И. М. Смирнова, В. А. Смирнов
Однимиз направлений реформирования системы образования, широко обсуждаемых впоследнее время, является так называемая гуманитаризация математическогообразования. Существуют различные трактовки этого понятия.
Некоторыепонимают гуманитаризацию образования как увеличение доли гуманитарных предметови сокращение числа часов, отводимых на изучение предметов естественно-научногоцикла.
По-видимому,именно так понимают гуманитаризацию авторы новых учебных планов дляпедагогических университетов. В этих планах предполагается почти двукратноесокращение числа часов, отводимых на изучение математики. Конечно, это можетпривести к резкому снижению уровня подготовки учителей математики.
Другиепод гуманитаризацией математического образования понимают перенос акцента синформационной на развивающую функцию обучения математике, принимая за основнойтезис: не ученик для математики, а математика для ученика.
Приэтом подразумевается как самоочевидное, что отечественное математическоеобразование не уделяло должного внимания развивающей функции обучения, чтоученик был для математики.
Ито и другое неверно. Целью образования на протяжении многих десятилетий быловсестороннее развитие личности, воспитание активного строителя коммунизма.
Вместовсестороннего развития личности сторонники такой гуманитаризациипротивопоставляют информационную и развивающую функции обучения. Ученикпротивопоставляется математике.
Третьипод гуманитаризацией понимают приоритет здравого смысла при обученииматематике. Так, например, для обоснования ненужности развития логическогомышления при обучении математике в одной из докторских диссертаций, посвященныхпроблемам гуманитаризации, приводятся следующее высказывание М. М. Постникова:«Дедуктивное мышление составляет лишь небольшую долю среди прочих видовмышления. И требуется оно лишь ученым-теоретикам. Даже в прикладной математике дедуктивноемышление, как правило, мешает. Главную же роль в жизни играет мышлениерациональное или, иначе говоря, здравый смысл».
Конечно,из приведенного высказывания вовсе не следует вывод о ненужности развитиялогического мышления школьников. Так в младших классах школьников учатправописанию. Медленно и по определенным правилам дети учатся писать буквы. Вдальнейшем они пишут гораздо быстрее и не всегда придерживаются правилнаписания букв. Однако из этого не следует, что вообще не нужно учитьправописанию. Оно составляет основу, фундамент, на котором строится вседальнейшее обучение. Так же обстоит дело и с логическим мышлением. Оно неисчерпывает всего мышления, но составляет его основу.
Общимв перечисленных трактовках понятия гуманитаризации является сокращение числачасов, отводимых на изучение математики, снижение уровня математическогообразования.
Вывод,который из этого следует, состоит в том, что педагоги не могут найти путисовершенствования математического образования без снижения его уровня.
Отметим,что совершенствование системы математического образования не вызывает сомнения.Вопрос о том, каким быть математическому образованию в XXI веке, являетсячрезвычайно важным. Что может дать гуманитаризация математическому образованию?Ответ на этот вопрос окажет влияние на все будущее России.
Недостаткомпедагогических теорий по реформированию математического образования является ихнеконкретность и расплывчатость. Математикам самим следует заботиться осовершенствовании математического образования, привлекая для этогосоответствующие педагогические теории.
Так,например, на вопрос о том, каким быть курсу математики в педагогическихуниверситетах, нельзя ответить без привлечения преподавателей математикипедагогических университетов.
Запоследние годы проблемы математического образования в педагогическихуниверситетах существенно обострились.
Уровеньматематической подготовки абитуриентов понизился по объективным причинам. Еслираньше в школе было 8 часов математики, то сейчас только 5.
Учебныепрограммы по математике за последние 50 лет пересматривались только в сторонусокращения. Сейчас они уже не соответствуют современным требованиям.
Выпускникипедагогического университета недостаточно хорошо знают вопросы элементарнойматематики, плохо представляют состояние современной математики, практическинезнакомы с такими ее разделами, как функциональный анализ, дифференциальнаягеометрия, топология и др.
Хотелосьбы, чтобы курс математики в педагогическом университете отвечал современнымтребованиям, чтобы выпускники имели высокий общий культурный уровень в областиматематики, хорошо знали вопросы элементарной и школьной математики, былизнакомы с современными направлениями развития математики и ее приложениями.
Вопроссостоит в том, как этого добиться, каковы пути и резервы совершенствованияпреподавания математики в педагогическом университете.
Курсматематики в педагогическом университете состоит из двух компонентов:элементарной математики и высшей математики. С одной стороны, он не можеткопировать курс высшей математики мехмата МГУ, с другой ─ он не долженсводиться к курсу школьной или элементарной математики.
Впоследние годы часы на элементарную математику в педагогическом университетесущественно увеличились. Тем не менее, не все выпускники педагогическихуниверситетов хорошо решают школьные математические задачи.
Однимиз предложений по устранению этого недостатка является дальнейшее увеличениечисла часов, отводимых на решение школьных математических задач.
Мыне являемся сторонниками этого предложения по следующим причинам.
Причинойнедостатков в решении школьных задач является низкий уровень математическойкультуры некоторых студентов. Нужно не увеличивать время на решение задач, аповышать общий математический уровень.
Натренированностьв решении задач пропадает с течением времени. Пик ее имеет место припоступлении в университет. Затем она снижается, это не так страшно.
Здесьуместно такое сравнение: в институте физкультуры при подготовке тренера пофутболу студента не заставляют только играть в футбол, поддерживая спортивнуюформу, имеющуюся при поступлении, ему читают лекции, проводят практическиезанятия по изучению теоретических основ футбола. Тренеру по футболу необязательно иметь сильный удар по мячу или хороший дриблинг. Он должен знатьфутбол, понимать его и разбираться в нем.
Действительнымнедостатком обучения элементарной математике студентов педагогическогоуниверситета является сведение элементарной математики к решению школьныхзадач, недостаточное знание студентами теоретических основ и имеющейсялитературы по элементарной математике.
Вкурсе элементарной математики следует уделить больше внимания научно-популярнойматематике, которая может служить звеном между элементарной математикой исовременными разделами высшей математики.
Выпускникпедагогического университета, в отличие от выпускника МГУ, должен быть широкообразован в области элементарной и научно-популярной математики, знатьимеющуюся литературу по элементарной математике, книги и статьи внаучно-популярных журналах, которые можно было бы использовать при работе вшколе в качестве дополнительного учебного материала.
Вэтом истинный смысл гуманитаризации курса элементарной математики.
Вкачестве примера из элементарной математики приведем теорему о сумме угловмногоугольника.
Подавляющеебольшинство студентов математического факультета МПГУ знает, что сумма угловвыпуклого n-угольника равна 1800(n-2); умеют доказывать эту формулу, разбиваямногоугольник на треугольники проведением диагоналей из одной вершины.
Меньшеечисло студентов знают, что эта формула суммы углов справедлива и для невыпуклыхмногоугольников. Ее доказательство для этого случая знают буквально единицы.
Многиестуденты затруднялись ответить на вопросы о сумме углов звездчатогопятиугольника произвольной формы (необязательно правильного), о сумме угловзвездчатых семиугольников и т.д.
Никтоиз опрошенных нами студентов не знал общую формулу суммы углов для звездчатогоn-угольника
= 1800(n-2m),
гдеm — степень многоугольника, т.е. число полных оборотов, совершаемых точкой припоследовательном обходе сторон многоугольника.
Так,при обходе сторон звездчатого пятиугольника число оборотов равно двум и,следовательно, его сумма углов равна 1800. При обходе сторон звездчатыхсемиугольников число оборотов равно двум и трем и, следовательно, суммы угловэтих семиугольников соответственно равны 1800 3 и 1800.
Понятиестепени замкнутой ломаной, использованное в формуле суммы углов звездчатогомногоугольника, обобщается до понятий степени замкнутой кривой и степениотображения, которые являются одними из основных в современной алгебраическойтопологии.
Изкурсов высшей математики в педагогическом университете рассмотрим курсматематического анализа, являющийся одним из наиболее трудных для освоениястудентами, а успеваемость по нему — одна из самых низких.
Несмотряна довольно большое количество часов (6 в неделю в течение 4-х семестров (безтеории функций действительного и комплексного переменных)), качество знанийстудентов оставляет желать лучшего.
Попыткиоблегчить курс математического анализа привели к тому, что в последние годы изнего ушли наиболее сложные вопросы, среди которых: фундаментальныепоследовательности и критерий Коши; ряды Фурье; предел и непрерывностьотображений метрических пространств; дифференцирование отображений из Rn в Rm;поверхностные интегралы и многое другое.
Посколькуэто не помогло, некоторые предлагают и дальше идти по пути сокращенияизучаемого материала, фактически приближаясь к школьному курсу алгебры и началанализа.
Такимобразом, сложилась ситуация, при которой, с одной стороны, студенты испытываюттрудности в освоении классического математического анализа, а с другой ─мы не успеваем рассмотреть даже некоторые современные направления развитияматематического анализа, среди которых: функциональный анализ, вариационноеисчисление и др.
Тоже самое относится к курсам алгебры и геометрии. Так, например, из курсагеометрии полностью ушел раздел, касающийся дифференциальной геометрии итопологии, составляющий основу современного геометрического образования.
Мыне являемся сторонниками сокращения изучаемого материала по математическомуанализу за счет удаления из него наиболее сложных и, как правило, наиболееважных тем. Наоборот, студенты педагогического университета должны, помимохорошего знания классического дифференциального и интегрального исчисления,познакомиться с современными направлениями развития математического анализа иего приложениями. В отличие от курса для студентов МГУ здесь предполагаетсятолько знакомство, а не овладение современным математическим аппаратом.
Следуетне ограничивать, не сужать кругозор студентов, а дать им возможностьпознакомиться со всем богатством, накопленным человечеством в областиматематики. В этом и состоит смысл гуманитаризации курса математики впедагогическом университете.
Укажемнекоторые пути и резервы для решения этих проблем применительно к курсуматематического анализа.
Можноотказаться от доказательства некоторых теорем, носящих вспомогательный характерили вводимых по аналогии с ранее доказанными теоремами, перенеся их в разрядсамостоятельной работы.
Так,например, для самостоятельной работы можно перенести доказательство некоторыхарифметических свойств показательной, логарифмической и тригонометрическихфункций. Доказав теоремы о пределе суммы и произведения, аналогичную теорему определе частного можно отнести в самостоятельную работу.
Устранитьдублирование между курсами алгебры, геометрии и математического анализа.
Так,например, в курсе математического анализа можно несколько сократить время наизучение площади и объема, учитывая, что они изучаются и в курсе геометрии.
Использоватьтакие определения и формулировки, которые позволяют избегать сложныхдоказательств и в то же время расширяют область приложений.
Так,например, обычно в курсе математического анализа длина кривой определяется какпредел длин вписанных ломаных при стремлении диаметров разбиений к нулю.Доказательство того, что длина гладкой кривой выражается определенныминтегралом, чрезвычайно громоздко и проводится обычно только для случая, когдакривая является графиком функции. В общем же случае параметрически заданнойкривой формула принимается без доказательства.
Недостаткомтакого определения длины кривой является не только громоздкость доказательстваобщего случая, но и то, что этот способ не проходит при определении площадиповерхности и уж тем более для более высоких размерностей.
Другойспособ определения длины кривой основан на использовании бесконечно малых иопределенного интеграла как суммы бесконечного числа бесконечно малых величин.Гладкая кривая, заданная параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), t , представляется состоящей из бесконечно большого числабесконечно малых участков, соответствующих бесконечно малым приращениям dtпараметра t. Учитывая гладкость, каждый такой участок можно считать бесконечномалым отрезком, соединяющим точки с координатами (x,y), (x+dx,y+dy), длина dlкоторого вычисляется по обычной формуле
dl=/>
Длинаl всей кривой представляет собой сумму длин ее бесконечно малых участков.
Следовательно,
l=/>
Такойспособ позволяет избежать сложных доказательств, применим для введения понятияплощади поверхности, для нахождения некоторых физических величин (масса,статические моменты, координаты центра тяжести и др.). Сама формула и ееобоснование легко запоминаются.
Ещеодним понятием, требующим много времени и большого числа громоздкихдоказательств, является понятие определенного интеграла.
Обычноопределенный интеграл в курсе математического анализа определяется как пределинтегральных сумм. Доказываются свойства определенного интеграла, критерийинтегрируемости, интегрируемость непрерывной функции и, наконец, формулаНьютона-Лейбница, сводящая определенный интеграл к неопределенному.
Нампредставляется, что на первом курсе педагогического университета можноограничиться определением определенного интеграла через неопределенный поформуле Ньютона-Лейбница. Этого вполне достаточно для приложений и избавляет отнеобходимости доказывать свойства определенного интеграла, поскольку ониследуют из соответствующих свойств неопределенного интеграла. При этоминтегральные суммы могут быть использованы как средство приближенноговычисления интеграла. Более сложные вопросы интегрального исчисления можноотнести в курс теории функций действительного переменного, где рассматриваетсяинтеграл Лебега.
Многовремени в курсе математического анализа обычно уделяется отработке техникивычисления пределов, производных, интегралов, приближенных вычислений,построению графиков и т.д.
Результатыэтой работы не всегда оправдывают ожидания. Особенно это касается вычисленияпределов и интегралов. Уже на втором курсе, т.е. через год после изученияинтегралов, студенты многое забывают, теряют навыки вычисления, затрудняютсяпри нахождении интегралов от некоторых иррациональных функций. Это существенносдерживает и ограничивает возможности решения прикладных задач на вычислениеплощадей поверхностей, объемов тел, решение дифференциальных уравнений и т.д.
Выходомиз этого является не увеличение времени на отработку техники вычислений, аиспользование современных компьютерных средств, позволяющих находить пределы,суммы рядов, производные, интегралы, решать дифференциальные уравнения, получатьизображения кривых и поверхностей и т.д.
Кчислу таких средств, например, относятся программы Derive, Mathcad, Mathematicaи др. Их использование позволяет не только сократить время на отработку техникивычислений, но и существенно расширить и разнообразить круг решаемых задач,повысить интерес студентов к изучению математического анализа.
Следуетшире практиковать обзорные лекции по современным направлениям развитияматематического анализа, в которых студенты могут познакомиться с современнымсостоянием науки, ее методами и приложениями.
Всесказанное выше дает возможность не только не исключать из курса математическогоанализа его важные разделы, но и включить в содержание обучения некоторыесовременные направления его развития и приложения, расширить кругозор иповысить математическую культуру студентов педагогических университетов.
Список литературы
Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта www.yspu.yar.ru