уравнений начнём с вывода уравнения неразрывности, выражающего закон сохранения в гидродинамике.
Математическое описание состояния движущейся жидкости осуществляется с помощью функций, определяющих распределение скоростей… и каких-либо двух термодинамических величин, например,… — давления и… — плотности.
Скорость, давление и плотность жидкости будем относить к данным точкам пространства, а не к определённым частицам жидкости, передвигающимся во времени и в пространстве. То есть будем пользоваться переменными Эйлера.
...
...
Рассмотрим некоторый объём… пространства. Количество (масса) жидкости в этом объёме есть
...
Через элемент поверхности ..., ограничивающей рассматриваемый объём, в единицу времени протекает количество… жидкости.
Вектор… по абсолютной величине равен площади элемента поверхности и направлен по внешней нормали к ней. Тогда… положительно, если жидкость вытекает из объёма, и отрицательно, если жидкость втекает в него.
Полное количество жидкости, вытекающей в единицу времени из объёма ...
...
где… — поверхность, ограничивающая выделенный объём… .
С другой стороны, уменьшение количества жидкости в объёме… можно записать в виде
...
Приравнивая оба выражения, получаем:
...
Интеграл по поверхности преобразуем в интеграл по объёму
...
Таким образом,
...
Поскольку это равенство должно иметь место для любого выделенного объёма, то должно быть равным нулю подынтегральное выражение, т.е.
...
Получили уравнение неразрывности.
... выражение ... можно записать
...
В декартовых координатах
...
Вектор
...
называют плотностью потока жидкости.
Его направление совпадает с направлением движения жидкости, а абсолютная величина определяет количество жидкости, протекающей в единице времени через единицу площади, расположенной перпендикулярно к скорости.
2. Уравнения Эйлера
Выделим в жидкости конечный объём. Полная сила, действующая на выделенный объём жидкости, равна интегралу
...
взятому по поверхности рассматриваемого объёма. Преобразуем его в интеграл по объёму, имеем
...
Отсюда видно, что на каждый элемент объёма… жидкости действует со стороны окружающей его жидкости сила — …. Тогда на единицу объёма жидкости действует сила… .
Мы можем теперь написать уравнение движения элемента объёма жидкости, приравняв силу ... произведению массы… единицы объёма жидкости на её ускорение
... (1)
Стоящая здесь производная… определяет не изменение скорости жидкости в данной неподвижной точке пространства, а изменение скорости определённой передвигающейся в пространстве частицы жидкости. Эту величину необходимо выразить через величины, относящиеся к неподвижным в пространстве точкам.
Изменение скорости… данной жидкой частицы в течение времени… складывается из двух частей:
— из изменения скорости в данной точке пространства в течение времени ...
— и из разности скоростей (в один и тот же момент времени) в двух точках, разделённых расстоянием ..., пройденным рассматриваемой частицей в течение времени… .
Первая из этих частей равна
...
где производная берётся ... при постоянных ...,
т.е. в заданной точке пространства.
Вторая часть изменения скорости равна
...
Таким образом,
...
или, разделив обе скорости равенства на ...
...
Подставив полученное соотношение в (1), получим
...
Полученное уравнение движения жидкости — уравнение Эйлера (1755), и является одним из основных в гидродинамике.
Если жидкость находится в поле тяжести, то на каждую единицу её объёма действует ещё сила ... , где… есть ускорение силы тяжести. Эта сила должна быть прибавлена к правой стороне уравнения и уравнение принимает вид:
...
При выводе уравнений движения мы совершенно не учитывали процессов диссоциации энергии, которые могут иметь место в текущей жидкости вследствие внутреннего трения (вязкости) в жидкости и теплообмена между различными её участками.
Отсутствие теплообмена между отдельными участками жидкости означает, что движение происходит адиабатически. Таким образом, движение идеальной жидкости следует рассматривать как адиабатическое.
При адиабатическом движении энтропия каждого участка жидкости остаётся постоянной при перемещении последнего в пространстве. Обозначая… энтропию, отнесённую к единице массы жидкости, мы можем выразить адиабатичность движения уравнением
...
полная производная по времени означает изменение энтропии заданного перемещающегося участка жидкости. Эту производную можно записать в виде
...
Это есть общее уравнение, выражающее собой адиабатичность движения идеальной жидкости. С помощью уравнения неразрывности его можно написать в виде уравнения неразрывности для энтропии.
...
где ... — плотность потока энтропии.
Иногда это условие используют в более простой форме. Если в некоторый момент времени энтропия одинакова во всех точках объёма жидкости, то она остаётся везде одинаковой и неизменной со временем и при дальнейшем движении жидкости.
В этих случаях уравнение адиабатичности записывается в виде
...
Изэнтропичностью движения можно воспользоваться и представить уравнения Эйлера в другом виде. Из термодинамических соотношений известно
...
… — тепловая функция единицы массы жидкости,
... — удельный объём, Т — температура.
Поскольку ...., имеем просто
...
и поэтому
...
Уравнения Эйлера можно записать в виде
...
Воспользуемся известной формулой векторного анализа
...
уравнение Эйлера можно записать в другом виде
...
К уравнениям движения необходимо добавить граничные условия, которые должны выполняться на ограничивающих жидкость границах. Для идеальной жидкости это условие должно выражать собой просто тот факт, что жидкость не может проникнуть за твёрдую поверхность.
На неподвижных стенках это означает, что должна обращаться в нуль нормальная к стенке компонента вектора скорости:
...
3. Гидростатика
Для покоящейся жидкости, находящейся в однородном поле тяжести, уравнение Эйлера принимает вид
...
Это уравнение описывает механическое равновесие жидкости.
Если внешние силы вообще отсутствуют, то уравнения равновесия дают
...
т.е. ... .
— давление одинаково во всех точках жидкости.
Притом плоскость жидкости постоянна во всём объёме. Направим ось… вертикально вверх, имеем
...
Откуда
...
Если покоящаяся жидкость имеет свободную поверхность (на высоте ...), к которой приложено одинаковое во всех точках внешнее давление ..., то эта поверхность должна быть горизонтальной плоскостью ... .
...
...
Из условия ... при ... имеем
...
так что
...
4. Уравнение Бернулли
Уравнения гидродинамики заметно упрощаются в случае стационарного течения жидкости. Под стационарным (или установившимся) подразумевают такое течение, при котором в каждой точке пространства, занятого жидкостью, скорость течения остаётся постоянной во времени. Скорость… остаётся функцией только координат
...
...
Рассмотрим некоторые сведения о линиях тока. Линии тока это линии, касательные к которым указывают направление вектора скорости в точке касания в данный момент времени. Уравнения линий тока определяются системой дифференциальных уравнений
...
При стационарном движении жидкости линии тока остаются неизменными во времени и совпадают с траекториями частиц жидкости.
При нестационарном течении такое совпадение не имеет места:
— касательные к линии тока дают направление скорости разных частиц жидкости в последовательных точках пространства в определённый момент времени
— касательные к траектории дают направление скорости определённых частиц в последовательные моменты времени.
продолжение
--PAGE_BREAK--
Умножим уравнение Эйлера для стационарного потока жидкости на единичный вектор касательной к линии тока в каждой её точке… .
Проекция градиента на некоторое направление равна производной, взятой по этому направлению. Поэтому
...
Вектор ... перпендикулярен вектору скорости, и поэтому
его проекция на направление… равна нулю
...
Таким образом получаем
...
Откуда следует, что величина ... постоянна вдоль линии тока
...
Значение…, вообще говоря, различно для разных линий тока. Это уравнение называют уравнением Бернулли.
Если течение жидкости происходит в поле сил тяжести, то в правой части уравнений Эйлера есть ускорение силы тяжести… .
Выберем направление силы тяжести в качестве направления оси ..., причём положительные значения… отсчитываются вверх. Тогда проекция… на… есть
...
Соответственно этому будем иметь
...
Таким образом, уравнение Бернулли гласит, что вдоль линий тока остаётся постоянной длина
...
Тема 5
Потенциальные и несжимаемые течения
1. Сохранение циркуляции.
2. Потенциальное движение.
3. Несжимаемая жидкость.
1. Сохранение циркуляции скорости
Интеграл
...
взятый вдоль замкнутого контура, называют циркуляцией скорости вдоль этого контура.
Рассмотрим некоторый замкнутый контур, проведенный в жидкости в некоторый момент времени. Будем рассматривать его как «жидкий», составленный из находящихся на нём частиц жидкости. С течением времени контур перемещается.
Вычислим производную по времени от циркуляции скорости с учётом подвижности контура. Временное дифференцирование по координатам обозначим знаком ..., знак… — дифференцирование по времени. Будем учитывать, что меняются скорость и сам контур.
...
По определению скорость… это производная радиус-вектора ...
...
Интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала равен нулю и остаётся
...
Из уравнений Эйлера имеем
...
Применим формулу Стокса, получаем тогда (поскольку ........)
...
Таким образом, переходя к прежним обозначениям, находим окончательно:
... или ...
Мы приходим к результату, что в идеальной жидкости циркуляция скорости вдоль замкнутого контура остаётся неизменной со временем.
Это утверждение называется теоремой Томсона или законом сохранения циркуляции скорости. Соотношение получено путём использования уравнений Эйлера с использованием предположения об изэнтропичности движения жидкости.
Применим теорему Томсона к бесконечно малому замкнутому контуру… и преобразовав интеграл по теореме Стокса, получим:
...
где… — элемент поверхности, опирающейся на контур… Вектор… часто называется завихренностью течения жидкости в данной её точке. Постоянство произведения… ... можно использовать, сказав, что завихренность переносится вместе с движущейся жидкостью.
2. Потенциальное движение
Движение жидкости, при котором во всём пространстве
...
называется потенциальным (или безвихревым) в противоположность вихревому движению, при котором ротор скорости отличен от нуля.
Таким образом, мы пришли бы к выводу, что стационарное обтекание взятого тела натекающим из бесконечности однородным потоком
должно быть потенциальным. Поскольку на бесконечности натекающий
поток однороден, его скорость ... , так что… = 0 на всех
линиях тока.
Однако, ввиду наличия стенки нельзя провести в жидкости замкнутый контур, который охватывал бы такую линию тока.
...
...
В результате возникает картина течения, характеризующаяся наличием отходящей от тела «поверхности тангенциального разрыва», на которой скорость жидкости терпит разрыв непрерывности.
Как и всякое векторное поле с равным нулю ротором, скорость потенциально движущейся жидкости может быть выражена в виде градиента от некоторого скаляра, называемого потенциалом скорости ...
...
Напишем уравнения Эйлера в виде
...
и подставив в него ........, получаем
...
Откуда находим следующе равенство
...
где… произвольная функция времени. Это равенство представляет собой первый интеграл уравнений потенциального движения.
При стационарном движении имеем… = 0,… и интеграл переходит в уравнение Бернулли
...
Отметим существенные отличия между уравнениями Бернулли в случае потенциального и непотенциального движения.… в правой части этого уравнения есть величина, постоянная вдоль каждой линии тока, но вообще говоря, различная для разных линий тока.
При потенциальном же движении… в уравнении Бернулли есть величина, постоянная во всём объёме жидкости.
3. Несжимаемые жидкости
Для плоских течений жидкостей их плотность можно считать постоянной вдоль всего объёма жидкости в течение всего времени движения. Такое движение называется движением несжимаемой жидкости.
Общие уравнения гидродинамики для несжимаемой жидкости упрощаются. Уравнение неразрывности при… принимает простой вид
...
уравнения Эйлера не меняют своего вида, запишем их в виде
...
Для несжимаемой жидкости тепловая функция записывается следующим образом
...
Тогда уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости имеет вид
...
Особенно упрощается уравнение для потенциального течения несжимаемой жидкости.
При подстановке… в уравнение неразрывности… = 0, получим
...
то есть уравнение Лапласа для потенциала… .
Граничные условия. К этому уравнению должны быть добавлены граничные условия на поверхности соприкосновения жидкости с твёрдыми телами:
— на неподвижных твёрдых поверхностях нормальная к поверхности компонента… скорости жидкости должна быть равна нулю, для движущихся тел… должна быть равна проекции скорости движения тела на направление той же нормали.
С другой стороны, скорость… равна производной от потенциала… по направлению нормали
...
Таким образом, граничные условия гласят в общем случае, что… является на границах заданной функцией координат и времени.
При потенциальном движении скорость связана с давлением для несжимаемой жидкости соотношением
...
Если движение жидкости является потенциальным и вызвано движением некоторого тела то уравнение Лапласа не содержит явно времени, время входит в решение через граничные условия.
Из уравнения Бернулли… видно, что при стационарном движении несжимаемой жидкости вне поля тяжести наибольшее значение давления достигается в точках, где скорость обращается в нуль. Такая точка обычно имеется на поверхности обтекаемого жидкостью тела (точка О) и называется критической точкой. Если… — скорость набегающего на тело потока жидкости (скорость на бесконечности), а… — давление в критической точке равно
...
Если распределение скоростей в движущейся жидкости зависит только от двух координат, то о таком течении говорят как о двумерном или плоском. Для решения задач о двумерном течении несжимаемой жидкости иногда удобнее использовать функцию тока. Из уравнения неразрывности
...
видно, что компоненты скорости могут быть записаны в виде производных
...
от некоторой функции ... , называемой функцией тока. Уравнение неразрывности при этом удовлетворяется автоматически.
...
Зная функцию тока, можно непосредственно определить форму линий тока для стационарного движения жидкости. Дифференциальное уравнение линий тока
...
или
...
оно выражает условие параллельности касательной к линии тока и направления вектора скорости.
Подставляя сюда выражение для скоростей через функцию тока
...
откуда … Таким образом, линии тока представ-
ляют собой семейство кривых, получающихся приравниванием функции
тока ... постоянной.
Если между точками 1 и 2 в плоскости… провести кривую,
то поток жидкости… через эту кривую определится разностью значений функции тока в этих точках независимо от формы кривой.
Действительно, если… — проекция скорости на нормаль к кривой в данной точке, то
...
или
...
Мощные методы решения задач о простом потенциальном обтекании несжимаемой жидкостью различных профилей связаны с применением к ним теории функций комплексной переменной.
Тема 6
ГИДРОСТАТИКА
1. Силы, действующие на жидкость. Давление.
Единицы измерения давления.
2. Закон Паскаля.
3. Дифференциальное уравнение равновесия жидкости.
4. Виды давления ( барометрическое, абсолютное, избыточное, манометрическое ).
5. Приборы для измерения давления.
6. Сила давления жидкости на плоскую стенку.
7. Простейшие гидравлические машины.
8. Закон Архимеда.
9. Равновесие и остойчивость тел, полностью погруженных в жидкость.
1. Силы, действующие на жидкость. Давление.
Единицы измерения давления
Рассечем жидкость, находящуюся в объеме… (например, сосуде) некоторой поверхностью на две части I и II.
Рассмотрим жидкость в объеме I. Все, что окружает этот объем, отбросим (дно, боковые стенки и т.д.) и действие отброшенного заменим соответствующими силами. Эти силы называются поверхностными.
Кроме них на жидкость действуют еще массовые силы (силы тяжести и инерции), которые пропорциональны массе тела.
Выделим из жидкости некоторый объем. Возьмем на поверхности этого объема бесконечно малую площадку…. Hа эту площадку действует поверхностная сила…. Разложим эту силу на нормальную… и касательную ...
Hормальная сила, приходящаяся на единицу площади, называется давлением и обозначается буквой…, т.е.
...
Измеряется давление в ....
Сила трения (касательная сила), приходящаяся на единицу площади, обозначается буквой ..., т.е.
...
Сила трения обычно пропорциональна градиенту скорости…. Для жидкости, находящейся в равновесии (в покое), сила трения равна нулю, так как в этом случае… .
2. Закон Паскаля
Если в жидкости взять любую точку, то на основании основного уравнения гидростатики
...
давление в этой точке равно давлению, приложенному к
свободной поверхности, плюс ..., где… — глубина точки.
Таким образом
Закон Паскаля
Давление, приложенное к свободной поверхности, передается во все точки жидкости без изменения.
3. Дифференциальное уравнение равновесия жидкости
Запишем уравнение Эйлера
...
Если жидкость покоится
...
Дифференциальные уравнения равновесия жидкости в проекции на оси декартовой системы координат могут быть записаны так
...
Здесь… — проекции на оси… сил, действующих на единицу массы рассматриваемой жидкости.
Умножая давления соответственно на… и складывая их, получаем
...
Левая часть уравнения представляет полный дифференциал
...
следовательно, и правая часть должна быть также полным дифференциалом, для этого необходимо и достаточно, при постоянном ..., чтобы существовала функция… такая что
...
Имеем
...
Проинтегрировав, получим
...
где С — постоянная интегрирования.
Если в какой-либо точке известно давление… и постоянная функция ..., то ...
из интеграла имеем
...
В частности, когда жидкость находится в поле сил тяжести
...
Следовательно,
...
Уравнение для давления принимает вид
...
Свободная поверхность жидкости плоская…. При равновесии жидкости в поле земного тяготения поверхности уровня представляют собой горизонтальные плоскости.
Рассмотрим примеры.
Пример 1.
Определить уравнение свободной поверхности жидкости в сосуде, движущемся горизонтально с ускорением а.
Решение. Из нескольких сил на жидкость действуют сила тяжести и сила инерции, т.е.
...
Имеем
...
откуда
...
— уравнение прямой.
Следовательно, свободная поверхность представляет собой плоскость, наклоненную к горизонту под углом ..., который определяется из равенства
...
Пример 2. Определить уравнение свободной поверхности жидкости в сосуде, вращающемся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ...
Решение.
Вследствие трения о стенки сосуда жидкость будет вращаться с такой же угловой скоростью. Жидкость будет находиться в относительном покое. Поэтому при решении задачи применимы уравнения равновесия.
Из массовых сил на жидкость действует центробежная сила и сила тяжести. Центробежная сила, действующая на массу ..., находится на расстоянии… от оси вращения
...
Проекции силы на оси, отнесенные к единице массы, будут
...
Тогда
...
Откуда
...
т.е. свободная поверхность — параболоид вращения.
4. Виды давления ( барометрическое, абсолютное, избыточное, манометрическое )
Различают следующие виды давления: барометрическое, абсолютное, манометрическое и вакуумметрическое.
Барометрическое (или атмосферное) давление… зависит от места над уровнем моря и от погоды. За нормальное барометрическое давление принимают давление, равное 760 мм рт. ст., что соответствует 101325… С высотой барометрическое давление убывает. В глубоких шахтах барометрическое давление значительно больше, чем на уровне моря.
Давление, вычисляемое по соотношению
...
называется абсолютным.
Аналогичное давление в точке равно сумме внешнего поверхностного и весового давления.
Если к свободной поверхности приложено барометрическое давление ..., то есть… и основное уравнение гидростатики перепишем так
...
Давление
...
носит название манометрического или избыточного. Таким образом, манометрическим давлением называется разность между абсолютным давлением… и барометрическим ..., если ...
Если в данной точке жидкости абсолютное давление меньше барометрического, то разность между барометрическим и абсолютным давлениями называется вакуумметрическим давлением ...
Итак, если…, то
...
Абсолютное давление… отрицательным быть не может, поэтому вакуумметрическое давление не может быть больше барометрического.
5. Приборы для измерения давления
Приборами для измерения барометрического давления служат барометры различных конструкций.
Для измерения манометрического давления служит манометр. Манометрическое давление можно измерить высотой столба жидкости. Сосуд наполнен жидкостью с плотностью…. Давление на свободной поверхности ...
Пусть необходимо измерить давление на уровне 1-1. Если на этом уровне сделать отверстие и присоединить к нему стеклянную трубку П, то жидкость в этой трубе поднимется под действием давления на некоторую высоту… По основному уравнению гидростатики
...
откуда
...
Этой высотой… поднятия жидкости в трубке П можно измерять манометрическое давление. Трубка П называется пьезометром.
Hайдем соотношение между 1 ..., 1 м вод. ст. и 1 мм рт. ст.
При высоте вод. столба… = 1 м давление
...
При высоте ртутного столба… = 1 мм давление
...
Для измерения вакуумметрического давления применяется вакуумметр. Допустим, что требуется измерить вакуумметрическое давление воздуха в сосуде ..., т.е. величину ..., где… — абсолютное давление в сосуде.
Присоединим к сосуду изогнутую трубку, опущенную в жидкость. Применяя основное уравнение гидростатики для точки, расположенной в трубке на уровне свободной поверхности жидкости в резервуаре, получим
...
Так как
..., то
...
Вакуумметрическому давлению будет соответствовать высота подъема… жидкости в изогнутой трубке над уровнем в резервуаре.
6. Сила давления жидкости на плоскую стенку
Гидростатическое давление представляет собой систему параллельных сил, действующих в одну сторону и перпендикулярных к плоскости стенок.
Такая система приводится к одной силе — равнодействующей, равной арифметической сумме всех сил и приложенной в центре параллельных сил. Для определения равнодействующей давлений, приложенных к площадке ..., плоскость которой… наклонена к горизонту под углом ..., возьмем начало координат в плоскости приведенного уровня на линии пересечения с плоскостью площадки, приняв линию пересечения за ось… на направив ось… вертикально вниз, кроме того в плоскости площадки возьмем вспомогательные оси… и ..., совместив… и… .
...
Последний интеграл равен площади площадки ..., умноженной на координату центра тяжести… .
...
Произведение… выражает объем цилиндрического столба с основанием… и высотой… и мы приходим к выводу, что давление тяжелой жидкости на плоскую площадку измеряется весом цилиндрического столба этой жидкости, который был бы расположен над площадкой, если бы она лежала горизонтально на глубине своего цента… .
Сосуды различной формы, но с одинаковой площадью дна, наполненные жидкостью на одну и ту же высоту H, имеют одинаковую силу давления на дно.
7. Простейшие гидравлические машины
Жидкости практически несжимаемы и равномерно передают давление по всему объему. Это свойство широко используется в различных отраслях техники (гидроприводы, гидроавтоматика, гидравлические тормоза, усилители и т.д.).
Принцип их работы основан на следующем: имеются два соотносящиеся между собой цилиндра разного диаметра.
Приложим к поршню меньшего из цилиндров какую-то внешнюю силу ..., мы тем самым создаем на поверхности жидкости давление
...
Это давление равномерно передается во все точки пространства, заполненного жидкостью. Тогда на поршень большего цилиндра будет действовать сила
...
Таким образом, чем больше разняться между собой площади поперечного сечения цилиндров, тем большую силу мы будем получать в таких гидравлических устройствах.
8. Закон Архимеда
Определим силу давления жидкости на погруженное тело А объемом ...
Представим, что в жидкости выделен объем, точно такой же, как и тело А. Этот объем жидкости находится в равновесии под действием двух сил:
1) силы давления жидкости… на поверхность выделенного объема,
2) силы тяжести жидкости, равной… и направленной вертикально вниз.
Следовательно, сила… равна силе тяжести выделенного объема жидкости, направленная в обратную сторону, то есть вертикально вверх, и приложена в центре объема, т.е. в той же точке, в которой приложена сила тяжести выделенного объема жидкости.
Точка… называется центром водоизмещения.
Закон Архимеда.
Сила давления жидкости на погруженное в нее тело приложена в центре водоизмещения, направлена вертикально вверх и равна силе тяжести жидкости, вытесненной телом.
...
Сила… называется архимедовой силой,… — объемным водоизмещением, а… — водоизмещением.
9. Равновесие и остойчивость тел, полностью погруженных в жидкость
Если сила тяжести… тела А больше архимедовой силы ..., то равнодействующая этих сил (… и… ) направлена вниз и заставляет тело опускаться на дно. Таким образом, если ..., тело тонет.
Если сила тяжести… тела меньше архимедовой силы ..., то равнодествующая этих сил (… и...) направлена вертикально вверх и заставляет тело подняться на поверхность. При выходе части тела из жидкости сила давления на оставшуюся погруженную часть тела соответственно уменьшается, благодаря чему уменьшается и величина направленной вверх равнодействующей, заставляющей тело всплывать, в результате при некотором частичном погружении тела устанавливается равновесие и тело оказывается плавающим на поверхности жидкости.
Таким образом при… тело всплывает на поверхность жидкости.
Для того, чтобы тело не опускалось на дно и не всплывало, необходимо, чтобы… .
Остойчивостью плавающего тела называется его способность возвращаться в первоначальное положение равновесия после приращения силы, вызвавшей крен.
Возможны три случая
1) центр тяжести С лежит ниже центра водоизмещения ...,
2) центр тяжести С находится выше центра водоизмещения ...,
3) центр тяжести С совпадает с центром водоизмещения ....
В первом случае равновесие остойчивое, так как при… возникает пара сил, стремящаяся вернуть тело в первоначальное положение.
Во втором случае равновесие неустойчивое, в третьем -
Тема 7
Анализ и применение уравнения Бернулли
1. Уравнение неразрывности в гидравлике. Расход.
2. Анализ уравнения Бернулли.
3. Энергетический смысл уравнения Бернулли.
4. Предел применимости уравнения Бернулии.
5. Примеры применения уравнения Бернулли.
5.1. Расходомер Вентури.
5.2. Измерение скорости (Трубка Пито).
5.3. Кавитация.
5.4. Формула Торичелли.
6. Уравнение неразрывности в гидравлике. Расход.
1. Расход. Уравнение неразрывности в гидравлике
Рассмотрим установившийся поток между живыми сечениями 1,2.
Живым сечением называется поверхность в пределах потока, проведенная параллельно к направлению струек. За единицу времени через живое сечение 1 в рассматриваемый объем жидкости
…
где… — площадь живого сечения,… — средняя скорость в сечении.
Через живое сечение 2 за это время вытекает объем жидкости ...
где… — площадь живого сечения 2,… — средняя скорость в
сечении 2.
Поскольку форма объема 1-2 с течением времени не изменяется, жидкость несжимаемая, объем жидкости… должен равняться объему вытекающему ...
Поэтому можно записать
…
Это уравнение называется уравнением неразрывности
Из уравнения неразрывности следует, что
…
Средние скорости обратно пропорциональны площадям соответствующих сечений.
продолжение
--PAGE_BREAK--
2. Анализ уравнения Бернулли
Запишем уравнение Бернулли для установившегося движения идеальной сжимаемой жидкости при условии ее баротропности (...) в поле массовых сил
…
проинтегрировав
…
Для потенциального течения константа уравнения Бернулли постоянна для всей области течения. При вихревом движении идеальной жидкости константа С в интеграле Бернулли сохраняет последнее значение только для данной вихревой линии, а не для всего пространства, как при безвихревом течении.
Уравнение Бернулли является одним из основных в гидрогазодинамике, так как определяет изменение основных параметров течения — давления, скорости и высоты положения жидкости.
Проинтегрируем дифференциальное уравнение Бернулли для конечного участка струйки 1-2
...
Интеграл… выражает работу… т.е. работу сил давления по перемещению килограмма жидкости из области 1 с давлением… в область 2 с давлением… .
а) ... б)
изохорный процесс
В зависимости от типа процесса (термодинамического) который совершает жидкость, то есть от вида зависимости ...
Рассмотрим изобарный ....
...
изохорный процесс ...
...
Для несжимаемой жидкости при течении без обмена механической работой с внешней средой, получим, при… из уравнения Бернулли
...
или умножив на ...
...
или разделив на ...
...
где константы имеют следующий физический смысл:
С — полная механическая энергия массы жидкости объемом в кубический метр или полный напор,
… или Па,
… — полная механическая энергия ...,… жидкости или полный напор в метрах столба данной жидкости.
Все три величины имеют одинаковый физический смысл, поэтому в учебной и технической литературе можно встретиться с тем, что любой из них присваивают название полного напора.
Составляющие полной механической энергии жидкости наиболее наглядно изображаются и измеряются в метрах столба жидкости,
… — потенциальная энергия положения жидкости,
отсчитываемая от произвольно выбранной… плоскости, или
геометрический напор, ..., Па, м;
… — потенциальная энергия или гидростатический напор, ..., Па, м;
… — кинетическая энергия жидкости или скоростной (для жидкостей) напор, ..., Па, м.
Пьезометрический напор… может измеряться от полного вакуума… или, например, от давления окружающей среды. В обеих частях равенств должно подставляться абсолютное или избыточное давление.
Hачало отсчета энергии произвольно, но должно быть одинаково для обеих частей равенств.
...
3. Энергетический смысл уравнения Бернулли
Заключается в утверждении закона сохранения полной механической энергии единицы массы несжимаемой жидкости.
а) при потенциальном течении для любой точки пространства,
б) при вихревом — только вдоль вихревой линии тока и элементарной струйки.
Этот закон иногда формулируется в виде теоремы трех высот — в приведенных условиях сумма трех высот — геометрической,
пьезометрической и динамической сохраняет неизменное значение. При этом составляющие полной энергии могут
взаимопревращаться.
Следует иметь в виду, что изменение кинетической энергии несжимаемой жидкости вдоль элементарной струйки… не может задаваться произвольно: в соответствии с уравнением неразрывности это изменение однозначно определяется изменением площади поперечного сечения канала
...
Течение в горизонтальной струйке имеет большое практическое значение, оно реализуется в… двигателей, уравнение Бернулли при ...
...
Итак, увеличение скорости несжимаемой жидкости в горизонтальной элементарной струйке всегда сопровождается уменьшением давления, а уменьшение скорости — увеличением давления вплоть до… при… Поэтому скоростной напор широко используется, например, для подачи воды в систему охлаждения, разрушения горных пород и т.д.
В связи с тем, что скорость несжимаемой жидкости может уменьшаться только вследствие изменения площади сечения, приходим к важному выводу о том, что картина линий тока при течении несжимаемой жидкости однозначно определяет не только изменение скорости, но и статического давления: при сгущении линий тока давление уменьшается, при расширении — увеличивается. Это правило широко используется при анализе движения жидкости и ее взаимодействии с телами.
4. Предел применимости уравнений неразрывности и
Бернулли.
При течении жидкости по каналу при постоянстве ..., и при произвольно изменяемой площади 2. Казалось бы, что
...
Однако по уравнению Бернулли при ...
...
давление… должно было бы принять значение минус бесконечность, что лишено смысла: абсолютное давление не может быть меньше нуля.
Таким образом уравнения неразрывности и Бернулли справедливы лишь до тех пор, пока минимальное давление в потоке остается большим нуля.
5. Примеры применения уравнения Бернулли.
Рассмотрим примеры применения уравнения Бернулли.
1. Расходомер Вентури.
Для определения скорости и расхода жидкости часто используется расходомер Вентури. Измерим статическое давление… и… в поперечных сечениях с различными площадями.
Интеграл Бернулли для сечений 1 и 2 принимает вид
...
Из уравнения равенства расходов для двух сечений 1 и 2 имеем
...
Для вычисления показания дифференциального манометра запишем условие равновесия
...
Собирая все результаты, получаем
...
Формула используется для определения скорости в трубе. Hа практике для повышения точности иногда вводят эмпирический коэффициент, учитывающий гидравлические… в трубке Вентури.
2. Измерение скорости.
Для измерения кинетической энергии используется трубка полного давления, которая устанавливается в точке измерения открытым концом против потока жидкости.
Струйка жидкости, подтекающая к открытому концу трубки, полностью замораживается (...=0) и весь скоростной напор превращается в давление, которое в сумме со статическим достигает давления торможения… в данной точке, которое называется полным
...
откуда
...
Таким образом измерение скорости жидкости или «несжимаемого» газа (...) основано на сопоставлении давления торможения с давлением в невозмущенном потоке. Последнее еще называется статистическим давлением… Приемником давления служит Г-образная трубка, или трубка Пито. Давление обычно измеряют с помощью ...-образной трубки, куда залита жидкость манометрическая (спирт, вода, ртуть).
Приемное отверстие статического давления должно находится не слишком далеко от входа в трубку Пито, чтобы не случилось рассеивание механической энергии за счет вязкости, и не слишком близко, чтобы присутствие трубки Пито не искажало статическое давление.
3. Кавитация.
Hа практике оказывается, что в жидкости давление, равное нулю, недостижимо. Если давление ..., снижаясь, достигает давления паров этой жидкости, насыщающих пространство при данной температуре ..., то начинается процесс образования пузырьков пара (кипение), и неразрывность течения капельной жидкости нарушится.
...
...
Далее смесь капельной жидкости и пузырьков пара попадает в расширяющийся канал, давление возрастает и пузырьки пара начинают конденсироваться.
Кавитацией называется совокупность процессов образования пузырьков пара и их конденсация.
Кавитация может возникать не только в трубопроводах, но и при внешнем обтекании тел в областях, где возрастают местные скорости и уменьшается давление. Кавитации подвержены быстроходные колеса насосов и турбин, гребные винты.
Конденсация пузырьков пара происходит на твердых поверхностях очень быстро и завершается гидравлическим ударом, при котором развивается местное ударное давление на твердых поверхностях, достигающее сотен и даже тысяч атмосфер. Поэтому кавитация сопровождается тряской, шумом, снижением КПД насосов и турбин, эрозией твердых поверхностей, а иногда и выходом из строя агрегатов.
Обычно работа гидравлических систем в условиях кавитации не достигаются. Для предотвращения кавитации минимальное давление жидкости в системе должно быть больше давления паров, насыщающих пространство.
Одним из способов предотвращения кавитации является снижение температуры жидкости. Это приводит к снижению давления паров, насыщающих пространство.
Hапример, вода при 373 К кипит при давлении… Па, а при
193 К — … Па. При кавитации многокомпонентных жидкостей
(керосин, бензин и т.д.) вначале вскипают легкие фракции, а затем
тяжелые. Конденсация происходит в обратном порядке.
Для оценки возможности возникновения кавитации используется безразмерный критерий — число кавитации
...
Значение, числа кавитации при котором она возникает, называется критическим… .
Явление используется в кавитационных регуляторах расхода.
4. Формула Торичелли
Применим интеграл Бернулли для определения скорости истечения несжимаемой тяжелой жидкости из большого открытого сосуда через малое отверстие.
Здесь… — площадь свободной поверхности,… — площадь отверстия,… и… — скорости на поверхности и в отверстии.
Уравнение неразрывности принимает вид
...
Считая движение жидкости установившимся и безвихревым применим интеграл Бернулли
...
Откуда
...
Из уравнения неразрывности
... или ...
Если отношение… мало, то пренебрегая членом ..., получаем для скорости истечения приближенную формулу Торичелли.
Пример.Определить форму сосуда вращения, употребляемого для водяных часов.
...
Используя уравнение Бернулли можно объяснить принцип действия
1) работы струйного насоса, в котором высоконапорный поток.… используется для подачи жидкости… из резервуара.
2) принцип наддува топливного самолетного бака для предотвращения кавитации в топливной системе при полетах на большой высоте.
...
3) причину повышения подъемной силы крыла при заданной картине линий тока
...
Уменьшение давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу водоструйного насоса. Струя воды подается в трубку, открывающуюся в атмосферу, так что на выходе их трубки давление равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода идет с большой скоростью, вследствие чего давление в этом месте оказывается меньше атмосферного. Такое же давление устанавливается и в охватывающей трубку камере насоса, которая сообщается с трубкой через разрыв, имеющийся в узкой части трубки. Подсоединив к камере насоса откачиваемый объект, из него можно откачать воздух (или какой-либо другой газ) до давления порядка 100 мм рт. ст. Откачиваемый воздух захватывается струей воды и уносится в атмосферу.
…
Тема 8
Потери напора
1. Классификация потерь напора. Задачи гидродинамического расчета.
2. Потери напора по длине.
2.1. Основное уравнение равномерного движения.
2.2. Два режима течения жидкости.
2.3. Профиль скорости при ламинарном и турбулентном режимах течения.
2.4. Критерии режима течения жидкости.
2.5. Определение потерь напора на трение.
3. Местные гидравлические сопротивления. Формула Вейсбаха.
3.1. Внезапное расширение трубопровода.
4. Гидравлический расчёт напорных трубопроводов.
4.1. Классификация трубопроводов. Задачи гидравлического расчёта трубопроводов.
4.2. Расчёт коротких трубопроводов.
4.3. Расчёт длинных трубопроводов при последовательном соединении труб.
4.4. Расчёт трубопровода при параллельном соединении труб.
1. Классификация потерь напора и задач гидродинамического расчёта
Потери напора делятся на два вида: потери по длине и местные потери.
Потерями напора по длине называются потери удельной энергии потока на преодоление сопротивления движения напора на участке рассматриваемой длины без учёта влияния местных сопротивлений.
Местными потерями напора называют потери удельной энергии потока на преодоление сопротивлений движению потока, вызванных каким-либо местным препятствием (расширение, сужение потока, задвижка, шейка, клапан, колено и т.д.).
Потери напора обозначаются буквой… с индексом, определяющим их вид.
Задачи гидродинамического расчёта:
1. Определение потерь напора.
2. Определение расхода.
2. Потери напора по длине
2.1. Основное уравнение равномерного движения
Рассмотрим прямолинейное равномерное движение жидкости. Живые сечения в этом случае могут быть произвольной формы, но не должны изменяться по всей длине рассматриваемого участка. В таком потоке потери напора определяются лишь потерями по длине.
Выделим из потока участок жидкости длиной… и запишем уравнение Бернулли для сечений 1 и 2
...
... — ординаты центра тяжести сечений 1,2
... — давление в центрах тяжести этих сечений
... — средние скорости в этих сечениях
... — потери напора по длине.
Так как давление равномерное, то… и уравнение можно переписать так:
...
в случае равномерного движения разность удельных потенциальных
энергий равна потере напора по длине.
Для вычисления этой разности напишем сумму проекций на ось А-А всех сил, действующих на участке 1-2. Эти силы следующие:
1) сила тяжести жидкости
...
2) силы давления на плоские сечения
...
3) сила трения
...
где … — сила трения на единицу площади смачиваемой поверхности
русла,
… — смоченный периметр,
4) силы давления стенок русла на жидкость, эти силы не подсчитываем, так как они параллельны оси А-А и, следовательно, их проекции на ось А-А равны нулю.
Спроектируем все эти силы на ось А-А:
...
Из рисунка
...
Подставим выражение для сил в уравнение
...
Разделим обе части этого равенства на ..., имеем
...
Сравнивая выражения (1) и (2), находим
...
откуда
...
Отношение площади живого сечения… к смоченному периметру… называется гидравлическим радиусом
...
Величина… обозначается через ...
Получаем
...
Это уравнение называется основным уравнением равномерного движения.
Величина… имеет размерность квадрата скорости
...
Выражение… — называется динамической скоростью, обозначается ...
…
2.2. Два режима течения жидкости
Величина коэффициента трения зависит от режима течения жидкости.
Опытами было установлено, что при течении жидкости возможны два режима: ламинарный и турбулентный.
При ламинарном режиме жидкость течёт слоями, не перемешиваясь.
При турбулентном частицы жидкости интенсивно перемешиваются.
Ламинарное и турбулентное течение жидкости можно наблюдать в стеклянной трубе В.
Питание трубы производится из бака, а скорость течения регулируется краном С. Для наблюдения за характером движения жидкости по толстой трубе… в трубу В подводится подкрашенная жидкость такой же плотности, как и движущаяся жидкость (например, чернило).
При малых скоростях в трубе В струйка продолжает двигаться, не перемешиваясь с остальной жидкостью, что указывает на ламинарный режим течения.
При больших скоростях в трубе струйка очень сильно перемешивается со всей жидкостью, что указывает на турбулентный режим.
2.3. Критерии режима течения жидкости
В 1883 году английским учёным Осборном Рейнольдсом (1842-1912 гг.) было установлено, что критерием режима течения жидкости является безразмерная величина, представляющая собой отношение произведения средней скорости потока и линейного размера, характерного для живого сечения, к кинематической вязкости жидкости ...
...
Критерий режим течения жидкости называется числом Рейнольдса.
При… течении жидкости в круглых трубах за характерный размер… объёма принимается внутренний диаметр трубы ..., тогда
...
Пример.
Установить, какой режим будет в трубе диаметра ...=20 см, если средняя скорость ... , а кинематическая вязкость ...
...
Опытные данные Рейнольдса показывают наличие трёх областей:
АК — ламинарной,
ВК — переходной или
ВС — турбулентной.
Точки К и В называются критическими точками, точками, в которых происходит смена режима течения.
Ниже точки К режим всегда ламинарный, выше точки В — турбулентный.
В зависимости от изменения скорости от малых значений к большим и от больших к малым ламинарный режим удерживается до точки В при увеличении скорости, или при уменьшении до точки К.
Значение числа Рейнольдса, соответствующее нижней критической точке К, называется нижним критическим числом Рейнольдса, число… соответствует верхней критической точке — верхним критическим числом Рейнольдса.
Нижнее число Рейнольдса ...= 956.
Переход к турбулентному режиму зависит (помимо скорости течения, вязкости и характерного размера) от ряда факторов — источников питания трубопровода, шероховатости труб, местных сопротивлений и т.д.). Верхнее число Рейнольдса обычно принимают равным ...= 5000.
На практике ламинарный режим встречается
1) при движении очень вязких жидкостей
2) при движении жидкости в… трубах
3) при движении воды в грунтах.
Турбулентный режим наблюдается значительно чаще: при движении в каналах, трубах и т.д.
Профиль скорости при ламинарном и турбулентном режиме течения
При ламинарном режиме движения жидкости движение жидкости как бы разделяется на бесконечно большое число тонких… ...
относительно оси трубопровода слоёв.
Распределение скоростей по сечению имеет вид параболы. Скорость у стены равна нулю. При удалении от стенки скорости возрастают и достигают максимума на оси трубы.
Определим закон распределения скорости. Выделим объём жидкости в виде цилиндра радиуса … и длиной… и составим уравнение равновесия
...
Движение установившееся, скорости на одном радиусе одинаковы.
...
С учётом гидравлического закона
...
имеем
...
Проинтегрируем по сечению трубы, учитывая, что при ... … =0, получим закон распределения скоростей в сечении
...
Минимум скорости при ...=0
...
Определим расход жидкости через трубу
...
Средняя скорость
...
Соотношение между ... и средней скоростью
...
Турбулентный режим движения жидкости характеризуется… движением частиц. При этом режиме частицы жидкости движутся по произвольным траекториям и с различной скоростью. Скорость изменяется по величине и направлению около среднего значения.
Такое изменение скорости называется пульсацией скорости. Среднюю по времени скорость называют осреднённой скоростью. Связь между осреднённой и мгновенной скоростью может быть выражена зависимостью
...
где Т — период наблюдения.
Распределение скоростей течения в этом случае выглядит иначе, чем при ламинарном режиме.
В ламинарной пленке и переходном слое скорости течения изменяются так же, как при ламинарном режиме течения.
В переходной зоне зарождаются вихри, обусловленные увеличением скорости движения, влиянием выступов шероховатости.
Если выступы шероховатости ламинарной пленки, стенка будет гидравлически гладкой. При величине выступов выше толщины
ламинарной пленки, неровности стенок будут увеличивать ...
движения и стенка будет гидравлически шероховатой.
Возникающие в пограничном слое вихри проникают в центральную часть потока и образуют ядро турбулентного течения. В ядре потока происходит интенсивное и непрерывное перемешивание частиц жидкости.
Для описания профиля скорости в ядре течения турбулентного состояния используется логарифмический закон распределения скоростей
…
2.4. Определение потерь напора на трение по длине.
Формула Дарси-Вейсбаха
Теоретические и экспериментальные исследования показывают, что потери напора на трение по длине вычисляются по формуле Дарси-Вейсбаха
...
где… — расстояние между рассматриваемыми сечениями, т.е.
длина трубы,
… — скорость течения,
… — внутренний диаметр трубы,
… — коэффициент гидравлических потерь на трение по
длине,
… — относительная шероховатость.
Для ламинарного режима движения жидкости
...
Основные два вопроса, которые интересуют инженера при рассмотрении турбулентного движения жидкости в трубах:
1) определение потерь напора,
2) распределение скоростей по поперечному сечению трубы.
Потери напора и распределение скоростей могут сильно меняться в зависимости от диаметра трубы, скорости движения, вязкости жидкости и шероховатости стенок труб.
Для учета шероховатости используют понятие относительной шероховатости
...
Cистематические опыты для выяснения характера зависимости коэффициента гидравлического трения от числа… Рейнольдса и шероховатости… были проведены H.Hикурадзе в 1933 в гладких трубах с искусственной равномерно-зернистой шероховатостью из кварцевого песка
от… = 0.00197 до 0.066.
При различных расходах измерялась потеря напора и вычислялся коэффициент… по формуле Дарси-Вейсбаха.
Результаты опытов Hикурадзе представлены в виде графика зависимости величины… от числа ...
...
При ламинарном режиме… 2000, или… 3.3… точки, независимо от шероховатости стенок, ложатся на прямую линию… При ламинарном режиме движения шероховатость не оказывает влияния на сопротивление.
При турбулентном режиме (… 2000,… 3.6)… данные ложатся на линию ..., полученную при испытании гладких труб без искусственной шероховатости.Малые шероховатости не оказывают влияния на сопротивление трубы при турбулентном движении.
При больших числах Рейнольдса коэффициент гидродинамического трения перестает зависеть от числа Рейнолдса (то есть от вязкости жидкости) и для данного значения… сохраняет постоянную величину.
Полученные результаты могут иметь следующее физическое истолкование. При малых числах Рейнольдса жидкость обтекает выступы шероховатости без образования и отрыва вихрей благодаря значительному влиянию вязкости жидкости, свойства поверхности стенок труб не оказывают при этом влияния на сопротивление и кривые… совпадают с прямой.
продолжение
--PAGE_BREAK--
С увеличением скорости (т.е. числа Рейнольдса) от бугорков шероховатости начинают отрываться вихри, свойства поверхности уже оказывают влияние на сопротивление и кривые… отклоняются от линии… трения.
В результате многочисленных исследований были предложены различные эмпирические формулы для определения коэффициента гидравлического трения.
Для гидравлически гладких труб широкое распространение получили формулы Блазиуса
...
а для вполне шероховатых труб — формулы Шифринсона
…
3. Местные гидравлические сопротивления.
В гидросистемах часто встречаются повороты, краны, вентили, сужения, расширения и т.д. В этих местах поток деформируется, возникают интенсивные перемешивания жидкости, поперечные потоки, образуются застойные зоны. Все это приводит к дополнительным потерям напора, которые называются потерями напора на местных сопротивлениях.
Рассмотрим гидросистему
...
1 - вход в трубу,
2 - внезапное расширение,
3 - … сетка,
4 - внезапное сужение,
5 - диффузор,
6 - диафрагма,
7 - конфузор,
8 - поворот,
9 - тройник,
10 — колено,
11 — вентили, задвижки,
12 — поворот,
13 — вход в резервуар.
Потери напора, затраченные на преодоление местного сопротивления, принято оценивать в долях скоростного напора, соответствующего скорости непосредственно за рассмотренным местным сопротивлением и определять по формуле Вейсбаха
...
… — коэффициент местного сопротивления.
Коэффициенты местных сопротивлений находят, обычно, опытным путем. Таблицы и эмпирические формулы для них содержатся во всех инженерных справочниках по гидравлике.
Для некоторых практически важных случаев значения коэффициента местного сопротивления удалось получить теоретически.
3.1. Внезапное расширение трубопровода
Рассмотрим потерю напора при внезапном расширении потока. Пусть поток несжимаемой жидкости течет в горизонтальной трубе, претерпевающей резкое увеличение площади поперечного сечения от величины… до… .
Пусть скорость течения уменьшается при этом от… до… .
Массовый расход остается одинаковым в обоих сечениях
...
Секундное количество движения в сечении 1, ограничивающем рассматриваемый элемент потока слева, равен
...
где… — поправка к количеству движения на неравномерное распределение скоростей в сечении.
Сечение 2, ограничивающее элемент потока справа, выбираем в таком удалении от внезапного расширения, где возмущение течения, вызванные в потоке расширением русла, можно полагать успокоенным. В этом сечении секундное количество движения равно
...
Сила давления, действующая на выделенный элемент потока, равна:
...
где…,… — давления в сечениях 1 и 2.
В проекции на ось трубы будет иметь следующее равенство
...
или
...
откуда
...
Уравнение Бернулли для двух сечений имеет следующий вид
...
или
...
Hа основании (...) имеем
...
Если положить ...=1, что верно для большинства турбулентных потоков, то
...
Это положение, известное под название теоремы Борда, формулируется так
Теорема Борда.
Потеря напора при внезапном расширении потока равна скоростному напору, вычисленному по… скорости.
...
Для других видов местных сопротивлений потеря напора определяется по формуле, аналогичной внезапному расширению
...
Безразмерный коэффициент ..., входящий в формулу, называется коэффициентом местного сопротивления.
Значение этого коэффициента зависит от конструкции местного сопротивления, которая определяет характер отрыва потока от обтекаемых внутренних полостей и интенсивность возникающих при этом вихреобразований.
Часто при определении потерь напора на местные сопротивления оказывается удобным введение так называемой эквивалентной длины детали трубопровода.
Эквивалентной длиной данного местного сопротивления называют такую длину прямого отрезка трубы, которая создает гидравлическое сопротивление, равное сопротивлению детали трубопровода, обусловившей потери напора.
Пусть… — эквивалентная длина данного местного сопротивления, потеря напора на прямом участке трубы длиной… по формуле равна
...
По условию эквивалентности должно быть ..., откуда ..., следовательно
...
Таким образом, эквивалентная длина местного сопротивления выражается через диаметр трубы, поэтому, например, говорят, что сопротивление углового вентиля эквивалентно сопротивлению участка трубы того же диаметра длиной, равной 200 диаметрам трубы.
Пусть требуется определить потерю напора в трубопроводе, состоящем из прямых отрезков труб, соединенных между собой с помощью всевозможных… частей, с включением различного рода задвижек, вентилей, клапанов и т.д. Эту задачу можно решить, определяя по формулам и таблицам из справочников, коэффициенты местных сопротивлений… или вычислив предварительно эквивалентные длины местных сопротивлений.
В первом случае потеря напора может быть определена по формуле
...
а во втором — по формуле
...
Исследованию местных коэффициентов сопротивлений посвящается обширная литература, проделано огромное количество опытов, однако до сих пор задача о местных сопротивлениях остается разрешенной еще не полностью.
Можно считать доказанным, что величина местного сопротивления при ламинарном течении меняется в зависимости от числа ..., при турбулентном режиме она остается почти постоянной при любых ...
…
4. Гидравлический расчет напорных трубопроводов.
4.1. Классификация трубопроводов. Задача гидравлического расчета трубопроводов.
Трубопроводы широко применяются для перемещения различных жидкостей (вода, нефть, бензин, различные растворы и т.д.) и изготавливаются из металла, бетона, дерева, пластмасс.
По степени заполнения поперечного сечения жидкостью различают напорные и безнапорные трубопроводы. В напорных трубопроводах жидкостью заполнено полностью все поперечное сечение, а в безнапорных — часть поперечного сечения и имеется свободная поверхность.
По виду потерь напора бывают короткие и длинные трубопроводы.
Короткие трубопроводы — это такие трубопроводы, у которых местные потери напора соизмеримы с потерями напора по длине.
Длинные трубопроводы — это трубопроводы, у которых местные потери напора незначительны и не превышают 10% от потерь по длине.
В свою очередь, длинные трубопроводы разделяются на простые и сложные.
Простые трубопроводы выполняют без ответвлений, сложные изготавливают с отверстиями, переменной длины и диаметра и могут соединяться как последовательно, так и параллельно.
Задача гидравлического расчета трубопровода заключается в определении для заданной длины по двум величинам третьей неизвестной величины: расхода жидкости ..., потери напора ..., диаметра трубопровода ...
4.2. Расчет коротких трубопроводов.
Рассмотрим короткий трубопровод с местным сопротивлением, присоединенным к резервуару, заполненному жидкостью. Истечение жидкости в атмосферу из трубопровода длиной… и диаметром… происходит под постоянным напором H.
При заданных длине и диаметре трубопровода… необходимо определить скорость движения жидкости… и расход… .
Составим уравнение Бернулли для сечений 1 и 2. При этом считаем, что… и ...
...
или
...
где… — суммарные (местные и по длине) потери напора между сечениями 1 и 2, которые можно представить в виде зависимости
...
где
...
Формулу можно записать в следующем виде
...
Отсюда найдем скорость истечения
...
где… — коэффициент скорости.
Расход, пропускаемый коротким трубопроводом
…
4.3. Расчет длинных трубопроводов при последовательном соединении труб.
Рассмотрим трубопровод, состоящий из последовательных длинных труб разного диаметра… и длины… при постоянном расходе жидкости по длине трубопровода.
Расчет сводится к определению суммарных потерь напора по длине трубопровода, так как местными потерями пренебрегают.
...
Преобразуем выражение для потери напора по длине
...
где… — расходная характеристика.
Тогда
...
Формула показывает, что трубопровод, составленный из последовательно соединенных труб разного диаметра и длины, можно рассматривать как простой трубопровод, суммарные потери напора в котором равны сумме потерь напора составляющих его труб.
Формула позволяет решить и обратную задачу, т.е. при заданных напоре, диаметре труб вычислить расход ...
…
4.4. Расчет трубопровода при параллельном соединении труб.
Особенность гидравлической схемы работы трубопровода при параллельном соединении труб состоит в том, что все трубы работают под действием напора ..., который необходим для преодоления потерь напора по длине… При этом следует иметь в виду, что во всех ответвлениях параллельных труб потери напора будут одинаковыми.
...
Расчет трубопровода при параллельном соединении труб сводится к составлению для каждого ответвления уравнения
...
и общего уравнения для расхода жидкости в трубопроводе
Тема 9
Неустановившееся движение жидкости
1. Гидравлический удар в трубах.
2. Вытекание жидкости при переменном уровне.
Неустановившимся движением жидкости называется такое движение, при котором скорости в точках пространства, занятого жидкостью, изменяются со временем.
С неустановившимся движением воды часто сталкиваются при проектрировании трубопроводов, расчёте каналов, водопроводных сетей, истечении жидкости при переменном уровне, расчёте гидравлического удара в трубах.
В рассматриваемом курсе для примера выполним исследование гидравлического удара в трубах и истечения жидкостей при переменном уровне.
1. Гидравлический удар в трубах
Если при напорном движении жидкости в трубе мгновенно закрыть кран, то движущаяся жидкость остановится, кинетическая энергия потока израсходуется на сжатие жидкости и расширение стенок трубы.
Вследствие сжатия жидкости и расширения стенок трубы любое сечение А-А, взятое в жидкости, сместится по направлению движения в положение В-В.
...
...
Аналогичные явления произойдут и со всеми остальными сечениями. Таким образом, вся жидкость в трубе по окончанию деформации окажется сжатой, а поэтому обладающей большей энергией, чем жидкость в баке.
В результате этого начинается обратное движение жидкости и сечение В-В, пройдя своё первоначальное положение А-А, займёт место С-С.
Аналогичное движение совершают и все остальные сечения, вследствие чего в трубе создаётся пониженное давление и жидкость двинется от сосуда к крану. Затем все явление повторяется и будет повторяться снова, пока под влиянием сопротивления оно постепенно не прекратится.
Частицы жидкости будут совершать затухающие колебания, одновременно с которыми будет изменяться и давление. Изменение давления в жидкости при напорном движении, вызываемое резким изменением скорости течения за весьма малый промежуток времени, называется гидравлическим ударом.
Увеличение давления при гидравлическом ударе может привести к разрыву стенок трубы. Это увеличение давления в первый момент происходит непосредственно к крана, а затем оно передаётся через соседние слои по всей длине l трубы до её начала с некоторой скоростью С. Эта скорость носит название скорости распространения ударной волны.
По истечении времени ... ударная волна дойдёт до нача-
ла трубы и вся жидкость в трубе остановится.
Определим величину повышения давления в трубе при гидравлическом ударе.
Пусть давление в горизонтальной трубе в сечении 1 равно ...,
а в сечении 2 — ..., площадь поперечного сечения трубы ..., расстояние между сечениями 1-1 и 2-2 — … .
Воспользуемся теоремой об изменении количества движения, согласно которой приращение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме проекций импульсов сил на направление движения.
Применим теорему к массе жидкости, заключённой между сечениями 1-1 и 2-2. В момент закрытия крана количество движения жидкости равнялось…, где… — масса жидкости, равная…,… — скорость. Через промежуток времени…, т. е. когда вся
жидкость в трубе остановится и скорость будет равна нулю, количество движения также будет равно нулю.
Следовательно, за время ... приращение количества дви-
жения равно ...
В течении этого времени на жидкость действовали следующие силы, не считая сил трения, которыми пренебрегаем:
1) в сечении 1-1 сила ...
2) в сечении 2-2 сила ...
3) сила тяжести жидкости ...
Первые две силы горизонтальны, третья вертикальна.
Сума проекций импульсов этих сил на направление движения, т.е. на горизонтальную ось равна
...
Согласно теореме об изменении количества движения получаем
...
Сокращая на ... , имеем
...
Откуда
...
Обозначив повышение давления ...-… буквой Р, находим
...
Формула называется формулой Н.Е.Жуковского, который первый дал теорию гидравлического удара.
Разделим последнее соотношение на ... , получим
... или ...
Из формулы видно, что при гидравлическом ударе повышение напора в трубопроводе равно ... .
Численное значение величины С также выведено Н.Е.Жуковским и определяется по следующей формуле
...
где… — плотность жидкости,… — модуль упругости жидкости,… — модуль упругости стенок трубы,… — внутренний диаметр трубы,… — толщина стенки трубы.
Рассмотрим пример.
Пример. Определить повышение напора при гидравлическом ударе в чугунной трубе диаметром ... , если толщина стенки трубы… = 0.0105 мм, модуль упругости воды… = 2 ... , модуль упругости чугуна ..... , а скорость течения ... .
Решение.
По формуле находим скорость распространения ударной волны
...
Найдём повышение напора
...
Гидравлический удар может повредить трубы. Для предотвращения разрушения труб применяются следующие меры.
1. Из формулы ... видно, что увеличение давления пропор-
ционально скорости течения ..., поэтому в трубопроводах не следует
допускать больших скоростей без принятия соответствующих предохранительных мер.
2. Причиной гидравлического удара является быстрое закрытие крана. При продолжительности закрытия… повышение давления равно ... (так называемый прямой гидравлический удар). При продолжительности… повышение давления меньше… (непрямой гидравлический удар).
Продолжительность закрытия… (в секундах) может быть подсчитана по формуле Н.Е.Жуковского
..... или ...................,
где… — плотность жидкости,… — скорость течения,… — длина трубопровода,… — допустимое повышение напора столба жидкости (в метрах).
Время закрытия трубопровода… прямо пропорционально длине трубопровода…. Т.е. чем длинее трубопровод, тем длительнее должно быть закрытие кранов и задвижек.
3. Для уменьшения вредного действия давления при гидравлическом ударе ставят предохранительные клапаны, которые, открываясь при определённом давлении, предохраняют провод от разрушения.
4. Кроме предохранительных клапанов, для уменьшения давления применяют воздушные колпаки. В момент повышения давления жидкость входит в колпак и сжимает находящийся в нём воздух, что уменьшает повышение давления.
Пример. Определить продолжительность закрытия задвижки на трубопроводе, если длина трубопровода… = 800 м,… = 3 ..., допускаемое давление в трубопроводе 1 000 000 ..., а гидростатическое давление Р = 200 000… .
Решение.
Допускаемое повышение давление от гидростатического удара
… = 1 000 000 — 200 000 = 800 000 ...
Продолжительность закрытия задвижки
…
2. Вытекание жидкости при переменном уровне
Рассмотрим случай истечения жидкости из открытого сосуда в атмосферу через отверстие площадью… .
Струя при вытекании через отверстие постепенно сжимается. Ближайшее к отверстию наименьшее живое сечение С-С, в котором движение можно рассматривать плавно изменяющимся, называется сжатым сечением. Обозначим площадь сжатого сечения С-С ...
...
...
Отношение
...
(… = 0.64 для круглого отверстия)
называется коэффициентом сжатия.
Обозначим через… высоту уровня жидкости над центром тяжести отверстия,… — скорость в сжатом сечении.
Запишем уравнение Бернулли для сечений О-О и сжатого сечения С-С.
...
где… — скорость свободной поверхности,
… — потери напора при вытекании через отверстие, они
определяются из соотношения
...
Пренебрегая величиной… (ввиду её малости по сравнению с Н), получаем
...
отсюда скорость истечения
...
где ... — коэффициент скорости (.....0.97).
Для определения расхода надо скорость умножить на площадь сжатого сечения:
...
по формуле ... , откуда
...
тогда расход, выраженный через ... равен
...
где… — коэффициент расхода (… = 0.62).
Рассмотрим вытекание жидкости из ёмкости при переменном уровне. Движение в данном случае является неустановившимся. С достаточной для практики точностью можно считать, что в каждый момент времени скорость вытекания определяется соответствующим этому моменту напором Н так же, как и при установившемся движении.
...
...
Определим время, в течение которого жидкость опустится на ...-...
Рассмотрим промежуточное положение уровня с напором Н. За время… вытечет объём жидкости, равный
...
За это время… напор изменится на (-… Н). Объём жидкости, вытекшей из сосуда, равен
...
где… — площадь свободной поверхности в сосуде.
Приравнивая выражения, получаем
...
откуда
...
Интегрируя, находим
...
При постоянной площади свободной поверхности
...
Пример. Вычислить продолжительность опорожнения цистерны при её диаметре… = 2 м и длине… = 5 м, если диаметр сливного отверстия… = 0.1 м, а коэффициент расхода… = 0.62.
Решение. Продолжительность опорожнения
...
...
… — переменная по высоте горизонтальная площадь сечения цистерны, причём
...
Имеем
…
Тема 10
Кинематика плоских движений жидкости
1. Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости.
Функция тока.
2. Примеры плоских течений.
1. Однородный равномерный поток.
2. Источник и сток.
3. Вихрь.
4. Вихреисточник.
5. Диполь.
3. Бесциркуляционное обтекание цилиндра.
1. Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости.
Функция тока
В гидродинамике невязкой жидкости особенно полно разработана теория плоских стационарных (установившихся) течений.
Пусть, например, плоский безграничный поток обтекает цилиндрическое (или призматическое) тело, бесконечное в направлении, перпендикулярном к скорости течения. Характер течения (обтекания) тела будет одинаков во всех плоскостях, перпендикулярных к образующим тела.
Следовательно, для исследования кинематики и динамики такого потока достаточно рассмотреть плоскую задачу «обтекаемого» тела. В этом случае скорости и давления зависят только от двух координат, пусть, например, X и Y, также функциями этих двух координат являются проекции… и… скорости течения.
Пусть определена функция ... , которая удовлет-
воряет следующим условиям
...
Такая функция называется в гидромеханике функцией тока.
Уравнение линий тока в случае плоского течения имеет вид:
...
или
...
Подставляя сюда выражения проекций скорости через частные производные функции ..., найдём
...
При установившемся течении левая часть этого выражения представляет собой полный дифференциал функции ..., напишем
...
Отсюда следует, что ... , таким образом, функция
тока на линии тока сохраняет постоянное значение.
Предположим, что рассматриваемый плоский поток является потенциальным, т.е. что во всех точках потока имеет место условие
...
В соответствии с принятыми предположениями в этом случае
...
где… — потенциал скорости.
Из условия ... имеем
...
Подставляя сюда выражение для функции тока, получим
...
Поскольку мы рассматриваем несжимаемую жидкость, то уравнение неразрывности принимает вид
...
или через потенциал скорости
...
Дифференциальные уравнения второго порядка, выражающее, что сумма вторых частных производных скалярной функции равняется нулю, являются, как известно, уравнениями Лапласа.
Таким образом, потенциал скорости и функция тока удовлетворяют уравнению Лапласа.
Это уравнение обладает следующим свойством. Если имеются функции, например, ..., ..., ... или ..., ..., ... такие, что каждая из них в отдельности удовлетворяет уравнению Лапласа, то ему будут удовлетворять также их линейные комбинации
...
...
продолжение
--PAGE_BREAK--