Лекції з навчальної дисципліни
физика
Зміст
Тема 1. Закони збереження
Організаційно-методичні вказівки до проведення лекції
Вступ
Закон збереження імпульсу
Робота сили. потужність
Кінетична енергія. потенціальна енергія, закон збереженнямеханічної енергії
Елементи кінематики обертовогоруху
Висновки
Тема 2. Динаміка обертального руху
Організаційно-методичні вказівки до проведення лекції
Вступ
Момент сили. кінетична енергія обертового тіла
Момент інерції. рівняння динаміки обертового руху
Момент імпульсу. закон збереження моменту імпульсу
Поняття про гіроскопічний ефект
Висновки
Навчальна література
Тема 1. Закони збереження
Навчальний потік інженери
Час 2 години
Місце 235 кл
Навчальна та виховна мета
_________________________________________
__________________________________________________________
Навчальні питання і розподіл часу
Вступ_____________________________________ -… хвил.
1. Закон збереження імпульсу. -… хвил.
Робота сили. Потужність. -… хвил.
Потенціальна енергія. Кінетична енергія. Закон
Збереження механічної енергії. -… хвил.
4. Елементи кінематики обертального руху. -… хвил.
Висновки та відповіді на питання -… хвил.
Навчально-матеріальне забезпечення
Маятник Обербека.
Лектор -2000.
Кінофільм: “Законы сохранения в механике”
Організаційно-методичні вказівки до проведеннялекції
Перевіряється наявність курсантів таоголошується тема, мета та питання, що вивчаються, дається література.
Розглянути систему взаємодіючих тіл,користуючись кадрами «Лектора-2000»; сформулювати закон збереженняімпульса. Пояснити, що робота характеризує дію сили, пов’язану з переміщеннямтіл, розглянути роботу змінної сили.
Визначити кінетичну, потенціальну енергії тасформулювати закон збереження механічної енергії.
Записати кінетичні рівняння обертального руху,пояснити його за допомогою маятника Обербека.Вступ
Закон збереження імпульса — один із основнихзаконів природи. Справедливість його підтверджується всією сукупністю фізичнихзнань.
Закон збереження імпульса — пов’язаний ззаконом Ньютона.
Цей закон справедливий не тільки для тіл (частинокречовини), а й для випромінювання. Робота сили при переміщенні тіла увідсутності сили тертя, дорівнює приросту кінетичної енергії та спаду йогопотенціальної енергії.
Згідно Ньютонівської механіки повна механічнаенергія замкнутої консервативної системи зберігається.Закон збереження імпульсу
Розглянемо систему взаємодіючих тіл (рис.1).
/>
Рис.1
На рис.1 сили /> -внутрішні сили взаємодії тіл системи, а F1, F2, F3 — зовнішні сили, діючі на тіла системи. Запишемо для кожного із трьох тілсистеми другий закон Ньютона:
/>, /> (1), />
Складемо всі три рівняння. З третього законувитікає, що сума всіх внутрішніх сил дорівнює нулю. Тоді одержимо:
/>,
де /> - імпульсвсієї системи.
Якщо зовнішні сили відсутні або їх геометричнасума рівна нулю, то/>, а це означає,що p = const.
Таким чином, повний імпульс замкненої системизалишається сталим. Це і є закон збереження імпульсу, який являється одним ізфундаментальних законів природи.
Робота сили. потужність
Часто можна спостерігати такі дії сил, прияких тіло переміщується, але кількість руху, його не змінюється. Тому необхідноввести фізичну величину для характеристики тої дії сил, яка визиває переміщеннятіл. Такою величиною є робота.
Хай тіло М під дією или Fпереміщується по відрізку шляху S=BC (рис.2).
/>
Рис.2
Тоді робота буде дорівнювати добутку проекціїсили F на дотичну до траєкторії (тангенціальної складової /> на величину пройденогошляху S.
/> (3)
Формула (3) справедлива, якщо />. Якщо ж величинатангенціальної складової являється функцією шляху (рис.3), то для обчисленняроботи розбивають на такі малі елементарні ділянки />,щоб величину сили /> на кожній з нихможна було вважати постійною і знаходять на кожній ділянці роботу
/>.
/>
Рис.3
Повна робота буде на всьому шляху приблизнодорівнювати сумі елементарних на всіх ділянках
/> (4)
Повна робота буде обчислена тим точніше, чимна більш малі ділянки буде розбитий шлях. В результаті, коли шлях розбиваєтьсяна нескінченно малі ділянки, повна робота буде дорівнювати сумі нескінченомалих величин в вищій математиці обчислюється шлях інтегрування.
Отже, маємо:
/> (5)
Тут dS — нескінчено мале переміщення, F — сила, діюча на тіло на цьому переміщенні, a — кут між силою іпереміщенням.
В математиці вираз FdS cos a називаєтьсяскалярним добутком вектора /> і /> позначається />. Тому повний вираз можназаписати так:
/> (6)
З рис.3 видно, що елементарна робота чисельнодорівнює площі заштрихованої ділянки, а повна робота — площі фігури, обмеженоїкривої />, віссю і ординатамипочатку та кінця шляху.
В системі СІ робота вимірюється в джоулях. Роботав один джоуль здійснюється силою в 1К на шляху в 1 м.
Розмірність роботи в системі СІ рівна:
/> (7)
Отже, робота виконується силами взаємодії впроцесі переміщення тіл.
Потужністюназивається фізична величина, яка дорівнює відношенню роботи до проміжку часу,за який вона здійснюється.
/>
В випадку змінної потужності вводиться поняттямиттєвої потужності.
/>, />.Кінетична енергія. потенціальнаенергія, закон збереження механічної енергії
Кінетичною енергією називається енергія механічного руху любого тіла: вимірюється вона тоюроботою, яку могло б здійснити тіло при його гальмуванні до повної зупинки, притій роботі, яку потрібно здійснити, щоб надати тілу дану швидкість.
Нехай тіло 1 (матеріальна точка) масою m,яка рухається зі n швидкістю, починає взаємодіяти з тілом 2 і, в результаті цього,гальмується.
При цьому швидкість його зменшується, азначить на тіло діє сила, яка по другому закону Ньютона дорівнює:
/>.
Якщо за нескінченно малий час dt тіло 1переміщується на нескінченно малий відрізок dS, то воно здійснює надтілом 2 нескінченно малу роботу, рівну
/>,
Але
/>.
Тому маємо:
/>.
Повна робота на кінцевій ділянці шляхузнаходиться шляхом інтегрування:
/>.
Таким чином, кінетична енергія рухомого тіларівна:
/>.
Таким чином, кінетична енергія тіл визначаєтьсятільки їх масами і швидкостями.
Потенціальна енергія. Якщо в системі тіл діють тільки сили тяжіння, пружні сили і силиелектростатичного поля, то при наявності переміщення тіл ці сили виконуютьроботу. Очевидно, що при переміщенні тіл змінюється їх взаємне положення (конфігураціясистеми). А це означає, що система взаємодіючих тіл має запас енергії, яку вонаможе витратити при зміні своєї конфігурації. Цей запас енергії, якийобумовлений конфігурацією тіл системи, називається потенціальною енергією системи.Знайдемо потенціальну енергію матеріальної точки m в полі тяжінняматеріальної точки М. Для цього обчислимо роботу проти сил тяжіння. Припіднятті на невелику висоту h (h — радіуса Землі) вагатіла p = mq можна вважати сталою. Тоді маємо:
/>.
Таким чином тіло масою m на висоті hнад поверхнею Землі має потенціальну енергію:
/>.
Не важко обчислити потенціальну енергіюдеформованої пружини. Сила пружності
/>.
Сила, що стискає пружину протилежна силіпружності />.
Роботу цієї змінної сили на шляху xзнайдемо шляхом інтегрування:
/>.
Таким чином, стиснена пружина або розтягнутамає запас потенціальної енергії:
/>. (8)
Дослід показує, що якщо в замкненій системі невідбувається перетворення механічної енергії в інші види енергії, то загальнакількість механічної енергії системи залишається сталою
/> (9)
В цьому полягає закон збереження енергії, якийформулюється ще так: енергія в замкненій системі може перетворюватись ізодного виду в другі, але повна її величина залишається сталою.
Робота являється мірою передачі руху відодного тіло до другого, а енергія є єдина кількісна міра різних форм рухуматерії. Рух матерії тільки перетворюється з одної форми в іншу і ніколи незникає.
В фізиці механічна система, при русі якоїсума кінетичної та потенціальної енергії залишається сталою, називаєтьсяконсервативною системою. В земних умовах консервативними можна приблизновважати ті системи, в яких можна знехтувати силами тертя.
Відмітимо, що системи, в яких повнамеханічна енергія при русі безперервно зменшується (розсіюється), переходить вдругі, немеханічні, форми енергії називаються диссипативними (абонеконсервативними) системами.
Всі реальні системи в земних умовах являютьсядиссициативними. Закон збереження енергії справедливий і для диссипативнихсистем, якщо під певною енергією розуміють суму всіх видів енергій системи.
Відмітимо, що закон збереження енергії несправедливий для інерціальних систем, поскільки сили інерції всюду проявляютьсяяк зовнішні сили.Елементи кінематики обертового руху
Абсолютно твердим тілом називається такетіло, віддаль між любими двома точками якого залишається постійна незалежно віднаявності або відсутності сил, діючих на тіло. Такі тіла надалі будутьназиватися просто твердими.
Найбільш просто задачі механіки розв’язуютьсядля матеріальних точок. Тому в цих випадках, коли не можна знехтувати формою тарозмірами тіла, його в думці розбивають на невеликі елементи так, щоб кожнийелемент можна було розглядати як матеріальну точку.
Таким чином, задача про рух твердого тілазводиться до задачі про рух великого числа матеріальних точок (системиматеріальних точок).
Обертовим рухом твердого тіла називають такийрух при якому траєкторії всіх точок тіла являються колами, центри яких лежатьна одній прямій, що називається віссю обертання.
Кінетично обертовий рух записується наступнимспіввідношенням:
/>/>/>, (10)
де w — кутова швидкість.
Кутова швидкість — це вектор, напрямленийвздовж стін обертання в ту сторону, в яку рухався б буравчик, ручка якогообертається в напрямку руху точки по колу.
Якщо w= const, тообертання рівномірне
/>
кутове прискорення
/> (11)
зв’язок між лінійною і кутовою швидкістю
/> (12)
зв’язок між лінійним (точніше, тангенціальним)прискоренням і кутовим прискоренням:
/> (13)
Проінтегрувавши вирази (10) і (11), одержимослідуючі формули:
/> /> (14)
/> (15)
/> (16)Висновки
Для замкнутої системи геометрична сумаімпульсів тіл під час будь-яких взаємодій залишається сталою.
Робота характеризує дію сили, пов’язану зпереміщенням тіла.
Якщо на тіло діє кілька сил загальна роботадорівнює алгебраїчній сумі робіт, що виконується кожною силою. Робота в різнихінерціальних системах відліку різна, бо різне переміщення.
Потужність характеризує швидкість виконанняроботи.
Енергія характеризує механічний стан тіла (системитіл).
Кінетична енергія характеризує стан руху тіла.
Потенціальна енергія характеризує взаємодіютіл або частинок і залежить від їх взаємного розміщення.
Для будь-якої системи тіл, у якій діють тількивнутрішні потенціальні сили, механічна енергія системи залишається сталою.
Для замкнутої системи геометрична сумаімпульсів тіл під час будь-яких взаємодій залишається сталою.
Тема 2. Динаміка обертального руху
Навчальний потік інженери
Час 2 години
Місце 235 кл
Навчальна та виховна мета
_________________________________________
_____________________________________________________________
Навчальні питання і розподіл часу
Вступ_____________________________________ -… хвил.
Момент сили. Кінетична енергія обертального
руху тіла. -… хвил.
Момент інерції. Рівняння динаміки обертального
Руху. -… хвил.
Момент імпульса. Закон збереження моменту
імпульса. -… хвил.
4. Поняття про гіроскопічний ефект. -… хвил.
Висновки та відповіді на питання -… хвил.
Навчально-матеріальне забезпечення
Гіроскоп.
Лектор -2000.Організаційно-методичні вказівки до проведеннялекції
Перевіряється наявність курсантів таоголошується тема, мета та питання, що вивчаються, дається література.
За допомогою «Лектора-2000» пояснитита визначити формулу кінетичної енергії обертального руху твердого тіла.
Пояснити, що в обертальному русі твердого тіламірою його інертних властивостей є момент інерції. Визначити рівняння динамікиобертального руху, пояснити за допомогою «Лектора-2000» тасформулювати закон збереження імпульсу.
Гіроскопічний ефект пояснити за допомогоюгіроскопу та «Лектора-2000». Звернути увагу на його застосування.Вступ
При порівнянні законів обертального тапоступального рухів спостерігається аналогія між ними, тільки в обертальномурусі замість сили виступає її момент, роль маси відіграє момент інерції. Врівняння динаміки обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осівходить його кутове прискорення. При обертальному русі аналогом імпульсуявляється момент імпульсу.
Закони збереження моменту імпульсу — фундаментальний закон природи. Він пов’язаний з певною властивістю симетріїпростору — його ізотропністю, тобто з інваріантністю фізичних законів відносновибору напрямку осей координат системи відліку.Момент сили. кінетична енергія обертовоготіла
Нехай тіло обертається під дією сили F. Довжинаперпендикуляру, опущеного з вісі обертання на лінію дії сили називається плечемсили. Добуток сили на плече називається моментом сили:
/> (1)
/>
Рис.1
Будь-який елемент маси обертового тіла маєлінійну швидкість /> і отже, він маєкінетичну енергію
/>.
Використавши співвідношення:
/>/>
Знаходимо
/>,
але /> являєсобою момент інерції елемента маси. Тому маємо:
/> (2)
Кінетична енергія всього тіла буде дорівнюватисумі кінетичних енергій всіх елементів мас:
/>.
Величина /> визначаєсобою момент інерції всього тіла відносно даної вісі обертання. Тому кінетичнаенергія обертового тіла рівна:
/>. (3)
Якщо тіло одночасно з обертанням рухаєтьсяпоступально, то його повна кінетична енергія рівна:
/>, (4)
де n — швидкість руху центрам мас тіла.
Момент інерції тіла відносно даної вісіхарактеризує інерційні властивості тіла при обертовому рухові навколо даноївісі.Момент інерції. рівняння динаміки обертовогоруху
При порівнянні законів поступового іобертального руху між ними існує аналогія. Так формули кінетичної енергії маютьоднаковий вигляд, але при обертанні тіл роль маси відіграє момент інерції. Якаж величина грає роль сили?
Розглянемо обертання твердого тіла навколовісі /> (рис.1)
Нехай на елемент маси /> діє сила />. Елемент маси обертаєтьсяз лінійною швидкістю />. Тоді із 2закону Ньютона маємо:
/>; />; /> (5)
Тому знаходимо:
/>.
Домноживши обидві частини останнього рівнянняна /> одержимо:
/>.
Просумуємо ці рівняння для всіх елементів тіла:
/>.
Величини /> являєсобою сумарний обертовий момент, що діє на тіло, а величина /> - момент інерції тіла. Тодімаємо:
/> (6)
Рівняння (6) називається основним рівняннямдинаміки обертового руху. Формулюється так: моментсили, що діє на тіло, дорівнює добутку моменту інерції тіла на кутовеприскорення. Рівняння (6) називають 2 законом Ньютона для обертового руху.
Момент імпульсу. закон збереження моментуімпульсу
З рівняння (5) маємо:
/>.
Домноживши обидві частини цього рівняння на />, одержимо:
/>.
При постійних /> /> можна записати так:
/>. (7)
Добуток імпульсу елемента маси /> на відстань від вісіобертання до елемента маси називається моментом імпульсу.
/> (8)
Просумуємо рівняння виду (7) для всіхелементів тіла. Знайдемо:
/>;
Дій /> (9)
Де /> сумарнийобертовий момент, що діє на тіло.
/> - момент імпульсу всього тіла (момент кількості руху). Можна записатитак:
/>,
або L = Iw, або /> (10)
Момент імпульсу — це вектор, направлений повісі обертання у відповідності з правилом правого гвинта. Таким чином, вектормоменту імпульсу співпадає з напрямом вектора кутової швидкості.
Таким чином, момент імпульсу тіла дорівнюєдобутку моменту інерції тіла на кутову швидкість. Рівняння (9) можна записатитак:
/>. (11)
або у векторній формі
/>.
Це рівняння називається рівнянням моментів.
Якщо на тіло діють сили або сумарний обертовиймомент дорівнює нулю, тоді маємо:
/> або />
В цьому і полягає закон збереження моментуімпульсу. Його можна записати так:
/> (12)
Момент імпульсу замкнутої системизберігається, тобто, не змінюється з плином часу.
Цей закон використовується спортсменами привиконанні стрибка через голову.
Роль імпульсу тіла при обертальному руховівідіграє момент імпульсу. Момент імпульсу пов’язаний з певною властивістюсиметрії простору — його ізотропністю, тобто з інваріантністю фізичних законіввідносно вибору напрямків вісей координат системи відліку (відносно поворотузамкнутої системи в просторі на будь-який кут).Поступальний рух Обертальний рух
Маса m
Момент інерції J
Шлях S
Кут оберту j
Швидкість />
Кутова швидкість />
Імпульс />
Момент імпульсу />
Прискорення />
Кутове прискорення />
Рівнодіюча зовнішніх сил />
Сума моментів зовнішніх сил />
Основне рівняння динаміки />
Основне рівняння динаміки />
Робота FdS
Робота обертання Mdj
Кінетична енергія />
Кінетична енергія обертання />
Закон збереження моменту імпульсу — фундаментальнийзакон природи.Поняття про гіроскопічний ефект
Розглянемо один з різновидів гіроскопів — гіроскоп на карданному підвіччі (рис.2). Дисковидне тіло — гіроскоп закріпленена вісі АА, яка може обертатися навколо горизонтальної вісі ВВ, яка в своючергу, може обертатися навколо вертикальної вісі СС. Всі 3 вісі перетинаються водній точці Д, що є центром мас гіроскопа і зостаючись нерухомою, вісьгіроскопу може прийняти будь-який напрям в просторі. Силами тертя в підшипникахвсіх трьох вісей і моментом руху кілець нехтуємо: тертя в підшипниках мале, топоки гіроскоп нерухомий, його вісі можна надати будь-який напрям. Якщо початишвидко обертати гіроскоп — (наприклад, за допомогою намотаної на вісі мотузочки)і обертати його підставку, то вісь гіроскопа зберігає своє положення в просторінезмінним. Це можна пояснити за допомогою основного закону динамікиобертального руху. Для гіроскопа, що вільно обертається, сила тяжіння не можезмінити орієнтацію вісі його обертання. Бо ця сила прикладена до центру мас (центробертання Д співпадає з центром мас), а момент сили тяжіння відноснозакріпленого центра має дорівнювати нулю. Моментом сили тертя ми нехтуємо. Тому,якщо момент зовнішніх сил відносно його закріпленого центра мас дорівнює нулю,то як слідує з рівняння (11).
/>,
тобто момент кількості руху гіроскопа зберігаєсвоє значення і напрям в просторі.
Незмінним буде і момент кількості рухугіроскопа відносно вісі обертання, рівний L = Jw і напрямлений вздовж вісіобертання. Отже, при даній умові вісь обертання гіроскопа зберігає своєположення в просторі.
Щоб вісь гіроскопа змінила свій напрям впросторі необхідно, згідно з (11), щоб момент зовнішніх сил, що прикладені догіроскопа, що обертається відносно його центра мас, відмінний від нуля, тоодержуємо явище, що має назву гіроскопічного ефекту. Він полягає в тому, що піддією пара сили F, прикладеної до вісі обертання гіроскопа, вісьгіроскопа (рис.2) обертається навколо прямої />,а не навколо прямої />, як це вважалосяб природним на перший погляд (/> лежатьв площині креслення, а /> і сили Fперпендикулярний до неї).
/> />
Рис.2 Рис.3
Гіроскопічний ефект пояснюється таким чином. МоментМ пари сил F напрямлений вздовж прямої />. За час /> момент імпульсу L гіроскопаодержує приріст /> (напрям /> співпадає з напрямом />) і стане рівним />. Напрям вектора L співпадаєз новим напрямом вісі обертання гіроскопа повернуться навколо прямої />. Якщо час дії сили малий,то хоч момент сил />великий, змінамоменту імпульсу /> гіроскопа будетеж малим. Тому сила практично не призводить до зміни орієнтації вісі обертаннягіроскопа в просторі. Для її зміни потрібно прикладати сили довгий час.
Якщо вісь гіроскопа закріплена підшипниками тов наслідок гіроскопічного ефекту виникають так звані гіроскопічні сили, щодіють на опори, в яких обертається вісь гіроскопа. Їхню дію необхідновраховувати при конструюванні пристроїв, що містять в собі масивні складовічастини, що швидко обертаються (наприклад, підшипники парових турбін накораблях).
Гіроскопи застосовуються в різнихгіроскопічних навігаційних приладах (гірокомпас, гірогоризонт і т.д.). Іншеважливе застосування гіроскопів — підтримання заданого напряму рухутранспортних засобів, наприклад судна і літака (автопілот) і ін. При будь-якомувідхиленні від курсу внаслідок якихось впливів (хвиль, порив вітру і т.д.) положеннявісі гіроскопа в просторі зберігається. Отже, вісь гіроскопа разом з рамамикарданового підвісу обертається відносно пристрою, що рухається. Оберт рам кардановогопідвісу за допомогою певних пристроїв містить рулі керування, які повертаютьрух до заданого курсу. Подібним же чином гіроскопи можуть застосовуватись дляавтоматичного керування рухом снарядів, що само рухаються.
Вперше гіроскоп застосований французькимфізиком Фуко (1819 — 1868 рр) для доказу обертання Землі.Висновки
Основна задача динаміки обертального рухутвердого тіла — визначити кутові координати точок обертового тіла в будь-якиймомент часу за відомими початковими кутовими координатами, кутовою швидкістю імоментом зовнішніх сил, які діють на тіло.
Моментом інерції тіла відносно осі називаєтьсявеличина, що дорівнює сумі моментів інерції всіх матеріальних точок, на якіможна уявно поділити тіло, відносно даної осі. Якщо тіло бере участь одночаснов обертальному і поступальному русі, то його кінетичну енергію визначають заформулою:
/>.
Другий закон динаміки обертального рухутвердого тіла визначається формулою:
/>
Момент імпульсу /> замкнутоїсистеми тіл відносно будь-якої нерухомої осі залишається сталим.
Навчальна література
1. Кучерук І.М.,Горбачук І.Г. Загальна фізика. Електроніка і магнетизм. — К.: Вища школа, 1990.
2. Савельев И.В. Курсфизики, т.3, Квантовая физика. — М.: 1989.
3. Трофимова Т.И. Курсфизики, — М.: Высшая школа, 1985, 432 с.
4. Бушок Г.Ф.,Левандовський В.В., Півень Г.Ф. Курс фізики (Оптика. Фізика атома і атомногоядра. Молекулярна фізика і термодинаміка), т.2,-Київ.: Либідь, 2001, — 421 с.