Аннотация программы учебной дисциплины «Математические модели механики сплошных сред»Направление 010200.62 – «Математика и компьютерные науки». Профиль: Математическое и компьютерное моделирование. Общее количество часов — 108 (3 зачетные единицы). Семестр – 8. 1. Цели и задачи дисциплины. Целями освоения дисциплины являются: изучения построения математических моделей механики сплошной среды для решения физических задач. 2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины. Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций: способность применять знания на практике (ОК-6); исследовательские навыки (ОК-7); фундаментальной подготовкой по основам профессиональных знаний и готовностью к использованию их в профессиональной деятельности (ОК-11); способностью к анализу и синтезу (ОК-14); определение общих форм, закономерностей и инструментальных средств отдельной предметной области (ПК-1); умение понять поставленную задачу (ПК-2); умение формулировать результат (ПК-3); умение строго доказать утверждение (ПК-4); умение на основе анализа увидеть и корректно сформулировать результат (ПК-5); умение самостоятельно увидеть следствия сформулированного результата (ПК-6); умение грамотно пользоваться языком предметной области (ПК-7); умение ориентироваться в постановках задач (ПК-8); знание корректных постановок классических задач (ПК-9); понимание корректности постановок задач (ПК-10); глубокое понимание сути точности фундаментального знания (ПК-13). В результате освоения данной дисциплины обучающийся должен: знать: основные модели сплошных сред (идеальной жидкости, вязкая жидкость, теория упругости, уравнения жидкости пограничного слоя, движения газов и смесей, жесткопластическая и упругопластическая среда) и их приложения для решения различных прикладных задач; уметь: применять различные математические модели и на их основе строить более сложные для исследования и численного решения задач различных областей науки и техники; владеть: методологией и навыками постановок задач механики сплошных сред, методами анализа и исследования моделей. 3. Содержание дисциплины. Основные разделы. Кинематика сплошных сред. Способы Эйлера и Лагранжа для описания движения сплошной среды. Переход от переменных Эйлера к переменным Лагранжа. Переход от переменных Лагранжа к переменным Эйлера. Индивидуальная производная. Субстанциональная производная. Местная производная. Законы механики сплошных сред. Скорость относительного изменения объема частиц среды. Уравнения неразрывности и движения механики сплошной среды. Плотность. Закон сохранения массы. Уравнение неразрывности. Соленоидальное поле течения сплошной среды. Уравнение неразрывности в переменных Лагранжа. Взаимный переход уравнений неразрывности в переменных Эйлера и Лагранжа. Теорема количества движения. Массовые силы. Поверхностные силы. Теорема количества движения сплошной среды в интегральном виде. Зависимость напряжения от положения площадки. Уравнение движения. Уравнение импульсов. Уравнение равновесия сплошной среды. Уравнение Эйлера. Теорема момента количества движения. Теорема живых сил. Плотность кинетической энергии. Составляющие изменения кинетической энергии от работы массовых и поверхностных сил в сплошной среде. Термодинамика сплошных сред. Закон сохранения энергии для сплошной среды в дифференциальной форме. Энтальпия. Уравнение притока тепла. Второй закон термодинамики. Физический смысл энтропии. Модель идеальной среды. Уравнения Эйлера для идеальной среды. Баротропная жидкость. Граничные условия идеальной среды. Уравнение энергии для идеальной среды. Адиабата Пуассона. Изоэнтропическое течение идеальной среды. Интеграл Бернулли. Скорость звука. Ударная волна. Полная энтальпия жидкой частицы. Потенциальное и вихревое движение сплошной среды. Влияние сжимаемости среды при увеличении скорости. Изменение плотности среды при увеличении скорости. Потенциальное движение. Интеграл Коши-Лагранжа. Задача линейной акустики. Вихри идеальной жидкости. Теорема Стокса. Теорема Томсона. Теорема Лагранжа. Теорема Гельмгольца. Вихревые линии, вихревые поверхности. Теорема о сохранении вихревых линий. Теорема интенсивности вихревой трубки. Причины, приводимые к нарушению сохранения вихрей. Вихревая нить. Скорости индуцируемые вихревой нитью. Произвольная вихревая нить. Прямолинейная вихревая нить. Плоскопараллельные задачи. Вихревой слой, вихревая пелена. Вязкая теплопроводная жидкость. Обобщенный закон Ньютона для тензора напряжения. Изотропный тензор. Шаровой тензор. Теорема единственности. Коэффициент вязкости. Объемный коэффициент вязкости. Гипотеза Стокса. Уравнение Эйлера. Уравнение Барнетта. Уравнение Сюзерлена. Уравнение вязкого газа. Уравнение импульсов. Уравнение Навье-Стокса.. Свойства уравнений Навье-Стокса. Уравнение энергии (притока тепла). Закон Фурье. Коэффициент теплопроводности. Диссипативная функция. Энтальпия. Выражение для энтропии. 2 закон термодинамики. Постановка и решение задач. Разрывные течения. Условия на поверхности разрыва. Закон сохранения массы в интегральном виде. Закон изменения количества импульса в интегральном виде. Уравнение энергии в интегральном виде. 2 закон термодинамики энтропии в интегральном виде. Сильные и слабые разрывы. Контактный разрыв. Сильный разрыв. Скачки сжатия и разряжения. Задача: применение соотношений прямого скачка (газ). Энтальпия, полная энтальпия. Соотношения на разрывах в идеальном газе. Применение соотношений для вычислений перед и за скачком в рамках идеального газа. Решение уравнений Навье-Стокса. Уравнения пограничного слоя. Граничные условия. Система уравнений. Форма тела. Математические свойства системы. Уравнение с малым параметром перед старшей производной. Решение задач (уравнение пограничного слоя). Уравнение 3-го порядка. Задача Блазиуса. Метод стрельбы. Коэффициент сопротивления. Толщина пограничного слоя. Толщина вытеснения. Движение завихренности. Перенос завихренности (вязкая жидкость). Уравнение для завихренности в пограничном слое. Завихренность в начальном сечении. Движение завихренности (идеальная жидкость). Обучение автомодельных решений. Способы решения задач автомодельных решений (автомодельные уравнения). Параметр автомодельности. Задача Фолкнера-Скэна. Задача обтекания пластин (Блазиуса). Окрестность точки торможения. Пограничный слой на конусе. Решение задач автомодельных решений. Коэффициент трения. Коэффициент сопротивления. Метод интегральных соотношений. Ограничения пограничного слоя. Закон Гука и теория упругости. Модуль упругости Юнга. Модуль сдвига. Тензор 4-го ранга. Линейная теория упругости. Динамические коэффициенты Ламэ. Коэффициент Пуассона. Обращение обобщенного закона Гука. Модуль всестороннего сжатия. Уравнение разрывности. Коэффициент объемного сжатия или объемного растяжения. Упругие коэффициенты Ламэ. Упругое тело. Граничные и начальные условия. Решение задачи в напряженно деформированном состоянии упругого тела находящегося в равновесии. Принцип Сен-Венана. Определение максимальных касательных напряжений в упругом теле. Принцип суперпозиции (принцип наложений). Максимальные напряжения (наибольшее касательное напряжение). Уравнения термоупругости и теплопроводности. Обращенный закон Гука с учетом температурных напряжений. Уравнение Ламэ для термоупругости. Уравнение теплопроводности, коэффициент температуропроводности. Начальные и граничные условия для температуры. Постановка статистических и динамических задач термоупругости. Напряжения в упругом теле. Возникновение напряжения в упругом теле под действием температурных полей. Уравнение термоупругости. Постановка и решение задач о термонаправлениях в упругой сфере. Температурное тело. Дивергенция. Обращенный закон Гука. Деформация. Выражения для напряжений. Касательное напряжение. Уравнение для определения радиального смещения. Средняя температура в сфере. Средняя температура радиуса. Безразмерное время. Безразмерный радиус текущий. Касатель напряжения. Уравнения для смесей. Описание смесей. Определение концентраций. Закон кратных отношений. Закон применения массы в период. Уравнение состояния. Уравнение разрывности. Уравнение диффузии. Диффузионный поток. Концентрация химических элементов. Скорость реакции. Константа скоростей реакции. Уравнение состояния для смесей. Уравнение движений для смесей. Уравнение энергии (баланс энергии для смесей). Уравнение притока тепла. Уравнения для смесей и газа. Диффузия. Массовый диффузионный поток. Закон Фика. Термодиффузия. Выражение потоков через градиенты. Многокомпонентные коэффициенты диффузии. Выражение градиентов через поток. Термодиффузионные отношения. Бинарные коэффициенты диффузии. Вектора диффузионных сил. Возникновение диффузионных потоков. Постановка и решение задач. Поток тепла. Термодиффузионный фактор. Диффузионный поток тепла. Постановка и решение задач. Жесткопластическая и упругопластическая среда. Методы подобия и размерности.Составитель: доцент каф. МАиМ Рыженко А.В.