Реферат по предмету "Физика"


Дифференциальное уравнение относительного движения механической системы

Задание
 
/>
Исходные данные
 
Форма тела 1 Однородная пластина
Масса тела 1
m1 кг 5
Масса материальной точки 2
m2 кг 0,1
Размеры a м 2 h м 3
Обобщенные координаты Обозначения Начальные значения для I этапа q1 = j рад
j0 = 0 q2 = x м
x0 = 0,8
Жесткость пружины с Н/м 10
Длина свободной пружины
l0 м 0,8
Угловая скорость тела 1
w1 рад/c 4
Конец Iэтапа движения
t1 с 5
Конец II этапа движения
t2 с 5

СодержаниеВведение1. Поведение системы в условиях стабильного закона движения2. Поведение системы в конкретных условиях3. Поведения системы в условиях малых колебанийСписок использованной литературы
/>Введение
Изучение теоретической механики какодной из фундаментальных физико-математических дисциплин играет важную роль вподготовке специалистов по механико-математическим и инженерным направлениям.Оно позволяет будущим специалистам не только получить глубокие знания оприроде, но и вырабатывает у них необходимые навыки для решения сложных научныхи технических задач, для которых требуется построение математических моделейразнообразных механических систем, развивает способности к научным обобщениям ивыводам
Теоретическая механика, как частьестествознания, использующая математические методы, имеет дело не с самимиматериальными объектами, а их математическими моделями. Такими моделямиявляются материальные точки, системы материальных точек, твердые тела идеформируемая сплошная среда. В курсовой работе рассматриваются простейшиесистемы, которые состоят из твердых тел, совершающих простейшие движения, иперемещающейся по телу материальной точки.

1. Поведение системыв условиях стабильного закона движения  1.1 Относительное движение материальной точки
/>
Рис.1 Схема механической системы идействующие на шарик силы
Свяжем подвижную систему координат Оxyс вращающейся пластиной как показано на рисунке.
Вращение пластины вместе с системойкоординат Oxy вокруг оси являетсяпереносным движением для шарика. Относительным движением шарика является егодвижение вдоль трубки, расположенной вдоль пластины.
Дифференциальное уравнениеотносительного движения для рассматриваемого случая равномерного вращенияпластины имеет вид
/>, (1.1.1)
где m– масса материальной точки;
/> - ускорение точки в подвижнойсистеме отсчета;
/> - внешние силы: />, />
/> - реакции связей: />-нормальная реакциястенки трубки;
/> и /> - переносная и кориолисова силыинерции.
Вращение пластины происходит равномерно,следовательно />=0, значит />-.
Силы инерции /> и /> направлены противоположнопереносному центростремительному /> и кориолисову ускорению />,соответственно. Направление ускорения /> определим по правилу Жуковского:необходимо спроектировать относительную скорость шарика в плоскость вращения, азатем повернуть вектор этой скорости на 900по направлению вращения,и получим направление ускорения Кориолиса.
Предположим, что относительная скоростьшарика положительна. В этом случае кориолисова сила инерции /> направлена параллельнооси Оy подвижной системыкоординат.
Модули сил инерции определяются поформулам:
/>=/>/>
/>=/>.
Найдем зависимость heот х:
/> />
/>
В итоге уравнение (1.1.1) примет вид:
/>/>
Спроектируем векторное уравнениеотносительного движения шарика на оси подвижной системы координат Оxy:
/> (1.1.2)
/>. Выберем φ0=0→ φ=/>; />
Рассмотрим проекцию на ось Ох. Разделимобе части уравнения на массу тела:
/> 
/>, где />/> (1.1.3)
Общее решение полученного линейногонеоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами будемискать виде
x=X+/>,
где Х – общее решение соответствующегооднородного уравнения,
/>-частное решение неоднородногоуравнения.
 Однородное уравнение имеет вид

/>=0, (1.1.4)
которому соответствует следующеехарактеристическое уравнение
/>
/>
/>i,
Т.к. величина под корнем отрицательна, тообщим решением однородного дифференциального уравнения (1.1.3) будет являтьсяфункция:
Х=/>,
где С1 и С2 –постоянные интегрирования.
Частное решение уравнения (1.1.3) будемнаходить как результат суперпозиции двух решений: />.
Для /> имеем:
/> (1.1.5)
/>, где /> k=0,значит
/>
/>
/>
Подставим в (1.1.4):
/>
/>
При sin/>: />
B=/>
При cos/>: />
A=/>
Тогда />
Для /> имеем:
/>
Тогда общее решение дифференциальногоуравнения относительного движения шарика (1.1.3) принимает вид
x=/>/>
/>
Скорость этого движения равна
/>
Составляющую реакции стенки трубки Nyопределимиз второго уравнения системы (1.1.2)
/>
где /> определяется соответствующимвыражением.
 1.2 Закон изменения движущих сил,обеспечивающих заданное движение тела. Реакции внешних опор.
 
/>
Рис.2 Определение реакций в опорах
Определим проекции реакций опоры на осинеподвижной декартовой системы координат O1x1y1(рис.2).
Запишем уравнение теоремы о движениицентра масс для рассматриваемой механической системы в векторном виде:
/> (1.2.1)
Проектируя уравнение (2.1) на оси системыкоординат О1x1y1получаем
/>,
/> (1.2.2)
По известным формулам находим координатыцентра тяжести системы,
/>/> (1.2.4)
Дифференцируя уравнения1.2.3,1.2.4, получим
/>
/>
Вычисляя вторыепроизводные получим

/>
/> (1.2.5)
Подставляя (1.2.5) в уравнения (1.2.2),получаем проекции реакций в опоре О1 на оси неподвижной системыкоординат:
/>
/>
При этом мы учли, что />
/>
Рис.3 Определение вращательного момента

Применим теорему об изменениикинетического момента для определения внешнего момента, обеспечивающегоравномерное движение ведущего звена механической системы. Выберем за ось zось вращения:
/>. (1.3.1)
Определим кинетический моментрассматриваемой системы относительно оси Oz.
/> ,
где /> - осевой момент инерции пластины,/>-угловаяскорость вращения.
Шарик М совершает сложное движение-относительное вдоль желоба пластины(см. рис.3) со скоростью /> и переносное вместе спластиной. Переносная скорость /> перпендикулярна пластине и помодулю равна:
/>,
где />
Кинетический момент шарика относительнооси z равен
/>
/>,
Кинетический момент всей системы равен
/> (1.3.2)
Определим главный момент внешних силотносительно оси z. Реакции опор /> пересекают осьвращения и момент относительно этой оси не создают. Определим момент силытяжести шарика и пластины:/>
/> /> 
Отсюда имеем:
/>, (1.3.3)
где Mвр.-внешний момент, обеспечивающий равномерное вращение пластины.
Подставляя 1.3.2, 1.3.3 в уравнениетеоремы об изменении кинетического момента системы 1.3.1, получаем
/>.
Учитывая, что ω=constполучим:
/>

2. Поведение системы в конкретных условиях 2.1 Дифференциальные уравнения движения системы и ихинтегрирование
Составим уравнения движения с помощьюуравнений Лагранжа 2-го рода. В выбранных обобщенных координатах /> и /> они принимают вид:
/> (2.1.1)
где />/> — кинетическая энергия системы;
/> — обобщенные силы, соответствующиеобобщенным координатам /> и />.
Найдем кинетическую энергию системы. Онасостоит из кинетических энергий всех тел, входящих в систему:
/>
/> 
/>
Абсолютная скорость шарика /> равнагеометрической сумме относительной и переносной скоростей (см. рис. 3), еевеличина определяется по формуле:

/>
/>
Тогда для кинетической энергии системыполучим:
/> (2.1.2)
Введем обозначения:
/>
Найдем все производные левой частиуравнений (2.1.3):
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Обобщенные силы можно определить двумяспособами:
1. Фиксируем координату />, даем виртуальноеперемещение />,находим элементарную работу:
/>
/> 
Фиксируем координату />, даем виртуальноеперемещение />,находим элементарную работу:
/>
/>
2. Вычислим потенциальную энергиюсистемы:
/> 
Найдем обобщенные силы:
/>/>
/>
Подставив производные левой частиуравнений (2.1.1) и обобщенные силы /> и /> в уравнения (2.1.1), получимдифференциальные уравнения движения системы:
/>
Для решения системы дифференциальныхуравнений движения механической системы проведем численное интегрирование наЭВМ. Результаты численного интегрирования приведены в приложении №2.
Для проверки численного интегрированиянайдем, исходя из полученных данных, значения потенциальной и кинетическойэнергии механической системы. Суммируя значения потенциальной и кинетическойэнергии механической системы проверим, выполняется ли Закон сохранения энергии(см. приложение №2).2.2 Определение реакций в опорахметодом кинетостатики
Выберем для нашей системы неподвижнуюсистему координат О1X1Y1,(cм. рис.4).
/>
Рис.4. Силы, действующие на систему
Уравнения кинетостатики в векторнойформе имеют вид
 
/> (2.2.1)
где /> — главные векторы активных сил,реакций связей и сил инерции;
/> — главные моменты активных сил,реакций связей и сил инерции относительно точки О1.
Сила инерции шарика как материальнойточки, совершающей сложное движение, равна геометрической сумме относительной,переносной и кориолисовой сил инерции:
/> 
/>,
/> 
Сила инерции пластины будет равна:
/> 
Модули сил инерции равны
/> , /> , /> /> (2.2.2)
Изобразим активные силы, реакции опоры исилы инерции, действующие на механическую систему (рис. 4). Векторные уравнениякинетостатики (2.2.1) в проекциях на оси неподвижной системы координат OX1Y1имеют вид
/> (2.2.3)
Cучётом выражений для сил инерции (2.2.2), уравнения (2.2.3) принимают вид
/>
Найденные уравнения реакций шарнира ивращательного момента совпадают с теми, что были найдены в предыдущих частяхкурсовой работы.

3. Поведения системы в условиях малыхколебаний 3.1 Положения равновесия механической системы и их устойчивость
Для определения положения равновесиямеханической системы воспользуемся выражением для потенциальной энергии системы,которое было выведено нами во втором разделе курсовой работы (см. п. 4):
/> (3.1.1)
Найдем возможные положения равновесиясистемы. Значение обобщенных координат в положениях равновесия есть корнисистемы уравнений:
/>
Решая систему уравнений, получаем двавозможных положение равновесия:
/>.
Для оценки устойчивости полученныхположений равновесия определим обобщенные коэффициенты жесткости. Найдем всевторые производные потенциальной энергии (3.1) по обобщенным координатам:

/>
Для первого положения равновесияобобщенные коэффициенты жесткости равны:
/>
Воспользуемся критериемСильвестра:
/>
Для второго положения равновесияобобщенные коэффициенты жесткости равны:
/>
Воспользуемся критериемСильвестра:
/>
Таким образом, система принимаетединственное устойчивое положение равновесия при: /> 
3.2 Частоты главных колебаний. Уравнениядвижения материальной точки и твердого тела при колебаниях
Для нахождения частот и форм главныхколебаний, выпишем полученные значения обобщенных коэффициентов инерции ижесткости в положении устойчивого равновесия, при: />.
/>
/> 
/>
/>
В положении равновесия:
/> (3.2.1)
Запишем дифференциальные уравнения малыхколебаний механической системы:
/>
Составимхарактеристическое уравнение:
/>
Или в развернутом виде:
/>
Найдем корни характеристическогоуравнения, подставляя в уравнение найденные значения обобщенных коэффициентовинерции и жесткости:
/>
Определим коэффициентыформ колебаний:
/>
Таким образом, движение рассматриваемойсистемы при собственных колебаниях будет происходить по следующему закону:

/> (3.2.2)
 
3.3Уравнения движения материальной точкии твердого тела при колебаниях
Найдем значения постоянныхинтегрирования />системы уравнений (3.2.2) дляследующих начальных условий:
/>
/>
Решая системууравнений, получим:
/> />
/>
С учетом полученных значений постоянныхинтегрирования запишем окончательный вид уравнений колебаний:

/>
/>Списокиспользованной литературы
1.   АвраменкоА.А., Архипов В.В., Асланов В.С., Тимбай И.А. Динамика точки и механическойсистемы. – Самара: СГАУ. – 2001. – 84 с.
2.   СТПСГАУ 6.1.4. – 97. Общие требования к оформлению учебных текстовых документов:методические указания.


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.

Сейчас смотрят :

Реферат Понятие и структура банковской системы
Реферат Проектирование удаленного устройства индикации
Реферат Философия мифологии
Реферат Повышение мотивации труда
Реферат Управение проектами средствами Microsoft Project
Реферат Классификация «ложных друзей переводчика»
Реферат Транспортное страхование ВЭД
Реферат Логистика в вооруженных силах НАТО и бундесвера
Реферат Злокачественная артериальная гипертензия (ЗАГ)
Реферат Безопасность эксплуатации блочных трансформаторов типа ТДЦ-400000/330/20
Реферат Агента ООО туристическая фирма «Вест тревел клуб»
Реферат Аннотация программы дисциплины «Распространение радиоволн и антенно-фидерные устройства в телерадиовещании»
Реферат B1 в правой части приведенной формы системы одновременных уравнений, построенной по перекрестным данным (cross-section data) без учета временных факторов, могут стоять переменные лаговые зависимые эндогенные экзогенные
Реферат Персидская Советская Социалистическая Республика
Реферат Місце і роль США у світовому господарстві