14. Матрицы. Магические квадраты. SATOR AREPO. Словесные квадраты Эберхарда Немецкого и Л.Кэрролла. Матрицы Кено: «Х принимает Y за Z».Отдельные математические структуры. Простые численные ограничения. 14=15 Жака Бенса. Лента Мебиуса. Булевы стихотворения. Греко-латинские квадраты. Коробка идей Франсуа Ле Лионне. Буквенные магические квадраты представляют собой квадратную таблицу, в ячейках которой расположены буквы, которые прочитываются по строкам и по столбцам как значащие слова. В некоторых квадратах построчно записываются буквенные перестановки одного слова, что в совокупности составляет буквенную совершенную анаграмму: TIME-ITEM-METI-EMIT. Это единственный, как указывает Ч.К.Бомбах, квадрат, все слова которого имеют осмысленное значение как на английском, так и на латыни: TIME (время, англ., бойся, лат.), ITEM (предмет, англ., подобно, лат.), METI (метка, англ., быть измеренным, лат.), EMIT (излучать, англ., покупает, лат.)): T I M E I T E M M E T I E M I T В других случаях в строках таблицы расположены простые буквенные палиндромы слов, причем если в крайних строчках и столбцах значения слов при обратном прочтении изменяются, то средние представляют собой традиционные палиндромы с совпадающими написаниями в прямом и обратном направлении: N E T E W E T E N (net – сеть, ewe – овца, ten – десять) W E D E K E D E W (wed – жениться, eke – к тому же, dew – роса) G E L E Y E L E G (gel – гель, eye – взгляд, leg – нога) R A T S A B U T T U B A S T A R (rats – крысы, abut – примыкать, tuba – труба, star – звезда)Наиболее интересный квадрат, многие века вызывающий восхищение, ужас и многочисленные интерпретации – это так называемый магический квадрат «SATOR AREPO»: S A T O R A R E P O T E N E T O P E R A R O T A S Это латинский квадрат имел огромное сакральное значение. Его трактовали как 1) работник за плугом (или на своем поле) управляет работой, 2) Сеятель (Христос) на своем плуге (кресте) удерживает своей работой (жертвой) колеса (судьбу), 3) Сеятель (сатор) Арепо (собственное имя) заставляет крутиться (тенет) колесо (ротас) в работе (опера), 4) Бог (сатор) управляет (тенет) творением (ротас), работой людей (опера) и продуктом земли (арепо). В средние века этот квадрат часто использовался как талисман. Предполагали, что его авторство принадлежит первым христианам, потому что те же буквы могут быть перекомпанованы в крест из слов Pater Noster (Отче наш):A P A TE R A P A T E R N O S T E R O O ST E R OБуквы А и О в начале и конце означают альфа и омега, начало и конец.Однако позже оказалось, что этот квадрат имеет более древнее происхождение, его нашли изображенным уже на колонне в Помпее. Этот квадрат имел оккультное значение, его, по преданию, использовали чернокнижники и колдуны.Квадрат Сатора помнят и в двадцатом веке, Умберто Эко вводит второстепенного персонажа с этим именем в романе «Маятник Фуко», а Т.Пратчетт называет площадью Сатора (Sator Square) торговую площадь в Анк-Морпорке.Квадраты, прочитываемые только в двух направлениях – слева направо и сверху вниз, также рассматриваются в категории текстов-матриц. Такие магические непалиндромные квадраты на английском языке существуют вплоть до девятого порядка, хотя квадраты, все слова которых можно найти в распространенных словарях (Webster), составлены только вплоть до седьмого порядка: N E S T L E S E N T R A N T S T R A N G E T R A I L O R L A N T E R N E N G O R G E S T E R N E R 1) гнезда, 2) участник, 3) чужак, 4) оставляющий следы, 5) фонарь, 6) обжираться, 7) твердый P R E P A R E R E M O D E L E M U L A T E P O L E M I C A D A M A N T R E T I N U E E L E C T E D 1) готовить, 2) переделывать, 3) подражать, 4) полемический, 5) непреклонный, 6) экскорт, 7) избранныйСамый сложный из известных на французском языке словесных квадратов – квадрат 9 порядка: G R A V A T I E R (уборщик) R E F I N A N C E (снова финансирую) A F F R O N T A T (противостояние) V I R R O N E R A (будет окружен, старофр.) A N N O N A N T S (запинающиеся) T A N N A N T E S (надоедливые) I N T E N T E R A (ему предъявят иск) E C A R T E R A I (оттолкну) R E T A S S A I T (снова уплотнялся) Простейший русский квадрат опирается на знакомую палиндромную пару Рим-мир, противопоставляя их сродни латинской пословице «Urbi et orbi»: Р И М И Л И М И Р или связывая их в призыв: Р И М И Щ И М И Р Такие квадраты используются в голомоломках, словесных играх, публикуемых, например, в русской версии журнала «Ридерс Дайджест». Квадрат четвертого порядка (автор неизвестен): П У С К У З О Р С О Д А К Р А Б Квадрат пятого порядка составлен С.Фединым: П О Р О К О П О Р А Р О М А Н О Р А В А К А Н А Т Другой – Г.Лукомниковым: Т У З А М У Д А Ч А З А К А З А Ч А Д У М А З У Т Построчное (или по столбцам) прочтение этого квадрата дает цельную фразу: «Тузам удача – заказ, а чаду – мазут...». Квадрат шестого порядка принадлежит палиндромисту П.Нагорских: У К О Р О М К О Л Е С О О Л А З Е Р Р Е З А Л О О С Е Л О К М О Р О К У Из букв квадрата складывается фраза «Укором колесо о лазер резало оселок, мороку». Видно, что автор допускает разбиение строки на отдельные слова.Буквы русскогоязычного магического квадрата девятого порядка, составленного Р.Адриановым, образуют относительно осмысленную фразу: У Д A Р И T Л E В Д А Р Е Н Я У Ж E A Р Е В O Н Г У Л Р Е В С М Е Н Я Т И Н У М А М У Н И Т Я Н Е М С В Е Р Л У Г Н У В Е Р А Е Ж У Я Н Е Р А Д В Е Л Т И Р А Д У Ударит лев: дарен я уже. А ревун, гул, рев – сменят. И, ну, мамуни тянем с вер луг. Ну, Вера, ежу я не рад: вел тираду.Герман Лукомников составояет «магический тетраквадратник», четыре магических квадрата четвертого порядка, прочитываемые все вместе по строкам квадратов или по столбцам: Ф Р А У Э О Л А Я И Р А Л У К А Р О З А О Б И Л И К А Р У Т О К А З О Р Л И Б О Р А К И К О Т У У А Р Ф А Л О Э А Р И Я А К У Л Фрау Роза, Азор у арф Эола обил либо алоэ. «Я, Ира, Икар». Раки. Ария. Лука, уток коту акул!» или «Фрау Эола! Я – Ира лука. Роза, обил Икар уток. Азор либо раки – коту. У арф алоэ ария акул.^ Cловесные магические квадраты – тексты, который можно читать как по строкам, так и по столбцам: сначала все первые слова, затем все вторые и так далее. «Горизонтальные» стихи могут быть тождественны «вертикальным», как было в случае буквенных квадратов, а могут и отличаться от них, сохраняя только общий смысл текста. Автору нижненемецкой хроники XIII века Эберхарду Немецкому принадлежит стихотворение «Laborinthus» (от Labor – работа): Святости светлость, Чаянье кротких, Царствия Матерь, Светлость покоя, Робким водитель, Древо Почета, Чаянье робким, Целенье убогим, Вестница мира, Кротких водитель, Убогим подмога, Правды Начало, Царствия древо, Вестница правды, Сладость Благая, Матерь почёта, Мира начало, Благая, – Восславься! (ок. 1250)Следующее стихотворение приписывают Л.Кэрроллу. Пословное прочтение этого стихотворения возможно как в обычном порядке, по строкам, так и по «столбцам». При обоих способах прочтения получается одинаковый результат. I often wondered when I cursed,Often feared where I would be – Wondered where she’d yield her love,When I yield, so will she.I would her will be pitied!Cursed be love! She pitied me…(Я часто гадал, может меня прокляли,Часто боялся, если мне, может быть,Гадал если мне одарить любовью ее,Может мне одарить, и она одарит в ответ Меня, может, любовью одарит она из жалости,Прокляли, быть ее, в ответ из жалости ко мне..., в данном случае мы предприняли попытку перевода с сохранением заданного ограничения и с приблизительным соответствием смысла.)«X принимает Y за Z» Кено. Р.Кено придумал записывать основных персонажей литературного произведения в ячейках матрицы. Особенный интерес представляют собой произведения, в которых персонажи заблуждаются в идентификации друг друга. Метод был назван Кено «Х принимает У за Z. В таблице, сходной с таблицей умножения, в левом столбце X и верхней строке У записаны имена персонажей некоторого литературного произведения, а в самой «таблице умножения» Z, которая представляет собой «произведения» X * У – имена персонажей, за которых персонаж Х принимает персонажей У. Так, нормальная ситуация, когда каждый принимает каждого за того, кем он является, может быть изображена таблицей: A B C A A B C B A B C C A B CСитуация водевиля, когда каждый принимает себя за себя, но путает других, изображается: A B C A A C B B C B A C B A CЕще несколько схем: если субъект не существует в данной реальности, он не может ни «принимать себя» за кого-то, ни «принимать» за кого-то других персонажей, и, однако, он также может быть включен в игру. Например, ситуация сумасшедшего дома, в котором каждый из обитателей принимает себя за Наполеона: A B C N A N B C A B A N C B C A B N C N 0 0 0 0Кено также приводит таблицу персонажей трагедии «Эдип»: это сам Эдип, его приемный отец, его мать Иокаста, а также сын Иокасты. Последнего сам Эдип и Иокаста ошибочно полагают несуществующим (мертвым), отец их путает, а трагедия происходит в момент осознания Эдипа себя сыном Иокасты: А В С Д Сын Иокасты =А В В С Д Эдип =В 0 В С Д Приемный отец=С В А С Д Иокаста=Д 0 В С ДКено рассматривает случай, когда все персонажи принимают себя за себя (a2=a, b2=b) и не принимают других за себя (axa, bxb…). Очевидно, для двух персонажей будет только одна «нормальная»ситуация: 1 2 1 1 2 2 1 2 Для трех персонажей будет всего двенадцать (22*3=12) ситуаций, одна из которых представлена таблицей: 1 2 3 1 1 2 2 2 1 2 3 3 2 2 3, Для четырех персонажей – 33 * 4 = 108 ситуаций, и в общем случае – для n>2 персонажей будет n(n-1)n-1 ситуаций. Можно рассмотреть более интересный, чем у Р.Кено случай, когда каждый персонаж принимает себя за себя (a2=a, b2=b) и заблуждается в отношении всех других, т.е. не принимает их ни за них самих, ни за себя (axa, bxb… и axx, bxx…) – ситуация водевиля без шизофрении. В таком случае для двух персонажей не будет возможных схем (нельзя принимать другого ни за себя, ни за него), для трех персонажей будет всего одна ситуация, представленная на схеме водевиля (К3=1), для четырех будет 32 возможности (К4=23*4=32). В общем случае для n>3 будет Кn=n*(n-2)n-1 вариантов. Раймон Кено приводит теорему: «таблица умножения будет соответствовать операциям группы (абелевой или нет), когда реализована следующая ситуация: никто не принимает себя за того, кто он есть, и не принимает других за тех, кто они есть, за исключением единичного элемента, который принимает себя за того, кто он есть и других за тех, кто они есть. То есть таблица умножения группы соответствует ситуации водевиля и противоречит взгляду проницательного наблюдателя (например, автора)». Расшифруем: группой называется множество элементов, на котором задана операция (умножение), удовлетворяющая свойствам: 1. ассоциативность a* (b*c)= (a*b)*c, 2. есть единичный элемент: для любого элемента группы А выполняется равенство: А*Е=А и Е*А=А, и 3. для каждого элемента группы есть обратный элемент, такой что А*А-1=А-1*А=Е. И Р.Кено, следовательно, утверждает, что таблица умножения персонажей будет удовлетворять описанным здесь свойствам (ассоциативность, единичный элемент, обратный элемент) в водевильной ситуации, причем персонажи не способны верно идентифицировать даже себя самих (за исключением единичного элемента, автора). Тогда для трех элементов ситуация может быть представлена следующей таблицей, иллюстрирующей теорему Кено: Е А В Е Е А B А А B Е В B Е AДля четырех элементов можно предложить аналогичную таблицу: Е A B C Е Е A B С А А C Е B В B Е C А С C B A EЛегко видеть, что в этих случаях теорема Кено выполняется. Однако можно заметить, что элемент Е (проницательный наблюдатель или автор), который не заблуждается ни в отношении себя, ни в отношении других персонажей, не может быть независимым от них, ибо тоже втянут в их игру – персонажи (А, В, С) отождествляют его с собой (из свойства единичного элемента А*Е=А), а также принимают других за него (из свойства обратного элемента А*В=В*А=Е). Таким образом, автор, хотя он и сохраняет объективность, сам становится персонажем своего литературного произведения, в котором каждый из персонажей ошибается, видя в другом не того, кем тот является на самом деле (роман «кривых зеркал»). Далее: группа является по определению абелевой, когда операция, на ней заданная (умножение), обладает свойством коммутативности: А*В=В*А для любых А и В, принадлежащих группе. Для литературного произведения это означает, что если Поль принимает Жана за Пьера, то и Жан принимает Поля за Пьера. Кено предлагает читателю отыскать примеры в романе или театральной пьесе, написанной на французском или каком-либо иностранном языке. Можно по примеру Р.Кено предложить еще несколько аналогичных таблиц. Скажем, А путает двойников В и С: A B C A A B B B А B С C А B С Кихада принимает себя за Дон Кихота Ламанчского, Альфонсу Лоренцо за Дульсинею Тобосскую, а мельницу – за великана: К АЛ М К ДКЛ ДТ В АЛ К АЛ М М 0 0 0 Женихи Пенелопы принимают Одиссея за нищего старца и не видят помогающую ему Афину: Аф Од Ж Аф Аф Од Ж Од Аф Од Ж Ж 0 Ст ЖТакого рода схемами описываются всевозможные детективные и шпионские романы, греческие мифы с меняющими облики божествами, истории об авантюристах, сказка Гоффмана о Крошке Цахесе, рассказы Вудхауза и романы о Фантомасе. Вообще, всякая двойственность, маска, скрывающая неизвестного, и заблуждение относительно самого себя привлекает здесь Р.Кено, как математическая загадка, в которой за Х прячется тайна, требующая разгадки, работы ума. С математической точки зрения работа «Х принимает У за Z» выполнена безупречно – схемы таблиц умножения адекватно передают знакомые литературные ситуации, заставляя задуматься об их общем основании. Математик Франсуа Ле Лионне высоко оценивал эту работу, называя ее «вершиной, образцом для последующих поколений улипистов».^ Тексты, созданные на основе форм занимательной математики. Некоторые произведения, созданные улипистами и до них, следуют отдельным формам занимательной математики. Жак Рубо выделяет два правила, «иногда соблюдаемые в улипистских работах»: 1. Текст, написанный на основе некоторого ограничения, рассказывает об этом ограничении (отсутствие «е» в романе «Утрата» Ж.Перека), 2. Текст, написанный на основе некоторого математического ограничение, содержит следствия из математической теории, которую он иллюстрирует. Уже в 1972 году Поль Фурнель выделяет среди методов УЛИПО те, которые в основе своей имеют некую математическую конструкцию. Среди них – стихи на ленте Мебиуса Люка Этьенна, иррациональные сонеты Жака Венса, булевы пересечения, «» Жака Рубо. Такие произведения получили у улипистов название периматематических синтулипизмов. Так, метод «Ленты Мебиуса» Люка Этьена использует феномен односторонней поверхности, а в основу романа Жоржа Перека «Жизнь: способ употребления» легли греко-латинский квадрат десятого порядка, мозаика-паззл и задача о прохождении шахматным конем всех клеток поля. ^ Простые численные ограничения. К таким ограничениям можно отнести тексты, фиксирующие количество элементов в них – строф в стихотворении, строк в строфе, слов в строке, букв в слове. К слову сказать, некоторые из этих ограничений, как то фиксация количества строк в строфе или слогов в строке, являются законами и традиционной поэзии. Улиписты, как обычно, усложняют ограничение, требуя, например, одинакового количества букв во всех словах, одинакового количества слов во всех строках, и т.д., как в следующем стихотворении Ж.Перека, состоящего из четырех строф по четыре строки в каждой, в каждой строке по четыре четырехбуквенных слова: Rail (путь): Rail Tout sera pâle, gris tout sera trop long aube, soir, jour, mois faim, soif, rêve noir.Vers quel état muet tend leur fils aimé, noué dans tels sacs dont sort même gêne?Midi doré, élan haut, ciel bleu, eaux dont Eole ride vent doux pour dire code bêteCela veut dire quoi? Plus rien: lieu sans joie, rues sans fête, dure nuit sans lune.(Путь. Все будет бледным, серым / все будет слишком длинным / рассвет, вечер, день, месяц / голод, жажда, страшный сон. // К какому немому состоянию / склоняется их любимый сын / связанный в тех мешках, / из которых исходит та же мука? // Позолоченный полдень, высокий порыв, / голубое небо, воды, которые // Эол бороздит, нежный ветер / чтобы сказать число зверя // Что этим желают сказать? // Абсолютно ничего: место без / радости, улицы без праздника, / суровая ночь без луны, фр.)^ 14=15 Клода Бержа. Известен фокус, когда нарисованные в линейку или по кругу рожицы или фигурки при небольшом сдвиге вдруг уменьшаются в количестве – только что было двенадцать сражающихся мальчиков, вдруг осталось только одиннадцать, или от шести джентльменов в шляпе осталось лишь пять и пустая шляпа. А повернуть обратно – вот они, никуда не делись! Примерно такой же фокус проделывает Клод Берж со строчками стихотворений, превращая четырнадцать строк сонета в пятнадцать строк оды. Разгадка фокуса в разрезании рисунка (или строк стихотворения) на части, которые подходят и к другим частям рисунка (строкам стихотворений). Таким образом каждая строка теряет в количестве слогов, вместе складывающихся в еще дополнительную строку. Стихотворение К.Бержа посвящено Р.Кено, и действительно, многие полустишья впрямую цитируют его строки: сонет (14 строк): ода (15 строк): à Raymond Queneau Une erratique ruine aspire la semenceLorsque pour nous distraire y plantions nos tréteaux;La méduse gonflée s’épuise avec conscienceDans le fond du bourbier où fermentent les mots…Quand la vierge solaire au goût plein d’arroganceExtrait le thalamus d’un vieux Jivaro beau,L’Amérique du Sud sombre dans la licenceAlors que nous lions des piètres bigorneaux.Que sa langue câline apporte ici l’émoiEnfin papille tendre attise l’équivoqueQue mande l’envieux mâle et barbote le phoque!Quand tu lis ce sonnet ne crois pas que c’est toi,Bois et te bouffe à Rio ploie ta taille élastique…Le nombre de ces vers devient problématique.(Блуждающее разрушение вдыхает семяКогда чтобы развлечься мы водружаем там наши подмостки,Вздувшаяся медуза тает, находясь в сознанииВ глубине трясины, где закисают слова…Когда солнечная дева на вкус полная высокомерияИзвлекает таламус из старого красавца Живаро,Южная Америка тонет в распутствеПока мы соединяем ничтожных олухов.Пусть его ласковый язык принесет сюда волнение Наконец нежный сосок вызывает двусмысленностьКоторая заставляет мужчину завидовать, а тюленя барахтаться в воде!Когда ты читаешь этот сонет, не верь, что это ты,Пей и дерись в Рио, свертывай свой растяжимый стан…Количество этих строк становится загадочным.) Une papille tendre attise l’équivoqueLorsque pour nous distraire y barbote le phoque!La méduse gonflée s’épuise avec toi,Dans le fond à Rio ploie ta taille élastique…Quand la vierge solaire au goût problématique.Extrait le thalamus d’un vieux Jivaro L’erratique ruine aspire la semenceAlors que nous lions plantions nos tréteaux;Que sa langue câline apporte conscienceEnfin du bourbier où fermentent les mots…Que mande l’envieux mâle et plein d’arroganceQuand tu lis ce sonnet ne crois pas que c’est beau,Amérique du Sud sombre dans la licenceBois et te bouffe des piètres bigorneaux.Le nombre de ces vers devient ici l’émoi(Нежный сосок вызывает двусмысленностьКогда чтобы нас развлечь там барахтается тюлень!Вздувшаяся медуза тает с тобой,В глубине Рио, свертывай свой растяжимый стан…Когда солнечная дева на вкус загадочнаяИзвлекает таламус из старого Живаро,Блуждающее разрушение вдыхает семяПока мы соединяем, водружаем наши подмостки;Пусть его ласковый язык принесет осознаниеНаконец из трясины, где закисают слова…Которые заставляют мужчину завидовать и полны высокомерияКогда ты читаешь этот сонет, не верь, что он хорош,Южная Америка тонет в распутствеПей и бей ничтожных олухов.Количество этих строк вызывает здесь волнение.) Если рифмы сонета аВаВ аВаВ Сdd Cff, то рифмы оды – ddC ffB aBa BaB aBC.^ Лента Мебиуса. Люк Этьен предлагает составлять стихотворение с помощью ленты Мебиуса: если взять длинную ленту бумаги, на одной из поверхностей написать первую половину поэмы, а, перевернув вдоль длинного ребра, на второй – ее другую половину, а затем, повернув на 1800, склеить короткие стороны ленты, то в результате стихотворение будет записано на единственной стороне полученной ленты Мебиуса. В результате порядок прочтения строк изменится: из А Б В Г / Д Е Ж З (буквами обозначены строки начального стихотворения) получим АД БЕ ВЖ ГЗ. Можно далее разрезать эту ленту вдоль по середине, получив одну тонкую ленту (а не две, как можно было бы ожидать) и одно новое стихотворение. Из этой ленты снова сделаем ленту Мебиуса, и так далее. Каждый раз возникает новая комбинация строк начального стихотворения. Такой метод можно применять не только к одному, но и к двум различным стихотворениям, написанным разными авторами.^ Иррациональные сонеты Жака Бенса. Жак Бенс предлагает сочинять иррациональные сонеты, у которых деление на строфы опирается на десятичную запись числа : При этом количество строк в сонете сохраняется: 3+1+4+1+5=14. Рифмы распределяются следующим образом: ААb C bAAb C CdCCd (рефрен – четвертая строка). Жак Бенс написал три стихотворения, удовлетворяющих такой схеме. Здесь в основе схемы литературного произведения появляется десятичное разложение фундаментальной математической величины . Это не первый случай, когда произведение искусства строится на основе некоторого иррационального числа. Построение многих архитектурных сооружений опирается на принцип так называемого «золотого сечения», которое получается в математике как предел последовательности Фиббоначи, равный ( – 1)/2. Можно считать метод «иррациональных сонетов» Ж.Бенса продолжением поисков «симметрии, красоты и простоты» на основе иррациональных и трансцендентных чисел, в чем-то аналогичным опоре на золотое сечение в изобразительном искусстве и архитектуре. Причем поиск является уже не случайным, а планомерным образом с применением определенных математических знаний. ^ Булевы стихотворения Ле Лионне. По словам П.Фурнеля, «булева алгебра (алгебра множеств) поставляет улипистам особую сферу исследований». Операции с множествами находили отражение в поэзии и в театре. Так, Фр. Ле Лионне «из множества слов французского языка семнадцатого века» выбирает два подмножества: сонет «Эпитафия на смерть мадмуазель Ранкет» Корнеля (1655) и сонет «Эпитафия» Бребефа (1658). Эти сонеты странным образом совпадают почти дословно. Однако, «так как мы здесь занимаемся только потенциальной литературой, а не