Российский Университет Дружбы народов Факультет физико-математических и естественных наукКафедра нелинейного анализа и оптимизации 117198, Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, кк. 511-514, тел.: (495) 955-09-36Прикладной функциональный анализКафедра нелинейного анализа и оптимизации, факультет физико-математических и естественных наук.Обязательная дисциплина, привязанная к семестрам.Трудоемкость:I семестр – 3 кредита, 2 часа лекций и 2 часа практических занятий в неделю^ Цель курсаЦель курса состоит в изложении основ функционального анализа и его приложений в различных областях естествознания. Студенты должны освоить основы теории интеграла Лебега, теории гильбертовых и банаховых пространств, теории линейных операторов.^ Содержание курсаТема 1. Понятие меры.Система множеств. Общее понятие меры как аддитивной функции множеств. Меры на полукольцах и их продолжение на кольца. Аддитивность и счетная аддитивность меры. Основные свойства меры.^ Тема 2. Мера Лебега.Лебегово продолжение меры. Основные свойства меры Лебега: аддитивность, счетная аддитивность, непрерывность.Тема 3. Измеримые функции.Определение измеримой функции, действия над измеримыми функциями. Свойство предела измеримых функций. Основные свойства измеримых функций. Теорема Егорова.Тема 4. Интеграл Лебега.Простые функции. Интеграл Лебега от простой функции. Общее определение интеграла Лебега на множестве конечной меры. Аддитивность интеграла Лебега.^ Тема 5. Основные свойства интеграла Лебега.Счетная аддитивность интеграла Лебега, абсолютная непрерывность интеграла Лебега. Предельный переход под знаком интеграла Лебега: теорема Лебега о мажорируемой сходимости, теоремы Леви и Фату.^ Тема 6. Метрические пространстваМетрические пространства. Полные метрические пространства. Принцип сжимающих отображений и его приложения, примеры. Пополнение метрических пространств (теорема Хаусдорфа).^ Тема 7. Нормированные пространстваНормированные пространства. Банаховы пространства. Абсолютно сходящиеся ряды в нормированных пространствах. Алгебра непрерывных функций на компакте. Теорема Стоуна-Вейерштрасса.^ Тема 8. Линейные операторыЛинейные операторы в нормированных пространствах. Норма оператора. Нормированные пространства и алгебры линейных операторов. Степенные ряды от линейных операторов.Тема 9. Линейные функционалыЛинейные функционалы. Теорема Хана-Банаха и ее приложения. Теоремы об отделимости выпуклых множеств.^ Тема 10. Унитарные пространстваУнитарные пространства. Гильбертовы пространства. Теорема об ортонормированных базисах. Классификация гильбертовых пространств. Линейные операторы в гильбертовых пространствах.^ Тема 11. Компактные метрические пространстваКомпактные метрические пространства. Компактные линейные операторы. Операторы Фредгольма. Основная теорема Гильберта о компактных эрмитовых операторах. Операторы Штурма-Лиувилля.Промежуточный контроль знаний (I семестр)Коллоквиум №1 по темам 1-5:Понятие меры. Меры на полукольцах и их продолжение на кольца. Аддитивность и счетная аддитивность меры. Лебегово продолжение меры. Основные свойства меры Лебега: аддитивность, счетная аддитивность, непрерывность. Определение измеримой функции, действия над измеримыми функциями. Свойство предела измеримых функций. Основные свойства измеримых функций. Теорема Егорова.Простые функции. Интеграл Лебега от простой функции. Общее определение интеграла Лебега на множестве конечной меры. Аддитивность и счетная аддитивность интеграла Лебега, абсолютная непрерывность интеграла Лебега. Предельный переход под знаком интеграла Лебега: теорема Лебега о мажорируемой сходимости, теоремы Леви и Фату.^ Темы контрольных работ:Контрольная работа №1 по разделу 1 (темы 1-5): Задача об общих свойствах счетно аддитивных мер.Задача об аппроксимации измеримых функций функциями из какого-либо класса (простыми, непрерывными и т.п.)Задача о взаимосвязи между классами измеримых и борелевских функций (или множеств).Исследование меры Лебега-Стилтьеса, порожденной заданной функцией, и вычисление интеграла какой-либо функции по этой мере.Задача о предельном переходе под знаком интеграла Лебега. Контрольная работа №2 по темам 6-11: Доказательство полноты какого-либо метрического пространства.Приближенное решение какого-либо уравнения с заданной точностью с помощью принципа сжимающих отображений.Вычисление нормы какого-либо линейного оператора.Вычисление расстояния от точки до подпространства в гильбертовом пространстве.Исследование линейного оператора на компактность.Итоговый контроль знаний (I семестр)Теоретические вопросы и упражнения по темам с 6 по 11.Литература ОбязательнаяКолмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972; М.: Физматлит, 2004.Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 2004.Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. М.: Наука, 1979.Леонтьва Т.А., Панферов В.С., Серов В.С. Задачи по теории функции действительного переменного. М.: МГУ, 1997.Дополнительная Хелемский А.Я. Лекции по функциональному анализу. М.: МЦНМО, 2004.Балакришнан А.В. Прикладной функциональный анализ. М.: Наука, 1980 и последующие издания.Программу составил Арутюнов Арам Владимирович,доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой нелинейного анализа и оптимизации факультета физико-математических и естественных наук РУДН.