0 Распределение "свободных" электронов по энергиям

0 Распределение “свободных” электронов по энергиям.Согласно модели Зоммерфельда, нам удалось выразить связь энергии электронов с их волновым вектором:  = (2/2m)k2 (1) где k квантуется (k = 2/L) и мы имеем:  = (2/2m)(2/L)2i2 (2)1) Здесь L – линейный размер образца,i – целое число: i = 0, 1, 2, …Видно, что так называемые свободные электроны могут принимать различные значения энергии.В выражениях (1) и (2) отражены вовсе не реальные значения энергии, которыми обладают электроны. В названых формулах обозначены те квантовые состояния с указанной в них значениях энергии, которые электронам принимать дозволенно, в то время как все иные значения энергии являются запрещенными. Если квантовому состоянию отвечает не та энергия, что в (2), то такое квантовое состояние занимать электронам запрещено. Если квантовое состояние отвечает энергии, указанной в формуле (2), то электроны это квантовое состояние в принципе занять могут (если свободные электроны для этого найдутся). ^ Вопрос о том, какое число дозволенных квантовых состояний приходится на каждое значение энергии, мы пока не обсуждали. Именно на этот вопрос мы и попытаемся найти здесь ответ. А именно: Сколько квантовых состояний имеется для энергии  = (2/2m)(k)2? А, значит, и какое максимальное число электронов может иметь такую энергию? Именно это и называется плотностью числа состояний di/d для интервала энергий     d. Ашкрофт и Мермин называют это «величину плотностью уровней в расчете на единицу объема» и нормируют на энергию Ферми. Обозначается эта величина (di/d) в разных книгах по-разному:di/d = g()  ()  D()  N(). Давайте будем пользоваться обозначением g() и найдем эту величину. Для этого нам необходимо знать: Объем в фазовом k-пространстве, с одной и той же энергией VФ(). Объем в фазовом k-пространстве, занимаемый одним квантовым состоянием: V1. Тогда, поделив объем, относящийся к энергии , на объем, занимаемый одним квантовым состоянием, узнаем, сколько в образце квантовых состояний с энергией . Если полученное значение поделить на объем образца Vобр, то можно узнать, какова плотность разрешенных квантовых состояний в единице объема образца. Поскольку, согласно принципу Паули, в одном квантовом состоянии может находиться 2 электрона со спиновым квантовым числом  ms, необходимо помножить полученное значение на 2. В результате получим величину числа состояний в интервале     d:i() = 2VФ()/(V1Vобр) Теперь сталось найти VФ(), V1 и Vобр ► Найдем объем в фазовом k- пространстве VФ(). Решим задачу для простейшего случая щелочных металлов, имеющих сферическую поверхность Ферми и в качестве носителей тока – только электроны проводимости (дырок у щелочных металлов нет). Тогда в k-пространстве любой одинаковой энергии  буде отвечать сферическая поверхность с площадью 4k2, а слой с толщиной dk будет иметь объем, равный 4k2dk. Поскольку мы знаем, как k связан с энергией , то можно соотнести этот объем с энергией в интервале    d. Объем этого слоя, равный 4k2dk, и соответствует искомой величине VФ(). ► Найдем объем, занимаемый одним квантовым состоянием V1. Его можно узнать, имея в виду принцип неопределенности, выражаемый как xp  h. Найдем для нашего случая x и p. Местонахождение электрона проводимости определяется размерами образца. Значит, x = Lx (0  x  Lx). А p = k. В свою очередь, k = 2/Lx. Отсюда следует, что минимальный объем, занимаемый одним квантовым состоянием, равен V1 = (2/LxLyLz)3. ► Объем образца с размерами LxLyLz равен: Vобр = LxLyLzПодставим полученные значения в i() = 2VФ()/V1Vобр: С учетом того, что k2 = (2m/2); dk = (1/2)(2m/2)1/21/2d;VФ = 24k2dk = 24(1/2)(2m/2)3/21/2d = 4(2m/2)3/21/2d; V1 = (2/LxLyLz)3 = 83/Vобр; имеем i() = {[4(2m/2)3/21/2]/[(83/Vобр)Vобр]}d Окончательно получаем: g() = di/d = 4(2m/2)3/21/2/83 = (1/22)(2m/2)3/21/2Итак, давайте хорошенько запомним это очень полезное выражение для плотности числа состояний электронов: g() = di/d = (1/22)(2m/2)3/21/2 Но надо еще не забыть, что вывели мы его для щелочных металлов, где: поверхность Ферми сферическая; зависимость  от k квадратичная:  = (2/2m)k2; в качестве носителей заряда выступают только электроны проводимости, а дырок нет. Как же быть с остальными веществами, где эти условия не выполняются? Для чего мы старались и для чего запоминать этот пусть приятный, но частный случай? Оказывается, формула полезна не только для щелочных металлов. Дело в том, что у дна зоны проводимости и потолка валентной зоны зависимость  от k очень близка к квадратичной:  = (2/2m)k2. Как ни странно, но выражение  применимо к полупроводникам куда лучше, чем к металлам, если они не являются щелочными. В полупроводниках концентрация носителей заряда столь мала, что носители заполняют энергетические уровни возле самого дна зоны проводимости и потолка валентной зоны полупроводника. Благодаря этому выполняется квадратичная зависимость  от k. В.Г. 30-03-028(2) ВИДЫ РЕКОМБИНАЦИИ (Шалимова, с.228)Как следует из равенства (7-29), в случае монополярной генера­ции носителей заряда возникает объемный заряд, который со вре­менем уменьшается по экспоненциальному закону с постоянной вре­мени Тц. Другими словами, объемный заряд, созданный избыточ­ной концентрацией основных носителей заряда, в результате тока проводимости исчезнет в среднем через Тц. Поскольку максвелловское время релаксации Тц для полупроводников достаточно малая величина, электронное облако избыточных носителей заряда за это время не может сместиться на значительное расстояние но отношению к нонам примеси, а поэтому повышенная концентра­ция носителей заряда будет в той же области полупроводника, где происходит их генерация. Следовательно, монополярная гене­рация и рекомбинация носителей заряда имеют место в одной и той же области примесного полупроводника.7-4. ВИДЫ РЕКОМБИНАЦИИ В зависимости от механизма различают три вида рекомбинации: межзонная рекомбинация, рекомбинация через локальные центры и поверхностная рекомбинация.Межзонная рекомбинация осуществляется при переходе свобод­ного электрона из зоны проводимости в валентную зону, что сопро­вождается уничтожением свободного электрона и свободной дырки. Этот процесс совершается при соблюдении законов сохранения энергии и квазиимпульса. Если энергия и квазиимпульс электрона в зоне проводимости (до рекомбинации) были Е' и р' а после ре­комбинации они равны соответственно Е и р, то законы сохранения энергии и квазиимпульса запишутся в видеE' = E + E; p' = p + Q. (7-31) Здесь Q – квазиимпульс, передаваемый электроном кристалли­ческой решетке, а E – энергия, которая выделяется при про­цессе рекомбинации. В зависимости от того, каким образом расходуется энергия E, межзонная рекомбинация разделяется на три типа:если энергия, освобождающаяся в процессе рекомбинации, излу­чается в виде кванта света, рекомбинация называется излучательной или фотонной;если энергия, освобождающаяся в процессе рекомбинации, пере­дается решетке, т. е. расходуется на образование фононов, реком­бинация называется безызлучательной или фононной;если в акте рекомбинации выделяющаяся энергия передается третьему свободному носителю заряда, рекомбинация называется ударной или рекомбинацией Оже.Ре­комбинация через локальные центры. В полупроводниковом кристалле всегда имеются дефекты, энер­гетические уровни которых находятся в запрещенной зоне. Поэтому наряду с межзонной рекомбинацией может идти процесс ре­комбинации через локальные центры. Дефект решетки, способный захватить электрон из зоны, проводимости и дырку из валентной зоны, осуществляя их рекомбинацию, называется рекомбинационной ловушкой. В этом случае исчезновение пары – электрона про­водимости и дырки проводимости – осуществляется следующим образом. Нейтральная рекомбинационная ловушка захватывает электрон из зоны проводимости, который затем через некоторое время перейдет в валентную зону. В зависимости от способа расхо­дования энергии ^ E при переходе электрона на более низкий энер­гетический уровень рекомбинация через рекомбинационные ловушки также может быть фотонной или фононной.Рекомбинация носителей заряда, идущая на поверхности полу­проводника, называется поверхностной рекомбинацией. Поверхност­ная рекомбинация происходит через поверхностные рекомбинацион­ные ловушки и может протекать с излучением и без излучения света.Линейная и Квадратичная релаксация (Шалимова, с.224)^ 7.2. БИПОЛЯРНАЯ СВЕТОВАЯ ГЕНЕРАЦИЯ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА Рассмотрим полупроводник, в котором в результате поглощения света создается некоторая избыточная концентрация электронов и дырок. Генерацию носителей заряда, при которой в результате возбуждения возникают пары – электрон и дырка, будем называть биполярной генерацией. В этом случае поглощение кванта света сопровождается разрывом валентной связи и количество генерируе­мых избыточных электронов и дырок одинаково: n = p (7-13) Параллельно с процессом генерации идет процесс рекомбина­ции, и в стационарном состоянии число электронов и дырок, воз­буждаемых за единицу времени в результате разрыва валентных связей, равно числу электронов и дырок, рекомбинирующих за это же время. Поскольку неравновесные носители заряда через очень малое время становятся физически неотличимыми по энергии от равновесных, можно считать, что они имеют тот же коэффициент рекомбинации r, что и равновесные носители заряда. После выключения возбуждающего света концентрации элек­тронов и дырок уменьшаются в результате рекомбинации. При этом скорость убывания числа свободных электронов и дырок опреде­ляется разностью скоростей рекомбинации и тепловой генерации –(dn/dt)r = –(dp/dt)r = rnp – G0. (7-14) (Здесь G0 – число генерируемыхэлектронно-дырочных пар в единице объема кристалла за одну секунду, к – коэффициент пропорциональности, называемый ко­эффициен­том рекомбинации.)^ Принимая во внимание соотношения (7-1), (7-2), (7-3) и (7-13), равенство (7-14) можно переписать следующим образом: –(dn/dt)r = r(np – n0p0) = r(n0 + p0 + n)n. (7-15)Учитывая, что в случае малого уровня возбуждения n (dn/dt)r= –r(n0 + p0)n = – r(n0 + p0)(n – n0). (7-16) {Рекомбинация называется линейной, так как ее скорость линейно зависит от концентрации избыточных носителей. Любопытно, что скорость рекомбинации пропорциональна и концентрации тепловых носителей}^ Введем обозначение  = 1/r(n0 + p0). (7-17)Тогда уравнение (7-16) примет вид: (dn/dt)r = –(n – n0)/ = –n0/, откуда п = n(0)exp(–t/), (7-19) где n(0) – избыточная концентрация электронов в момент вы­ключения возбуждающего света. Таким образом, в случае малого уровня биполярной генерации избыточная концентрация электронов и дырок после прекращения возбуждения уменьшается по экспоненциальному закону и за время  число их в результате рекомбинации убывает в e раз. Следова­тельно,  представляет собой среднее время существованияизбы­точной концентрации электронов и дырок и называется временем жизни неравновесных носителей заряда.Для собственного полупро­водника скорости убывания числа электронов и дырок равны и ве­личина  определяет время жизни электронно-дырочных пар. Зна­чение объемного времени жизни неравновесных носителей заряда в зависимости от типа полупроводникового материала и от степени его чистоты может изменяться в очень широких пределах – от 10–2 до 10–8c. Поскольку величина  достаточна велика, свобод­ные электроны и дырки, диффундируя из приповерхностной об­ласти, где их концентрация повышена, в объем полупроводника, за время жизни успеют пройти большое расстояние. Следовательно, в случае биполярной генерации область генерации носителей заряда и область их рекомбинации пространственно не совпадают.^ В случае большого уровня биполярного возбуждения, когда n >> n0 + p0, из (7-15) найдем, что(dn/dt)r = –r(n)2, (7-20) то есть скорость рекомбинации носителей заряда зависит от n no квадратичному закону. {И рекомбинация называется линейной.} Разделяя переменные, запишем:dn/(n)2 = –rdt, (7-21) откуда n = n(0)/[1 + rn(0)t]. (7-22)Из равенства (7-22) следует, что при квадратичной рекомбина­ции избыточная концентрация носителей заряда уменьшается по гиперболическому закону. Если ввести мгновенное время жизни мгн, то в случае квадра­тичной рекомбинации согласно уравнению (7-20) (dn/dt)r = –n/мгн (7-23) и мгн = 1/rn, (7-24) то есть мгн зависит от концентрации избыточных носителей заряда и в связи с этим является переменной величиной. Однако в каждый момент времени мгн имеет определенный смысл, являясь мгновенным временем жизни носителей заряда. В силу этого при большом уровне инжекции имеем дело с мгновенным временем жизни, которое согласно уравнению (7-23) равно: мгн = –n/(dn/dt). (7-25) Механизмы рекомбинацииРассмотрим некоторые наглядные представления о механизме рекомбинации.^ По виду передачи энергии рекомбинирующих частиц различают три основных типа рекомбинации. 1. Рекомбинация называется излучательной, или фотонной, если энергия рекомбинирующих частиц выделяется в виде энергии фотона. 2. Если энергия частицы передается решетке (фононам), то реком­бинация называется безызлучательной, или фононной. 3. Одним из видов безызлучательной рекомбинации является ударная ионизация (процессы Оже), когда энергия рекомбинирую­щих частиц передается третьей частице, которая благодаря этому становится «горячей». «Горячая» частица в результате ряда столкно­вений передает свою энергию фононам. 4. Кроме этих трех основных механизмов, энергия рекомбинирую­щих частиц может передаваться электронному газу (плазменная рекомбинация). Если электрон и дырка образуют в качестве про­межуточного состояния экситон, то такая рекомбинация носит назва­ние экситонной. Фотонная, фононная и рекомбинация Оже могут протекать по-разному в зависимости от механизма перехода электрона из зоны проводимости в валентную зону. Если частицы рекомбинируют в результате непосредственной встречи электрона и дырки, то такая рекомбинация называется^ 8 (1) РАВНОВЕСНЫЕ И НЕРАВНОВЕСНЫЕ НОСИТЕЛИ ЗАРЯДА (Шалимова, с.221) 7.1. РАВНОВЕСНЫЕ И НЕРАВНОВЕСНЫЕ НОСИТЕЛИ ЗАРЯДА Рассмотрим донорный полупроводник, находящийся в состоя­нии термодинамического равновесия. В результате тепловой ге­нерации электроны с донорной примеси переходят в зону проводи­мости. При достаточно высоких температурах будет существенным переброс электронов непосредственно из валентной зоны в зону проводи­мости. На рис. 7-1 стрелками пока­заны переходы электронов при теп­ловом возбуждении. ^ Свободные носи­тели заряда, возникающие в резуль­тате термической генерации и находящиеся в тепловом равновесии, с кристаллической решеткой, назы­ваются равновесными. На рис.7-1 изображены плотность квантовых состояний N(Е) в зоне проводимости и валентной зоне, функция распределения Ферми–Ди­рака f0(Е) и концентрация равновес­ных электронов n0 и дырок p0, кото­рые занимают состояния вблизи краев соответствующих зон (заштрихован­ные области).^ Одновременно с генерацией сво­бодных носителей заряда идет про­цесс рекомбинации: электроны возвращаются в свободные состоя­ния в валентной зоне, в результате чего исчезают свободный элек­трон и свободная дырка. В условиях термодинамического равнове­сия эти процессы полностью взаимно уравновешиваются. Обозна­чим через G0 число генерируемых, а через R0 – число рекомбини­рующих электронно-дырочных пар в единице объема кристалла за одну секунду. Вероятность рекомбинации пропорциональна произведению концентраций свободных носителей заряда, поэтомуR0 = rn0p0. (7-1) Здесь к – коэффициент пропорциональности, называемый ко­эффициентом рекомбинации. Для равновесного со­стояния полупроводника справедливо равенствоG0 = R0, (7-2) которое является выражением принципа детального равновесия. Помимо тепловой генерации имеются другие механизмы, при­водящие к возникновению свободных носителей заряда. Напри­мер, они могут образоваться при облучении полупроводника све­том, за счет разрыва валентных связей в сильных электрических полях или в результате инжекции с помощью p-п перехода. Во всех этих случаях возникает некоторая концентрация электронов п и дырок p, которая отличается от термодинамически равновесной. Подвижные носители заряда, не находящиеся в термодинамическом равновесии как по концентрации, так и по энергетическому распре­делению, называются неравновесными носителями заряда, а их концентрация п, и p называется неравновесной концентрацией. Из­быток неравновесной концентрации носителей заряда п, и p в по­лупроводнике по сравнению с равновесной п0,p0 называется избыточ­ной концентрацией носителей заряда. При генерации, например при поглощении света, носители за­ряда могут иметь кинетическую энергию, значительно превышаю­щую среднюю тепловую энергию равновесных частиц. В резуль­тате рассеяния на дефектах кристаллической решетки носители заряда довольно быстро передают ей свою избыточную энергию. Пусть энергия генерированных светом электронов была в зоне про­водимости примерно 1эВ. Рассеиваясь на длинноволновых фононах, они за каждое столкнове­ние будут передавать решетке энер­гию порядка 610–4эВ (см. с. 165). Для рассеива­ния своей избы­точной энергии избыточные электроны должны совершить около 1600 столкновений с акустическими фононами. Так как средняя длина свободного пробега электронов порядка 10–6см, а их тепло­вая скорость при комнатной температуре составляет приблизи­тельно 107см/с, при этом среднее время между двумя столкнове­ниями равно   10–13 с, то уже через 1,610–10с избыточные электроны приобретут температуру кристаллической решетки и не будут отличаться от равновесных носителей заряда. Поэтому рас­пределение по энергиям неравновесных и равновесных носителей заряда будет одинаковым. Этот процесс сводится к тому, что не­равновесные электроны, рассеивая свою избыточную энергию, как бы «опускаются» к нижнему краю зоны проводимости, а неравно­весные дырки, рассеивая избыточную энергию, «поднимаются» к верхнему краю валентной зоны. Если при этом концентрация неравновесных носителей заряда мало отличается от равновесной, можно считать, что энергия кристалла практически не изменяется, а значит, не меняется температура кристалла и, следовательно, не меняется концентрация равновесных носителей заряда. В этом слу­чае общее количество электронов и дырок будет равно соответст­венно:n = n0 + n; p = p0 + p. (7-3) Стационарную концентрацию неравновесных электронов п можно выразить с помощью формулы, аналогичной (4-40),n = n0 + n = EcPe(E)N(E)dE, (7-4) где Pe(E) – функция распределения для неравновесных электро­нов, отличная от равновесной функции распределения f0(E) и стремящаяся к ней при прибли­же­нии неравновесной системы к со­стоянию термодинамического равновесия. Это выражение можно представить в виде, аналогичном соотношению (4-42), введя ква­зиуровень Ферми для электронов в неравновесном со­стоянии Fn так, чтобы выполнялось условиеn = NcF1/2(n) (7-5) где n = (Fn – Ec)/kT (7-6) есть приведенный квазиуровень Ферми для электронов. Концентрацию неравновесных электронов в невырожденном по­лупроводнике с учетом равенств (4-65), (4-66) и (4-69) можно пред­ставить в виде n = Ncexp(n) = n0exp(n – ) = n0exp(n– i). (7-7) Аналогично концентрацию неравновесных дырок можно выра­зить следующим образом:p = p0 + p = –EvPh(E)N(E)dE, (7-8) где p = (Fp – Ev)/kT (7-9) есть приведенный квазиуровень Ферми для дырок. При отсутствии вырождения, учитывая формулы (4-67) и (4-69), можно написать:p = Nvexp(–p – i) = p0exp( – p) = niexp(i – p). (7-10) Таким образом, в неравновесном состоянии уровень Ферми как бы расщепляется на два квазиуровня – для электронов Fn и для дырок Fp (рис. 7-2). Произведение концентраций электронов и дырок для неравно­весного состояния отличается теперь от его значения для равновес­ного состояния:np = n0p0exp(n – p) = ni2(n – p). (7-11) Расстояние между приведенными уровнями Ферми (Fn – Fp) характеризует отклонение системы от состояния термодинамического равновесия:np/n0p0 = np/ni2 = exp(n – p) (7-12) Это соотношение выражает связь между концентрациями электронов и дырок неравновесном состоянии. При этом, чем сильнее различаются квазиуровни Ферми электронов и дырок, тем сильнее отличается произведение концентраций неравновесных носителей заряда от произведения равновесных концентраций. ________________________________________________________________^ Не могу не вставить здесь еще и Киреева. Раздел: § 65. МЕХАНИЗМЫ РЕКОМБИНАЦИИ. ЛИНЕЙНАЯ РЕКОМБИНАЦИЯ Неравновесное состояние свободных носителей заряда может быть описано некоторой функцией распределения f(r,k,t), вид которой был найден в четвертой главе для случая, когда отклонение от равно­весного состояния вызывается полями E и B, градиентами хими­ческого потенциала F (энергии Ферми) и температуры. Неравновес­ная часть функции распределения f(1) описывает перераспределе­ние частиц по состояниям в зоне Бриллюэна при сохранении числа частиц. При втором типе неравновесных состояний, когда концентра­ция частиц меняется, характер изменения функции распределения должен быть другим. Предположим, что для описания неравновес­ных состояний можно воспользоваться функцией Ферми-Ди­рака с другими значениями входящих в нее параметров.^ Системы, в которых вероятность нахождения частиц в верхних состояниях больше, чем в нижних, называют системами с инверсной населенностью. Для их описания необходимо считать температуру величиной отрицательной. Системы с отрицательными температу­рами используются для создания квантовых генераторов и усили­телей.^ Для неравновесных систем с нормальным распределением частиц по состояниям используется функция Ферми–Дирака (или функция Больцмана), в которой энергия Ферми F заменяется некоторой вели­чиной F*, называемой квазиуровнем Ферми. Квазиуровень Ферми F* можно ввести как величину, определяющую нормальное распределение частиц по состояниям в системах с неравновесной концентрацией носителей заряда. Величину F* можно определить из условия нор­мировки аналогично тому, как это было проделано для уровня Ферми:n = (2Nc/1/2)Ф1/2(*), * = (F* – Ec)/kT; (65.1) n = (2Nv/1/2)Ф1/2(*), * = (Ev – F*)/kT; (65.2) Для невырожденных полупроводников можем записатьn = Ncexp(Fn* – Ec); p = Nvexp(Ev – Fp*) (65.3) иnp = NcNvexp(–E0/kT)exp[(Fn* – Fp*)/kT] = ni2exp[(Fn* – Fp*)/kT]. (65.4) Как видно из (65.4), квазиуровни Ферми электронов и дырок в неравновесных системах различны). Чем сильнее различаются ква­зиуровни Ферми электронов и дырок, тем сильнее отличается произ­ведение неравновесных концентраций от произведения равновесных концентраций.______________) ^ Прошу обратить внимание на столь любимую студен­тами формулировочку: «Как видно из формулы (в данном случае из 65.4) квазиуровни Ферми электронов и дырок в неравновес­ных системах различны». Заметили, что это стало известно именно из формулы?!^ Сначала он ввел два разных уровня Ферми с потолка «из условия нормировки», а именно: Fn* – уровень Ферми для электронов и Fp* – уровень Ферми для дырок, вставил это в формулы безо всякого объяснения и обоснования, после чего из этих же формул делает мудрый вывод, что уровни Ферми различны.Здорово, правда?Шалимова, правда, тоже себя не утруждает объяснением, почему уровни различны. Но она и не говорит, что разницу выудила “из формул”. В.Г.^ НЕРАВНОВЕСНЫЕ НОСИТЕЛИ ЗАРЯДА Неравновесные носители заряда (Бонч-Бруевич, с.244)… При наличии внешних воздействий на полупроводник к тепловым перехо­дам v12 добавляются переходы v12' нетеп­ловой природы, и при этом частота обрат­ных переходов v21 тоже изменяется. Со­стояние полупроводника в таких усло­виях мы будем называть термодинами­чески неравновесным. При этом принцип детального равновесия, вообще говоря, уже не выполняется. При нарушении термодинамического равновесия концентрации электронов и дырок в зонах n и p изменяются по сравнению с их равновесными значениями n0 и p0, то есть в зонах появляются неравновесные носители заряда с концентрациями n2) = n – n0 и p = p – p0. При этом изменяются и концентрации связанных носителей nt и pt.Сказанное справедливо, конечно, и для металлов. Однако кон­центрация электронов в металлах гораздо больше, чем в полупро­водниках, и ее относительное изменение обычно ничтожно мало. Отметим, что уже в гл. VI мы имели дело, по существу, с иерав­новесными состояниями, так как наличие тока нарушает термоди­намическое равновесие (ср. §VI.3). Однако там можно было счи­тать, что по отношению к концентрации носителей заряда равнове­сие сохраняется. Это значит, что для данного полупроводника при заданной температуре установившаяся концентрация электронов определяется только значением электростатического потенциала (ср., например, §VI.12). Теперь мы рассмотрим явления, в которых нарушается равновесие и по концентрациям. Именно такие состоя­ния мы будем называть в дальнейшем неравновесными.§ 2. Время жизни неравновесных носителей зарядаВ настоящей главе мы будем рассматривать поведение неравиовес­ных носителей заряда только в объеме полупроводника, отвлекаясь от возможного влияния его поверхности. Это можно сделать, если отношение поверхности к объему образца достаточно мало (строго говоря, для бесконечно протяженного полупроводника). Однако основные понятия и соотношения, вводимые в настоящей главе. сохраняются и в тех случаях, когда процессами генерации и реком­бинации на самой поверхности пренебрегать нельзя. Влияние по­верхности на неравновесные состояния будет рассмотрено дополни­тельно в гл.X, где будут выяснены и условия, при которых этим влиянием можно пренебречь. Положим, что под влиянием внешнего воздействия в каждой единице объема полупроводника в единицу времени возникает gn электронов проводимости и, соответственно, gp дырок в валентной зоне. Темпы генерации gn и gp будем считать сначала одинаковыми по всему объему, хотя и не обязательно равными друг другу. Пусть, далее, Rn есть темп обратного процесса исчезновения свободных электродов вследствие процессов рекомбинации с дырками (свобод­ными и связанными на локальных уровнях энергии) и, соответст­венно, Rp — темп рекомбинации свободных дырок. Если в полу­проводнике нет электрического тока, то изменение во времени неравновеспых концентраций электронов и дырок в зонах определя­ется уравнениямиdn/dt = gn — Rn, dp/dt = gp — Rp (2.1) Подчеркнем, что gnи gp обозначают генерацию, обусловленную только внешними воздействиями, и не включают переходы, вызван­ные тепловвым движением. Последние мы учитываем в величинах Rn и Rp, которые поэтому представляют результирующие темпы рекомбинации, то есть разности между темпом захвата носителей из соответствующей зоны и темпом обратной тепловой генерацией носи­телей в зону:Rn = rn — gnT, Rp = rp — gpnT. (2.2) Для количественного описания кинетики неравновесных элек­тронных процессов широко применяют понятия среднего времени жизни неравновесных электронов в зоне проводимости n и. соот­ветственно, дырок в валентной зоне p, которые определяются формуламиRn = (n — n0)/n, Rn = (p —p0)/p. (2.3) Или иначе: 1/n есть вероятность исчезновения одного избыточного электрона из зоны проводимости в единицу времени вследствие рекомбинации (со свободными и связанными дырками). Аналогично, 1/p есть вероятность рекомбинации одной избыточной дырки, тоже за единицу времени.Так как n и p в формулах (2.2) по физическому смыслу не могут иметь слагаемых, не зависящих от n и, соответственно, p, то изсравнения формул (2.2) и (2.3) следует, чтоgn = n0/r^ g^=.p0/ (2.4) Следовательно, времена Тд и Тр определяют не только темп суммарной рекомбинации, но и темп тепловой генерации электронов и дырок. Пользуясь понятиями времен жизни, уравнения кинетики (2.2) для однородного образца без тока можно записать в видеd^n 6п dbp 6р•dT-en-^ w-gp-^ Стационарные концентрации неравновесных носителей заряда. устанавливающиеся после длительного воздействия внешней гене­рации, равны(6^=g^, (6p)s-gp^. (2.6) Величины Хп и Гр зависят от физических особенностей элементар­ных актов рекомбинации электронов и дырок. При этом Тл и т^, вообще говоря, могут сами зависеть от неравновесных концентраций 6д и 6р, а также от температуры. Поэтому Тд и Гр не являются харак­теристиками данного полупроводника, но зависят еще от условий опыта. Эти вопросы будут подробнее рассмотрены в гл.IX (см. также § XVI 1.9). Сейчас же мы будем считать т^ и Гр заданными феноменологическими величинами, определяющими кинетику элек­тронных процессов. В простейшем случае, когда Тд и т^ не зависят от п и р, интегри­рование уравнений (2.5) дает6п = gntn — С ехр (— thn) и такое же выражение для концентрации неравновесных дырок бр. Здесь С—постоянная интегрирования, определяемая начальными условиями. Так, если вначале полупроводник находился в термо­динамическом равновесии и затем в момент времени / == 0 было включено внешнее воздействие, мы имеем / ==- 0, бп = 0. Это даетС - gn^n - (6п)„ 6п = (6п), [1 » ехр (~ //т,)]. (2.7а) Если в некоторый момент времени t == /i генерация выключается, то для / ^ /I, gn == 0, а начальное условие есть / =- /i, 6п = (6/?)i. ТогдаС^ — (6n)i ехр /1, 6п - (6n)i ехр (- (/ - ^)/т„). (2.76)-rtПри постоянном Тд установление избыточной концентрации элек­тронов и ее исчезновение описываются экспоненциальным законом, а среднее время жизни т„ есть время, в течение которого концентра­ция неравновесных электронов изменяется в e раз. То же справедли­во и для неравновесных дырок.В общем случае Хп и Гр, изменяющихся вместе с п и р, соотноше­ния (2.3) определяют мгновенное времена жизни. Величины 1/т/г и 1/Тр в этом случае дают вероятности рекомбинации одной частицы в единицу времени при данных значениях п и /?, а Тд и Гр определяют времена, за которые неравновесные концентрации электронов или, соответственно, дырок изменились бы в e раз, если бы вероятность их рекомбинации сохранялась постоянной и равной данному мгно­венному значению.7 (1) Подвижность носителей (T)^ Рассмотрим самым примитивным образом роль заряженных центров и фононов.Неупругое рассеяние происходит на оптических фононах благодаря межэлектронному взаимодействию.^ Упругое рассеяние происходит на дефектах и акустических фононах.Поскольку  = (e/2m), то для определения температурной зависимости подвижности  надо искать, как зависит от температуры – среднее время свободного побега. В свою очередь, обусловлено – средней скоростью электронов и = Согласно примитивной модели Друде, все электроны имеют одинаковую скорость, то есть, v> = v = Const. Поскольку в металлах дрейфовая скорость не может быть соизмеримой с тепловой скоростью, то можно принять: v = vT + vD  vT ~ T1/2 (из: электронов ~ v2 ~ T). Итак, v ~ T1/2 Остается оценить при рассеянии на фононах и заряженных центрах рассеяния.^ Рассеяние на фононах. Число столкновений электронов на колеблющихся атомах, обозначим его через Z, пропорционально квадрату амплитуды их колебаний A2: Z ~ A2. В свою очередь, амплитуда колебаний A пропорциональна квадратному корню от температуры:A ~ T1/2. Стало быть: Z ~ T. Поскольку, чем больше центров рассеяния, тем короче свободный пробег, то: Окончательно для рассеяния на фононах ^ Рассеяние на заряженных центрах. Будем для упрощения считать, что число заряженных центров в металле от температуры не зависит. Согласно результатам опытов Резерфорда по рассеянию -частиц (отклонение в электростатическом поле) длина свободного пробега пропорциональна четвертой степени скорости частиц: ~ 4 Значит, для рассеяния на заряженных центрах (ионах) имеем: 1 (2) СИММЕТРИЯ (Жданов, с.133)Глава V^ СИММЕТРИЯ АТОМОВ, МОЛЕКУЛ И КРИСТАЛЛОВ § 1. СИММЕТРИЯ КОНЕЧНЫХ И БЕСКОНЕЧНЫХ ФИГУРСимметрия3). Операции симметрии.Волновые функции атома водорода и образуемые из них гибридные вол­новые функции и распределения электронной плотности в атомах обладают симметрией. Симметрия атомов и образуемых ими связей приводит к опре­деленной симметричной структуре молекул и кристаллов. Знание основ учения о симметрии и способов изображения симметрии существенно для понимания и описания структуры молекул и кристаллов и анализа их свойств. Симметрия какого-либо тела заключается в его свойстве самосовме­щаться в различных своих положениях. Это свойство проявляется в повто­рении частей тела в пространстве.Симметрия расширяет понятие равенства фигур (А. В. Шубников). Равными можно назвать фигуры, в которых расстояния между соответст­вующими точками одинаковы. Это условие необходимо, но недостаточно для обычного равенства, когда фигуры совмещаются при наложении. Это условие соблюдается также и для правых и левых фигур, которые не сов­мещаются друге другом при наложении (например, правая и левая перчатки, правая и левая молекулы винной кислоты, правый и левый кварц). Подоб­ные фигуры совмещаются только после зеркального отражения, переводя­щего правую фигуру в левую и наоборот. Различие правых нулевых форм молекул и кристаллов проявляется как в структуре, так и в некоторых физи­ческих свойствах и может быть установлено, например, по вращению плос­кости поляризации. Совмещение разных тел или самосовмещение одного тела осуществ­ляется с помощью: отражений; поворотов; инверсий; параллельных переносов; называемых операциями симмет­рии или симметрическими преобразованиями. Симметрические преобразо­вания являются преобразованиями координат (x, y, z) – (x', y', z') без рас­тяжений, сжатий и сдвигов, то есть такими, при которых расстояния между точками до и после преобразования не изменяются. Симметрию кристаллов можно описывать двояко. Во-первых, кристаллы представляют собой конечные тела, обладающие анизотропией свойств, что часто проявляется в правильной их форме. В этом случае кристаллы можно заменить многогранниками, имеющими одинаковую с ними симметрию, и описывать их симметрию (с некоторыми ограничениями, рас­сматриваемыми далее) аналогично симметрии атомов и молекул и вообще конечных фигур. Во-вторых, кристаллы обладают правильными периодиче­скими структурами и их можно рассматривать, как бесконечные тела, само­совмещающиеся при параллельных переносах, кратных периодам структуры. В этом случае операцией симметрии является параллельный перенос (трансляция), отсутствующий у конечных фигур. Представление о кристаллах, как о телах, имеющих правильную периодическую структуру, зародилось уже давно и первоначально было получено путем дедукции на основании данных о макроскопических свойствах кристаллов. Достаточно строгое обос­нование теории решетчатого строения дало изучение симметрии и в первую очередь фе­номенологически установленный закон симметрии кристаллов (стр. 142). З