СЕВАСТОПОЛЬСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЯДЕРНОЙ ЭНЕРГИИ и ПРОМЫШЛЕННОСТИ
Кафедра«Электротехнических систем электропотребления»РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯРАБОТА № 2
по дисциплине
Электрическиеаппараты
Тема
Динамика работы и расчет времени срабатывания электромагнитапостоянного тока с пользованиемматематического пакета MathCadв среде Windows
Выполнил:
студент ЭСЭ23В класса
Левицкий П.В.
Севастополь2008
ПЛАН
1. Вступление. Теоретическиеположения расчета динамики электромагнитов постоянного тока
2. Расчет времени троганияэлектромагнита постоянного тока
2.1 Схемы включения электромагнитапостоянного тока
2.2 Уравнение динамики и времятрогания электромагнита постоянного тока при прямом включении катушкиэлектромагнита под напряжение
2.3 Уравнение динамики и времятрогания электромагнита постоянного тока при включении по схеме ускоренногопроцесса срабатывания
2.3.1 Определение изменения тока инапряжения во времени численным методом
2.3.2 Решение дифференциальныхуравнений с помощью преобразований Лапласа
2.3.3 Решение с использованиемпередаточной функции.
2.4 Уравнение динамики и времятрогания электромагнита постоянного тока при включении по схеме замедления процессасрабатывания
2.4.1 Определение изменения тока инапряжения во времени численным методом
2.4.2 Определение изменения тока инапряжения во времени операторным методом
2.4.3 Аналитический метод определениявремени трогания якоря электромагнита по графику
2.4.4 Решение с использованиемпередаточной функции
3.Заключение
1. Вступление. Теоретическиеположения расчета динамики электромагнитов постоянного тока
В таблице 1 даны конструктивные параметры электромагнита и элементов схемускорения и замедления срабатывания электромагнита.
Таблица 1.№ п/п U, В R, Ом
Rд, Ом L, Гн
iтр, А Вариант10 220 950 950 75 0,095
Динамика срабатыванияэлектромагнита постоянного тока.
Процесс срабатывания электромагнитов имеет динамических характер. Чтобыохарактеризовать динамический режим работы электромагнита, необходимо иметьзависимость изменения тока в обмотке и пути, пройденного якорем от времени.
Время срабатыванияэлектромагнита – это время с момента подачи напряжения на катушкуэлектромагнита до момента остановки якоря.
/>.
где tтр — время трогания и tдв- время движения.
В обычных конструкцияхэлектромагнитов время срабатывания
/> мсек
/>
Рис.1.1. Электромагнитпостоянного тока с обмоткой напряжения
После включения цепи,напряжение источника уравновешивается активным падением напряжения ипротиво-э.д.с. обмотки. При начальном неподвижном положении якоря, рабочийзазор δ относительно велик, поэтому магнитную цепь можно считатьненасыщенной, а индуктивность обмотки
/>; />.
Решение этого уравнения имеетвид:/>, где /> установившиесязначение тока, /> - постоянная времени цепи.
Ток обмотки, при которомначинается движение якоря, называется током трогания /> ( т. а рис.2.), а времянарастания тока от нуля до /> - временем трогания />.Уравнение тока для момента троганияможно записать в виде:/>. Решив это уравнение относительно времени трогания, получим/>. Таким образом, время трогания />пропорциональнопостоянной времени Т. Изменениетока до момента трогания происходит по экспоненте с постоянной времени Т. Придвижении якоря />, поэтому /> начинает уменьшаться, поскольку напряжениеисточника питания U постоянно. (а-b)- изменение тока при движении якоря. Точка b, на кривой 2, соответствует полному срабатыванию />. Спад токапрекращается. После остановки якоря ток будет меняться по закону />, где /> - постояннаявремени при />.Таккак /> соответствуетзамкнутому состоянию магнитопровода, а Т – разомкнутому, то />.
Динамика отпускания якоряэлектромагнита постоянного тока
Приразмыкании цепи обмотки электромагнита магнитный поток уменьшается, и в момент,когда сила тяги электромагнита становится меньше усилия пружины, происходитотпускание якоря. Время отпускания tотп состоит из времени спадапотока tсп от установившегося Фу до потока отпускания Фотпи времени движения tдв. tотп = tсп + tдв; Движение происходит засчет усилия противодействующей пружины. Принимая усилие противодействующейпружины постоянным Рпр.ср = (Рк+ Рн) / 2, где, Рк и Рн — усилия пружины при /> и />, то движениеякоря описывается уравнением />, где, а – ускорение; а = Рпр.ср/ m. Тогда время движения якоря />.
Нарис.1.2. представлен график полного цикла включения и отключенияэлектромагнита постоянного тока.
/>
Рис.1.2. График полногоцикла включения и отключения электромагнита
2. Расчет временитрогания электромагнита постоянного тока
2.1 Схемы включенияэлектромагнита постоянного тока
На рис.2.1. показанысхемы включения электромагнита постоянного тока: а) прямое включение катушкиэлектромагнита под напряжение; б) включение электромагнита по схеме ускоренногосрабатывания; в) включение электромагнита по схеме замедленного срабатывания.
/>
Рис.2.1. Схемы включенияэлектромагнита постоянного тока.
2.2 Уравнение динамики ивремя трогания электромагнита постоянного тока при прямом включении катушкиэлектромагнита под напряжение (схема рис.2.1, а)
Чтобы охарактеризовать динамический режим работы электромагнита найдём зависимостьизменения тока в обмотке от времени.
Математическиеописания схемы для интервала времени от начала подачи напряжения на катушкуэлектромагнита до момента начала движения якоря электромагнита выглядит так:
/>; />; />;
где: /> — постоянная времени катушкиэлектромагнита;
L=75 Гн, R= 950 Ом Т=0,07895
/> — установившееся значения тока.
U=220В, R= 950 Ом Iу=0,23158А
2.2.1 Определениеизменения тока во времени
/>;
/>;
/>; />; />; />;
/>;
/>;
/>
/>
/>
/>
/>
Рис.2.2 График изменения тока в катушкеэлектромагнита, включенной непосредственно на напряжение питания
Определение временитрогания якоря электромагнита:
/>; />
/>
/>
Т.е якорь начинаетдвигаться через 0,042с с момента подачи U.
Определение токатрогания:
/>
/>
/>
/>
Это же подтверждается играфиком (рис.2.3.) построенным по уравнению /> с использованием Mathcad
/>
Рис.2.3. График изменениятока в катушке электромагнита, включенной непосредственно на напряжение питанияи ток трогания.
2.3 Уравнение динамики ивремя трогания электромагнита постоянного тока при включении по схемеускоренного процесса срабатывания (схема рис.2.1, б):
Чем меньше активноесопротивление цепи, тем быстрее срабатывает электромагнит. Для уменьшениясопротивления R при неизменной индуктивности L и неизменных размерах электромагнита применяется добавочныйрезистор Rдоб, который шунтирован размыкающимконтактом или конденсатором Сдоб.
Уравнения, описывающиесхему :
/>
/>
Запишем уравнение даннойсхемы относительно тока в операторной форме:
/>
/>
Для обеспечения апериодическогопереходного процесса необходимо, чтобы корни знаменателя были вещественными. Этовозможно, когда:/>. Это уравнение решается вMACHCAD относительно С. При /> ( мкф ) апериодическийпроцесс изменения тока в катушке будет оптимальным.
/>
/>
/>
Так длячисленных данных параметров схемы Сопт будет иметь численноезначение в фарадах:
/>
/>
/>
2.3.1 Определениеизменения тока и напряжения во времени численным методом
Численный метод состоит всоставлении системы дифференциальных уравнений, описывающей работуэлектромагнита. Далее эта система решается с помощью MACHCAD, с использованием матрицы системы. Матрица системысоставляется из коэффициентов дифференциальных уравнений. Отдельно составляетсяматрица начальных условий.
Уравнение
/>
можно записать и в виде уравнений внормальной форме Коши:
/> />
СПРАВКА: В Mathcad 11имеются три встроенные функции, которые позволяют решать задачу Коши различнымичисленными методами.
· rkfixed(y0, t0,t1, N, D) — метод Рунге-Кутты сфиксированным шагом,
· Rkadapt(y0, t0,t1, N, D) — метод Рунге-Кутты с переменнымшагом;
· Buistoer(y0, t0,t1, N, D) — метод Булирша-Штера;
o у0 — вектор начальных значений вточке to размера NXI;
o t0 — начальная точка расчета, t1 —конечная точка расчета,
o N — число шагов, на которых методнаходит решение;
o D — векторнаяфункция размера NXI двух аргументов — скалярного t и векторного у. При этом у —искомая векторная функция аргумента t того же размера NXI.
Воспользуемсяфункцией Rkadapt(y0, t0, t1, N, D) -получим матрицу решения системы обыкновенныхдифференциальных уравнений численным методом Рунге-Кута на интервале от t0 до t1 (зададим от 0 до 5сек) при N фиксированных шагах решения (пусть N=1000), вектор заданныхначальных условий X0 (нулевые условия). Сформируем матрицу системы дифференциальныхуравнений 2-го порядка.
/>
Применим функцию: Rkadapt
/>
/>
-Интервал времени-нулевой столбец матрицы решений S.
-Значение искомойвеличины тока- первый столбец матрицы решений S.
/> напряжение на конденсаторе — второй столбец матрицы S
/>
И так далее 1000 значений(N=1000)
/>
/>
Рис. 2.4. Графикизависимости тока в катушке электромагнита и напряжения на конденсаторе отвремени при ускоренном срабатывании электромагнита (численное решение)
2.3.2 Решениедифференциальных уравнений с помощью преобразований Лапласа
Преобразование Лапласапозволяет решать дифференциальные уравнения высоких порядков в более лёгкойформе. При переходе в комплексную область дифференцирование заменяется степенью.Для обратного перехода используется функция Invlaplace.
/>
/>
/>
Рис.2.5. Графикизависимости тока в катушке и напряжения на конденсаторе от времени приускоренном срабатывании электромагнита ( с помощью преобразования Лапласа)
2.3.3 Решение сиспользованием передаточной функции.
/>
Используя обратноепреобразования Лапласа к уравнению для тока определим зависимость тока вкатушке электромагнита от времени. Будем полагать, что напряжение, приложенноек катушке электромагнита, является ступенчатой функцией времени. Используя ЭВМ,получим:
/>
/>
/>
Рис.2.6. Графикзависимости тока от времени при ускоренном срабатывании электромагнита (решениес помощью передаточной функции)
/>
Рис.2.7. График изменениянапряжения на катушке электромагнита, полученный в результате решения с использованиемпреобразования Лапласа.
Решение нагляднопоказывает, что установившееся значение напряжения =110,205 В
/>
/>
Рис. 2.7. Значениеустановившегося напряжения на катушке электромагнита.
2.4 Уравнение динамики ивремя трогания электромагнита постоянного тока при включении по схемезамедления процесса срабатывания (рис. 2.1, в)
2.4.1 Определениеизменения тока и напряжения во времени численным методом
Уравнения, описывающиеработу электросхемы:
/> /> />
Воспользуемсяфункцией Rkadapt (y0, t0, t1, N, D) -получим матрицу решения системы обыкновенныхдифференциальных уравнений численным методом Рунге-Кута на интервале от t0 до t1 (зададим от 0 до 5сек) при N фиксированных шагах решения (пусть N=1000), векторзаданных начальных условий X0 (нулевые условия). Сформируем матрицусистемы дифференциальных уравнений, соответствующую заданному дифференциальномууравнению 2-го порядка./> /> /> /> /> /> /> /> />
Т-нулевой столбец, i- первый столбец, Uс- второй столбец.
/>
/>
/>
Рис.2.8. Графикизависимости тока в катушке электромагнита и напряжения на конденсаторе отвремени при замедленном срабатывании электромагнита (численный метод решениядифференциальных уравнений)
2.4.1 Определениеизменения тока и напряжения во времени операторным методом
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Составляем оператор. Врасчётах применяется функция Mathcad identity (2) — создаётединичную матрицу ( по диагонали стоят единицы) размером 2*2 и операция обратнаяматрица (-1).Для ввода оператора поиска обратной матрицы нажмём кнопку Inverse(Обратная матрица) на панели инструментов Matrix (Матрица).Применяем функцию invlaplace для обратного перехода изкомплексной области.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Рис.2.9. Графикизависимости тока в катушке электромагнита и напряжения на конденсаторе отвремени при замедленном срабатывании электромагнита (операторный метод решениядифференциальных уравнений)
/>
Рис. 2.10.Сравнительныйанализ времени трогания по схеме прямого включения и схемы с запаздыванием.
Как видно из графиковкривая зависимости тока от времени при схеме включения с запаздыванием лежитниже. Время трогания увеличивается с 0,042с до 0,13 сек.
/>
Рис.2.11. Установившеесязначение напряжения на конденсаторе.
Из рис.2.11. видно, чтонапряжение на конденсаторе принимает установившееся значение Uс=110 В.
2.4.3. Аналитическийметод определения времени трогания якоря электромагнита по графику
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
2.4.4 Решение с использованиемпередаточной функции
Передаточная функция длясхемы с замедлением имеет вид:
/>, следовательно
Уравнения, описывающиеработу схемы:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Переходим из комплекснойобласти с помощью функции invlaplace
/>
/>
Рис.2.12. Графикзависимости тока от времени при замедленном срабатывании электромагнита (методрешения с помощью передаточной функции)
Заключение
Целью данной РГР являетсяподтвердить расчетами теоретические положения расчета времени трогания электромагнитовпостоянного тока, включенных по различным схемам срабатывания. Были изучены возможностиматематического пакета MathCad в среде Windows для решения дифференциальных уравнений, описывающих динамику электромагнитовпостоянного тока. Для схем включения электромагнита при ускоренном или замедленном срабатываниибыли составлены системы дифференциальных уравнений в форме Коши, описывающих ихработу. Системы решалисьс помощью функции MATHCADRkadapt(y0, t0, t1, N, D) — методРунге-Кутты с переменным шагом, так получено численное решение. Кроме того былииспользованы передаточные функции. При переходе из комплексной области вовременную применяется обратное преобразование Лапласа (функция invlaplace). Для схемы замедления использовалсятакже операторный метод. Решение в MATHCAD связано с операциями над матрицами. Вычисления нагляднодемонстрируют графики. Графики, построенные при разных способах решениясовпадают.
Результаты расчётов: время трогания электромагнита постоянноготока 0,042с и 0,1296с для схем прямого и замедленного подключениясоответственно. Кривая зависимости тока от времени при схеме включения сзапаздыванием лежит ниже. Ток трогания 0,095 А.