Метод средних величин

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионально образования ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ФИЛИАЛ В Г. БАРНАУЛЕ Факультет Региональная кафедра Финансы и кредит Курсовая работа по Статистике на тему:

Метод средних величин в изучении общественных явлений Выполнила Специальность Финансы и кредит № личного дела Группа Преподаватель Дата регистрации Барнаул 2004 Содержание Стр. Введение I. Теоретическая часть 1. Средние величины в статистике 2. Условие применения средних величин в экономическом анализе 7 3.

Виды средних 1. Степенные средние 1. Средняя арифметическая 1. Средняя арифметическая простая 2. Средняя арифметическая взвешенная 3. Расчёт среднеё по интервальному ряду 4. Способ моментов 5. Свойства средней арифметической 2. Средняя гармоническая 2.1 Средняя гармоническая взвешенная 2. Средняя гармоническая простая 16 3.1.3.

Средняя квадратическая и средняя кубическая 1. Средняя квадратическая простая 2. Средняя квадратическая взвешенная 3. Средняя кубическая простая и взвешенная 4. Средняя геометрическая 5. Средняя хронологическая 2. Структурные средние 1. Мода 2. Медиана II. Расчётная часть 24 1.

Условие задач 2. Решение задач III. Аналитическая часть 30 Заключение 36 Список литературы 37 Введение. В данной работе рассмотрим такое понятие, как средние величины, которые являются наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в экономических исследованиях и представляющую собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени.

Показатель в форме средней величины выражает типичные черты и дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Он отражает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности. Большое распространение средние величины получили в статистике коммерческой деятельности. В средних величинах отображаются важнейшие показатели товарооборота, товарных запасов, цен. Средними величинами характеризуются качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения,

прибыль, рентабельность и др. Широкое применение средних объясняется тем, что они имеют ряд положительных свойств, делающих их незаменимым инструментом анализа явлений и процессов в экономике. Правильное понимания сущности средней определяет ее особую значимость в условиях рыночной экономики, когда средняя через единичное и случайное позволяет выявить общее и необходимое, выявить тенденцию закономерностей экономического развития. В теоретической части рассмотрим виды средних величин, а именно:

средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая, средняя кубическая и структурные средние - в экономическом анализе, а также условия их применения. Материал изложен с пояснениями и примерами. В расчетной части представлены задачи на нахождение средних величин, на примере этих задач покажем различные способы нахождения средних величин, и использование их в экономическом анализе. При проведении статистического анализа данных для текущей работы были использованы

следующие программные средства: Microsoft Word и Microsoft Excel. I. Теоретическая часть. 1. Средние величины в статистике. Статистика изучает массовые явления и процессы. Каждое из таких явлений обладает как общими для всей совокупности, так и особенными, индивидуальными свойствами. Различие между индивидуальными явлениями называют вариацией.

Другое свойство массовых явлений - присущая им близость характеристик отдельных явлений. Итак, взаимодействие элементов совокупности приводит к ограничению вариации хотя бы части их свойств. Эта тенденция существует объективно. Именно в её объективности заключается причина широчайшего применения средних величин на практике и в теории. Средней величиной в статистике называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления в конкретных условиях места и времени, отражающий величину

варьирующего признака в расчёте на единицу качественно однородной совокупности. В экономической практике используется широкий круг показателей, вычисленный в виде средних величин. С помощью метода средних величин статистика решает много задач. Главное значение средних состоит в их обобщающей функции, то есть замене множества различных индивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей всю совокупность явлений.

Если средняя величина обобщает качественно однородные значения признака, то она является типической характеристикой признака в данной совокупности. Однако неправильно сводить роль средних величин только к характеристике типичных значений признаков в однородных по данному признаку совокупностях. На практике значительно чаще современная статистика использует средние величины, обобщающие явно однородные явления. Средняя величина национального дохода на душу населения, средняя урожайность зерновых культур

по всей стране, среднее потребление разных продуктов питания – это характеристики государства как единой народнохозяйственной системы, это так называемые системные средние. Системные средние могут характеризовать как пространственные или объектные системы, существующие одномоментно (государство, отрасль, регион, планета Земля и т.д.), так и динамические системы, протяжённые во времени (год, десятилетие, сезон и т.д.). Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает

то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные. Например, курс акций корпорации в целом определяется ее финансовым положением. В то же время, в отдельные дни и на отдельных биржах эти акции в силу сложившихся обстоятельств могут

продаваться по более высокому или заниженному курсу. Сущность средней в том и заключается, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием факторов основных. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенностей, присущих отдельным единицам.

Вычисление среднего - один из распространённых приёмов обобщения; средний показатель отражает то общее, что характерно (типично) для всех единиц изучаемой совокупности, в то же время он игнорирует различия отдельных единиц. В каждом явлении и его развитии имеет место сочетание случайности и необходимости. Средняя – это сводная характеристика закономерностей процесса в тех условиях, в которых он протекает. Каждая средняя характеризует изучаемую совокупность по какому-либо одному признаку, но для характеристики

любой совокупности, описания её типических черт и качественных особенностей нужна система средних показателей. Поэтому в практике отечественной статистики для изучения социально-экономических явлений, как правило, исчисляется система средних показателей. Так, например, показатель средней заработной платы оцениваются совместно с показателями средней выработки, фондовооружённости и энерговооружённости труда, степенью механизации и автоматизации работ и др. Средняя должна вычисляться с учётом экономического содержания

исследуемого показателя. Поэтому для конкретного показателя, используемого в социально экономическом анализе, можно исчислить только одно истинное значение средней на базе научного способа расчёта. Средняя величина это один из важнейших обобщающих статистических показателей, характеризующий совокупность однотипных явлений по какому-либо количественно варьирующему признаку. Средние в статистике это обобщающие показатели, числа, выражающие типичные характерные размеры общественных

явлений по одному количественно варьирующему признаку. Средняя выражает типичное присущее большинству единиц совокупности, что позволяет сравнивать, планировать, выявлять закономерности. Средняя это обобщающая характеристика совокупности однотипных явлений. Особенностью средней является то, что: 1. Средняя характеризует ту или иную совокупность в целом, но не характеризует каждую отдельную единицу. 2. В ней погашаются отдельные индивидуальные отклонения единиц

по изучаемому признаку. 3. Средняя отражает типичные черты и свойства массы единиц и позволяет изучить всю массу единиц в динамике 4. В сочетании с методом статистических группировок возникает возможность изучения взаимосвязей между группировочными и результативными признаками. 5. Средняя является базой для планирования 6. Многие процессы изучаются только на основании средних, если статистическая совокупность очень велика 7. Средняя преследует цель показать количественно различие

и сходство двух совокупностей. При расчете средней следует следующие условия: 1. Расчет надо вести для однородных однокачественных совокупностей. Для этого надо сочетать метод средних и метод группировок. 2. Общие средние необходимо групповыми средними и индивидуальными величинами. 3. Для расчета средних нужна масса единиц(20-30). 4.

Надо правильно выбрать единицу совокупности средней. Средние в общественных явлениях обладают относительным постоянством, т.е. в течение какого-то определенного промежутка времени однотипные явления характеризуются примерно одинаковыми средними. 2. Условия применения средних величин в экономическом анализе Как уже говорилось выше обязательным условием расчета средних величин для исследуемой совокупности является

ее однородность. Действительно, допустим, что отдельные элементы совокупности, вследствие подверженности влиянию некоторого случайного фактора, имеют слишком большие (или слишком малые) величины изучаемого признака, существенно отличающиеся от остальных. Такие элементы повлияют на размер средней для данной совокупности, поэтому средняя не будет выражать наиболее характерную для совокупности величину признака. Если исследуемое явление не является однородным, то его разбивают на группы, содержащие только однородные

элементы. Для такого явления рассчитываются сначала средние по группам, которые называются групповые средние, – они будут выражать наиболее типичную величину явления в каждой группе. Затем рассчитывается для всех элементов общая средняя величина, характеризующая явление в целом, – она рассчитывается как средняя из групповых средних, взвешенных по числу элементов совокупности, включенных в каждую группу. На практике, однако, безусловное выполнение данного условия повлекло бы за собой ограничение

возможностей статистического анализа общественных процессов. Поэтому, часто средние величины рассчитываются по неоднородным явлениям. Например, при расчете величины средней заработной платы по Тюменской области, когда совместно анализируется заработная плата труда в автономных округах и в южных районах Тюменской области, а затем полученный средний уровень заработной платы труда сопоставляется

с соседними сибирскими регионами. Еще одним важным условием применения средних величин в анализе является достаточное количество единиц в совокупности, по которой рассчитывается среднее значение признака. Достаточность анализируемых единиц обеспечивается корректным определением границ исследуемой совокупности, т.е. закладывается еще на начальном этапе статистического исследования. Данное условие становится решающим при применении выборочного наблюдения, когда необходимо обеспечить

репрезентативность выборки. Определение максимального и минимального значения признака в изучаемой совокупности также является условием применения средней величины в анализе. В случае больших отклонений между крайними значениями и средней, необходимо проверить принадлежность экстремумов к исследуемой совокупности. Если сильная изменчивость признака вызвана случайными, кратковременными факторами, то, возможно, крайние значения не характерны для совокупности.

Следовательно, их следует исключить из анализа, т.к. они оказывают влияние на размер средней величины. 3. Виды средних В статистике применяются степенные и структурные средние (рис 1), выбор вида которой определяется содержанием определённого показателя и исходных данных. К степенным средним относятся следующие виды: арифметическая, гармоническая, хронологическая, квадратическая и геометрическая. Выбор вида степенной средней зависит от содержания логической формулы расчёта осредняемого

признака и имеющихся исходных данных, на основании которых производится расчёт. Структурные средние представлены модой и медианой. Средняя имеет те же единицы измерения, что и варианты х. Если осредняются относительные величины, то средняя представляется коэффициентом (%,‰). Рис.1. Виды средних в статистике Также виды средних разделяются по:

1. Наличию признака-веса: а) невзвешенная средняя величина; б) взвешенная средняя величина. 2. Форме расчета: а) средняя арифметическая величина; б) средняя гармоническая величина; в) средняя геометрическая величина; г) средняя квадратическая, кубическая и т.д. величины. 3. Охвату совокупности: а) групповая средняя величина; б) общая средняя величина. Средние величины различаются в зависимости от учета признаков, влияющих на осредняемую величину:

Если средняя величина рассчитывается для признака, без учета влияния на него каких-либо других признаков, то такая средняя величина называется средней невзвешенной или простой средней. Если имеются сведения о влиянии на осредняемый признак некоторого признака или нескольких признаков, которые необходимо учесть при расчете для корректного расчета средней величины, то рассчитывается средняя взвешенная. По форме расчета выделяют несколько видов средних величин, которые образованы из единой

степенной средней величины. Степенная средняя величина имеет форму: , где - среднее значение исследуемого явления; k – показатель степени средней; x – текущее значение (вариант) осредняемого признака; i –i-тый элемент совокупности; n – число наблюдений (число единиц совокупности). При разных показателях степени k получаем, соответственно, различные по форме средние величины. (Табл. 1): Таблица 1 Формы средних величин Степень средней величины (k)

Название средней -1 гармоническая 0 геометрическая 1 арифметическая 2 квадратическая 3 кубическая 1 хронологическая Выбор формы средней обусловлен исходным соотношением, суть которого приводилась выше. Существует порядок расчета средней величины: 1. Определение исходного соотношения для исследуемого показателя. 2. Определение недостающих данных для расчета исходного соотношения. 3. Расчет средней величины. Рассмотрим виды средних, которые наиболее часто используются в статистике.

3.1. Степенные средние 3.1.1. Средняя арифметическая. Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объём признака в совокупности остаётся неизменным. Иначе можно сказать, что средняя арифметическая величина – среднее слагаемое. При её вычислении общий объём признака мысленно распределяется поровну между всеми единицами совокупности.

Средняя арифметическая применяется, если известны значения осредняемого признака (х) и количество единиц совокупности с определённым значением признака (f). Средняя арифметическая бывает простой и взвешенной. 3.1.1.1. Средняя арифметическая простая Простая используется, если каждое значение признака х встречается один раз, т.е. для каждого х значение признака f=1, или если исходные данные не упорядочены и неизвестно,

сколько единиц имеют определённые значения признака. Формула средней арифметической простой имеет вид: , где - средняя величина; х – значение осредняемого признака (варианта), - число единиц изучаемой совокупности. Например, предположим, что пять филиалов банка, имеют следующий денежный оборот за месяц (Табл.2): Таблица 2 Распределение денежного оборота банка по числу филиалов за месяц

Филиал 1 2 3 4 5 Денежный оборот (млн.руб.) 145 120 98 111 117 Определить средний денежный оборот на один филиал за месяц. В данном примере варьирующий признак – денежный оборот каждого филиала за месяц. Численные значения признака (145, 120, 98, 111, 117) называют вариантами. Средний денежный оборот на один филиал за месяц составит: - средний денежный оборот одного филиала

за месяц. 3.1.1.2. Средняя арифметическая взвешенная В отличие от простой средней средняя арифметическая взвешенная применяется, если каждое значение признака х встречается несколько раз, т.е. для каждого значения признака f≠1. Данная средняя широко используется при исчислении средней на основании дискретного ряда распределения: , где - число групп, х – значение осредняемого признака, f- вес значения признака (частота, если f

– число единиц совокупности; частость, если f- доля единиц с вариантой х в общем объёме совокупности). Например, имеются следующие данные о количестве операций и общей сумме в руб. за рабочую неделю, совершённых в платёжной системе (Табл.3). Таблица 3 Распределение количества операций, совершённых в платёжной системе Дата Количество операций, шт. Средняя сумма операции за день, руб. 15.11.2004 2103 141,57 16.11.2004 1539 118,89 17.11.2004 1460 104,00 18.11.2004 927 122,06 19.11.2004 1069 123,51 20.11.2004 965 131,18

Итого 8063 - Определить среднюю сумму одной операции за рабочую неделю. Введём условные обозначения, приняв за х значения осредняемого признака (средняя сумма операции за день), f – число операций с заданным значением х. 124,56 руб. – средняя сумма оной операции за рабочую неделю. 3.1.1.3.Расчёт средней по интервальному ряду Статистический материал в результате обработки может быть представлен не только в виде дискретных рядов

распределения, но и в виде интервальных вариационных рядов с закрытыми или открытыми интервалами. Если исходные данные заданы в виде интервального ряда, то: 1. закрывают открытые интервалы, приняв их равными ближайшим закрытым; 2. за значения осредняемого признака х берут середины интервалов и строят условный дискретный ряд распределения: , где - значение нижней границы интервала («от»); - значение верхней границы интервала («до»).

3. расчёт средней производится по средней арифметической взвешенной. Например, имеются данные о распределении ОКР (операционно-кассовый работник) ГОСБ РФ №8203 по возрасту (Табл.4). Таблица 4 Распределение ОКР ГОСБ РФ №8203 по возрасту Группы ОКР по возрасту, лет Число ОКР, чел до 20 лет 9 20-30 92 30-40 134 40-50 77 старше 50 лет 43

Определить средний возраст ОКР. Построим вспомогательную таблицу, обозначив долю ОКР через . Минимальный возраст ОКР – 18 лет, а максимальный – 60 лет. Тогда первый интервал будет от 18 до 20 лет, а последний от 50 до 60 лет. Находим середину каждого интервала и принимаем её за значение . Исчисляем значение и сумму этих значений, необходимую для расчёта средней арифметической взвешенной,

заносим результаты в расчётную таблицу (Табл.5). Таблица 5 Расчётная таблица распределения ОКР ГОСБ РФ №8203 по возрасту Группы ОКР по возрасту, лет Число ОКР, чел, fi Середина интервала, xi xi fi до 20 лет 9 19 171 20-30 92 25 2300 30-40 134 35 4690 40-50 77 45 3465 старше 50 лет 43 55 2365 Итого 355 179 12991 лет – средний возраст ОКР. Расчёт средней по интервальному ряду распределения даёт приближённый результат за счёт того, что

за значения х берутся не точные данные, а осреднённые значения (середины интервалов). 3.1.1.4. Способ моментов Если интервальный ряд имеет равные интервалы или дискретный ряд построен с одним и тем же шагом между ближайшими значениями признака, для расчёта средней применим способ «моментов». Алгоритм метода заключается в следующем: 1. строится новый дискретный ряд распределения, в котором одна из вариант приравнивается к нулю. К нулю можно приравнять любую варианту, но для упрощения расчётов

лучше «занулить» варианту, находящуюся в середине ряда и имеющую наибольшую частоту. Нулевая варианта называется основанием и обозначается ; 2. остальные варианты нового ряда обозначаются и рассчитывается по формуле: , где h – ширина равного интервала или шага; x’ – условные варианты; 3. определяется средняя по способу моментов: , где - момент первого порядка. 3.1.1.5. Свойства средней арифметической

Средняя арифметическая обладает рядом свойств: 1. От уменьшения или увеличения частот каждого значения признака х в n раз величина средней арифметической не изменится. 2. Если все частоты разделить или умножить на какое-либо число, то величина средней не изменится. 3. Общий множитель индивидуальных значений признака может быть вынесен за знак средней: 4. Средняя суммы (разности) двух или нескольких величин равна сумме (разности) их средних:

5. Если х = с, где с - постоянная величина, то . 6. Сумма отклонений значений признака Х от средней арифметической х равна нулю: . 3.1.2. Средняя гармоническая. Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной.

Применяется она тогда, когда необходимые веса (fi) в исходных данных не заданы непосредственно, а входят сомножителем в одни из имеющихся показателей (т.е. тогда, когда известен числитель исходного соотношения средней, но неизвестен его знаменатель). 3.1.2.1. Средняя гармоническая взвешенная Произведение xf даёт объём осредняемого признака х для совокупности единиц и обозначается w. Если в исходных данных имеются значения осредняемого признака х и объём осредняемого признака w, то

для расчёта средней применяется гармоническая взвешенная: , где х – значение осредняемого признака х (варианта); w – вес варианты х, объем осредняемого признака. Например, рассмотрим расчет средней урожайности, являющейся одним из основных показателей эффективности производства в агробизнесе (Табл.6): Таблица 6 Валовой сбор и урожайность подсолнечника по Центрально-Черноземному району (в хозяйствах всех категорий)

Область Валовый сбор, тысяч центнеров Урожайность, ц/га Белгородская 970 16,1 Воронежская 2040 9,5 Курская 5 4,8 Липецкая 160 10,9 Тамбовская 690 7 Итого 3865 х Определить среднюю урожайность по Центрально-Чернозёмному району. Здесь в исходной информации веса (площадь областей) не заданы, но входят сомножителем в валовой сбор, равный урожайности, умноженной на площадь wi=xi*fi , поэтому , а средняя

урожайность будет равна . Данная формула используется для расчета средних показателей не только в статике, но и в динамике, когда известны индивидуальные значения признака и веса W за ряд временных интервалов. 3.1.2.2. Средняя гармоническая невзвешенная (простая) Эта форма средней, используемая значительно реже, имеет следующий вид: , где х – значение осредняемого признака; n – число значений х. Т.е. это обратная величина средней арифметической простой из обратных

значений признака. На практике средняя гармоническая простая применяется редко, в тех случаях, когда значения w для единиц совокупности равны. Например, бригада токарей была занята обточкой одинаковых деталей в течение 8-часового рабочего дня. Первый токарь затратил на одну деталь 12 мин, второй - 15 мин третий - 11, четвертый - 16 и пятый - 14 мин. Определите среднее время, необходимое на изготовление одной детали.

На первый взгляд кажется, что задача легко решается по формуле средней арифметической простой: Полученная средняя была бы правильной, если бы каждый рабочий сделал только по одной детали. Но в течение дня отдельными рабочими было изготовлено различное число деталей. Для определения числа деталей, изготовленных каждым рабочим, воспользуемся следующим соотношением: Число деталей, изготовленных каждым рабочим, определяется отношением всего времени работы к среднему

времени, затраченному на одну деталь. Тогда среднее время, необходимое для изготовления одной детали, равно: Это же решение можно представить иначе: Таким образом, формула для расчета средней гармонической простой будет иметь вид: 3.1.3. Средняя квадратическая и средняя кубическая В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая (например,

для вычисления средней величины стороны и квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины стороны и кубов). Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратической средней величиной, простой или взвешенной. 3.1.3.1. Средняя квадратическая простая

Простая используется, если каждое значение признака х встречается один раз, в общем имеет вид: , где - квадрат значений осредняемого признака; - число единиц совокупности. 3.1.3.2. Средняя квадратическая взвешенная Средняя квадратическая взвешенная применяется, если каждое значение осредняемого признака х встречается f раз: , где f – вес варианты х. 3.1.3.3. Средняя кубическая простая и взвешенная Средняя кубическая простая является кубическим корнем

из частного от деления суммы кубов отдельных значений признака на их число: , где - значения признака, n- их число. Средняя кубическая взвешенная: , где f-вес варианты х. Средние квадратическая и кубическая имеют ограниченное применение в практике статистики. Широко пользуется статистика средней квадратической, но не из самих вариантов x, и из их отклонений от средней при расчете показателей вариации. Средняя может быть вычислена не для всех, а для какой-либо

части единиц совокупности. Примером такой средней может быть средняя прогрессивная как одна из частных средних, вычисляемая не для всех, а только для "лучших" (например, для показателей выше или ниже средних индивидуальных). 3.1.4. Средняя геометрическая Если значения осредняемого признака существенно отстоят друг от друга или заданы коэффициентами (темпы роста, индексы цен), то для расчёта применяют среднюю геометрическую.

Средняя геометрическая исчисляется извлечением корня степени и из произведений отдельных значений — вариантов признака х: где n — число вариантов; П — знак произведения. Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения. 3.1.5 Средняя хронологическая величина Если значения осредняемого признака известны на несколько равноотстающих

дат внутри определённого временного периода, расчёт производится по средней хронологической: , где - значение осредняемого признака; n – число дат внутри периода, на которые заданы значения х. По средней хронологической исчисляется среднегодовая стоимомть основных фондов предприятия из данных о наличии на начало каждого месяца; средний остаток вкладов на счетах в банке по информации на начало месяца. 3.2. Структурные средние. Структурные средние – вспомогательные характеристики изучаемой статистической

совокупности; ими являются мода и медиана. В отличии от степенных средних структурные средние имеют не обобщенное значение признака, а вполне конкретное, т.е. значение одной их вариант. Наиболее часто используемыми в экономической практике структурными средними являются мода и медиана. 3.2.1. Мода Мода Мо – значение случайной величины, встречающееся с наибольшей вероятностью, в дискретном вариационном ряду – вариант, имеющий наибольшую частоту.

В интервальных вариационных рядах моду определяют приближенно по формуле , где - начальное значение интервала, содержащего моду; - величина модального интервала; - частота модального интервала; - частота интервала, предшествующего модальному; - частота интервала, следующего за модальным. 3.2.2. Медиана Медиана Ме – это вариант, который находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные (по числу единиц) части – со значениями признака меньше медианы и со

значениями признака больше медианы. Что бы найти медиану необходимо отыскать значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда. В ранжированных рядах несгруппированных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера медианы. В интервальных вариационных рядах медиана определяется по формуле: , где x0 - нижняя гранича медианного интервала; iMe - величина медианного интервала; Sme-1 - сумма накопленных частот до медианного интервала;

fMe - частота медианного интервала. Проиллюстрируем применение этих формул, используя данные таблицы 7. Информация, подобная представленной в этой таблице, необходима для получения четкого представления о покупательной способности населения страны или региона, для оценки эластичности спроса и, в конечном итоге, для выбора того или иного метода ценообразования и обоснования окончательной цены на товар. Интервал с границами 2000 - 3000 в данном распределении будет модальным, так как он имеет наибольшую

частоту. Введем следующие обозначения: =2000, =1000, =20,1, =15,4, =17,2 Подставим эти значения в формулу моды и произведем вычисления: Мода применяется для решения некоторых практических задач. Так, например, при изучении товарооборота рынка берется модальная цена, для изучения спроса на обувь, одежду используют модальные размеры обуви и одежды и др.

Таблица 7 Распределение населения Алтайского края по уровню среднедушевого денежного дохода в январе-августе 2004 г. Среднедушевой денежный доход (в среднем за месяц), тыс.руб. Удельный вес населения, % 1000 и менее 2,4 1000 - 2000 15,4 2000 - 3000 20,1 3000 - 4000 17,2 4000 - 5000 12,8 5000 - 6000 9,2 6000 - 7000 6,5 7000 - 8000 4,5 8000 - 9000 3,2 9000 -

10000 2,3 свыше 10000 6,4 Всего 100,0 Для определения медианного интервала необходимо определять накопленную частоту каждого последующего интервала до тех пор, пока она не превысит 1/2 суммы накопленных частот (в нашем случае - 50%): Определим прежде всего медианный интервал. В данной задаче сумма накопленных частот, превышающая половину всех значений (55,1), соответствует интервалу 3000-4000. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана.

Определим ее значение по приведенной выше формуле. Известно, что: Следовательно, . Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию. Если Мо<Me<Х - имеет место правосторонняя асимметрия, при Х<Me< Мо следует сделать вывод о левосторонней асимметрии ряда.

Таблица 8 Вспомогательная таблица к данным таблицы 7 Среднедушевой денежный доход (в среднем за месяц), тыс.руб. Удельный вес населения, % Накопленная частота, % 1000 и менее 2,4 2,4 1000 - 2000 15,4 17,8 (15,4+2,4) 2000 - 3000 20,1 37,9 (17,8+20,1) 3000 - 4000 17,2 55,1 (37,9+20,1) 4000 - 5000 12,8 - 5000 -

6000 9,2 - 6000 - 7000 6,5 - 7000 - 8000 4,5 - 8000 - 9000 3,2 - 9000 - 10000 2,3 - свыше 10000 6,4 - Всего 100 На основе полученных в последнем примере значений структурных средних можно заключить, что наиболее распространенным, типичным является среднедушевой доход порядка 2618,42 руб. в месяц. В то же время, более половины населения располагает доходом свыше 3703,49 +руб. при среднем уровне

руб. (средняя арифметическая взвешенная). Из соотношения этих показателей следует вывод о правосторонней асимметрии распределения населения по уровню среднедушевых денежных доходов. Мода и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить ассиметрию ряда распределения. Мода и медиана, как правило, являются дополнительными

к средней характеристиками совокупности и используются в математической статистике для анализа формы рядов распределения. Аналогично медиане вычисляются значения признака, делящие совокупность на четыре равные (по числу единиц) части — квартели, на пять равных частей — квинтели, на десять частей — децели, на сто частей — перцентели. II. Расчетная часть 1. Условия задач (вариант 10) Задача 1. По первичным данным таблицы 9 (в методическом указании №5.5) определите

средний размер розничного товарооботота в рас чёте на одно предприятие торговли. Укажите вид средней. Таблица 9 № п/п Розничный товарооборот, млн.руб Издержки обращения, млн.руб А 1 2 1 510 30 2 560 33 3 800 46 4 465 31 5 225 16 6 390 25 7 640 39 8 405 26 9 200 15 10 425 34 11 570 37 12 472 28 13 250 19 14 665 38 15 650 36 16 620 35 17 380 24 18 550 38 19 750 44 20 660 36 21 450 27 22 563 34 23 400 26 24 553 38 25 772 45 Задача 2. Постройте статистический ряд распределения торговых предприятий по размеру товарооборота,образовав пять групп с равными интервалами, охарактеризовав их числом предприятий и удельным весом предприятий.

По ряду распределения (п.2) рассчитайте средний размер розничного товарооборота на одно торговое предприятие, взвешивая значение варьирующегося признака: а) по числу предприятий; б) по удельному весу предприятий. Сравните полученную среднюю с п.1 и поясните их расхождение. Задача 3. За отчётный год имеются данные о кредитных операциях банков (Табл. 10): Таблица 10 Кредитные операции банков Вид кредита

Банк 1 Банк 2 годовая процентная ставка сумма кредита, млн руб годовая процентная ставка доход банка, млн руб краткосрочный 20 500 21 126 долгосрочный 16 150 15 30 Определите среднюю процентную ставку кредита: а) По каждому банку; б) По двум банкам. 2. Решение задач Задача 1. Для определения среднего размера розничного товарооборота на одно торговое предприятие воспользуемся формулой средней арифметической простой (т.к. имеются индивидуальные

несгруппированные значения признака), где x1,x2,…xn – средний размер розничного товарооборота; n – число тороговых предприятий. , где x1=510,x2=560,…x25=772 – средний размер розничного товарооборота; n =25 – число торговых предприятий. Средний размер розничного товарооборота в расчете на одно торговое предприятие равна 517 млн.руб. В решении данной задачи использовалась средняя арифметическая простая. Задача 2. Для построения статистического ряда распределения торговых предприятий по размеру товарооборота

с выделением 5 групп найдем величину равного интервала: Величина равного интервала определяется по формуле: , где xmax и xmin – максимальное и минимальное значение признака, n – число групп. где xmax=800, xmin=200 - максимальное и минимальное значение среднегодовой стоимости основных производственных фондов (млн. руб.) n=5 – группы торговых предприятий. Путем прибавления величины интервала к минимальному значению признака в группе получим следующие группы

торговых предприятий по размеру товарооборота (Табл. 11). Таблица 11 Ряд распределения торговых предприятий по размеру товарооборота № группы Группы предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов, млн.руб. число предприятий удельный вес центр интервала x f x` 1 200-320 3 0,12 260 2 320-440 5 0,20 380 3 440-560 6 0,24 500 4 560-680 8 0,32 620 5 680-800 3 0,12 740 Всего 25 1 а) По ряду распределения рассчитаем средний размер розничного товарооборота на одно торговое

предприятие, взвешивая варианты признака по числу предприятий (Табл. 12): Таблица 12 Ряд распределения торговых предприятий по среднему размеру розничного товарооборота № группы Группы предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов, млн.руб. число предприятий центр интервала X f x` x`f 1 200-320 3 260 780 2 320-440 5 380 1900 3 440-560 6 500 3000 4 560-680 8 620 4960 5 680-800 3 740 2220 Всего 25 12860 Воспользуемся формулой средней арифметической взвешенной, выразим варианты одним (дискретным)

числом, которое найдем как среднюю арифметическую простую из верхнего и нижнего значений интервала (центр интервала – x`). ; где - сумма произведений среднегодовой стоимости основных производственных фондов предприятий на их количество, - общее число предприятий. = млн.руб. Средний размер розничного товарооборота, взвешивая варианты признака по числу торговых предприятий равна: 514,4 млн.руб. б) По ряду распределения рассчитаем средний размер розничного товарооборота, взвешивая

варианты признака по удельному весу торговых предприятий (табл.13). Воспользуемся формулой средней арифметической взвешенной, в качестве весов используем относительную величину (d) (удельный вес): ; где - сумма произведений среднего розничного товарооборота предприятий на их удельный вес, =1. 31,2+76+120+198,4+88,8 = 514,4 млн.руб. Средний размер розничного товарооборота, взвешивая варианты признака по удельному весу торговых предприятий

равна: 514,4 млн.руб. Таблица 13 Ряд распределения торговых предприятий по среднему размеру розничного товарооборота № группы Группы предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов, млн.руб. число предприятий удельный вес центр интервала x F d x` x`d 1 200-320 3 0,12 260 31,2 2 320-440 5 0,20 380 76 3 440-560 6 0,24 500 120 4 560-680 8 0,32 620 198,4 5 680-800 3 0,12 740 88,8 Всего 25 1 514,4 При сравнении полученных в п.2 результатов средней с результатом, полученным в п.1

обнаруживаем небольшое расхождение, которое объясняется тем что в первом случае расчет проводился по формуле средней арифметической простой в расчете на одно предприятие, а во втором случае по формуле средней арифметической взвешенной по ряду распределения предприятий по среднему размеру розничного товарооборота с выделением пяти групп (интервалов). Для вычислений мы использовали средние значения в интервале (простая средняя между верхней и нижней границами каждого интервала).

При таком исчислении средней допускается некоторая неточность, поскольку делается предположение о равномерности распределения единиц признака внутри группы. Задача 3. Таблица 14 Вид кредита Банк 1 Банк 2 годовая процентная ставка сумма кредита, млн. руб. годовая процентная ставка доход банка, млн. руб. x f x w краткосрочный 20 500 21 126 долгосрочный 16 150 15 30 а) Расчет процентной ставки кредита Банка 1 будем производить по формуле средней арифметической взвешенной

(табл.11), т.к. дано значение частоты (f) и значение признака (вариант) (x), но нет значения общего объема (М=xf). ,где x – годовая процентная ставка, f – сумма кредита. Средняя процентная ставка кредита Банка 1 = 19,08%. Расчет процентной ставки кредита Банка 2 будем производить по формуле средней гармонической взвешенной (табл.11), т.к. дано значение признака (вариант) (x) и вес варианты х, объем осредняемого признака (w).

, где где x – годовая процентная ставка, w – доход банка. Средняя процентная ставка кредита Банка 2 = 19,5%. б) Расчет будем производить по формуле: - средняя процентная ставка по двум банкам. III. Аналитическая часть. В данной части курсовой работы проведены аналитические исследования в области дифференциации остатков во вкладах, с разным сроком хранения, с использованием средних величин, на примере

ОКВКУ №8203151 Городского Отделения Сберегательного Банка РФ. Все используемые данные взяты за ноябрь 2004г. В ходе исследования использовались такие программные продукты, как MS Word и MS Excel. В ноябре 2004 в ОКВКУ (операционная касса вне кассового узла) 8203151 насчитывалось 20879 действующих счетов, с разными сроками хранения. Общий остаток по всем действующим счетам составил 72283418,80

руб. Численный состав ОКВКУ 8203/0151 на ноябрь 2004 года составлял 8 ОКР (операционно-кассовый работник). Таблица 15 Учёт вкладов за ноябрь 2004 года Вид вклада Количество счетов Сумма (руб./руб. эквивалент) 42301 До востребования 10617 2225024,07 Пенсионный 14 106872,68 Срочный с ежем выпл дохода 5 19446,93 Школьный 9 468,72 валюта

До востребования 13 20348,99 Всего 10658 2372161,39 42303 Сберегательный 1м 7 69206,68 Компенсационный 1997 2 6077,58 Депозит на 1м 1д 15 374574,79 валюта Евро-депозит на 1м и 1д 1 149305,6 Всего 25 599164,65 42304 Сберегательный 3д 29 470061,8 Срочный пенсионный 3м 1д 62 965447,39 Молодежный 16 322572,24

Особый на 3м и 1д 2 99898,02 Депозит 3м 1д 44 1501583,31 Пенсионный депозит 3м 1д 28 880214,18 валюта Пополняемый 3м 2 96619,28 Доллар-депозит на 3м и 1д 6 240718,21 Евро-депозит на 3м и 1д 2 127171,04 Всего 191 4704285,47 42305 Сберегательный на 6 м 11 346083,28 Срочный пенсионный 6м 12 454598,31 Депозит на 6м 74 2199973

Пенсионный депозит на 6м 72 2134114,33 валюта Пополняемый 6м 5 194184,95 Доллар-депозит на 6м 3 260597,46 Евро-депозит на 6м 7 392853,64 Всего 184 5982404,97 42306 Срочный пенсионный 1г 1м 274 7965948,92 Срочный пенсионный 1г 1м 370 45321,86 Компенсационный 871 21466,64 Пенсионный плюс 1926 24843749,7 Срочный пенсионный 2г 105 3644644,9

Накопительный 11 793989,83 Пополняемый 1г 1м 208 7282420,17 Особый на 2г 2 1229684,04 Пенсионный депозит на 1г и 1м 108 3199404,19 Пенсионный депозит 2г 8 387272,66 валюта Срочный 1 15475,81 Особый 1г и 1м 4 449959,93 Юбилейная рента на 2г 5 625524,65 Европейский 1 45557,62 Юбилейная рента на 1г и 1м 3 157316,57

Новый европейский 1г и 1м 2 57281,47 Новый европейский 2г 1 29861,12 Всего 3900 50794880,08 42307 Детский целевой 330 96804,82 Зарплатный 4448 2760513,62 Универсальный на 5 лет 1131 4873984,53 валюта Универсальный на 5 лет 11 47645,77 Всего 5920 7778948,74 Всего 20878 72231845,3 Данные статистических наблюдений сообщают информацию только о количестве счетов,

с разными сроками хранения, и о сумме остатка каждой группы (в зависимости от срока) вкладов. Однако если найти, а затем взвесить средний остаток во вкладе на общее количество вкладов, то можно проследить дифференциацию остатков во вкладах с разным сроком хранения. Оценить общую картину распределения остатков позволяет гистограмма (рис.2). Столбики представляют средний остаток во вкладе. Рисунок 2

Средний остаток во вкладе в зависимости от срока Условные обозначения: 42301 – бессрочные вклады; 42303 – 1 месяц, 1 месяц и 1 день; 42304 - 3 месяц, 3 месяц и 1 день; 42305 - 6 месяц; 42306 – 1 год, 2 года; 42307 – 5 лет, 10 лет. То есть наибольший остаток имеют вклады со сроком хранения 3 месяца и 1 день. Таблица 16 Распределение вкладов по сроку хранения

Количество вкладов В % к общей численности вкладов Кумулятивный (накапливаемый процент) Всего 20878 100,0 42301 10658 51,0 51,0 42303 25 0,1 51,2 42304 191 0,9 52,1 42305 184 0,9 53,0 42306 3900 18,7 71,6 42307 5920 28,4 100,0 Таблица 17 Вспомогательная таблица для построения диаграммы соотношения валютных и рублёвых остатков вид валюта рубли 42301 1565,31 220,93 42303 149305,60 18744,13 42304 46450,85 23424,18 42305 56509,07 55470,69 42306 81233,95 12725,70 42307 4331,43 4309,45 Рисунок 3 Соотношение валютных и рублёвых остатков

Таким образом, наблюдается резкая дифференциация средних остатков валютных и рублёвых вкладов. За ноябрь 2004 года ОКР ОКВКУ 8203151 обслуживали в среднем 2610 вкладов на человека. И все же традиционно в аналитической работе используется среднее. Поэтому актуальной становится задача корректного вычисления этого показателя, то есть с учетом того, что оценка среднего очень чувствительна к экстремальным значениям.

Вычисление среднего, сравнение групповых средних допустимо только для переменных с так называемым нормальным распределением. В существующей практике органами статистики среднее вычисляется без проверки характера распределения, хотя последнее может оказаться не похожим на нормальное. Это может привести к ошибочным выводам, особенно когда распределение значительно отклоняется от нормального. Плотность нормального распределения представляет симметричную кривую, в которой численности растут

до максимума, а потом с такой же постепенностью убывают. Приведение данных к нормальному распределению заключается в преобразовании исходных данных - логарифмировании, возведении в степень, извлечении корня и т.п. Заключение В заключении подведем итоги. Средние величины — это обобщающие показатели, в которых находят выражения действие общих условий, закономерность изучаемого явления.

Статистические средние рассчитываются на основе массовых данных правильно статистически организованного массового наблюдения (сплошного или выборочного). Однако статистическая средняя будет объективна и типична, если она рассчитывается по массовым данным для качественно однородной совокупности (массовых явлений). Применение средних должно исходить из диалектического понимания категорий общего и индивидуального, массового и единичного. Средняя отражает то общее, что складывается в каждом отдельном, единичном объекте

благодаря этому средняя получает большое значение для выявления закономерностей присущих массовым общественным явлениям и незаметных в единичных явлениях. Отклонение индивидуального от общего — проявление процесса развития. В отдельных единичных случаях могут быть заложены элементы нового, передового. В этом случае именно конкретных фактор, взятые на фоне средних величин, характеризует процесс развития. Поэтому в средней и отражается характерный, типичный, реальный уровень изучаемых явлений.

Характеристики этих уровней и их изменений во времени и в пространстве являются одной из главных задач средних величин. Так, через средние проявляется, например, свойственная предприятиям на определенном этапе экономического развития; изменение благосостояния населения находит свое отражение в средних показателях заработной платы, доходов семьи в целом и по отдельным социальным группам, уровня потребления продуктов, товаров и услуг. Средний показатель — это значение типичное (обычное, нормальное, сложившееся в целом),

но таковым оно является по тому, что формируется в нормальных, естественных условиях существования конкретного массового явления, рассматриваемого в целом. Средняя отображает объективное свойство явления. В действительности часто существует только отклоняющиеся явления, и средняя как явления может и не существовать, хотя понятие типичности явления и заимствуется из действительности. Средняя величина является отражения значения изучаемого признака и, следовательно,

измеряется в той же размеренности что и этот признак. Однако существуют различные способы приближенного определения уровня распределения численности для сравнения сводных признаков, непосредственно не сравнимых между собой, например средняя численность населения по отношению к территории (средняя плотность населения). В зависимости от того, какой именно фактор нужно элиминировать, будет находиться и содержание средней.

Сочетание общих средних с групповыми средними дает возможность ограничить качественно однородные совокупности. Расчленяя массу объектов, составляющих то или иное сложное явления, на внутренне однородные, но качественно различные группы, характеризуя каждую из групп своей средней, можно вскрыть резервы процесс нарождающегося нового качества. Например, распределения населения по доходу позволяет выявить формирование новых социальных групп. В аналитической части мы рассмотрели частный пример использования средней величины.

Подводя итог можно сказать, что область применения и использования средних величин в статистике довольно широка. Список литературы 1. Гусаров В.М. Теория статистики: пособие для вузов. – М.: Аудит, ЮНИТИ, 1998. -247 с. 2. Елисеева И.И Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник / Под ред. чл корр. РАН И.И.Елисеевой. – 4-е изд перераб. и доп М.: Финансы и статистика,

1999 480с.: ил. 3. Едронова Н.Н. Общая теория статистики: Учебник/ Под ред. Едроновой Н.Н. -М.: Финансы и статистика,2001 648 с. 4. Ефимова М.Р Петрова Е.В Румянцев В.Н. Общая теория статистики: Учебник М.: ИНФРА-М, 1996 416с. 5. Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности:

Учебник / Под ред. А.А.Спирина, О.Э.Башиной М.: Финансы и статистика, 1994 296с.: ил. 5. Практикум по теории статистики: Учеб. пособие /Под.ред. проф. Р.А. Шмойловой. – М.: Финансы и статистика, 1999. – 416с.: ил. 7. Статистический словарь / Гл. ред. М.А.Королев М.: Финансы статистика, 1989 623с.: и 8.

Теория статистики: Учебник / Под ред. проф. Шмойловой Р.А. –2-е изд доп. и перераб М.: Финансы и статистика, 1998. -576с.:ил. 9. Тюрин Ю.Н Макаров А.А. Статистический анализ данных на компьютере / Под ред. В.Э.Фигурнова М.: ИНФРА-М, Финансы и статистика, 1998 528с ил. 10. Российский статистический ежегодник. –

М.:2002. – часть1 11. http://www.infostat.ru 12. http://ture-net.narod.ru