Модель теплового состояния аппарата сепарации
Ставится задача определения времени, необходимого дляокончания процесса сепарации аппаратавосстановления титана, и теплового состояния сепарируемой массы во времяпроцесса.
Нагрев аппарата происходит в три стадии:
Прогревреакционной массы. Оканчивается, когда на внутренней поверхности стенкиаппарата достигается температура кипения магния, соответствующаяподдерживаемому в аппарате давлению.
Кипение летучих.Будем полагать, что фронты кипения Mg и MgCl2 движутся поступательновнутрь аппарата от стенки, образуя коаксиальные цилиндрические поверхности (см.рис. ниже).
Стадия конечногопрогрева после выкипания большей части летучих. Тепловые свойства аппаратаопределяются свойствами титановой губки.
Аппарат находится в печи сепарации. Тепло к нему подводитсявследствие теплообмена излучением с нагревателями печи и конвективноготеплообмена с воздухом, заполняющим печь. В первом приближении, суммарныйтепловой поток
где
– температуранагревателей,
– температура воздухав печи,
– коэффициенттеплоотдачи при свободной конвекции,
– интегральныйкоэффициент теплопередачи излучением, зависящий от степени черноты тел иуглового коэффициента облучения.
Для системы печь – аппарат можно принять коэффициент теплопередачиизлучением
где Вт/(м2К4),
м2 –площадь излучателей (нагревателей печи),
м2 –площадь поверхности аппарата,
м – высота аппарата.
Коэффициент лучистого теплообмена для системы воздух –аппарат определяется, исходя из парциальных давлений паров воды и углекислогогаза. В рассматриваемых условиях наличие паров воды маловероятно, а коэффициенттеплового излучения CO2 в интервале температур 600...1200 оСблизок к 0.3, то есть
где
– то же для условнобесконечного слоя.
Аналогичным образом можно записать тепловые потоки длянагревателей печи и воздуха, заполняющего печь.
Расход тепла из аппарата происходит излучением через крышкув реторту-конденсатор:
где – коэффициенттеплопередачи от аппарата к реторте-конденсатору,
– температурареторты-конденсатора (» 390 К).
Согласно записанным выше соображениям, порядок можно оценитьследующим образом:
Множитель 1/2 принят из-за того, чтомежду аппаратом и конденсатором находится тепловой экран, как минимум вдвоеснижающий лучистый тепловой поток.
Кроме того, происходит унос тепла вместе с продуктами возгонки. Оценить его можно,только достоверно зная массовый поток и температуру сублимированных продуктов.Этот вопрос выходит за рамки настоящего исследования.
На первой стадии можно рассматривать аппарат как сплошноецилиндрическое тело. Задача нагрева бесконечного цилиндра, помещенного вподогревающую среду, имеет аналитическое решение
где – относительнаятемпература,
– температура цилиндрана радиусе
– начальнаятемпература цилиндра (до нагрева),
– температураподогревающей среды (воздуха в печи),
– n-й кореньхарактеристического уравнения
– критерий Био,
– коэффициенттеплоотдачи от подогревающей среды,
– радиус аппарата, м,
– коэффициенттеплопроводоности материала цилиндра,
– коэффициенты,
– критерий Фурье,
– коэффициенттемпературопроводности материала цилиндра,
– плотность материалацилиндра,
– теплоемкостьматериала цилиндра,
– время прогрева,
– функция Бесселя k-гопорядка, являющаяся решением уравнения
Оценим порядок критериев, входящих в это уравнение.
По окончании процесса восстановления в аппарате содержитсяпорядка 60% (массовых) Ti, 20...30% Mg и 10...20% MgCl2. Плотность титана 4.35, магния 1.8, MgCl2порядка 2.7, следовательно, средняя плотность реакционной массы
3.
Примем следующие зависимости от температуры теплофизическихпараметров:
Дж/(кг К) в твердомсостоянии,
Дж/(кг К) в жидкомсостоянии,
Дж/(кг К) в твердомсостоянии
Дж/(кг К) в жидкомсостоянии,
Дж/(кг К),
Вт/(м К) в твердомсостоянии
Вт/(м К) в жидкомсостоянии
Вт/(м К)
Вт/(м К)
кДж/кг
кДж/кг
Таким образом, при температуре 800 К, средней в рассматриваемом диапазоне, средняятеплоемкость аппарата
3.
и средняя теплота парообразования
кДж/моль.
Теплопроводность титановой губки можно оценить посоотношению
где – теплопроводностьтитана, Вт/(м2К),
Пористость губки
Теплопроводность, Вт/(м2К),
0.2
14.0
0.3
11.0
0.4
8.0
При средней пористости блока 0.2...0.3 можно принять
Порядок средней теплопроводности аппарата в целом можнооценить, исходя из массового состава блока:
Вт/(м2К).
Тогда коэффициент температуропроводности изменяется впределах
Так как время прогрева порядка нескольких часов или дажесуток, то величина достаточно одногочлена ряда:
Оценим порядок критерия Био. Коэффициент теплопередачи присвободной конвекции (cм. ниже) можно принять порядка 8...10. Тогда для аппарата диаметром 1.5 метра среднеезначение можно считать, чтотемпература прогреваемого цилиндра по всему сечению близка к одинаковой, тоесть равна температуре на поверхности аппарата.
Величина может быть найдена изсоответствующих критериальных зависимостей, например, для ламинарного режима
где – критерий Нуссельта,
– критерий Прандтля,
– кинематическаявязкость воздуха, зависящая от температуры,
–температуропроводность воздуха, зависящая от температуры,
– критерий Грасгофа,
– ускорение свободногопадения,
– средняя температуравоздуха в печи.
Для оценочных расчетов коэффициента теплоотдачи присвободной конвекции на вертикальной поверхности иногда используется формула Оценим порядок:пусть и экспериментальнымпутем и затем использовать эмпирическую зависимость.
Зависимость теплоемкости вещества от температуры, какправило, хорошо приближается полиномами 1...2 степеней:
Запишем уравнения теплового баланса для нагревателей печи,воздуха и аппарата:
где – средняя теплоемкостьнагревателей, воздуха или аппарата, зависящая от температуры реакционной смеси,
– масса нагревателей (1), воздуха(f) или аппарата(o),
– мощность, подводимаяк печи,
– тепловой КПД печи,определяемый экспериментально.
Полученная система дифференциальных уравнений легкоразрешается любым численным методом. Она достаточно устойчива, что позволяетподдерживать шаг интегрирования явным методом порядка 100 секунд.
На графике показана зависимость температуры аппарата отвремени (при условии отсутствия кипения), полученная решением системы (О) приэффективной подводимой мощности кВт, и поэмпирическому уравнению
где – заданная температура, = 0.4,аппроксимирующему экспериментальные данные.
Зависимость давления паров Mg и MgCl2 оттемпературы хорошо приближается формулой – эмпирическиекоэффициенты, или 2
Максимальная температура, до которой можно прогреватьаппарат, определяется исходя из скорости взаимодействия губки с материаломреторты и лежит в пределах в указанном интервале температур магнийвскипает при давлении ниже 0.026...0.05 МПа. Затем производится сброс давлениядо давления сепарации (10...100 Па), в результате чего начинается интенсивноеобъемное кипение по всему объему аппарата. При указанном выше содержаниилетучих компонентов можно ожидать, что силы поверхностного натяжения будутпрепятствовать появлению гидростатической составляющей давления в объемеаппарата. Можно оценить количество летучих, которые выкипят за время сбросадавления, исходя из баланса тепла:
где – удельная теплотапарообразования. Окончательно имеем
Это уравнение имеет аналитическое решение
где – начальная массалетучих, или при постоянной теплоемкости аппарата
где – изменениетемпературы,
Расчет по программе, реализующей приведенную выше методику,дает следующую зависимость массы летучих в аппарате от количества циклов нагрев– сброс давления:
Таким образом, за 7 циклов теоретически возможно полностьюудалить все летучие из аппарата.
Неясным является следующий вопрос: как распределяется тепло,аккумулированное аппаратом в процессе нагрева под давлением, между летучими? Вприведенном расчете предполагалось, что количество поглощаемой на испарениетеплоты пропорционально теплопроводности и количеству магния или хлористогомагния в аппарате.
Рассмотрим стадию сепарации, на которой происходит кипениеостатков летучих. Будем полагать, что при достижении реакционной массойтемпературы кипения, соответствующей поддерживаемому давлению, вся подводимаятеплота уходит на испарение. Тогда баланс тепла на фронте кипения позволяет найти скорость его движения.Очевидно, что
где – тепловой поток,подводимый к фронту,
– тепло, расходуемоена кипение,
– тепловой поток,пропускаемый фронтом.
Тепловой поток считаем полностьюрасходуемым на испарение:
или
Будем предполагать квазистационарное распределениетемператур в реакционной массе. Это справедливо, если прогрев происходитдостаточно медленно (
где – текущий радиус,
– температура наружной(горячей) поверхности,
– температуравнутренней (холодной) поверхности,
– радиус наружной (горячей)поверхности,
– радиус внутренней(холодной) поверхности,
а удельный линейный тепловой поток вцилиндр формулой Вт/м.
В принятой модели не рассматривается теплообмен блока свнешней средой, кроме подвода теплоты от печи, поэтому вся теплота (см. рис.) расходуетсяна испарение магния, а теплота 2, находится изприведенных выше зависимостей.
Окончательно, получим систему уравнений для определенияскоростей движения фронтов кипения:
Интегрируя эту систему до тех пор, пока
Возможен и другой подход к расчету второй стадии. Можнопредположить, что после интенсивного объемного кипения летучие не будутзаполнять протяженные сплошные области, а распределятся по блоку “каплями”, неимея друг с другом хорошего теплового контакта. Тогда теплопроводность блокабудет определяться исключительно теплопроводностью губки, и
и, соответственно,
Следовательно, нельзя принимать допущение, что температураблока по сечению постоянна. Используя формулу
справедливую при больших
На внешней поверхности цилиндра (
или
Отсюда можно получить время прогрева поверхности до величины как
или
При имеем и
После этого, по условиям процесса, температура у стенкиаппарата поддерживается постоянной и равной
или
Таким образом, получены все необходимые и достаточныеаналитические выражения для определения продолжительности процесса сепарации на1 стадии и максимальной продолжительности 2 стадии при различных допущениях охарактере процесса. Продолжительность 3 стадии (высокотемпературной выдержки)определяется по условию малости остатка летучих в объеме блока. Она зависит отобъемного коэффициента теплопередачи от блока к каплям летучих и скорости ихкипения (оба параметра неизвестны, и для них отсутствуют эмпирическиезависимости), поэтому должна определяться экспериментально.