Schola, 2009Александров Павел Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор, факультет мировой политики МГУ им. М.В.Ломоносова. Ахременко Андрей Сергеевич, доктор политических наук, доцент, и.о. заведующего лабораторией математических методов политического анализа и прогнозирования факультета политологии МГУ имени М.В.Ломоносова. Динамическое моделирование политических процессов с использованием систем линейных дифференциальных уравнений Одной из характерных черт современного мира является наличие огромного объема численной информации, характеризующей широкий спектр политических процессов, который аккумулируется в различных государственных и негосударственных, национальных и международных организациях. Каждая страна имеет соответствующую статистическую службу, в которой содержатся численные данные практически по всем направлениям деятельности государства. Политологические исследовательские центры аккумулируют различные базы данных контент-анализа, ивент-анализа и т.д. Эти данные собраны за многие предыдущие годы и постоянно пополняются с течением времени, что позволяет их рассматривать с позиций изучения динамики политических процессов. Анализ таких количественных данных в большом объеме невозможен без привлечения математических методов. Он требует разработки специальной методологии применения математических моделей в анализе общественных процессов, формулировки соответствующих математических задач с целью выявления закономерностей и прогноза развития политических и государственно-правовых процессов. Современное состояние компьютерной техники и ее постоянное совершенствование позволяет решать чрезвычайно сложные математические задачи за счет огромных и постоянно растущих вычислительных возможностей. Стремительно совершенствуется и программное обеспечение, в том числе и в плане адаптации к потребностям тех ученых, которые не обладают фундаментальной математической подготовкой. Хотя в данной работе эмпирической основой моделирования являются статистические данные, методологический подход авторов базируется на нестатистической, детерминистской парадигме1. Рассмотрим для начала простой «статический» пример, иллюстрирующий данный подход, - модель действия закона о выборах в рамках пропорциональной электоральной формулы. Введем вектор результата голосования , элементами которого являются проценты голосов, отданных партиям, процент голосов против всех, процент не принявших участие в голосовании. Сумма элементов этого вектора равна ~100% (предполагается, что количество испорченных бюллетеней незначительно). Далее, введем вектор результатов выборов , каждый элемент которого – доля депутатских мандатов, полученный политической партией. Математической моделью, отражающей связь результатов голосования и результатов выборов, является система уравнений, (1) где матрица , , - определяет реальный механизм действия закона о выборах и является искомой величиной. Эта матрица в идеале должна быть единичной . Т.е. , . Иначе говоря, идеальная пропорциональная формула не вносит искажений в результаты выборов. Однако матрица реальной политики, отражающая фактическое действие закона о выборах, будет существенно отличаться от единичной, внося существенные искажения в пропорциональность перевода голосов избирателей в депутатские мандаты. Математический анализ такой реальной матрицы позволяет установить конкретный характер данных искажений, определить партии, получающие политические преференции от действия избирательного законодательства. Перейдем к рассмотрению предлагаемой авторами методологии математического моделирования политических процессов с использованием дифференциальных уравнений. Прежде всего, под политическим процессом мы будем понимать здесь любой процесс, который можно рассматривать с политических позиций. Например, динамика изменения доходной и расходной частей государственного бюджета может быть рассмотрена как политический процесс постольку, поскольку отражает властное распределение ресурсов и благ для общества. В основу методологии количественного анализа политических процессов нами положены следующие основные принципы: 1. Время t – единственная независимая переменная в математических моделях политического процесса. В общем случае, математические модели политического процесса - это функции (скалярные, векторные и матричные) времени - F(t), и являются функциями только одной переменной. Переход от табличного (или графического) представления к аналитическому виду функции позволяет решать задачи выявления закономерностей развития отдельных политических процессов. Методы перехода от таблично заданных функций к их аналитическому описанию хорошо разработаны в современной математике. 2. Нахождение и определение взаимосвязей между функциями, описывающими отдельные политические процессы, позволяет определять закономерности в их развитии. Необходимо рассматривать взаимовлияния в совокупности процессов, а не отдельные процессы изолированно друг от друга. Основная задача этой части методологии состоит в определении линейных связей между функциями для формирования полной математической модели развития политических процессов. 3. Сложный процесс можно рассматривать как совокупность простых (линейных) процессов. Для построения линейных моделей (прежде всего, систем линейных дифференциальных уравнений) необходимо определить, во-первых, между какими процессами существует однозначная взаимосвязь. Во-вторых, следует установить интервал времени, в котором взаимосвязь процессов может быть описана набором констант. Именно такие константы2 и будут отражать реальный политический курс, реализуемый на протяжении определенного периода времени. Более того, резкое ухудшение качества линейной модели с постоянными коэффициентами после включения в нее данных из другого временного периода и есть свидетельство изменения политического курса. Рассмотрим данный подход на конкретном примере. Пусть объектом нашего исследования является бюджет Российской Федерации, состоящий из двух главных составляющих – доходной и расходной частей. Данные по каждой из частей представляют собой ряды динамики (функции времени). В соответствии с указанными выше установками, мы сосредоточим внимание на отыскании линейных связей между доходами (Д) и расходами (Р) бюджета. Математическая модель имеет вид: (2) Смысл коэффициентов системы уравнений следующий: - доходы в предыдущий момент времени будут влиять на доходы в следующий момент времени (как прибыль увеличивается за счет эффективного управления или наоборот); - расходы в предыдущий момент времени влияют на доходы в следующий момент времени (например, доходы от инвестиций); - доходы в предыдущий момент времени порождают расходы в следующий момент времени (выплаты зарплат государственным служащим, пенсий и т.д.); - расходы в предыдущий момент времени влияют на расходы в следующий момент времени (например, расходы на создание новой сети государственных учреждений здравоохранения порождают расходы на их дальнейшее содержание). Представим систему уравнений (2) в виде: и поделим на интервал времени . Устремим к нулю, тогда в пределе получим: Иначе говоря, получена линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Будем основываться на данных Федеральной службы государственной статистики3 по доходной и расходной части бюджета, представленных в таблице 1. Таблица 1. Годы 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 ^ Доходы бюджета (млрд. руб.) 2098 2684 3519 4139 5430 8580 10626 ^ Расходы бюджета (млрд. руб.) 1960 2419 3422 3965 4670 6821 8375 Найдем конкретные значения матрицы которая и является количественным выражениям реально действующей бюджетной политики. Математическая модель приобретает вид: Или: Прогноз модели (сплошные линии) и реальные данные («звездочки») по доходам и расходам бюджета представлены на рис. 1. Рис.1 Исходные данные по расходной и доходной части бюджета (звездочки) и результаты решения для математической модели (непрерывные линии). Цветом выделены: зеленым – расходная часть бюджета, синим – доходная. По оси абсцисс отложено время в годах, по оси ординат – части бюджета в миллиардах рублей. Следующим этапом работы является анализ полученных коэффициентов, характеризующих бюджетную политику. Мы заострим внимание на проблеме устойчивости и стабильности рассматриваемого процесса. С формальной точки зрения очевидно, что данная модель неустойчива по Ляпунову4. Соответственно, на первый план выходит вопрос о ее стабильности. Общепринятого математического определения стабильности процесса (в отличие от устойчивости) не существует. Мы используем подход, предложенный Л.Ричарсоном применительно к анализу стабильности гонки вооружений5. Общая идея, заложенная в этот поход, состоит в следующем: нестабильность связана с диспропорциями в развитии отдельных компонентов системы (отдельных процессов). Формальное выражение данной идеи применительно к нашему примеру следующее. Собственные значения матрицы 2*2 удовлетворяют квадратному уравнению Его решение имеет вид , где . Стабильность бюджетной политики в идеале (аналогично гонке вооружений Ричардсона) означает или . Отсюда вытекает обязательное условие , которое выполняется, если , либо , что и имеет место в данной задаче. Стабильность бюджетной политики удовлетворяет условию . Полученная матрица имеет следующие собственные вектора и собственные значения , где , , т.е. . Это говорит об увеличении диспропорции между доходами и расходами бюджета, что может привести к кризисным последствиям. Отметим особо, что предложенный в данной статье подход к количественному анализу политических процессов позволяет прогнозировать их развитие при условии сохранения политического курса (неизменности «матрицы реальной политики» ). Мы можем получить ответ на вопрос, что будет происходить в будущем, если политический курс останется неизменным и, в соответствии с результатами прогноза, принимать меры к выработке политического решения о смене (сохранении) текущей политики. 1 Подробнее см. Ахременко А.С. Количественный анализ политической динамики: статистический и детерминистический подходы // Вестник Московского университета, серия 12 (Политические науки), №2. 2 В принципе, параметры связи между процессами вполне могут рассматриваться и как функции времени. Однако такой подход порождает существенные усложнения математического аппарата, и мы не будем его здесь рассматривать. 3 Данные имеются на официальном сайте ФСГС РФ www.gks.ru 4 Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Издательство «Наука», 1974 г., С. 832. 5 См., напр., Мангейм Дж.Б., Рич Р.К. Политология. Методы исследования. – М.: Издательство “Весь Мир”, 1997. Современную критику модели см. Brito D., Intriligator M. Increasing Returns to Scale and the Arms Race: The End of the Richardson Paradigm? // Defence and Peace Economics. http://www.ruf.rice.edu/~econ/papers/1999papers/01Brito.pdf