Контрольная работа
«Графический и расчётныйсинтез сложной кривой по её амплитудному и фазовому спектру»
Введение
В данномзадании мы познакомимся с простыми колебаниями (колебания гармоник), атакже со сложными (суммирующая) колебаниями. Простое колебание (гаомоническое)графически выражается синусоидой. Синусоида, в свою очередь, являетсяотражением движения по окружности. Характеризуется: периодом, частотой,амплитудой, начальной фазой.
Цель задания: ознакомление с двумяспособами синтеза сложной кривой: графическим и цифровым. Графический ицифровой синтез сложного колебания по заданным значениям его гармоник (амплитуда,начальная фаза). В конечном итоге заданное периодическое колебание будетпредставлено в виде суммы его гармоник (также синусоидальных колебаний).
синтез графический цифровой колебание
Y(t)=Y1(t)+ Y2(t)+ … + Yk(t),
Где Y1(t), Y2(t), …, Yk(t) – величина отклоненияколеблющейся частицы каждого простого колебания, из которых состоит сложноеколебание (в момент времени t). Таким образом, можно синтезировать кривуюсложного колебания графическим способом.
Но можно иматематическим способом, с помощью теоремы Фурье:
Y(t)=Y1sin(ω1t+φ1)+ Y2sin(ω2t+φ2)+ … + Yksin(ωkt+φk)
Где Y1, Y2, …, Yк соответствующиеамплитуды гармоник
ω1, ω2, …, ωк – круговые частотыгармоник
φ1, φ2, …, φk – начальные фазыколебаний
Сложноепереодическое колебание состоит из гармоник, частоты которых кратны частотепервой гармоники (основного тона). Высокие гармоники, начиная со второй,называются обертонами, которые не всегда могут являться гармониками, еслипериод их колебаний не укладывается в периоде основного тона целое число раз.
В даннойработе мы будем синтезировать кривую сложного колебания графическим способом.Чем меньше мы возьмем шаг отсчета во времени Δt, тем точнее мы сможемпостроить кривую.
1.Графический синтез сложной кривой
Даныпараметры сложных колебаний, состоящих из трех гармоник:
1.1Методика графического синтеза сложной кривой
Все гармоники необходимостроить учитывая их порядковый номер, так, как частота зависит от порядковогономера.
Методикаграфического синтеза сложной кривой заключается в построении графиковсинтезируемых гармоник на миллиметровой бумаге, измерении длины отрезков вместах выборки, а после – нахождении суммы и начертании искомой кривой.
Таблица 1.K 1 3 4
Y1K 50 40 30
Y2K 50 45 60
φ1k 90 180
φ2k 90 180
Где k – номер гармоники
Yk – амплитуда k – той точки
φk – начальная фаза k – той гармоники
1.2 Описаниепроцедуры графического синтеза
Используятеорему Котельникова, говорящую о том, что всякую кривую можно представить ввиде суммы кривых, т.е. дискретизировать в частотном пространстве, строим этикривые.
По осивремени t через равные промежутки времени Δt отметим точки (шагдискретизации). Возьмем шаг отсчета равный 1 см и в каждой точке измеримзначения y(t) каждой из функций. Запишем их в таблицы 2 и 3.
Намиллиметровой бумаге откладываем фазы колебаний и соответствующие им значенияамплитуд. Соединяя полученные точки, вычерчиваем графики колебаний заданныхгармоник.
Изполучившихся графиков простых колебаний складывая алгебраически значенияамплитуд в соответствующих фазах колебаний мы получаем результирующую кривуюсложного колебания.
2.Цифровой синтез сложной кривой
2.1Методика цифрового синтеза сложной кривой
Все гармоники необходимостроить учитывая их порядковый номер, так, как частота зависит от порядковогономера.
Методикаграфического синтеза сложной кривой заключается в построении графиковсинтезируемых гармоник на миллиметровой бумаге, измерении длины отрезков вместах выборки, а после – нахождении суммы и начертании искомой кривой.
Процесс методикизаключается в том, что:
Во-первых,нужно определить шаг дискретизации (на графике выраженный в сантиметрах),найти точки, в которых будет производиться выборка отдельно для каждойгармоники и перевести их координаты в градусы;
Во-вторых,рассчитать в этих точках значение каждой синусоиды по формуле:
YKι=YK·sin(ακι·ι+αι)
В-третьих, для получениярезультирующей кривой суммируем для каждой выборки численные значения всехсоставляющих.
Результаты заносим втаблицу.
2.2 Расчеты сложногоколебания
Таблица 2.
K
1
3
4
Σ
T
Y1k
Y1k
Y1k 40 40 1 7 34 -5 36 2 12,5 19,5 -10 22 3 19 15 -15 19 4 30 10 -21,5 18,5 5 36,5 5 -26,5 15 6 43 -30 13 7 48,5 -5 -26,5 12 8 50 -10 -21,5 18,5 9 48,5 -15 -15 18,5 10 43 -19,5 -10 13,5 11 36,5 -34 -5 -2,5 12 30 -40 -10 13 19 -34 5 -10 14 12,5 -19,5 10 3 15 7 -15 15 7 16 -10 21,5 11,5 17 -7 -5 26,5 14,5 18 -12,5 30 17,5 19 -19 5 26,5 2,5 20 -30 10 21,5 1,5 21 -36,5 15 15 -6,5 22 -43 19,5 10 -13 23 -48,5 34 5 -9,5 24 -50 40 -10 25 -48,5 34 -5 -19,5 26 -43 19,5 -10 -33,5 27 -36,5 15 -15 -36,5 28 -30 10 -21,5 -41,5 29 -19 5 -26,5 -40,5 30 -12,5 -30 -42,5 31 -7 -5 -26,5 -38,5 32 -10 -21,5 -31,5 33 7 -15 -15 -23 34 12,5 -19,5 -10 -17 35 19 -34 -5 -20 36 30 -40 -10 37 36,5 -34 -5 -2,5 38 43 -19,5 -10 -13,5 39 48,5 -15 -15 18,5 40 50 -10 -21,5 18,5 41 48,5 -5 -26,5 17 42 43 -30 13 43 36,5 5 -26,5 15 44 30 10 -21,5 18,5 45 19 15 -15 19 46 12,5 19,5 -10 22 47 7 34 -5 36 48 40 40
Таблица 3.
K
1
3
4
Σ
T
Y1k
Y1k
Y1k 45 45 1 7 39 -43 3 2 12,5 19 -60 -28,5 3 19 -43 -24 4 30 -19 11 5 36,5 -39 43 40,5 6 43 -45 60 58 7 48,5 -39 43 52,5 8 50 -19 31 9 48,5 -43 5,5 10 43 19 -60 2 11 36,5 39 -43 32,5 12 30 45 75 13 19 39 43 101 14 12,5 19 60 91,5 15 7 43 50 16 19 19 17 -7 39 -43 -11 18 -12,5 45 -60 -27,5 19 -19 39 -43 -23 20 -30 19 -11 21 -36,5 43 6,5 22 -43 -19 60 -2 23 -48,5 -39 43 44,5 24 -50 -45 -95 25 -48,5 -39 -43 -130,5 26 -43 -19 -60 -122 27 -36,5 -43 -79,5 28 -30 -19 -49 29 -19 -39 43 -15 30 -12,5 -45 60 2,5 31 -7 -39 43 -3 32 -19 -19 33 7 -43 -36 34 12,5 19 -60 -28,5 35 19 39 -43 15 36 30 45 75 37 36,5 39 43 118,5 38 43 19 60 122 39 48,5 43 91,5 40 50 19 69 41 48,5 39 -43 32,5 42 43 45 -60 28 43 36,5 39 -43 32,5 44 30 19 49 45 19 43 62 46 12,5 -19 60 53,5 47 7 -39 43 11 48 -45 -45
Заключение
В результатеграфического синтеза были получены результирующие колебания двух периодическихсигналов. Периоды этих результирующих колебаний равны периодам колебаний первыхгармоник (основного тона). При постоянных амплитудах трех гармоник изменялисьзначения фаз, такое изменение привело к значительному изменению формы второйрезультирующей кривой (максимальное значение Y2K=122 мм) посравнению с первой (максимальное значение Y1K=40 мм). Также присравнении результатов графического синтеза видно, что если результирующееколебание с фазовыми изменениями гармоник коренным образом меняет форму кривой,то амплитудные изменения влияют только на амплитуду результирующего колебания.