АЛГОРИТМЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПРИ ТОМОГРАФИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКЕ ПРОЕКЦИЙ Томографические методы реконструкции изображений применяются в радиолокации, оптике, медицине и физиологии, в химии, микробиологии, диагностике плазмы, аэродинамике, геологии, радиоастрономии. В современной томографии для получения информации используют излучения самой различной физической природы: ультразвук, радио- и оптические, рентгеновские и γ- лучи, различные корпускулярные излучения и т.д. Для каждого вида излучения характерны свои специфические особенности, которые проявляются в методах формирования исходных проекций и в его аппаратурной реализации. Однако проекционные данные, которые получаются в результате предварительных наблюдений, которыми оперируют при восстановлении изображения, могут быть описаны очень похожими математическими зависимостями. В основе реконструктивной вычислительной томографии (РВТ) лежит теорема проекции или центрального среза. Рис.1. Схема получения проекции С математической точки зрения все вычислительные алгоритмы эквивалентны, но каждый из них при реализации имеет свои особенности: одни позволяют уменьшить время для получения изображения, другие более устойчивы к шумам, имеющимся в исходных данных, третьи по сравнению с другими методами позволяют улучшить качество изображения. Необходимо решать задачу восстановления изображения по результатам измерений параметров принятого радиолокатором сигналов. При фиксированном ракурсе объекта принимаемый сигнал можно рассматривать как горизонтальную проекцию искомого изображения. Существует два основных способа вычисления и получения восстановленного изображения: аналитические и итерационные. В основе аналитического подхода лежит двумерное восстановление Фурье. К этому подходу относятся следующие методы: метод обратного проецирования, обратная фильтрация свёртки, метод вейвлет фильтрации [1]. Большое значение при реализации методов обратного проецирования и метода фильтрации свёрткой имеет взаимосвязь преобразований Радона и Фурье. Она выражается теоремой о проекциях и сечениях и другими проекционными теоремами. Достоинством методов получения изображения, основанных на взаимосвязи преобразований Радона и Фурье является возможность аналитически оценить детальность получаемого изображения и сравнительно небольшой объём вычислений. Недостатки связаны с неустойчивостью метода к помехам и с плохими возможностями учёта априорных сведений о получаемом изображении. К помехам наиболее устойчив метод с использованием вейвлет-преобразований, но объём вычислений становится больше. При получении изображения в идеальном случае мы хотим добиться полного сходство исходного изображения и восстанавливаемого. Однако такой результат получить невозможно. Наличие неограниченного количества по-разному ориентированных проекций позволяет точно восстановить саму функцию f(x,y). Однако, на практике обычно приходится иметь дело с конечным числом проекций. Поэтому только в частных случаях возможно получить точное восстановление. Таким образом, полученная на практике в результате восстановления величина является лишь оценкой искомой функции. И объясняется это не только конечным числом проекций. Во-первых, сами проекции задаются дискретной информацией, полученной с датчиков. Поэтому мы располагаем лишь приближенной аппроксимацией проекции. Во-вторых, вычисление интегралов, используемых в процедуре восстановления, производится численными методами, а, следовательно, с некоторой погрешностью. В аналитических методах распределение изучаемого параметра объекта описывается непрерывной функцией f(x,y), и предполагается, что процесс измерения данных и сами данные также являются непрерывными. Такая модель позволяет сформулировать задачу реконструкции в виде интегрального уравнения относительно неизвестной функции f(x,y). В основе большинства из них используются аппарат преобразования Фурье и преобразования Радона. Преимуществами аналитических алгоритмов являются их устойчивость и высокая скорость расчётов по сравнению с другими методами. Большинство аналитических методов предполагает наличие достаточно большого числа проекционных данных. Среди аналитических методов восстановления изображения наиболее простым является метод обратного проецирования. Он же положен в основу других и более точных методов. Данный метод обладает высокой скоростью , но точность восстановления при этом низкая. Это связано с тем, что данные в этом методе получены опытным путем. На каждом этапе получения проекций при помощи этого метода возникают свои источники погрешностей, вследствие чего общий результат может оказать довольно плохой аппроксимацией формулы обращения по Фурье. Среди таких источников выделим: - недостаточное число дискретных проекций;- ошибки обусловленные усечением области частот фурье-преобразования; ошибки интерполяции в частотной области; недостаточное число отсчётов в частотной области. Метод фильтрации свёрткой получается более трудоёмким, но точность восстановления и качество изображения улучшаются в 15-20 раз. Существенный недостаток метода заключается в его низкой помехоустойчивости. Для эффективного вычисления свёртки с помощью БПФ первоначальную размерность проекций необходимо увеличить вдвое, за счёт пополнения их нулями во избежание перекрытия спектральных компонент свернутых значений. Метод вейвлет фильтрации не основан на взаимосвязи преобразований Радона и Фурье. В этом методе восстановление изображения осуществляется за счёт связи преобразований Радона и вейвлет-функций. Так как вейвлет-преобразования являются более мощным математическим аппаратом, то при использовании метода можно добиться восстановления информативного изображения и одновременно подавлять шумы. При использовании данного метода быстродействие системы уменьшается, соответственно и затраты на такую систему возрастают. При итерационных методах объект рассматривается как матрица элементов. Набор проекций даёт систему линейных уравнений, обычно неопределённую. Для получения единственного решения приходится налагать дополнительные условия. Эффективность этих условий зависит от сложности объекта и числа полученных проекций. Для итерационных методов восстановления характерно допущение о том, что исходная совокупность плотностей задаётся. Исходные плотности затем итеративно изменяются таким образом, чтобы обеспечивалась сходимость рассчитанных псевдокоррекций и имеющихся данных о проекции. Итерационные методы имеют ряд преимуществ перед аналитическими алгоритмами, например, возможность создания алгоритмов с применением априорных известных свойств, появляется возможность работы в интерактивном режиме, позволяющая сделать компромиссный выбор между качеством восстановления и временем обработки. Всё зависит от количества выбранных итераций. Итерационные методы характеризуются медленной сходимостью, но их модификации позволяют решить эту проблему. Общим недостатком итерационных алгоритмов является низкая вычислительная способность. Как стало видно из рассмотрения алгоритмов восстановления томографических изображений, выбор того или иного метода зависит от требований к качеству восстановления изображений, объема проекционных данных, быстродействия вычислительных систем и от компромисса, к которому приходит разработчик.