www.diplomrus.ru ® Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок Содержание Введение 3Обозначения 90 Предварительные сведения 110.1 Глубина и коэн-маколеевость... 110.2 Комплекс Игона-Норкотта ... 120.3 Инварианты модулей над коммутативными кольцами... 140.4 Базисы Грёбнера... 150.5 Разложение конечномерных алгебр в прямую сумму ... 170.6 Простые и сепарабельные алгебры... 180.7 Максимально центральные алгебры... 191 Доказательство теоремы 1 261.1 Случай 1 = 1... 271.2 Случай 1> 1... 302 Доказательство теоремы 2 352.1 Случай коэн-маколеевости... 352.2 Случай точного функтора... 433 Доказательство теоремы 3 46 Литература 48ВведениеНастоящая работа, находящаяся на стыке коммутативной и некоммутативной алгебры, посвящена исследованию алгебраического обобщения одной задачи, возникшей в области приложений коммутативной алгебры к линейным уравнениям в частных производных с постоянными коэффициентами. Эти приложения разрабатываются более полувека: инвариантный способ описания системы линейных дифференциальных уравнений+ • ¦ • + Dlmfm = 0,где fj — функции нескольких вещественных переменных, Dij — дифференциальные операторы, заключается в рассмотрении (левого) модуля М над кольцом дифференциальных операторов (D-модуля), являющегося фактором свободного модуля ранга т по подмодулю, порождённому строками матрицы (D^). Тогда, рассматривая кольцо гладких (аналитических, обобщённых) функций О как модуль над кольцом дифференциальных операторов, легко увидеть, что пространство гладких (соотв., аналитических, обобщённых) решений нашей системы отождествляется с пространством гомоморфизмов ?>-модулей Нот(М, О): образующие М переходят в функции fj, которые удовлетворяют системе уравнений, потому что на образующие модуля были наложены соотношения. Но кольцо дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами является кольцом (коммутативных) многочленов от операторов ^- первых частных производных по переменным, так что в случае постоянных коэффициентов таким образом получается модуль над кольцом многочленов. Многие содержательные свойства решений системы дифференциальных уравнений естественно переформулируются в терминах коммутативно-алгебраических свойств этого модуля, см., в частности, [19]. В статье [1] рассматривался модуль над кольцом многочленов, сопостав-ленный таким образом системе Коши-Фуэтэ, задающей кватернионно-диф-ференцируемые функции. Это модуль Мп = R4/(An), где Ап — матрица ... \Un, (Ап) — подмодуль, порождённый её столбцами,х- у- z- t- \— it- т*. */¦ • — -у. У% ^г Н **%\ K/f Anff U4 *JU 1a R = k[{xi, 2/г-, Zi, ?j}f=i], k — поле.Авторы показывали, что проективная размерность этого модуля равна 2п — 1, и выводили отсюда, что вялая размерность пучка кватернионно-дифференцируемых функций п переменных тоже равна 2п — 1 [1, Theorem 3.1] и что когомологии этого пучка, начиная с (2п — 1)-й, на любом открытом подмножестве в W1 обращаются в нуль [1, Cor. 3.4].Авторы использовали некоторые понятия и методы коммутативной алгебры, которые мы сейчас напомним. Дальнейшие детали и ссылки см. в разделе 0.1.Определение. Пусть R — нётерово коммутативное кольцо, М — Л-мо-дуль. Последовательность ai,...,an E R называется М-регулярной, если (ai,..., ап)М ф М и для % от 1 до п в модуле М/{а\,..., Определение. Пусть R — нётерово коммутативное кольцо, М — jR-mo-дуль, I С R — идеал, и IM ф М. Длина depth(7, М) любой максимальной М-регулярной последовательности в I называется глубиной М относительно /. При рассмотрении глубины градуированных модулей над кольцом многочленов относительно идеала всех многочленов без свободного члена мы будем опускать указание идеала.Формула Ауслендера-Буксбаума. Для градуированного модуля М над кольцом многочленов R depth М + pd М = dim R.Авторы вычисляли проективную размерность при помощи формулы Ауслендера-Буксбаума, а не построением резольвенты, так как этот путь они считали слишком сложным. Необходимая для применения формулы Ауслендера-Буксбаума глубина этого модуля, равная 2п + 1, вычислялась в [1] посредством явного (при помощи базисов Грёбнера) предъявления Л^п-после-довательности. В статье также была найдена размерность Крулля Л4п, для чего рассматривалось касательное пространство к носителю этого модуля вС471 = Specm R для к = С. Таким образом была доказана коэн-маколеевость этого модуля, то есть равенство размерности Крулля и глубины (определение 0.1.6).В статье [2] авторы продолжили исследования этого модуля с помощью базисов Грёбнера, найдя (градуированные) числа Бетти (то есть ранги и степени порождающих для членов градуированной минимальной свободной резольвенты Л4п), ряд Гильберта (то есть размерности однородных компонент модуля) и кратность Л4п (то есть асимптотику роста размерности однородной компоненты модуля с ростом степени этой компоненты). Мы напомним точные определения и основные свойства этих понятий в разделе 0.3.Аналогичные исследования других систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами проводились в [8], [12], [13].Как объяснено в начале, в [1] матрица Ап получилась из системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных, задающей ква-тернионно-дифференцируемые функции, транспонированием и заменой операторов частных производных по переменным на сами переменные. Однако можно заметить (ср. [2, Introduction]), что матрица Щ есть матрица левого умножения на жг- — у4 — Z(j — Uk в базисе 1, г, j, к. Такой взгляд на матрицу Ап позволил, как заметил Е. С. Голод, полностью понять структуру модуля М.п, в частности, его проективной резольвенты. Комплексифицируем алгебру кватернионов. Так как при замене базиса в алгебре матрица Щ заменяется на сопряженную и в ней происходит линейная замена переменных, то структура модуля М.п от этого не изменится. Поэтому изоморфизм Н r С = Мг(С) — матричной алгебре — позволяет в базисе из матричных единиц придать матрице Щ вид/ Щ h Q \q (к k \ a di Jто есть Мп = М'п 0 М'п, где М'п — фактор R2 по столбцам общей 2 х 2п-матрйцы. А про М'п известно [6], что это — коэн-маколеев модуль проективной размерности In — 2+1 = 2п — 1и что его минимальная резольвента — это комплекс Игона-Норкотта (называемый в [11] комплексом Буксбаума-Рима, см. раздел 0.2). Это описание резольвенты позволяет упростить доказательства основных результатов из [2], см. главу 3 настоящей работы.Отсюда возникло следующее обобщение этой задачи. Пусть А — конечно- мерная ассоциативная алгебра с 1 над полем к с базисом /i,..., /^, а р: А —>• Мп(к) — её матричное представление, отвечающее А-модулю М, dimt M — п. Зададим натуральное I и рассмотрим кольцо многочленов R = к[жц,..., Xdi] и модуль Fi(M) над ним (FlR(M), если надо явно указать кольцо многочленов, так как иногда мы будем рассматривать и кольцо многочленов, содержащее некоторые дополнительные переменные), являющийся фактормодулем свободного .R-модуля Rn по подмодулю, порождённому столбцами матриц Idj = Y^,i p{fi)xiji J = 1, -.., Z (Idj , если нам потребуется явно указать алгебру А во избежание путаницы). Мы исследуем вопрос о коэн-маколеевости и размерности модулей Fi(M) и их аннуляторов.Ответ на этот вопрос оказался связан с классом максимально центральных алгебр, введённым Адзумая в [3, 4]:Определение [3, §2]. Конечномерная ассоциативная алгебра А над к с единицей называется максимально центральной алгеброй, если А — прямая сумма алгебр Ai, факторы которых по радикалу просты иt t? dimk Z(Ai),где t"l — это ранг Ai/ rad Ai над своим центром и на самом деле имеет место равенство. JЕсли U одинаковы для всех слагаемых, то будем называть максимально центральную алгебру разноразмерной.Другие эквивалентные определения этих алгебр приводятся в разделе 0.7. Результаты дальнейшего развития работ Адзумая, приведшего к понятию алгебр Адзумая, см., в частности, в [9].В настоящей работе доказываетсяТеорема 1. Пусть либо 1 = 1, либо А — максимально центральная алгебра. Тогда1) F[(-) есть точный вполне строгий функтор из категории конечномерных А-модулей в категорию градуированных R-модулей и однородных гомоморфизмов степени 0;2) если 1=1 или А равноразмерна с U = п, то функтор Fi(-) переводит конечномерные А-модули в коэн-маколеевы R-модули проективной размерности (I — 1)п -+- 1 (что равно 1 при I = 1), а для произвольной максимально центральной А функтор Fi(-) переводит неразложимые конечномерные А-модули в коэн-маколеевы R-модули;3) при I = 1 для любого М аннулятор Fi(M) — главный идеал. Имеется обратный результат:Теорема 2. Если для некоторого I > 1 либо функтор Fi точен, либо для всех неразложимых модулей М модули Fi(M) коэн-маколеевы, то А — максимально центральная алгебра, а если отбросить условие неразложимости, то А —¦ равноразмерная максимально центральная алгебра. Более того, для произвольной (ассоциативной с 1) алгебры А для некоторого А-модуля М и некоторого I > 1 модуль Fi(M) коэн-маколеев, если и только если А/ аппМ — равноразмерная максимально центральная алгебра.Полученная при доказательстве теоремы 1 информация о минимальной резольвенте модулей Fi(M) (лемма 1.9) позволяет найти различные инварианты этих модулей и, в частности, передоказать и обобщить основные результаты статьи [2]:Теорема 3. Пусть максимально центральная алгебра А равноразмерна и все ti равны п. Тогда для любого А-модуля М инварианты Fi(M) получаются умножением на dimtM/n из инвариантов Fi(P) для простого А-модуля Р, где А = А ьк — k-алгебра, к — алгебраическое замыкание к. А инварианты модуля Fi(P) имеют следующие значения:• числа Бетти &о = n, 6i = In, b{ = (n+"_i) Cn-^3) nPu * ^ 2, сосредоточенные в степени 0,1, п+г — 1 соответственно (то есть ранги модулей Fi в минимальной градуированной свободной резольвенте равны 6г- и у каждого Fi все образующие имеют одну и ту же степень, равную О при г = 0, 1 при г = 1, п-\-г — 1 при i ^ 2);• коэн-маколеев тип t — fy_i)n+i =• ряд Гильберта (%2kdim.k Fi(P)ktk, где Fi(P)k — однородная компонента модуля степени к)Fi(P){t) = (1 - «Dldi*кратностьe - (dim Д- (/ - l)n - 2)! lim dimkFi(P)fc/A;dirai?-(/-1)n-2 =Заметим, что рассматриваемым модулям над кольцом многочленов можно при помощи конструкции, описанной в начале введения, сопоставить некоторые системы уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами, что даёт возможность проинтерпретировать полученные результаты в терминах теории уравнений с частными производными. Помимо этого, результаты этой работы могут найти применение в кватернионном анализе: было бы интересным получить из комплекса Игона-Норкотта, являющегося минимальной резольвентой модуля М.п из [1], явную ацикличную резольвенту для пучка кватернионно-дифференцируемых функций — аналог комплекса Дольбо в комплексном анализе — и с её помощью дать для теоремы 3.1 и следствия 3.4 из [1] аналитические доказательства, которых не хватает авторам. Заметим также, что в работе [13] авторам удалось исследовать соответствующие модули при помощи базисов Грёбнера только путём компьютерных вычислений при «числе переменных» 2 и 3, так что, возможно, применение в той задаче методов коммутативной алгебры, аналогичных использованным в диссертации, позволит продвинуться дальше.Глава 0 содержит предварительные сведения: разделы 0.1-0.3 посвящены коммутативной алгебре, а разделы 0.5-0.7 — теории конечномерных ассоциативных алгебр. В разделе 0.7 доказывается эквивалентность нескольких определений максимально центральной алгебры (предложение 0.7.1), из которых, по-видимому, пункты 2) и 7) являются новыми. Также приводится пример, показывающий, что пункт 7) равносилен остальным только в случае совершенного поля, а иначе накладывает более сильное ограничение. Три следующие главы посвящены доказательству теорем с соответствующими номерами.Изложенные в диссертации результаты докладывались на семинарах кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова в 1999-2004 годах и опубликованы в работах [22], [23], [24], [25]. Автор хотел бы поблагодарить своего научного руководителя проф. Е. С. Голода за постоянное внимание и поучительные замечания, рецензента работы [23] за упрощение некоторых рассуждений, а также А. А. Герко за мотивацию доделать эту работу.ОбозначенияR — поле вещественных чисел,С — поле комплексных чисел,Ш — тело кватернионов,?р — конечное поле из р элементов,Мп(К) — кольцо матриц размера п х п с элементами из кольца К,к — некоторое поле,А — конечномерная ассоциативная алгебра с 1 над полем к,к — алгебраическое замыкание поля k, t~А = А ®к к,. ./ь • • •) fd — базис А как векторного пространства над к,R — к[жц,..., Xdi] — кольцо полиномиальных функций на аффинном пространстве А1,Рм — матричное представление алгебры Л, соответствующее конечномерному Л-модулю М,Id;- или Id^ — общий элемент алгебры А, координатное описание см. во введении, бескоординатное — в начале гл. 1,Fj(-), или FiR(SlG — симметрическая степень (свободного модуля над коммутативным кольцом),S(G) — симметрическая алгебра векторного пространства,/\г G — внешняя степень (свободного модуля над коммутативным кольцом),G* — двойственный модуль (свободного модуля над коммутативным кольцом),dimM — размерность Крулля (модуля М над кольцом многочленов),suppM — носитель модуля над коммутативным,кольцом,dimkM — размерность векторного пространства М над к,1{М) — длина модуля М над конечномерной алгеброй,depth M — глубина градуированного модуля над кольцом многочленов в однородном максимальном идеале (см. раздел 0.1),Q(K) — поле частных коммутативного кольца К,k{p) = Q(K/p) — поле вычетов простого идеала р в коммутативном кольце К,-pd M — проективная размерность модуля над кольцом многочленов,Mi — однородная компонента степени i градуированного модуля М над кольцом многочленов;М[г] — сдвиг градуировки градуированного модуля над кольцом многочленов (M[i]j = Mi+j),M(t) 6 Z[[t]] — ряд Гильберта градуированного модуля М над кольцом многочленов,ht / — высота идеала в коммутативном кольце,Ass M — множество ассоциированных простых идеалов модуля над коммутативным кольцом,arm M — аннулятор модуля,Z(K) — центр кольца К,К0 — противоположное кольцо кольца К (множество элементов и сложение те же, что и в К, а произведение ab в К0 равно произведению Ьа в К),rad К — радикал конечномерной алгебры К,Br(F) — группа Брауэра поля F,Br(F, L) — подгруппа в Br(F), состоящая из классов центральных простых алгебр, расщепляющихся над расширением L поля F,#2((3, К*) — вторые когомологии группы G с коэффициентами в мультипликативной группе поля К. Глава Предварительные сведения0.1 Глубина и коэн-маколеевостьВ данной работе используются градуированные версии этих понятий, аналогичные локальным, рассмотренным в [20], где глубина называется гомологической коразмерностью. Изложение для градуированного случая можно найти в [5, §1.5], но мы всюду, где это возможно, предпочитали давать ссылки на имеющуюся литературу на русском языке.Определение 0.1.1. ([11, Chap. 17, р. 423]; [20, гл. IV, А.4], М-последовательность.) Пусть R — нётерово коммутативное кольцо, М — Л-модуль. Последовательность oi,..., ап ? R называется М-регулярной, если (ai,..., ап)М ф М и для г от 1 до п умножение на щ в модуле M/(ai,..., Oj_i)M инъективно.Предложение 0.1.2. [11, Theorem 17.4] Пусть I — идеал в R и IM ф М. Тогда все максимальные (т.е. непродолжаемые) М-регулярные последовательности в I имеют одну и ту же длину.Определение 0.1.3. ([11, 17.2, р. 429], [20, гл. IV, А.4, определение 6].) В условиях предыдущего предложения длина depth(/, M) любой максимальной М-регулярной последовательности в / называется глубиной М относительно /.При рассмотрении глубины градуированных модулей над кольцом многочленов относительно идеала всех многочленов без свободного члена мы будем опускать указание идеала.Предложение 0.1.4. ([6, Theorem 16.11], [11, Prop. 18.4, Cor. 18.6], [20, гл. IV, А.4, предложение 6 и далее].) Для любого конечно порождённого R-модуля М имеем: M) ^ dim M, где dim M — размерность Крулля; depth(/, M) = min{t| Ext^iV, M) ф 0},где, N — конечно порождённый модуль с носителем, равным замкнутому множеству, определённому идеалом I, так что при замене идеала I на его радикал глубина не меняется;depth(/, M®N) = min{depth(/, M), depth(/, N)}-в короткой точной последовательности Q-+M-+N-+P-+Qdepth(/, N) ^ min{depth(/, M), depth(/, Р)}, depth(/, M) ^ min{dep,th(/, N), depth(7, P) +1}.Предложение 0.1.5 (формула Ауслендера-Буксбаума). ([20, гл. IV, Г.1, предложение 17], [11, Exercise 19.8].) Для градуированного модуля М над кольцом многочленов R depth М + pd М = dim R.Определение 0.1.6. ([20, гл. IV, Б], см. также [11, Chap. 18, р. 451].) Модуль М над R называется коэн-маколеевым, если для любого максимального идеала хп в R depth(m, M) = dim M. "*Предложение 0.1.7. [6, Prop. 16.20] Пусть М — градуированный модуль над кольцом многочленов R. Тогда М коэн-маколеев 4=^ depth M — dimM (глубина берётся в однородном максимальном идеале).Предложение 0.1.8. [20, гл. IV, Б.1] Пусть М коэн-маколеев. Тогда последовательность М/(а\,..., as)M ф 0 иdim M/ (аь ... ,as)M — dimM — s .(причём для коэн-маколеева М и любой последовательности длины s размерность при факторизации уменьшается не более, чем на s), и тогда фак-тормодуль М/{а\у... ,as)M коэн-маколеев.0.2 Комплекс Игона-НоркоттаОпределение 0.2.1. ([6, 2.С], ?>i(#);[ll, A2.6.1, р. 600], С1, комплекс Буксба-ума-Рима.) Комплексом Игона-Норкотта номер 1, построенным по (g x /)-матрице (р = ( G, ранги которых обозначены соответствующими маленькими буквами, называется комплексU —> Гсвободных модулей, где к = / - д + 1, Fo = G, Fi = F, F» =S'l~2(G!)* при г ^ 2, а дифференциалы устроены следующим образом. Пусть/i,..., ff и gi,..., дд — базисы F и G соответственно, тогдаvi(/i) = Е^- ^(Ло л".• • л 4) = Е(-1)"Чо..,г.,94к=0(здесь и в следующей формуле знак ^ обозначает пропуск элемента в списке), где Mjlm..jg — (д х #)-минор матрицы (р, состоящий из столбцов ji,... ,jg в указанном порядке, аg+i-2 i-2joЛ •' • Л* • • •л 4-м-2Замечание 0.2.2. В [11] определены аналогичные комплексы со всеми целыми номерами, но нам понадобится только этот частный случай. Для таких комплексов имеется следующий критерий точности.Предложение 0.2.3. ([6, Theorem 16.15], см. также [7, Theorem], [11, Chap. 20.3].) Пусть R — коммутативное нётерово кольцо, М ф 0 — конечно порождённый R-модулъ,А = (0 -> Fk ^ Fk^ -> ... -» F1 2> Fo) — комплекс конечно порождённых свободных R-модулей. Положим— ранг (то есть порядок максимального ненулевого минора) pj в случае, когда этот комплекс точен,. Обозначим за 1г{у>) идеал, порожденный всеми (г х г)-минорами матрицы (р. Тогда A(g>j? M точен, если и только если для всех j от 1 до к 1Т{]){^Рз) содержит М-последовательность длины j или Для комплекса Игона-Норкотта этот критерий заметно упрощается следующим фактом:Предложение 0.2.4. [11, Theorem A2.10 b] Для любой матрицы Таким образом, чтобы доказать точность комплекса вида А ®д М, где А — комплекс Игона-Норкотта, достаточно проверить, что в 1т(ц>) содержится М-последовательность длины / — g + 1: тогда по второму предложению и по предложению 0.1.4 это выполнено для всех Ir^( 0.3 Инварианты модулей над коммутативными кольцамиОпределение 0.3.1. (ср. [11, Exercise A3.18]) Пусть R = @i>0Ri ~ нёте-рово градуированное кольцо, Rq = к - поле, R+ = фг>0^г — максимальный однородный идеал, R[n] — свободный Д-модуль со сдвигом градуировки (образующая имеет степень —п). Пусть М — конечно порождённый градуированный Я-модуль. Известно [11, 19.1; Theorem 20.2], что тогда существует единственная свободная резольвента---> Ft ->---> Fi -» Fo -> М -> 0над R такая, что Fi = ф • R[—j]bij, гомоморфизмы — однородные степени 0 и d(Fi) С R+F^i. Градуированные числа Бетти градуированного модуля М — это bij: числа Бетти bi — Yljbij — dimjcTorf (к, М). Если для некоторого г bij = 0 для всех j кроме jj, то будем говорить, что г-е число Бетти сосредоточено в степени ji-Определение 0.3.2. [11, Exercises 10.12 10.13] Ряд Гильберта M(t) градуированного модуля М — это ^dimjiMif.Тогда для конечно порождённого модуля М над кольцом многочленов M(t) = p(t)/(l - t)d[mM, где p(t) — многочлен и р(1) ф 0. Ряд Гильберта аддитивен в коротких точных последовательностях градуированных модулей и однородных гомоморфизмов степени нуль, что следует из аддитивности размерности для однородных компонент каждой степени. В частности, если х — однородный неделитель нуля степени d относительно градуированного модуля М, то из точной последовательностиО -» M[-d] 4Мч М/хМ -> Ополучаем, что (M/xM)(t) = (1 — td)M(t). Отсюда по индукции получается формула для ряда Гильберта фактормодуля по однородной регулярной последовательности, которой мы воспользуемся.Определение 0.3.3. Кратность модуля М (относительно R+) — это е = р(1). Из определения видно, что кратность также аддитивна в коротких точных последовательностях. Нетрудно проверить, что для градуированных модулей это число совпадает с определенным в [20, гл. V, А.2] и [11, 12.1] (последнее определение было включено в формулировку теоремы 3).Определение 0.3.4. (ср. [11, Exercise 21.14]) Коэн-маколеев тип коэн-ма-колеева модуля М — это t(M) = dimkExtJpthM(k, M), где k = R/R+ как R- модуль.Предложение 0.3.5. Над кольцом многочленов R имеем t(M) — &ролм-Доказательство. Над регулярным кольцом согласно [20, гл. IV, Г.1, ел. к теореме 5] имеется изоморфизм Torf(k,M) = Ext^mR~l(k,M), так что по формуле Ауслендера-Буксбаума получаем требуемое. D0.4 Базисы ГрёбнераПоскольку теория базисов Грёбнера обычно излагается в литературе для идеалов, а не для подмодулей, как она использована в этой работе, мы напомним основные формулировки по [11, Chap. 15].Пусть R — кольцо многочленов над полем k, a F — свободный Я-модуль с фиксированным базисом е\,..., es. Моном в модуле F это элемент вида mej, где т — моном в R (то есть произведение степеней переменных). Порядок на мономах в F — это линейный порядок, для которого если т\ > mi — мономы в F, а п ф 1 — моном в 5, то пт\ > птч > rri2- Любой такой порядок является полным (непустое подмножество имеет наименьший элемент).Опишем несколько способов задавать такие порядки, которыми мы будем пользоваться. Пусть задан произвольный линейный порядок на наборе переменных в R. Тогда на мономах в R можно задать лексикографический порядок: сравниваются показатели при старшей переменной, если они равны, то показатели при следующей и так далее. Можно задать степенной-лексикографический порядок: сначала сравнивается полная степень мономов, а при равенстве они сравниваются лексикографически. Так же можно поступить в кольце некоммутативных многочленов, где мономы — это слова, так что лексикографически они сравниваются побуквенно (в некоммутативном случае не любой порядок является полным, но такой является). Если задан порядок на мономах кольца и линейный порядок на базисных векторах модуля, то можно построить по ним порядок на мономах в модуле двумя способами: «моном важнее места», при котором сначала сравниваются коэффициенты в смысле порядка в кольце, а при равенстве — базисные векторы, и «место важнее монома», при сначала сравниваются базисные векторы, а при равенстве — коэффициенты.Старший член элемента / = Ylaimi Е F, гДе а* Е к*, а шг- — различные мономы в F, — это Пусть некоторый моном п, входящий в элемент g с коэффициентом а, делится на старший член т элемента / (домножая / на константу, можно считать, что коэффициент при т в / равен 1). Тогда редукция g при помощи / — это переход от g к g — a(n/m)f. Если ни один моном g не делится на старшие члены элементов /ь ...,/&, то говорят, что g не редуцируем при помощи /i,...,/fc. В замечании из раздела 0.7 используется вариант редукции для двусторонних идеалов в кольце некоммутативных многочленов: делимость означает, что п = ттщ, а редукция заменяет g на g — anifri2. Из полноты порядка следует, что невозможна бесконечная последовательность редукций.Набор элементов 9i,...,gk модуля М называется базисом Грёбнера М для данного порядка, если старшие члены этих элементов порождают модуль старших членов для М (в однородном случае это условие можно проверить по функциям Гильберта). Тогда сами эти элементы порождают М.Если т\ и шг — два монома в F, в которые входит один и тот же элемент ej, то их наименьшее общее кратное т определяется очевидным образом. Если эти мономы являются старшими членами элементов f,g(zF соответственно, то S-форма, соответствующая паре (/, д), —- это элемент (ra/rai)/ — (т/т2)д 6 F.Критерий Бухбергера [11, Theorem 15.8] утверждает, что набор элементов д\, • • • ,дк ? F является базисом Грёбнера порождённого ими подмодуля, если и только если любую S-форму, построенную по паре элементов из этого набора (у которых в старшие члены входит один и тот же базисный элемент F), можно превратить в нуль последовательностью редукций при помощи элементов этого набора, и тогда если применять к S-форме редукции при помощи gi в произвольной последовательности и на некотором шаге получится нередуцируемый при помощи д\,..., gj. элемент, то этот элемент будет нулевым.0.5 Разложение конечномерных алгебр в прямую суммуКонечномерная ассоциативная алгебра А раскладывается как левый модуль над собой в прямую сумму неразложимых левых идеалов [17, теорема 14.2], после чего разложение в прямую сумму подалгебр получается из этого группировкой слагаемых [17, §§54-55]. А именно, два таких идеала а и Ъ называются связанными [17, определение 55.1], если существует такая цепочка неразложимых левых идеалов а = oi, п2, ..., ап = Ь, что любые два соседние идеала имеют общий композиционный фактор. Прямые суммы классов связанности — блоки — образуют неразложимые двусторонние идеалы в Л., в прямую сумму которых она разлагается, и эти идеалы однозначно определены [17, теорема 55.2].Мы применим этот результат в случае, когда неразложимые модули над алгеброй имеют лишь 1 тип композиционных факторов. Тогда каждый блок имеет лишь 1 тип композиционных факторов, то есть алгебра разлагается в прямую сумму алгебр, каждая из которых имеет лишь 1 простой модуль.Напомним также описание разложений алгебры в прямую сумму в терминах идемпотентов [17, §25, упр. 2]: существует взаимно однозначное соответствие между разложениями алгебры в прямую сумму двусторонних идеалов и разложением единицы в сумму центральных ортогональных идемпотентов, т. е. идемпотентов, которые лежат в центре алгебры и попарные произведения которых равны 0. Соответствие естественно: идемпотентам сопоставля-2omo5>8>8>