Численные методы решения инженерных задач

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ Пермский государственный технический университет Березниковский филиал Кафедра технологии и механизации производств КУРСОВАЯ РАБОТА По дисциплине “Информатика” “ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧ” Руководитель: доцент кафедры ТМП Юдина М.Г. Исполнитель: студент группы МАХП-04

Прямилов В.Н. Березники 2005 СОДЕРЖАНИЕ. ВВЕДЕНИЕ…1. Задание на курсовую работу…2. Суть метода Ньютона… 3. Вычисление корня уравнения… 4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ….5. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ….11 ВВЕДЕНИЕ Целью проведения курсовой работы является закрепление, углубление и обобщение знаний, получаемых во время обучения.

Особенностью выполнения курсовой работы по дисциплине “Информатика” является реализация поставленной задачи на персональном компьютере в одной или нескольких программных средах: с помощью универсального математического пакета MathCad 2000, процессора электронных таблиц Microsoft Excel, в среде программирования Турбо Паскаль и т.д. Курсовая работа предусматривает подготовить студентов к последующим этапам учебной деятельности – умению

решать инженерные задачи с помощью персональных компьютеров, применять полученные знания в учебной исследовательской работе и в будущем – в дипломной работе. Многие со школы знают, что уравнение f(x)=0 называется алгебраическим, если функция f(x) представляет собой многочлен. Если же в функцию входят тригонометрические, показательные, логарифмические функции, то уравнение называется транцедентным. Для решения задачи (т.е. нахождение корня уравнения), данной в ходе курсовой работы, можно пользоваться

разными методами, но наиболее точные и удобные в использовании методы: - простой итерации; - половинного деления; - Ньютона (касательных); - хорд и касательных. В ходе своей работы я познакомлю вас с одним из них. 1. ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ. 1. Номер варианта: 2. Задание: Приближенно вычислить корни уравнения f(x)=x² – 4x – 4 методом “касательных” с точностью

до . Этот метод называется также “методом Ньютона”. 3. Для решения данной задачи использовать две из трёх предложенных программных сред: процессор электронных таблиц Microsoft Excel, универсальный математический пакет MathCad 2000, среда программирования Turbo Pascal. 4. В процессе решения задачи выполнить построение графика функции вблизи корня в соответствующих программах.

2. СУТЬ МЕТОДА НЬЮТОНА. Метод Ньютона является одним из самых эффективных методов приближенного вычисления корней уравнения f (x)=0. Пусть корень x=c является внутренней точкой отрезка [a,b]. Предположим также, что на этом же отрезке функция f (x) имеет непрерывные знакопостоянные производные f ’(x) и f ”(x), а её значения f (a) и f (b) имеют разные знаки. Так как знак f ’(x) постоянен, то функция f (x) на отрезке [a,b] либо возрастает, либо убывает, и,

следовательно, в обоих случаях график функции y=f(x) пересекает ось Ox только в одной точке, т.е. x=c является единственным корнем на отрезке [a,b]. Аналогично, так как знак f ”(x) постоянен, то направление выпуклости графика функции y=f (x) на этом отрезке не меняется. Для определённости рассмотрим случай, когда f ’(x)>0 и f ”(x)<0. В этом случае f (a)<0, f (b)>0 и график направлен выпуклостью вниз (рис.

1). Рисунок 1. Проведём через точку B (b, f (b)) касательную к графику функции y=f (x). Её уравнение имеет вид y – f (b) = f ‘(b) (x – b). Полагая y=0, найдём абсциссу точки пересечения касательной с осью Ox: Так как , то c. Итак, c<

Далее проведём касательную к графику через точку ( ; f( )) и, поступая аналогично, возьмём за второе приближенное значение корня точку : При этом c< < . Продолжая этот процесс неограниченно, для любого n получаем формулу: (1) выражающую через . Таким образом, имеем последовательность приближённых значений корня с, причём (2) Формула (1) является основной расчётной формулой метода касательных.

Он представляет собой метод последовательных приближений (итераций), который строится с помощью формулы (1). Докажем, что последовательность { } сходится к искомому корню с и оценим погрешность, т.е. отклонение приближённого значения от точного значения корня с. Действительно, в силу (2), последовательность { } убывает и ограничена снизу числом с. Следовательно, она имеет предел с’ ≥ c.

Переходя к пределу в неравенстве (1), учитывая непрерывность f(x) и f ’(x), получаем откуда следует, что f (c’) = 0, т.е. c’ – корень уравнения f(x) = 0. Но так как на [a, b] имеется только один корень с, то c’ = c. Итак, последовательность { } сходится к корню с. Оценим теперь отклонение n-го приближения Xn от точного значения корня с. Применяя к выражению f( ) = f( ) – f(c) формулу

Лагранжа, имеем f( ) = ( – c) f’(En), где с < En < . Отсюда получаем следующую оценку: (3) где m – наименьшее значение |f ’(x)| на отрезке [a, b]. Формула (3) позволяет оценить отклонение приближённого значения от точного значения корня с через значение модуля функции f(x) в точке . Отметим, что оценка (3) справедлива не только для метода касательных, но и вообще для любого метода приближённого вычисления корня при условии m ≠0.

Мы рассмотрели случай, когда f ’(x) > 0 и f ”(x) > 0 на [a, b]. В зависимости от комбинации знаков f ’(x) и f ”(x) возможны ещё три случая: 1) f ’(x) > 0, f ” (x) < 0 2) f ’(x) < 0, f ” (x) > 0 3) f ’(x) < 0, f ” (x) < 0, в каждом из которых обоснование метода касательных аналогично рассмотренному случаю. 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРНЯ УРАВНЕНИЯ. Рассмотрим функцию f(x)= x²-4x-4.

Эта функция непрерывна на всей числовой прямой. Найдём отрезок, на концах которого функция f(x) имеет значения разных знаков. Если f(4) = -4, f(5)= 1, то таким отрезком является отрезок [4, 5]. Функция f(x) на отрезке [4, 5] имеет непрерывные производные f ’ (x)=2x – 4 и f “ (x)=2. Следовательно, первую касательную к графику функции y=f(x) следует проводить через точку [5, 1], (Рис. 2). Рисунок 2: Первоначально рассмотрим ход выполнения задания в программе

Microsoft Excel. Программа Microsoft Excel предназначена для работы с таблицами данных, преимущественно числовых. При форматировании таблица выполняется ввод, форматирование и редактирование текстовых и числовых данных, а также формул. Наличие средств автоматизации облегчает эти операции. Созданная таблица также может быть выведена на печать. В ячейке A9 и A10 введены значения x, которые являются началом и концом отрезка (рис 3).

На этом отрезке расположен первый корень данного уравнения. Затем найдём значения f(x) в этих точках, т.е. в ячейках B9 и B10 введём формулу: =A9^2 - 4*A9 – 4 для x=4, и соответственно =A10^2 – 4*A10 – 4 для x=5. Далее аналогичным образом найдём значения производной f(x) в этих же точках, используя формулы: =2*A9 – 4 для x=4 и =2*A10 – 4 для x=5. Значение второй производной f(x)=2.

Положив в формуле (1) =5, получим первое приближенное значение корня: =A10-(B10/C10). Положив теперь в формуле (1) значение , получим второе приближение корня: = A11-(B11/C11) и, наконец, положив значение в формуле (1), получим третье приближение корня: =A12-(B12/C12). Для нахождения погрешности приближения воспользуемся формулой (3). Так как производная f ‘(x)=2x-4 на [4, 5] возрастает, то наименьшим её значением на этом отрезке является

f ‘(4)=4, т.е. m=4. Найдём f( ): в ячейке B13 введём формулу =A13^2-4*A13-4. Теперь в ячейке D15 по формуле (3) имеем: =B13/C9. Получившееся число – есть погрешность. Если по условию курсовой работы точность вычисления корня достаточна, а в моей работе погрешность практически равна нулю, то процесс построения приближений следует прекратить. Рисунок 3: Теперь найдём приближенное значение корня функции f(x)= x²-4x-4 с помощью программы

MathCad 2000. Программа MathCAD 2000 относится к универсальным программам пригодным для решения различных задач. Она представляет собой автоматизированную систему, позволяющую динамически обрабатывать данные в числовом и аналитическом (формульном) виде. Программа MathCAD 2000 сочетает в себе возможности проведения расчетов и подготовки форматированных научных и технических документов. Первоначально присвоил f(x) уравнение x²-4x-4, т.е. f(x):= x²-4x-4

при помощи команды “присваивание”. Затем указал диапазон дискретной величины от -6 до 10, для переменной x с шагом 0.1, и построил график функции f(x) в указанном диапазоне: На графике видно, что, примерно, график функции пересекает ось OX в точке [5, 0]. Теперь строим график так, чтобы было точнее видно, в какой точке график функции пересекает ось OX. Для этого присвоим x диапазон дискретной величины от -2 до 5.5 с шагом 0.1 и построим график:

На этом же графике стало практически видно, что искомый корень уравнения лежит на отрезке [4, 5], следовательно, присваиваем x диапазон дискретной величины от 4.5 до 5 с шагом 0.1 и получаем график: Следуя такому графику можно смело сказать, что корень уравнения лежит на промежутке [4.8, 4.9]. Для того чтобы приближенно вычислить корень данного уравнения, воспользуемся специальной функцией root следующим образом: root(f(x), x, 4.8, 4.9)=, где f(x) – функция, x – переменная, [4.8, 4.9] промежуток,

на котором в свою очередь лежит искомый корень уравнения. После знака “ = “ появится приближенно вычисленный корень уравнения x²-4x-4=0. Этот корень будет равен 4.8284 единицам. ЗАКЛЮЧЕНИЕ. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ. 1. Шнейдер В.Е.Краткий курс высшей математики. Москва. Издательство «высшая школа» 1972г 2. . Под редакцией

Симоновича С.В. Информатика базовый курс. Издательский дом «Питер», 2002г. 3. Методические указания к курсовой работе по дисциплине “Информатика”. М.Г.Юдина, Пермский государственный технический университет,2005г. 4. Ракитин В.И.Практическое руководство по методам вычислений. С. Высшая кола 1998г.