АННАТАЦИОННАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫСТОХАСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗНаправление подготовки 010200.62 математика и компьютерные науки (математическое и компьютерное моделирование)Квалификация (степень) выпускника бакалаврОбщая трудоемкость дисциплины 144 ч. 1. Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины (модуля) "Стохастический анализ" являются: формирование стохастической культуры студента, фундаментальная подготовка в области стохастического анализа, овладение современным математическим аппаратом для дальнейшего использования в приложениях. ^ 2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО Стохастический анализ входит в цикл профессиональных дисциплин в базовой части. Для его успешного изучения необходимы знания и умения, приобретенные в результате освоения предшествующих дисциплин: математический анализ, комплексный анализ, функциональный анализ, фундаментальная и компьютерная алгебра, дифференциальные уравнения, технология программирования и работа на ЭВМ. Освоение первой части стохастического анализа (теории вероятностей) необходимо для дальнейшего изучения математической статистики. Знание стохастического анализа может существенно помочь в научно-исследовательской работе.^ 3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины (модуля): ОК-5, ОК-6, ОК-8, ОК-11, ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК-4, ПК-5, ПК-6, ПК-7, ПК-8, ПК-9, ПК-10, ПК-11, ПК-12, ПК-15, ПК-16, ПК-19, ПК-20, ПК-21, ПК-22, ПК-23, ПК-24, ПК-25, ПК-27, ПК-29.^ В результате освоения дисциплины обучающийся должен:1) Знать: основные понятия стохастического анализа, определения и свойства математических объектов в этой области, формулировки утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их приложений, основы компьютерного моделирования стохастических объектов и явлений. 2) Уметь: решать задачи вычислительного и теоретического характера в области стохастического анализа, доказывать утверждения, моделировать на компьютере стохастические объекты и явления. 3) Владеть: математическим аппаратом стохастического анализа, методами решения задач и доказательства утверждений в этой области, методами компьютерного моделирования.^ 4. Структура и содержание дисциплины.Понятие случайного события и его вероятности. Классическая вероятност-ная модель для случая равновозможных исходов. Приложения комбинаторики в теории вероятностей. Геометрическая вероятность. Задача Бюффона*. Понятие о методах Монте-Карло. Операции над событиями. Теорема сложения. Формула включения и исключения. Аксиоматика Колмогорова. Условная вероятность. Теорема умножения. Независимость событий. Пример Бернштейна*. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема независимых испытаний Бернулли. Наиболее вероятное число успехов. Полиномиальная схема. Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуассона. Случайная величина и ее распределение. Функция распределения. Дискретные и непрерывные распределения. Сингулярные распределения*. Плотность распределения. Основные числовые характеристики случайных величин (математическое ожидание, дисперсия, моменты высших порядков, асимметрия*, эксцесс*). Основные дискретные распределения и их свойства (биномиальное, пуассоновское, геометрическое, гипергеометрическое*). Основные непрерывные распределения и их свойства (равномерное, показательное, нормальное, логнормальное*, Вейбулла*, Лапласа*, Парето*, Коши*). Функция от случайной величины. Преобразование распределений. Производящая функция, производящая функция моментов, характерис-тическая функция. Преобразование Лапласа-Стилтьеса*. Многомерные случайные величины. Совместное и частные распределения. Совместная функция и плотность распределения. Независимость случайных величин. Меры зависимости случайных величин и их свойства. Приложения к задаче оптимизации портфеля акций*. Многомерное нормальное распределение*. Распределения суммы, разности, произведения и частного независимых случайных величин. Примеры. Условные распределения и условные математические ожидания (одной случайной величины по другой). Функции регрессии. Линейная регрессия в случае многомерного нормального распределения*. Неравенства Маркова и Чебышёва, их модификации. Различные виды сходимости случайных последовательностей, их взаимосвязь. Закон больших чисел. Лемма Бореля-Кантелли*. Усиленный закон больших чисел*. Центральная предельная теорема. Теорема Берри-Эссеена*. Генераторы псевдослучайных чисел и их свойства. Основные методы построения случайной величины с заданным распределением. Примеры моделирования случайных величин в MS Excel. Приложения в методах Монте-Карло. Моделирование многомерных случайных величин. Приложение к моделированию финансового рынка*. Общее определение случайного процесса. Конечномерные распределения. Теорема Колмогорова о существовании процесса с заданным семейством конечномерных распределений*. Условия согласованности. Функциональные характеристики случайных процессов и их преобразования. Примеры. Стационарные случайные процессы (в широком и узком смысле). Автоковариационная и автокорреляционная функции, их свойства. Теорема Бохнера-Хинчина. Спектральная функция и спектральная плотность. Спектральное представление (дискретное время). Цепи Маркова с дискретным временем и конечным числом состояний. Классификация состояний. Предельное распределение. Цепи Маркова с бесконечным числом состояний*. Эргодичность и возвратность*. Моделирование цепей Маркова.Составил доцент кафедры МАиМ В.А.Труфанов