АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВдоц. Д.А. Тимашев, м.н.с. И.В. Аржанцев1 годОсновы алгебраической геометрии [1], [2], [3], [4].Аффинные алгебраические многообразия, определяющие идеалы, регулярные функции, морфизмы.Теорема Гильберта о нулях. Двойственность между категориями аффинных многообразий и конечнопорожденных алгебр без нильпотентов.Топология Зарисского, ее нетеровость, разложение многообразия на неприводимые компоненты.Теорема об образе доминантного морфизма.Рациональные функции и отображения.Произведение многообразий.Размерность. Теорема Крулля, теорема о размерности слоев морфизма.Касательные пространства и отображения. Гладкие и особые точки.Конечные морфизмы. Нормальные многообразия.Общее понятие алгебраического многообразия. Проективные многообразия, их полнота.Алгебраические группы [2], [3], [5].Понятие алгебраической группы. Связная компонента единицы. Гомоморфизмы алгебраических групп (ядро и образ – замкнутые подгруппы).Касательная алгебра Ли.Действия алгебраических групп, локальная замкнутость орбит, представление в алгебре регулярных функций.Линеаризуемость аффинных алгебраических групп.Однородные пространства, теорема Шевалле. Факторгруппы.Разложение Жордана. Алгебраические торы. Унипотентные группы, теорема Энгеля.Коммутант алгебраической группы. Разрешимые группы, теорема Бореля о неподвижной точке, теорема Ли-Колчина.Редуктивные группы, полная приводимость представлений.Теория инвариантов [3], [6], [7].Теорема Гильберта об инвариантах. Категорный фактор аффинного многообразия по действию редуктивной группы, свойства морфизма факторизации.Инварианты конечных групп, теорема Шевалле.Рациональные инварианты, теорема Розенлихта о разделении орбит инвариантами.Замкнутые орбиты. Критерий Мацусимы. Стабильность действия, критерий Попова.Нильпотентные орбиты, критерий Гильберта-Мамфорда.Присоединенное представление редуктивной группы, его орбиты и инварианты.Классическая теория инвариантов систем тензоров.Полустабильные и стабильные точки проективного действия. Фактор Мамфорда.Литература1. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. Т. 1. М., Наука, 1988.2. Винберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. М., Наука, 1988.3. Крафт X. Геометрические методы в теории инвариантов. М., Мир, 1987.4. Данилов В.Л. Алгебраические многообразия и схемы.\\ Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 23. М., ВИНИТИ, 1988.5. Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы. М., Наука, 1980.6. Дьедонне Ж., Кэролл Дж. Мамфорд Д. Геометрическая теория инвариантов. М., Мир, 1974.7. Спрингер Т.А. Теория инвариантов. М., Мир, 1981.