Стиль- понятие, развивавшееся тысячелетия в искусстве, литературе, языке иозначавшее целостность образной системы, единство средств художественнойвыразительности. Например, в архитектуре известны стили — античный, готика,классический, барокко, модерн и другие. С 70-х годов XX в. в исследованиях поистории и методологии науки было введено и широко обсуждалось понятие стиля научногомышления.
Аналогичноможно говорить о стиле мышления в математике: это целостное единство содержанияи формы математического творчества и его результата — научного произведения;это единство идеи и ее доказательства (обоснования и изложения). Стиль являетсянеотъемлемой характеристикой личности автора и его математического творчества(под личностью здесь понимается отдельный ученый, сообщество, научная школа).
Каждыйвыдающийся математик отличался собственным стилем творчества, проявлявшимся вомногих произведениях. Для Пифагора и его школы характеренмистико-математический стиль, т.е. изотерическое мировоззрение, отрывки изкоторого выглядят для непосвящённого то как религиозное, то как философскоезнание. Для Демокрита — математический атомизм, ставший первым предвестникомдифференциального и интегрального исчислений. Для Евклида — строгопоследовательный, предельно лаконичный, я бы сказал, аскетический стильаксиоматики. Для Архимеда — гениальный своей простотой и смелостьюмеханико-геометрический стиль доказательств (во многом схожий скорпускулярно-механическим стилем И.Ньютона, понимавшего мир как совокупностькорпускул, движущихся по одним и тем же неизменным, раз навсегда установленнымзаконам). Стиль Архимеда и Ньютона возникает при восхождении мысли отсодержательного к формальному, от конкретно-физического кабстрактно-математическому уровню понятий.
Прямопротивоположен по направленности стиль Г.Лейбница, шедшего от философии кматематике, от философско-теологической модели бытия (монадологии) к болееконкретному уровню — анализу бесконечно малых.
Стильголографичен, т.е. узнаваем по отдельному произведению. Прочитав кусок издревнего текста об аксиомах и постулатах, мы сразу узнаем его автора — Евклида.Несколько страниц из книги XIX века об основаниях геометрии однозначно укажутна их автора — Н.И.Лобачевского, Я.Бойаи или Б.Римана. Поэтому и в математикеработает герменевтика — теория понимания, возникшая в типично гуманитарныхобластях — теологии, филологии, юриспруденции.
Стоитотметить известную мысль Ф.Клейна о двух типах математиков — интуитивистах иформалистах. Первые стремятся проникнуть в сущность проблемы и«увидеть» результат (путем озарения, инсайта), потом сформулироватьтеоремы и доказать. Но доказательство для них — дело второстепенное.
Длявторых наоборот: главное — доказать теорему — тщательно, скрупулезно, не толькоодним, но и вторым, и третьим способами, чтобы проверить и перепроверитьдоказанное, убедиться в получении «абсолютной истины».
Большинствовыдающихся математиков относятся к интуитивистам (в последние века — П.Ферма,Р.Декарт, Л.Эйлер, Н.И.Лобачевский, Б.Риман, А.Пуанкаре, Л.Брауэр, Г.Вейль идругие). Но немало известных ученых гармонично сочетали в своем стиле иглубочайшую интуицию, и строгую логику — Гаусс, например.
Можноговорить также о стилях, определяемых излюбленными методами математика, либосвязями с приложениями, либо истоками идей (из естествознания, управления,философии или даже политики).
Каквидим, стили чрезвычайно разнообразны и определяются неповторимым сочетаниемследующих трёх факторов:
1. Личностью учёного (егоодухотворённостью, эмоциями и интеллектом, памятью, волей, системой ценностей,преобладанием дискретных или непрерывных процессов в мышлении, нацеленностью наоткрытие, новизну или на обоснование ранее полученного знания, надоказательство, ориентацией на красоту идеи или на пользу и т.п.). Всё этосоставляет гуманитарную, субъективно человеческую и наиболее богатуюсоставляющую стиля.
2. Специфическимисвойствами математического знания (требованием его аподиктичности — доказательности и неопровержимости, трансцендентностью, умозрительностью иформально-знаковым характером, тремя фундаментальными структурами — арифметической, алгебраической, топологической, ориентацией на истину, а непользу, его связью с приложениями в естественных и гуманитарных науках). Это«объективная» составляющая стиля, наиболее независимая от личностиучёного.
3. Социально-культурнымконтекстом данного времени, определяемым: а) спецификой культуры — восточнойили западной; б) господствующим мировоззрением — мифологическим, религиознымили философским, а также ведущей ориентацией эпохи — на гармонию (как в древнейГреции), или на духовное совершенствование (как в средние века), или наматериально-технический прогресс (как в новое время, в последние четырестолетия), или на поиски гармонии человека и природы (с XXI века); в)нацеленностью научного сообщества в текущий период математики на эмпирическиеили теоретические методы обоснования теорем, на алгоритмический (генетический)или аксиоматический способы развития и изложения полученной информации, наконкретные или абстрактные задачи, на практический или теоретический способыорганизации математического знания и т.п.
Этитри фактора во взаимодействии и образуют необычайное богатство математическихстилей как единства формального и содержательного, духовного и материального,фантастического и реального, гуманитарного и естественнонаучного и другихэлементов знания.
Каковыже главные стили, как их классифицировать, систематизировать — по какимоснованиям?
Большинстволюдей мыслят в рамках двузначной логики, поэтому и стили мышления удобнее всегопредставить как расположенные между двумя противоположными полюсами А и -А (какаттракторами — центрами притяжения мышления самых различных ученых). Отсюдаестественно ввести классификацию стилей по линии противопоставления: 1)содержательный стиль — формальный стиль (или близкое к ним деление: конкретный- абстрактный стиль, частное — общее, имея в виду стремление одного ученого крешению конкретных задач, а другого наоборот — к построениюабстрактно-формальных схем и их применению к решению частных вопросов); 2)дискретный — непрерывный (в частности, алгебраический — геометрический), 3)платонистский — неплатонистский (в частности, классический, в духетеоретико-множественной математики, — интуиционистский, в духе интуиционизмаЛ.Э.Я.Брауэра). Кроме подобных делений с философско-методологических позиций,возможны гуманитарные классификации: 1) национальный — интернациональный,2)индивидуальный, неповторимый — повторяющийся, 3) временный, относящийся кданной эпохе — «вечный», внеэпохальный, 4) относящийся к определеннойматематической школе — «внешкольный» и т.п.
Рассмотримих подробнее на примерах сопоставления стилей отдельных ученых. Из сравнения ибудет видно — чей стиль более содержателен, чей более формален, болеенепрерывен или более дискретен.
СравнимИ.Ньютона и Г.Лейбница.
Областиих интересов в математике во многом сходны — это начала дифференциального иинтегрального исчислений, вариационного исчисления, аналитическая геометрия. Нопостановка проблем, формулировка задач, подходы к их решению, методы решения,философия и особенности мышления — различны и нередко противоположны.
Ньютонво всем основателен, фундаментален, требователен к себе — вследствие этогомедлителен. Лейбниц гораздо более разбросан и тороплив. Получив результат,спешит опубликовать. Англичанин эмпиричен, строит приборы, проводит тщательнуюпроверку выводов, стремится избегать гипотез, не обоснованных опытом(«hypotesis non fingo»). Немец — сторонник чистого умозрения,теоретик, не слишком затрудняющий себя обоснованием многочисленных идей(догадок, обобщений, аналогий), непрерывно выдвигаемых им. Ньютон идет отконкретного к абстрактному — от фактов к законам и теории в целом, математикадля него — лишь часть естествознания. Лейбниц обычно мыслит от общего кчастному, от абстрактного к конкретному — от философской схемы монадологии к ееинтерпретации в математике — идеям дифференциала и интеграла. Математика илогика для него — нечто вроде формального раздела философии. Создатель«Математических начал натуральной философии» мыслит целостнымигеометрическими образами, ему по душе правополушарное мышление, мышлениенепрерывным. Основоположнику математической логики ближе алгебраические формы,дискретные символы, левополушарное мышление
Такимобразом, хотя стиль каждого ученого глубоко индивидуален, а выдающегося — просто неповторим, тем не менее можно сделать вывод, что стиль Ньютона в основномгеометро-механический, а стиль Лейбница -алгебро-логический. Это вполнесоответствует и культуре их стран. Англия, как известно, родина эмпиризма,оплот индуктивизма и индивидуализма. Германии же более присуще чистотеоретическое, формально-схематическое мышление, движение мысли от абстрактногок конкретному, а следовательно — дедуктивизм, стремление подчинитьиндивидуальное, частное — тоталитарному целому.
Сходнымобразом, можно сравнить стили мышления Д.Гильберта и Л.Э.Я.Брауэра. Онизаложили 2 программы обоснования математики — формализм и интуиционизм.Сходство и различие их стилей (как специалистов по основаниям) легче всегообнаружить при сравнении позиций в дискуссии по основаниям математики, котораяпроходила то разгораясь, то затухая в 1910-е — 20-е годы. Обсуждалось значениетеории множеств для математики, роль аксиоматического метода, формализации,абстракции актуальной бесконечности, законы логики (в особенности законисключенного третьего), связи между математикой, языком, логикой, существованиематематических объектов, природа и методы математического мышления, проблемареальности.
Брауэркритикует классическую (теоретико-множественную) математику занеобоснованность, неубедительность ее слишком умозрительных, «лихих»абстракций. Гильберт защищает идеалы Кантора. Брауэр опирается в качествефилософского фундамента на «непосредственно данную реальность», напереживания индивида — в этом смысле ему близки буддизм, экзистенционализм,философия потока сознания. Гильберт берет за основу объективную реальность,данную в коллективном чувственном опыте. Его философия — платонизм инеокантианство.
Вдискуссии обсуждались 5 главных проблем: 1) проблема непротиворечивости иполноты теории (математики), 2) обоснования теории, 3) существования математическихобъектов, 4) природы познания, 5) реальности и ее единства.
Проблеманепрерывности и полноты.
Брауэр:классическая математика противоречива, т.к. опирается на теорию множеств,содержащую парадоксы. Новая (интуиционистская) математика рассматривает мирмысленных процессов, развертывающихся в последовательность элементарных актов(шагов). Результаты этих процессов — математические объекты и конструкции.
Гильберт:классическая математика непротиворечива, ее теории полны, т.к. а) ееконструкции продуманы и признаны математическим сообществом, б) она прекрасноработает в практике. Бессмысленна замена классической математики наинтуиционистскую, т.к. последняя неполна, это обрезанная (секвестированная)математика.
Проблемаобоснования.
Брауэр:только такая математика обоснована, которая соответствует критерияминтуиционизма как конструктивному обобщению человеческого опыта.Аксиоматический метод и формализация не выражают сущности математическогомышления, т.к. скрывают за языковой формой эту сущность. Убедительноеобоснование математики дает лишь интуиция как непосредственное внутреннеебезъязыковое переживание образов, идущих из глубины «я». Лишь потребованию социума ученый вынужден облекать эти образы в языковую форму и темискажать их (в точности, как у Ф.И.Тютчева: «мысль изреченная естьложь»). У Гильберта же математика вырождается в игру формулами.
Гильберт:классическая математика обосновывается коллективным опытом научного сообщества.Окончательное обоснование даст теория доказательств. Она является«протоколом о правилах мышления». Ее существенной частью являютсяформализм и аксиоматический метод. Задача науки — освобождение отсубъективизма, который достиг своего наивысшего выражения в интуиционизме.
Проблемасуществования математического объекта.
Брауэр:математический объект существует, если он построен явно или его построениевозможно с помощью алгоритма. Теоремы о существовании без построения не имеютникакого значения.
Гильберт:объект существует, если он непротиворечив. Доказательсва существованиясокращают и экономят мысль. Они всегда были вехами математического прогресса.
Проблемаприроды мышления.
Брауэр:математическое мышление опирается на интуицию (прежде всего интуицию времени,интуицию раздвоения единого). Существуют исходные принципы мышления, но онилишь результат свободного творения математика-индивида. Изначальноматематическое исследование не зависит ни от языка, ни от логики. Главный методмышления — интроспекция. Обыденное знание выше формального. Существуютнеразрешимые проблемы.
Гильберт:математическое мышление основано на интеллектуальной ясности. До математики мыимеем опытные представления, конкретные объекты. Математика начинается сознаков, обозначающих эти объекты, и с логики, дающей надежные выводы.Математика интерсубъектна (является результатом коллективного творчества) и,вообще говоря, объективна (в платонистском смысле). Формальное знание вышеобыденного. Мир познаваем, все математические проблемы в принципе разрешимы.
Проблемареальности и единства мира.
Брауэр:реальность — это сознание индивида, это образы, мыслеформы, восходящие отвнутренней сферы к внешнему миру. Это субъективная реальность. Существует лиобъективная реальность, единая для всех индивидов, — открытый вопрос.
Гильберт:существует объективная реальность, данная нам наглядно, в качестве чувственныхпереживаний до какого то ни было мышления. Единство мира проявляется вматематике как универсальном языке, раскрывающем сущность мира.
Какмы знаем, в споре не оказалось победителя. Интуиционистская итеоретико-множественная математики дополняют друг друга.
Гильберти Брауэр работали в различных областях. Гильберт ясен, последователен, логичен.Более склонен к формальному мышлению, что особенно видно на теориидоказательств. Он платонист и кантианец. Его стиль можно назватьформально-платонистским. Это господствующий стиль, т.к. абсолютное большинствоматематиков — платонисты.
Брауэрже пытался оторваться от платонизма, порвать с античной традицией математиковоперировать идеальными объектами подобно материальным предметам. Отсюдавпечатление противоречивости. Хотя с точки зрения классически мыслящего ученогоон действительно противоречив: работал и теоретико-множественными методами (втопологии), и интуиционистскими, создавая принципиально новую неплатонистскуюматематику.
Определеннымисдвигами в неплатонистском направлении стали также конструктивизм, теориякатегорий, некоторые теории в логике. Действительно, если радикализироватьпозицию Брауэра, высказать её ещё яснее убрать из его философско-математическихвысказываний натуральные числа, то останется только алгоритм. Тогда не важноЧТО преобразуется, а важно КАК (само преобразование). По идейному подходу этоблизко к теории алгорифмов, -исчислению А.Черча, теории категорий. В одном изнаправлений конструктивизма — теории алгорифмов А.А.Маркова (мл.) главное — само преобразование, но алгорифм понимается платонистски. Однако уже-исчисление, метафорически выражаясь, логика без переменных. Теорию категорийЮ.И.Манин назвал социологическим подходом, т.е. это как бы структуры безэлементов, на что первым обратил внимание Ф.У.Ловер.
Вчём состоит неплатонистский стиль мышления?
в преодолении мышления целостными«недвижными» понятиями, подобными языковым формам или материальнымвещам, и утверждении мышления движущимися образами, становящимися мыслеформами,следовательно, переходными, дробными объектами — фракталами; оперирование имитребует и неплатонистской логики — мышления как бы дробными понятиями,суждениями, умозаключениями;
в отказе от классической тройки: элемент,структура, система, и утверждении системы без элементов, но со структурой(законом);
в отказе от субъект-объектного расщеплениябытия, признании его ограниченности и в утверждении единого бытия, в которомслиты объект и субъект.
Подобнотому, как в начале ХХ века в естествознании возникла неклассическая наука, а кконцу века — постнеклассическая, также возникла неклассическая математика(интуиционизм), а позже стала развиваться постнеклассическая (например,фрактальная геометрия). Их отличие — в сдвиге к картине мира, в которой вматематическое знание включён идеальный мыслящий субъект, в отказе от жёсткойструктурности (как в теоретико-множественной картине). Есть классы и структура,но нет элементов. Это предполагает предельно высокий уровень абстрактности(отсюда у конкретно мыслящих математиков возникает ощущение пустоты категорныхформ).
Неплатонизмпредполагает мышление самоподобными объектами — фракталами. Их странность втом, что невозможно выделить части (они совпадают с целым) — у них нетструктуры как связи элементов. В то же время есть закон. Например, это формулаБ.Мандельброта: Zn+1 = Zn2 + C.
Такимобразом, интуиционизм, метаматематика, фрактальная геометрия образуют зачаткинеплатонистской математики — области свободно становящихся объектов,относительно которой возникает ощущение, что в ней НЕТ классических(теоретико-множественных) понятий, или их может не быть — они уходят на второйплан. В то же время и здесь ЕСТЬ неизменные идеальные объекты, например, алгоритм,фрактал (как формула, организующая его, или соответствующая геометрическаякартинка, мыслимая как завершённое целое) — но это при платонистскойинтерпретации, тогда исчезает специфика неплатонизма, его шарм, брауэровскийпривкус.
Мыполучаем противоположности, отрицающие друг друга (НЕТ и ЕСТЬ) — с точки зрениядвузначной логики.
Учёномуже, стремящемуся к мудрости (философу), необходимо преодолеть ограниченностьдвузначности — подняться над противоположностями и, следовательно, искать МЕЖДУ«существует» и «не существует», то есть, в областистановления — именно здесь область роста постнеклассической математики.
Этаобласть заполнена одними лишь монстрами — странными объектами, подобно кентаврусовмещающими в себе взаимоисключающие свойства, например, наличие структуры приотсутствии элементов, неподвижность и вечное движение, живость и мертвенность — как фракталы, а также непрерывность при недифференцируемости, конечностьплощади при бесконечности периметра — как давно открытые некоторые функции и фигуры.Причём исторически первый монстр — это иррациональные числа (VI в. до РХ). Вгармонической картине мира древних греков этих чисел как бы нет, и в то жевремя они налицо — как диагональ квадрата.
Наединичном отрезке прямой рациональные числа (вида m/n) образуют множество меры0 (их почти нет), а иррациональные — меры 1 (это почти все числа). Подобным жеобразом почти всё, что есть во всей математике как мире всех возможных миров — это монстры, а прекрасные гармоничные непротиворечивые понятия образуют множествомеры 0. Это наилучший из всех возможных миров. Это наш мир, посколькучеловеческий род в принципе прекрасен и может устойчиво существовать (жить)лишь в окружении прекрасного. Так монадология Лейбница и антропный принципсходятся в хаосе — промежуточной области вечного становления, между«да» и «нет». Хаос здесь уступает своей творящей стороной.
Такимобразом, сравнивая Гильберта и Брауэра, мы видим, что неплатонистский стильпоследнего отрицает оперирование «ставшими», неподвижными формами иведет к математике «абсолютно текучего», в котором нет целых понятий,но (гипотетически) возможны фрактальные — дробные понятия, суждения,умозаключения. Философией, наиболее близкой к такой — синергетической трактовкеБрауэра, является даосизм как учение о становящемся, но никогда не ставшембытии.
СтильБрауэра (как основателя интуиционизма) можно назватьинтуиционистско-неплатонистским, (предшествующим синергетическому стилюмышления). Жизнь=математика=музыка=искусство — все слилось в егопротиворечивой, мятущейся и мятежной душе отрицателя основ, стремящегося кЕдиному, понимаемому в духе восточной философии. Известные слова Бюффона«Человек — это стиль» (как в быту, так и в науке) относятся ко всемописанным ученым. В частности, манера поведения, особенности личной жизниБрауэра коррелируют с его поисками неплатонизма в математике.
Подобныепары математиков, дискутировавших или параллельно совершавших одни и те жеоткрытия и отличавшиеся стилями, неоднократно встречаются в истории науки, начто обращает внимание И.М.Яглом 8. Он обращает внимание на универсальностьдвух типов мышления: левополушарного и правополушарного,арифметико-алгебраического и геометрического. Именно этим отличаются Пифагор иФалес (как создатели теоретической математики), Аристотель и Платон(разработчики философии математики, один — создатель логики, второй — егоучитель, мысливший яркими картинками), Я.Бойаи и Н.И.Лобачевский (создателинеевклидовых геометрий), Г.Грасман и У.Р.Гамильтон (внешняя алгебра икватернионы), К.Вейерштрасс и Б.Риман (алгебраическая теория функций игеометрическое направление теории аналитических функций), С.Ли и Ф.Клейн(теория групп) и другие.
Лево-и правополушарный типы мышления обусловлены спецификой физиологии человеческогомозга, лежат в основе и соответствующих стилей. Если согласиться с Бюффоном,что стиль несёт в себе индивидуально-личностный привкус, то:
стиль= тип + индивидуальность.
Такимобразом, среди гигантского количества стилей можно выделить главные иклассифицировать их по парам противоположностей:
содержательный — формальный (близкоеделение: конкретный — абстрактный);
дискретный — непрерывный (близкое деление:арифметико-алгебраический — геометрический);
платонистский — неплатонистский(исторически-преходящее деление: теоретико-множественный — интуиционистский),как мышление дискретными целостными понятиями и мышление переходными, дробными,фрактальными мыслеобразами.
XXвек впервые после великих греков через интуиционизм, конструктивизм,метаматематику, теорию категорий, фрактальную геометрию обозначил отход отгосподствовавшего тысячелетия платонистского стиля. Списоклитературы
1. Клейн Ф. Лекции оразвитии математики в XX столетии. М.-Л., 1937. ч. 1. -432 с.
2. Вейль Г.Математическое мышление. -М., 1989. -400 с.
3. Гильберт Д. Основаниягеометрии. -М.-Л., 1948. -491 с.
4. Рид К. Гильберт. -М.,1977. -307 с.
5. Гейтинг А.Интуиционизм. -М., 1965. -200 с.
6. Панов М.И.Методологические проблемы интуиционистской математики. -М., 1984. -224 с.
7. Манин Ю.Н. Лекции поалгебраической геометрии. -М., 1970. -ч.1. Аффинные схемы. -133 с.
8. Яглом И.М. Почемувысшую математику открыли одновременно Ньютон и Лейбниц? // Число и мысль. Вып.6. М; 1983. С. 99-125.
9. Войцехомич В. Э. Господствующие стилиматематического мышления