www.diplomrus.ru ® Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок Содержание ОглавлениеСписок обозначений 3Введение 41 Пространства комплекснозначных функций, определенных на множестве целых чисел. 181.1 Пространства А[р, а] и А'[р, 1.2 Целые функции, сужения которых на Z, являются функциями из пространства А[р, а]... 211.3 Вспомогательные неравенства... 241.4 Преобразования Фурье-Лапласа и Меллина... 262 Однородное уравнение свертки на пространстве А[р, а]. 312.1 Операторы сдвига и свертки... 312.2 Уравнение свертки и его элементарные решения... 332.3 Разложение на множители функций из пространства Н[р*,сг*). 352.4 Теорема деления... 432.5 Свертка функционалов... 442.6 Аппроксимация решений... 452.7 Базис в пространстве решений... 4612.8 Формулы для коэффициентов... 503 Изоморфизм между пространствами решений. 523.1 Ассоциированное уравнение свертки... 523.2 Изоморфизм между W^ и Wb... 543.3 Восстановление решения однородного уравнения сверткипо значениям в целых точках... 564 Достаточные множества и ряды экспонент 584.1 Определения и предварительные сведения... 584.2 Построение достаточного множества... 604.3 Интегральные представления и ряды экспонент... 754.4 Применение к интерполяции целых функций из пространства решений уравнения свертки... 77Библиография 79 Введение Список обозначенийДля числовой последовательности {а;-};-е^ запись ctj /* а означает: 1) Нт^_оо^ •= &, 2) ccj oij+i, Vj в N. Для числовой последовательности {o;j}j6n запись ctj | а означает: 1).ooaj = a, 2) a>j .oofx,- = a, 2) щ > aj+i, \/j G N. Через Z+ обозначается множество всех целых неотрицательных чисел. Через R+ обозначается множество всех вещественных неотрицательных чисел.Для области D С С через 8D обозначается граница Для области D. Через #о в диссертации обозначается класс всех аналитических в С\ {0} функций.Для интеграла по контуру С запись fco означает, что контур обходится против часовой стрелки, запись Jco означает, что контур обходится по часовой стрелке.ВведениеВ диссертации рассматриваются весовые пространства комплексно-значных функций, определенных на множестве Z, и изучаются различные свойства решений однородных уравнений свертки на этих пространствах. Также изучается задача представления функций из указанных пространств рядами экспонент с помощью построения дискретных достаточных множеств;Для однородных уравнений свертки обычно изучается следующий вопрос: можно ли получить любое решение уравнения с помощью решений простейшего вида? Хорошо известно, что любое решение линейного однородного обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами можно представить в виде конечной линейной комбинации элементарных решений видаzkexp(Xnz), (1)где Ап - корни характеристического полинома. Этот результат, полученный Л. Эйлером [47], принято называть фундаментальным принципом Эйлера. Для линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами фундаментальный принцип рассматривался в работах Л. Эренпрайса [45], В. П. Паламодова [34], С.Хансена [48], И. X. Мусина [22], для дискретных разностных уравнений на решетке Ът - в работе В. В. Напалкова [24].У операторов свертки характеристическая функция может иметь бесконечно много нулей; поэтому решение уравнения свертки, вообще говоря, нельзя представить в виде конечной суммы элементарных решений вида (1). В связи с этим, для однородных уравнений свертки возникают следующие задачи: можно ли произвольное решение уравнения аппроксимировать элементарными решениями? можно ли в пространстве всех решений уравнения построить базис из элементарных решений? Эти задачи для уравнений свертки на различных пространствах аналитических функций изучались многими математиками. Так, например, задача аппроксимации решений для уравнения свертки на пространстве функций аналитических в выпуклой области была решена в одномерном случае И. Ф. Красичковым-Терновским [14], [15], а в многомерном случае Р. С. Юлмухаметовым [44]. Более подробную историю этого вопроса можно найти в обзорной статье [17].При определенных ограничениях, накладываемых на характеристическую функцию уравнения, в ряде случаев оказалось возможным не только аппроксимировать решения, но и построить базис из элементарных решений в пространстве всех решений уравнения. Для широкого класса однородных уравнений свертки на различных пространствах аналитических функций эта задача была решена в работах Р. Майзе, К. Швердтфегера, Б. А. Тэйлора [49], В. В. Напалкова [25], А. С. Криво-шеева [16].В диссертации изучаются пространства решений дискретных однородных уравнений свертки. Обозначим через А класс всех комплексно-значных функций, определенных на множестве Z. Отметим, что функции из класса А можно интерпретировать как последовательности {an}n6z комплексных чисел. Весовые пространства таких последовательностей изучались, например, в работах [32], [41]. Однако для исследований, проводимых в диссертации более удобно понимать элементы класса А как комплекснозначные функции, определенные на множестве Z, как это было сделано' в работе В. В. Напалкова [24]. В диссертации рассматривается пространство А[р, а] = limj proj Aj, гдеA*=UeA: \\ф\\А. = sup МП}\ . 1 Мф[ф]{т) = 0, т е Ъ. (*)Характеристической функцией уравнения (*) называется преобразова-ние Меллина.функционал а ф:Функция ф является аналитической в С\ {0}. Если ф имеет простые нули {?jb}jkeNj то функции Xk{n) = ?? являются решениями уравнения (*). Эти решения называются элементарными. В диссертации изучен вопрос о построении базиса из элементарных решений в пространстве всех решений этого уравнения. В диссертации рассматривается также пространство Е[р, а] = lira,- TprojE(crj), где= {/ «= Я(С) : П/И^, = sup gУравнения свертки на этом пространстве изучались во многих работах (см., например, монографию А. Ф. Леонтьева [20]). Известно, что урав-неие свертки на этом пространстве можно записать в виде линейного дифференциального уравнения бесконечного порядка с постоянными коэффициентами. В диссертации изучается вопрос о том, при каких условиях пространство решений уравнения (*) будет изоморфно пространству решений некоторого уравнения свертки на пространстве Е[р, а].Еще одна задача, рассматриваемая в диссертации, связана с понятием достаточного множества, которое было введено Л. Эренпрайсом [46], [45]. Достаточные множества и их применения изучались в работах многих авторов (см., например, [52], [50], [26], [6]). В диссертации рассмотрена задача построения дискретного достаточного множества для пространства А[р, а].В работе получены следующие основные результаты: •s? Для однородного уравнения свертки на пространстве А[р, а] найдены достаточные условия на распределение нулей харктеристической функции, при которых в пространстве решений уравнения существует базис из элементарных решений.Ф Найдены условия, при которых можно установить изоморфизм между пространствами решений уравнения свертки на пространстве Л[р, а] и уравнения свертки на пространстве Е[р, Структура диссертацииКраткое содержание главы 1В главе 1 определяется пространство А[р, п. 1.1 Обозначим через А класс всех комплекснозначных функций, определенных на Z. Пусть даны числа р, а € Ш, такие что 1 А : \\ip\\j = sup ^П}\ , Введем пространство А[р, а] = П/емА? и снабдим его топологией проективного предела пространств Aj. Обозначим через А'[р, а] сильно сопряженное к А[р, а] пространство. Тогда А'[р, а] = U/eN^j' гДе Aj ~ пространства, сильно сопряженные к Aj.Лемма 1. Пространства Aj, j ? N, имеют видсоп. 1.2 Рассмотрим в #(С) подклассы: Е[р, а] - класс целых функций порядка Тогда а*- | сг*- Рассмотрим пространство Е[р*,а*), наделенное топологией индуктивного предела нормированных пространств Е{о^). Обозначим через Е'[р, а] сильно сопряженное к Е[р, а] пространство. Преобразованием Фурье-Лапласа функционала F G Е'[р, а] называется функцияF(X) = (F,exp(iz\)).Преобразование Фурье-Лапласа устанавливает топологический изоморфизм между пространством Е'[р, а] и пространством Е[р*, а*). Функционал F определяет на пространстве Е[р, а] однородное уравнение сверткип. 1.3 В этом разделе доказываются некоторые вспомогательные неравенствап. 1.4 Рассмотрим в Н(С) подклассР(С) = {де Я(С) : д(Х) = д{\ + 2тг), VA е с}. Для каждого j € N рассмотрим банахово пространствоОпределим пространство Р[р*,а*) = \J?1Pj и снабдим его топологией индуктивного предела банаховых пространств Pj. Введем отображение L, которое каждому функционалу ф € А'[р, а] ставит в соответствие его преобразование Фурье-Лапласа(А) = (ф, ехр(г'пА)) = ^(п)ехр(гпА), А € С.Теорема 1. 'Отображение L уетанавливат линейный топологический изомоморфизм между пространствами А'[р, а] и Р[р*, а*). Определим банаховы пространстваЩ = if е Щ : ||/||я, = sup ---- 'ffiВведем пространство if[p*,cr*) = Ц/eN-^j и снабдим его топологией индуктивного предела пространств Hj. Пусть ф е Л'[р, а]. Рассмотрим преобразование.Меллина функционала ф: Теорема 2. Отображение ф —> ф уетанавливат линейный топологический изомоморфизм между пространствами А'[р, сг] и Н[р*,а*).10Краткое содержание главы 2В главе 2 изучается однородное уравнение свертки на пространстве А[р, а], решается задача построения базиса из элементарных решений в пространстве решений этого уравнения.п. 2.1 Пусть т & Z. Определим на пространстве А[р, а] оператор сдвига Sm, который каждой функции ф ? А[р, а] ставит в соответствие функцию 3™"ф G А, такую что Smip(n) = ф{п + т).Лемма 3. Оператор Sm действует линейно и непрерывно из А[р, а] в А[р,а].Пусть ф G А'[р, а]. Определим на пространстве А[р, а] оператор свертки Мф, который каждой функции ф ? А[р,а] ставит в соответствие функцию Мф[ф] € А, такую что Мф[ф](т) = (, Зтф).Лемма 4. Оператор Мф действует линейно и непрерывно из пространства А[р,а] в пространство А[р, а], где число а > а зависит от ф.п. 2.2 Пусть (р G А'[р, а]. Рассмотрим на пространстве А[р, а] однородное уравнение сверткиМу[ф]{т) = Ъ. (**)Обозначим через Wv пространство решений уравнения (**). Функция (р € Р[р*,ст*) называется характеристической функцией уравнения (**). Будем предполагать, что (р имеет только простые нули. Пусть Л = {A&HeN, \^к\ / оо, - множество нулей чек & = exp(zAfc), к G N. Функции Xk(n) = exp(mA&) = ?jj, к G N, являются решениями уравнения (**). Эти решения будем называть элементарными. Разобьем Л на две подпоследовательности:{Aib=N = Лр|{А G С : ImA > 0}, ImA; / оо;W}*eN = Лр){А G С : ImA Тогда множество Л также разбивается на две подпоследовательности: {&}кеп и {ffcbeN, где ^ = exp(zAJ.), f? = exp(iAJJ). п. 2.3 Пусть / G Н(С). Введем обозначения:Пусть V = {vk}keN ~ последовательность точек в С, \vk\ /* оо. Обозначим через пу(г) число точек из множества V в круге \z\ . Nv(r) = Г nxMdx.Ji x Рассмотрим бесконечные произведенияк кБесконечные произведения /i(?) и /г(^) являются целыми функциями. Их нулевыми множествами являются соответственног 1 -| г ^ui = fc€N>.Лемма 6. Функцию ??(?) можно представить в видеС G С, t G Z - некоторые константы. Лемма 7. Выполняются неравенства тд Теорема 3. Пусть д Е Н[р*,а*), {zk}kez - нулевое множество д. Тогдаимеет место представлениегдеС Е С, t Е Z - некоторые константы. При этом т91 п. 2.4 В этом разделе доказывается теорема деления для пространства Н[р*,о~*).п. 2.5 В этом разделе определяется операция свертки функционалов из пространства А'[р, а].п. 2.6 В этом разделе доказывается, что любое решение дискретного уравнения свертки (**) можно аппроксимировать элементарными решениями Xk(n) — егпХк = ??.Теорема 5. Wv = span{xjt, к Е N}.п. 2.7 В этом разделе выясняется, при каких условиях на распределение нулей функции ф (или функции (р) элементарные решения Xk(ri) = егп\к _ ?п^ ? g ^^ образуют регулярный базис в пространстве Wv. Обозначим Выполняются равенства: ri = r/t то функции Xk, к ? N, образуют регулярный базис в пространствеТеорема 7. Если множество Л удовлетворяет условиямпфкmo функции Xk, к G N, образуют регулярный базис в W^.п. 2.8 В этом разделе найдены формулы для коэффициентов разложения решения уравнения (**) по базису из элементарных решений.Краткое содержание главы 3В главе 3 доказывается, что при выполнении условий теоремы уравне-нию (**) можно сопоставить некоторое уравнение свертки на пространстве Е[р, а], такое что между пространствами решений этих двух уравнений можно установить топологический изоморфизм.п. 3.1 Рассмотрим целую функцию 6(Л) - каноническое произведение с нулевым множеством Л. Найдется функционал В G Е'[р,а], такой что В(Х) = Ь(Х). Функционал В определяет на пространстве Е[р,а] однородное уравнение сверткиMB[f](z) = 0. (***)Уравнение (***) назовем ассоциированным с уравнением (**). Пространство решений уравнения (***) обозначим через У/в- Функции exp(z2Ajt), к 6 N, являются элементарными решениями уравнения (***). п. 3.2 Введем отображение Т : Е[р, а] —* А[р, а], которое каждой функции / G Е[р, а] ставит в соответствие функцию T[f] = /|z G A[p, a]. Теорема 9.Если выполняются условия теоремы 7, то отображение Т осуществляет линейный топологический изоморфизм между пространствами Wb и Wy.п. 3.3 Решается следующая задача: требуется восстановить целую функцию, являющуюся решением уравнения свертки (***), если известны только ее значения в целых точках.Теорема 10.Пусть выполняются условия теоремы 7. Тогда можно восстановить любую функцию f G Wb no ее значениям на множестве Ъ по формуле ..оо ^ _/ -_\ \Х^(п)/(п)-=lКраткое содержание главы 4В главе 4 решается задача построения дискретного достаточного множества для пространства А[р, а]. Как следствие получен результат о разложении функций из пространства А[р, а) в ряды экспонент.п. 4.1 В пространстве Н[р*, а*) была введена топология индуктивного предела нормированных пространствj = if е Но : ||/||я, = sup ---- 'f.^j 1 zec\{o}exp(^|ln|z||^) JОбозначим эту топологию через г. Топологию на пространстве Н[р*, а*) можно ввести и другими способами.15Рассмотрим класс непрерывных положительных функцийс , ч exp(^|ln|z||^) -IК = \ k{z) : lim К 3 , J " } = 0, Vj V.I V У |ln|*||-oo k(z) ' J)Определим нормированные пространстваНк = U € Но : IMU = sup 1^ Введем на пространстве #[/?*, /1. Пусть М С С\{0} - произвольное множество единственности для пространства H[q, &). Определим нормированные пространстваHf ='|/€Я0:Hjf = { e Яо : ll^WHf = sup J|^|l Введем на пространстве Я[р*,о"*) топологию гм индуктивного предела нормированных пространств Н^ и топологию им проективного предела нормированных пространств Н^ • Тогдаг > тм >Определение 1. М называется слабодостаточным множеством для пространства А[р, сг], если т =¦ тм-Определение 2. М называется достаточным множеством для пространства А[р,сг], если \i = им-п. 4.2В этом пункте проводится построение дискретного достаточного множества для пространства А[р, а].