--PAGE_BREAK--1.3 Операторный метод анализа переходных процессов
Если для классического метода анализа колебаний в линейных электрических цепях с сосредоточенными элементами при произвольных воздействиях сводится к решению неоднородной системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях, то для аналитического решения этих уравнений в теории электрических цепей нашли широкое применение операторные методы. Операторный метод анализа позволяет сводить линейные дифференциальные уравнения к более простым алгебраическим уравнениям что в ряде случаев упрощает расчеты. Его идея заключается в том, что расчет переходного процесса переносится из области функций действительной переменной (времени t) в область функций комплексной переменной р. Такое преобразование называется прямым.
В настоящее время операторные методы связывают с применением преобразования Лапласа:
,
где f(t) – однозначная функция времени, называемая оригиналом; F(p) – функция комплексной переменной р, называемая лапласовым изображением.
2. РАССЧЁТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
2.1 Определение начальных и конечных условий в цепях с нулевыми начальными условиями
В приведенной схеме (рисунок 2.1) определить начальные и конечные условия для всех токов и напряжений в цепи с нулевыми начальными условиями. Результаты вычислений внести в таблицу.
Данные для рассчета приведены в таблице 2.1:
Таблица 2.1
R1, Ом
R2, Ом
С, Ф
С1, Ф
L, Гн
L1, Гн
Е, В
4
12
1/12
-
6/5
-
8
Рис. 2.1 Схема индивидуального варианта.
Решение.
2.1.1 Начальные условия
Переходной процесс в схеме начинается в момент включения ключа К. До этого момента времени все токи и напряжения равны нулю.
2.1.2 Расчёт начальных условий .
Изобразим эквивалентную схему цепи для времени . Так как это цепь с нулевыми начальными условиями, то индуктивность заменим разрывом, а емкость – перемычкой (рисунок 2.2).
Рис. 2.2 Эквивалентная схема цепи для времени .
В этой схеме
;.
Тогда по закону Ома:
.
Напряжения на сопротивлениях R1 и R2 :
,
.
Тогда напряжение на индуктивности:
.
Контроль вычислений.
Формулы для контроля вычислений:
; ; .
Тогда:
1-ый закон Кирхгофа выполняется
2-ой закон Кирхгофа для 1-го и 2-го контуров выполняется.
продолжение
--PAGE_BREAK--2.1.3 Расчёт конечных условий
После окончания переходного процесса все токи и напряжения в схеме (рисунок 2.1) будут постоянными. Тогда ёмкость Cв эквивалентной схеме заменяется разрывом, а индуктивность Lперемычкой (рисунок 2.3).
Рис. 2.3 Эквивалентная схема цепи для времени .
Контроль вычислений.
1-ый закон Кирхгофа выполняется
2-ой закон Кирхгофа для 1-го и 2-го контуров выполняется.
Таблица 2.2Результаты вычислений
t
0 –
0+
¥
i1, A
0
2
0
i2, A
0
0
0
i3, A
2
uL, B
0
8
0
uС, B
0
0
8
uR1, B
0
8
0
uR2, B
0
0
0
С учетом НУ и КУ можно качественно построить графики (рисунок 2.4).
Рис. 2.4 Качественные графики.
2.2 Определение переходных процессов классическим методом
В приведенной схеме (рисунок 2.1) определить классическим методом напряжения и токи переходного процесса. Построить графики переходных процессов.
2.2.1 Решение дифференциального уравнения для тока на емкости
Принужденная составляющая тока на индуктивности, поэтому
2.2.2 Определение корней и Для определения корней характеристического уравнения и составляется эквивалентная операторная схема цепи (рисунок 2.5), далее находится операторное входное сопротивление и приравнивается к нулю ().
Рисунок 2.5 Эквивалентная операторная схема цепи.
Операторное сопротивление емкости , а индуктивности , тогда
Условие выполняется, если числитель равен нулю:
корни этого уравнения:
;
Подставим значения и в уравнение для :
продолжение
--PAGE_BREAK--