1. Цельработы
Основнойцелью лабораторной работы является изучение основ дискретизации и восстановления сигналов по теореме Котельникова.Новая (очередная) базисная система {sin(x)/x} используется здесь дляобработки не только видео-, но и радиосигналов.
2.Подготовка к лабораторной работе
2.1. Теорема Котельникова
ТеоремаКотельникова (теорема отсчетов) имеют следующею формулировку: если наивысшаячастота в спектре функции S(t)меньше, чем fm, то функция S(t)полностью определяется последовательностью своих значений в моменты, отстоящиедруг от друга не более чем на ½fmсекунд.
Всоответствии с этой теоремой сигнал S(t),ограниченный по спектру наивысшей частотой wm=2pfm, можно представить рядом
(1)
Этот ряд называется рядом Котельникова. В этомвыражении ½fm= Dtобозначает интервал междудвумя отсчетными точками на оси времени, а S(n/2fm) = S(nDt) –выборки функции S(t)вмоменты времени t=nDt.
Исходя из (1), теоремаКотельникова формулируется так: произвольный сигнал, спектр которого несодержит частот выше fm , может быть полностью восстановлен, еслиизвестны отсчетные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки Dt = ½fm.
Генератор базисных функций
x
x Сумматор
S(0)
j0(t)
jn(t)
S(nDt)
SS(t)
Рисунок 2.1. — Структурнаясхема синтезатора
Вприведенном на рисунке 2.1 алгоритме, роль базисных функций jn(t)выполняют функции отсчетов:
2.2.Расчет спектра Котельникова
СпектромКотельникова называется последовательность выборок S(nDt) навременной оси. Рассчитаем спектра Котельникова для заданного видеосигналапрямоугольной формы, с длительностью tu= 0,14 мс.
Интервалмежду двумя отсчетными точками на оси времени определяется соотношением Dt=½fm. В этом выражении граничнуючастоту спектра fmможно найти как fm=1/tu. Таким образом, получаем Dt:
Dt=½fm=0.075мс
Такимобразом, мы получаем спектр Котельникова – дискретизованный сигнал, которыйвключает в себя две составляющих. Континуальный и дискретизованный сигналыизображены на рисунке.2.2.
Рисунок 2.2. — Континуальныйи дискретизованный сигналы.
3. Работав компьютерной лаборатории и обработка результатов
3.1. Прямоугольные импульсы
Для прямоугольного сигнала устанавливаемдлительность импульса tu=0,14мс, число отсчетов N=8 (на периоде) и частоту среза ФНЧ Fcp=4 кГц.
Рассмотрим амплитудно-частотную диаграмму(на рисунке 3.1). Спектр дискретизованного сигнала имеет периодическийхарактер, подобно лепесткам в групповом спектре прямоугольного сигнала, толькоздесь амплитуда этих лепестков не убывает.
Спектрсинтезированного сигнала содержит только один лепесток. Граничная частота вэтом спектре определяется частотой среза ФНЧ фильтра, которая в данном случаеравна 4 кГц. Спектральные составляющие, соответствующие этой и последующим частотам, не входят в рядКотельникова и не участвуют в процессе синтеза сигнала, так как ониотбрасываются фильтром. Следовательно, старшая составляющая дискретноголинейчатого спектра соответствует частоте 3 кГц. Погрешность синтеза сигналасоставляет 18,7%.
При изменениидлительности дискретзирующих импульсов (то есть, когда они отличны от нуля),периодический спектр станет квазипериодическим, так как при этом включаетсямножитель sin(x)/x.
Рисунок 3.1. — Исследованиепрямоугольного импульса
Далее, увеличим N и Fcp в 2 раза, то есть N =16 и Fcp =8 кГц. ФНЧ фильтр при этом начинаетпропускать больше высокочастотных составляющих в ряд Котель-никова, поэтомуколебания в восстанавливаемом сигнале становятся чаще. В частотном спектревосстанавливаемого сигнала появится еще один лепесток (толстые линии наспектре, рисунок 3.1), в который входят новые высокочастотные составляющие.Этот лепесток и совершает «вырез» сигнала в пике (см. рисунок 3.1).При этом абсолютная разность сигналов DS=|S(t)-SS(t)| уменьшается, что приводит к снижению погрешности.Погрешность синтеза в этом случае составляет 16,6%.
3.2. Импульсытреугольной формы
Рисунок 3.2. — Исследование треугольных импульсов
Выставляем впрограмме заданные параметры: tu=0,31 мс, N1=32, Fcp= N/2 = 16 кГц.
По аналогии с предыдущим пунктом, спектр дискретизованногосигнала имеет периодический характер. Увеличим число отсчетов N=40 и Fcp= N/2 = 20 кГц. Благодаря разнесению парциальных спектровувеличится граничная частота fm, лучше станет просматриваться форма спектра исходного треугольного импульсаи улучшится качество синтеза. Результат исследования импульсов треугольнойформы показан на рисунке 3.2. Иными словами, при увеличении числа отсчетов
N1 -> N2, сигналлучше восстанавливается, уменьшается погрешность восстановления: и при
3.3.Пилообразные импульсы
Выставиммаксимально возможную длительность импульса tu= 1 мс.Наблюдения проводились при N=8, Fcp=4кГц и при N=32, Fcp=16кГц. Как и в предыдущих колебаниях, в пилообразном импульсе наблюдаетсяпериодический характер спектра (см. рис.3.3). Кроме того, в этом типе сигналанаблюдается выброс — дефект Гиббса. Аналогично гармоническому синтезу, этотвыброс появляется в точках разрыва исходного сигнала. Непрерывные функции (внашем случае sin(x)/x) не могут восстановить подобный сигнал с большой точностью.
Рисунок 3.3. — Исследование пилообразных импульсов
Найдем аналитическое выражение для спектранапряжения пилообразной формы. Исходный сигнал выглядит как S(t)=E(t/tu). Требуется найти S(nDt), то естьдля t=nDt:
tu=NDt, а n — номер отсчета.
На основе сравнений с экспериментальнымии теоретическими значениями S(t), можносделать вывод о справедливости этой формулы.
3.4. Синусоидальное колебание
Установимчастоту среза Fcp=Fcpmin=1кГц и минимальное число отсчетов на период N=Nmin=2.При этом интервал между отсчетными точками находится из соотношения ½fm = Dt, где частоте fmсоответствует частота среза Fcp ФНЧфильтра. Отсюда получаем Dt=0,5 мс. Отсчеты приходятся на моменты времени t=0 и t=Т/2=0,5. В этих точках сигнал S(t)=sin(x) равен нулю, поэтому нидискретизации, ни восстановления сигнала не произойдет. При изменении фазы от p/6 до p/2,мы получим сигнал S(t)=cos(x). В точках t=0 и t=0,5 мс эта функция равна 1 (отлична от нуля), поэтомупроисходит восстановление cos(x).
Рисунок 3.4. — Синусоидальное колебание
Далее, позаданию, мы выставляем нечетное и избыточное число отсчетов N=25. В спектре дискретизованного сигналапоявляется «спектральный шум» дискретизации. Установив частоту Fcp=12 кГц=N/2, изменяем ее впределах от 10 до 14 кГц, добиваясь тем самым захвата восстанавливающимфильтром группы из 4-5 шумовых составляющих малой величины. Характер спектрапри этом полностью отражается формой восстанавливаемого сигнала. В его основе –синусоида, «обрамленная» высокочастотными флуктуациями – колебаниямималой амплитуды. Эти флуктуации вносятся спектральным шумом (высокочастотнымисоставляющими спектра с незначительной амплитудой), и их влияние на увеличениепогрешности минимально. Основной синусоиде соответствует низкочастотнаягармоника, и при ее исключении из синтеза мы как раз получим наш шум –высокочастотные колебания с незначительной амплитудой.
Увеличив частотусреза до 36 кГц, мы включим в синтез не только низкочастотную гармонику, но ипервую пару полезных высокочастотных составляющих дискретизованного сигнала(см. рис.3.4). Восстановленный сигнал представляет собой асимметричные биения,благодаря наличию НЧ- составляющей, которая модулирует ВЧ- составляющие.
3.5.Амплитудно-модулированное колебание
Рисунок 3.5 — Амплитудно-модулированное колебание
Число отсчетовравно N=25, частота дискретизации fд=1/Тд=N=25 кГц.Эта и кратные ей частоты будут являться центральными частотами парциальныхспектров. Каждый из этих спектров содержит по паре боковых составляющих (см. рисунок.3.5). Знаяих амплитуды, мы сможем определить коэффициент модуляции M.Амплитуда несущего колебания – центральной гармоники — A0равна 1 В,амплитуда соседних – 0,2541 В и 0,2479 В. Коэффициент модуляции М определяется по формуле
Найдем это значение:
1) М1 =2×0,2531=0,6062,
2) М2=2×0,2469 = 0,4938.
Таким образом, получили коэффициент модуляции М » 0,5…0,6.
Использование вданном пункте полосового фильтра влияет на следующие моменты (по сравнению спредыдущим – синусоидальным колебанием):
-
- fp, которая является ещеи несущим высокочастотным колебанием;
- М.
3.6.Радиоимпульсы
Устанавливаемпараметры исследования сигналов: tu=0,14 мс, N=32, fp=32 кГц. Теперьуменьшаем полосу пропускания Fпп от 2N до 1 кГц. При этом отсекаются соседние гармоники и остаютсясредние, близкие к fp. В спектре выделяетсячастота f0, имеющая максимальнуюамплитуду. При дальнейшем сужении ППФ выключаются и «стабилизирующие»гармоники с малой амплитудой – остается просто несущее колебание и восстановлениепроисходит не до конца. Их роль – коррекция сигнала на tuи обнуление сигнала за пределами tu, и их отсутствие только увеличиваетпогрешность. При условии захвата соседних составляющих (расширениеполосы пропускания) восстановленный сигнал искажается (появляется биение).
Рисунок 3.6 –Радиоимпульс.
4. Общие выводыпо лабораторной работе
Основныеположения дискретизации и восстановления сигналов, нашедшие подтверждение вработе, а именно:
— придискретизации сигнала, спектр егостановится периодическим. При этом, если длительности дискретизирующихимпульсов отличны от нуля, то спектр сигнала будет иметь квазипериодическийхарактер, так как включается множитель sin(x)/x.
— при применениитеоремы Котельникова важно правильно выбрать период дис-кретизации Tд. Вчастности, если Tд> Dt=½fm, то происходит необратимая деформа-ция спектра – наложениеспектральных составляющих друг на друга, при этом увеличивается погрешностьсинтеза. В случае, когда Tд Dt= ½fm,расходуется много энергии, поэтому на практике такое соотношение Tд и Dt также не желательно. Вреальных условиях, рекомендуемым соотношением является
— успешноереализация и использование в синтезе сигнала фильтра низких частот (ФНЧ)заключается в следующих его особенностях:
· sin(x)/x, так как он обладает импульсной характеристикой g(x)=sin(nx)/x;
· sin(x)/xна отсчетыS(nDt), благодаря свойствулинейности этого четырехполюсника;
·
— использованиетеоремы Котельникова в модулированных колебаниях позволяет ускорить процессдискретизации и восстановлении, так как она требует гораздо меньшее число отсчетов сигнала. Какследствие, упрощается аппаратная и программная реализация алгоритмов анализа исинтеза, основанных на этой теореме.