Курсовая работа
по
основам радиоэлектроники
по теме: Критерииустойчивости линейных систем.
Выполнил : Зазимко С.А.
Принял : Кoтoусов А.С.
Москва 1995 год
Т Е М А : Критерии устойчивости линейных систем.
Устойчивостьлинейных систем.
В реальной цепи, охваченной обратнойсвязью, всегда имеются реактивные элементы, накапливающие энергию. Даже вусилителе на резисторах имеются такие элементы в виде паразитных емкостей схемыи электронных приборов, переходные конденсаторы, индуктивности проводов и такдалее. Эти реактивные элементы создают дополнительные фазовые сдвиги и если накакой-либо частоте они в сумме дают дополнительный угол в 180, то обратнаясвязь превращается из отрицательной в положительную и создаются условия дляпаразитной генерации.
Это обстоятельство во многих случаяхсущественно ограничивает эффективность применения обратной связи, так как прибольших значениях ½Ky Koc½ для устранения паразитной генерации требуются специальные устройства(фазокомпенсаторы и др.), уменьшающие крутизну ФЧХ в кольце обратнойсвязи. Однако оказывается, что введениев схему новых элементов приводит лишь к сдвигу частоты паразитной генерации вобласть очень низких или очень высоких частот.
Итак, из выше сказанного следует, чтоприменение обратной связи тесно связано с проблемой обеспечения устойчивости цепи.
Для правильного построения цепи ивыбора ее параметров большое значение приобретают методы определенияустойчивости цепи. Рассмотрим некоторые из них.
Алгебраические критерииустойчивости.
В настоящее время известно несколькокритериев, различающихся больше по форме, чем по содержанию. В основебольшинства из этих критериев лежит критерий устойчивости решенийдифференциального уравнения, описывающего исследуемую цепь.
Пусть линейное однородное уравнение дляцепи с постоянными параметрами задано в форме :
где x - ток, напряжение и так далее., апостоянные коэффициенты — действительныечисла, зависящие от параметров цепи.
Решение этого уравнения имеет вид:
где Ai - постоянные, а pi - корни характеристического уравнения
(1)
Условие устойчивости состояния покоя цепизаключается в том, что после прекращения действия внешних возмущений цепьвозвращается в исходное состояние. Для этого необходимо, чтобы возникающие вцепи при нарушении состояния покоя свободные токи и напряжения былизатухающими. А это означает, чтокорни уравнения (1) должны быть либоотрицательными действительными величинами, либо комплексными величинами сотрицательными действительными частями. Из этих представлений вытекает следующийфундаментальный критерий устойчивости любых линейных систем :
“Cистемаустойчива, если действительные части всех корней характеристического уравненияотрицательны.”
Это фундаментальное положение было основаноА.М.Ляпуновым, который в 90-х годах прошлого века заложил основы теорииустойчивости. В связи с этим приведенный выше критерий называют критериемЛяпунова.
Заметим, что левая частьхарактеристического уравнения (1) представляет собой не что иное, как знаменатель передаточной функциицепи записанной в форме
Таким образом, корни характеристического уравнения цепи являются полюсами передаточнойфункции К(р) этой цепи.
Отсюда следует, что сформулированные вышеусловия отрицательности действительных корней равносильны следующемуутверждению: дляустойчивости цепи необ-ходимо, чтобы передаточная функция К(р) неимела полю-сов в правой полуплоскости комплексной переменной р.
В тех случаях, когда цепь описываетсядифференциальным уравнением высокого порядка, исследование корнейхарактеристического уравнения, необходимое для решения вопроса об устойчивостисистемы, является сложной задачей.
Однако ее можно решить, анализируясоотношения между коэффициентами уравнения без определения самих коэффициентов.Это можно сделать с помощью теоремы Гурвица, которая утверждает, что для того,чтобы действительные части всех корней уравнения
cдействительными коэффициентами и b0>0 были отрицательными, необходимо идостаточно, чтобы были положительными все определители D1, D2, ..., Dm, составленные из коэффициентовуравнения по следующей схеме :
и т. д.
Сформулированный алгебраический критерийустойчивости называют критерием Рауса — Гурвица.
При составлении определителей поуказанной схеме коэффициенты с индексом, превышающим степеньхарактеристического уравнения заменяют нулями.
ПРИМЕР:
Для уравнения четвертой степениполучаются следующие определители :
В результате несложно видеть, чтовыполняется равенство
Отсюда по теореме Гурвица следуютусловия устойчивости (в виде следующих неравенств):
Так, для характеристического уравнениявторой степени
Критерий Рауса — Гурвица особенно удобен для проверки устойчивости цепи сзаданными параметрами: вычисления относительно просты. Недостатком этого критерия является ограниченностьприменения: область применения критерия ограничена цепями с сосредоточеннымипараметрами, поскольку только для них передаточная функция выражается черезмногочлены. Кроме того этот критерий не дает ясных указаний на то как изнеустойчивой цепи сделать устойчивую.
Геометрические критерии устойчивости.
Требование,чтобы передаточная функция
неимела полюсов в правой полуплоскости р = s +iw, т.е. в области, ограниченной полуплоскостью бесконечно большого радиуса R и осью iw (см. рисунок), равносильно условию, что знаменательвыражения (2) не должен иметь нулей в указанной области или, что то же, функция
(*)
недолжна обращаться в единицу ни в одной из точек правой полуплоскости р.
Но Н(р) представляет собой передаточнуюфункцию разомкнутого кольца обратной связи, то есть отношение напряжения назажимах 2-2 к напряжению на зажимах 1-1 при разомкнутой системе, как этопоказано на рисунке 2.
Для дальнейшего анализа перейдем откомплексной плоскости р на другую комплексную плоскость Н(р)=u+i (см.рисунок 3).
При этом каждой точке р плоскости s,iw соответствует определенное значение Н на плоскости u,iv. И любой замкнутый контур на плоскостиперейдет в некий, также замкнутый контур на плоскости Н.
Если исходный контур на плоскости р задан в виде контура как на рисунке 1,то соответствующий ему контур на плоскости Н называется годографом функции Н(p).
Показанный на рисунке 1 контур можноразбить на два участка: прямую iw от ¥ до-¥ и полуокружность бесконечно большогорадиуса R. Напервом участке, где s=0, р=iw, функция H(p) обращается в функцию H(iw). В соответствии с выражением (*)этот участок преобра-зуется на плоскости H в линию, определяемую следующимcоотношением
откуда
В этих выражениях аргументы переда-
точных функций соответственно четырехполюсников
.
На втором рисунке контура (см. рисунок 1)при R®¥ функция H(p)®0. Это вытекает из общего выражения
котороепри ½p½ ® ¥ можно представить в виде (под Вподразумевается постоянный коэффициент, а p0i иpпi - соответственно нули и полюсы функции К(р)).
Совершенно аналогично и функцию Н(р) при ½p½ ® ¥ можно представить в форме H(p) = Apn-m где n и m — числасоответственно нулей и полюсов функции Н(р).
При n и ½p½ ® ¥ модуль функции H(p) на полуокружности R ® ¥ равен нулю. Таким образом,полуокружность бесконечно большого радиуса R на плоскости р преобразуется в точку, лежащую в началекоординат на плоскости Н, и для построения годографа Н в виде замкнутого контура достаточнознать поведение Н(р) на оси iw, то есть знать АЧХ и ФЧХ цепи Ky(iw),Koc(iw).
Обходу контура на рисунке 1 в положительномнаправлении (против часовой стрелки) соответствует обход годографа Н при изменении частоты от ¥ до -¥, т.е. также против часовой стрелки(см. рисунок 3).
Следовательно, еслигодограф передаточной функции разорванного кольца не охватывает точку 1,i0, топри замкнутой цепи обратной связи система устойчива, в противном случае системанеустойчива.
Это условие называют критериемустойчивости Найквиста, агодограф H(iw) — диаграммой Найквиста.
Показанная на рисунке 3 диаграммасоответствует устойчивой системе. Это видно из того, что годограф Н не охватывает точку 1,i0. Сплошной линией показана частьконтура, соответствующая положительным частотам 0¥, а штриховой — часть контура,соответствующая отрицательным частотам. Так как функция u(w) четная, а v(w) нечетная относительно w, то оба годографасимметричны относительно действительной оси.
Рисунок 3 был построен для случая, когдапри w= 0 передаточнаяфункция Н(iw)отлична от нуля ( эта возможно, например, для усилителей постоянного тока, вкоторых отсутствуют разделительные конденсаторы).
Пример диаграммы Найквиста длянеустойчивой системы приведена на рисунке 4.
Рисунок4
Основное преимущество данного метода: удобство оперированияс АЧХ и ФЧХ разомкнутой цепи.
Следует отметить, что при сложной схемеустройства форма диаграммы бывает настолько усложнена, что по ней сложно судитьо попадании точки 1,i0 в замкнутый контур годографа. В подобных случаяхоказывается полезным критерий, вытекающий из критерияНайквиста, основанныйна подсчете числа пересечений годографом оси Uн(w) на участке 1,¥.
Для устойчивости системы тогданеобходимо, чтобы годограф либо вообще не пересекал этот отрезок (так, какпоказано на рисунке 4), либо пересекал его в положительном и отрицательномнаправлениях одинаковое число раз
* * *
Справедливостиради необходимо заметить, что известны и другие геометрические методыисследования устойчивости линейных систем с обратной связью, например критерийМихайлова и критерий пересечений. Они широко применяются при анализе системавтоматического регулирования. Но мы не будем рассматривать их в данной работе, а при необходимости, с ними можнопознакомиться в книге: КотельниковВ.А., Николаев А.М. “Основы радиоэлектроники”
Ли т е р а т у р а .
1. С.И. Баскаков “Радиотехнические цепи исигналы”, 1983. М.:Высшая школа.
2. И.С. Гоноровский “Радиотехнические цепии сигналы”, 1986
М.: Радио и связь.