Министерство образования РФ
Рязанскаягосударственная радиотехническая академия
Кафедра ОиЭФ
Контрольнаяработа
«Изучениефизического маятника»
Цель работы: изучениезаконов колебательного движения на примере физического маятника.
Приборы и принадлежности:маятник универсальный ФПМ04.Элементытеории
Колебания- это процессы (движения или изменения состояния), в той или иной степениповторяющиеся во времени.
Колебательныепроцессы разделяют на механические, электромагнитные, электромеханические и т.д.
Механическиеколебания – колебания физических тел (маятников, струн, частей механизмов ит.д.); электромагнитные – колебания величин показывающих состояниеэлектромагнитного поля (переменного электрического тока в цепи, колебаниявекторов напряженности и магнитной индукции переменного электромагнитногополя); электромеханические — колебания физических тел под действиемэлектромагнитных полей (мембраны телефона, диффузора электродинамическогогромкоговорителя и т.д.)
Колебательнаясистема – система совершающая колебания.
Любыеколебания могут быть свободными или вынужденными.
Свободныеколебания или собственные колебания – есть колебания, которые происходят вотсутствии переменных внешних воздействий на колебательную систему и возникаетпри однократном отклонения системы от состояния ее устойчивого равновесия.
Вынужденныеколебания – есть колебания, возникающие, в системе под влиянием переменноговнешнего воздействия.
Гармоническиеколебания подчиняются по закону:
1) />,
гдеA — амплитуда колебаний; w0= 2p/Т — круговая частота; Т — период; t — время; a — начальная фаза колебаний; (w0+ a) – фаза колебаний.
Функцияx(t) в (1) представляет собой решение дифференциальногоуравнения свободных колебаний:
2) />; />.
Физическаясистема, выведенная из состояния равновесия и предоставленная самой себе, вкоторой изменение одного из параметров описывается дифференциальным уравнением(2), называется классическим гармоническим осцилятором.
Физическиймаятник — любое твёрдое тело которое под действием силы тяжести может свободнокачаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс.Движение маятника описывается уравнением:
3) />,
гдеI — момент инерции мятника; j — уголотклонения маятника от положения равновесия; t – время; M – моментдействующих на маятник сил.
В данной работе в качествефизического маятника используется однородный стальной стержень дайны l. На стержне закреплена опорнаяпризма, острое ребро которой является осью качения маятника. Призму можноперемещать по стержню. Пусть расстояние от оси качения маятника до его центрамасс равно b.
4) />,
где /> -момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его середину, m — масса маятника.
Момент силы тяжести, действующей намаятник:
5) />.
Знак«минус» ставится так, как направление действия возвращающей силы и j всегда противоположны.
Вданном случае моментом силы трения можно пренебречь. Подставляя выражения для I и M в (4) получаемуравнение:
6) />, где
7) />.
Решением данного уравнения являетсяфункция:
8) j(t) = j0sin(w0t + a).
Амплитудаj0и фаза a зависят от того, как возбуждаются колебания маятника.
Периодколебаний T = 2p/w0равен:
9) />.
Периодколебаний физического маятника не зависит ни, от фазы, ни от амплитудыколебания. Это утверждение справедливо для колебаний, подчиняющихся уравнение(7). Движение маятника описывается этим уравнением приближенно — в той мере, вкакой справедлива использованная при выводе (7) формула sin(j) » j. Исследование правильности утверждения о том, чтопериод колебаний маятника не зависитот амплитуды, является чувствительным методом проверки теории. Как известно,период колебаний математического маятника определяется формулой:
10)/>, где l — длинаматематического маятника.
Поэтомувеличина
11)/>
называетсяприведенной длиной физического маятника. Точку О’, отстоящую от точки опоры O на расстояние lпр, называютцентром качания физического маятника, Можно доказать, что точка опоры и центркачания маятника обратимы, т.е. при качании маятника вокруг точки O период долженбыть таким же, как и при качании вокруг точки O’. Исследованиесправедливости этого утверждения является другим методам проверки теории. Ещёодин метод заключается в проверке правильности формулы (9). Величину b можноизменять, передвигая опорную призму по стержню.
Вданной работе в качестве математического маятника используется металлическийшарик, подвешенный на двух расходящихся нитях, длину которых можно изменять.Расчётнаячасть
После работы с установкойимеем все данные, которые занесены в таблицу и длину физического маятника lизм = 0,6 м.
Теперь построим графикзависимости T2b от b2.
/>Физический маятник № N
b1×10-2 м
ti1, с
/>, с
/>, с 1 40 5 63,12 62,98 1,57 2 62,87 3 62,96 № N
b2
ti2, с
/>, с
/>, с 1 40 8 53,01 53 1,32 2 52,95 3 53,03 № N
b3
ti3, с
/>, с
/>, с 1 40 14 46,76 46,81 1,17 2 46,81 3 46,85 № N
b4
ti4, с
/>, с
/>, с 1 40 18 Пересчитывай 46,06 46,01 1,15 2 46,01 3 45,95 № N
b5
ti5, с
/>, с
/>, с 1 40 20 45,54 45,64 1,14 2 45,78 3 45,61 2 44,97 3 45,07
Возьмём несколько точекна графике и найдём по их параметрам (T2b и b2) значения /> и /> для данных точек.
/>; />;
Для точки A:
/>;/>;
Для точки B:
/>;/>;
Для точки С:
/>;/>;
По найденным значениямвеличин /> и /> для точек А, В, С найдёмих средние значения:
/>;/>;
Отсюда найдём значения g (ускорения свободного падения) и l (реальная длина маятника).
/> = 10,09 м/с2. l = 0,57 м.
Найденное значение l примерно равняется lизм.
Теперь оценим погрешностьвеличины g.
Выражая g из формулы (9) получим формулу вида:/>.
Вычисление g по данной формуле допускаетопределение погрешности вычисления величины g по упрощённой формуле.
/>; />; />; при DT = Dt имеем:
/>;
Для нахождения абсолютнойпогрешности Dg,найдём погрешности величин найденных прямыми измерениями: Dt, Db и Dl.
/>
/>
/>/>
/>
при tc = 1,96, k = 1.1(для P =0,95) и с = 10-3 с.
/>с.
/>
Так как различные длины bi измерялись по одному разу (Dсл » 0).
/> при k = 1.1(для P =0,95) и с = 10-3 м.
/>м.
Значение Dl = Db, т.к. l измерялось тем же измерительным инструментом и 1 раз, как и b.
/>м.
Теперь подставим значенияабсолютных погрешностей Dl, Db и Dt в формулу расчёта Dg:
/>м/с2.
g = 10,1±0,5 м/с2.
Далее по формуле (11)найдём приведённую длину физического маятника lпр.
/>м.
Найденное значениеприведённой длины lпр равняется длине математическогомаятника.