Введение
Тема реферата«Статистические методы оценки прочности пластмасс».
/>Прочность пластических масс и изделий из них определяетсямаксимальной нагрузкой или максимальным напряжением, которые образец илиизделие могут выдержать без разрушения. Прочность зависит от вида пластмассы иопределяется путем специальных физико-механических испытаний. Однако в отличиеот традиционных конструкционных материалов испытания пластмасс даютдополнительный разброс показателей. Он объясняется суще6ствованием двух видовпогрешностей: 1) систематических и 2) случайных. Систематические погрешностиможно выделить и учесть при оценке прочности, так как их существование связанос малой точностью используемых методик и приборов. Случайные погрешности учестьочень трудно, так как нельзя предусмотреть заранее, в каком месте образца илиизделия появится слабое место. Случайные погрешности возникают вследствие нерегулярногостроения, неоднородности, наличия ослабленных мест и дефектов в структуре.Такие ослабления вызывают неравномерность распределения напряжений,концентрацию напряжений на микродефектах, что ведет к возникновению очагаразрушения и последующему разрыву.
Случайныепогрешности учитываются с помощью закономерностей теории вероятности.Экспериментальные данные принимают как случайные величины, т.е. такие величины,которые могут принимать те или иные значения в зависимости от причин, неучитываемых заранее. Для оценки ряда результатов испытаний одного и того жематериала используется статистическая обработка данных. Полученныестатистические характеристики позволяют сделать правильное суждение ополученных данных.
1. Статистические характеристики
1) Среднее арифметическое значение случайной величины:
/>x = (x1+x2+x3+۰۰۰+xn) = (Σ xi) / n,
где n – количество наблюденийв выборке.
2) Эмпирическоесреднеквадратическое отклонение:
Sn= √ Σ(xi – x)2 / (n-1)
Беретсятолько положительное значение.
3) Дисперсия:
/>/>Dn = Sn2 = Σ(xi – x)2 / (n-1)
Если n > 50, то (n-1) можно заменить на n.
4) Доверительный интервал:
/> x – x ≤ Sn / √n ∙tα(n),
где х – среднее значение величины для бесконечно большогочисла измерений (генеральной совокупности);
tα(n) – коэффициент Стьюдента,значения которого выбираются из таблиц в зависимости от числа наблюдений n и доверительнойвероятности α.
5) />Коэффициент вариации:
/>νх = Sn/х · 100% или νх= Sn/х
2. Оценка прочностипластмасс с помощью вероятности разрушения по Серенсену
Основнымиусловиями обеспечения прочности любого материала являются:
Понапряжениям n = σраз/σmaxэкв ≥ [n]
По нагрузкам n = R/Q ≥ [n],
где n – запас прочности;
σраз – разрушающеенапряжение;
σmaxэкв – максимальноеэквивалентное действующее напряжение;
R – разрушающая нагрузка;
Q – действующая нагрузка;
[n] – допускаемый запаспрочности.
В основеоценки лежат:
1)статистическая природа прочности пластмассы;
2)возможность вероятностного распределения действующих нагрузок и напряжений.
Это позволяетпостроить графики плотностей вероятности распределения Р(х) по действующемунапряжению σ и пределу прочности σв. При этом запасстатистической прочности будет равен:
n = σв / σmax.
Считаем, что σви σmax известны. В точке А кривые распределения нагружающих иразрушающих напряжений пересекаются и, если одновременно σ > σАи σв
Вероятностьразрушения по Серенсену в предположении независимости событий:
Рраз= Р (σ > σА)·Р(σв
где S – площадьзаштрихованного участка.Вероятностьтого, что случайная величина σА будет меньше заданного значенияσ, равна:
Р (σ >σА) = ½ + Ф[(σА – σ) / Sд],
где Ф –табулированная функция Лапласа;
Sд – среднее квадратическоеотклонение действующего напряжения.
Табулированнаяфункция Лапласа равна:
2
/>Ф[(σА – σ)·/Sд] = 1/√2π · ∫е-1/2ξ ·dξ
где ξ = (σА-σср)/ Sд; dξ = dσА / SдВероятностьтого, что случайная величина σА будет больше заданного значенияσв, равна:
Р(σв
где Sв – среднее квадратическоеотклонение разрушающего напряжения.
Впредположении того, что закон распределения случайных величин нормальный, можнозаписать:
Рраз= {½ + Ф[(σА – σ)/Sд]}· {½ – Ф[(σА– σв ср)/Sв]}
Плотностьраспределения при нормальном законе распределения равна:
/>22
Р(х) = 1/(S·√2π)· e– (x-xср) /2SДляточки А величина σ может быть найдена из равенства:
2 2 2 2
1/Sд·e-(σА-σср) / 2Sд = 1/Sв·e-(σА-σвср) / 2Sв
или Zд2 – Zв2 = -2 ln(Sд/Sв),
где Zд = (σА-σср)/ Sд; Zв = (σА-σвср)/ Sв.
Величины Zд и Zв называютсянормированными отклонениями.
Последнееуравнение решается относительно σА. Затем определяется Рраз,представляющее условную величину. Эта величина должна сопоставляться сизвестными предельными значениями, которые устанавливаются экспериментально наоснове опыта эксплуатации подобных конструкций.
Через Рразможно найти коэффициент надежности Н:
Н = lg (1/Pраз)
Рраз= 1 – Рнер; Рнер = 1 – Рраз
Привероятности неразрушения Рнер, равной 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999,соответственно Н равно 1; 2; 3; 4.
3. Статистическаяоценка прочности пластмасс по нагрузкам
Тимофеев Е.И.показал, что из-за недостаточной однородности и стабильности механическихсвойств пластмасс расчет по средним значениям нагрузок следует вести с учетомвероятности снижения прочности вследствие релаксации и неоднородности.
Изделиесчитается прочным, если действующая нагрузка Q меньше разрушающей R:R – Q > 0
Вероятностьтакого события определяет надежность изделия:
α = Вер[(R – Q) > 0]
Обозначимразность нагрузок через Х:
Х= R – Q
Тогда, сучетом того, что Х подчиняется нормальному закону распределения с плотностьюР(Х), среднее значение Х равно:
Х0= R0– Q0
Стандартноеотклонение:
Sx = √ SR2 + SQ2
Надежность:
2 2
α = Вер(Х > 0) = P(X)·dX = 1/(S·√2π)·∫e-1/2·((x-xср) /Sx) ·dx
С учетомнормированной функции Лапласа:
α =Ф(У),
где У = X0 / Sx (У берется из таблиц взависимости от заданной вероятности).
Послеподстановки уравнений и деления числителя и знаменателя на Q0получим:
У = (R0/Q0– 1) / √SR2 / Q02 + SQ2 / Q02
Введемобозначения:
n0= R0/ Q0– средний наиболеевероятный запас прочности;
νR = SR / R0; νQ = SQ / Q0– коэффициенты вариацииразрушающей и действующей нагрузок.Тогда:
У = (n0 –1)/√ n02·νR2 + νQ2
Для трубы приr >> h, где r – радиус, а h – толщина стенки,принимают:
νR= √ νв2+ νh2
Пользуясьспециальными таблицами для Ф(У), после вычисления функции У можно определитьзапас прочности по средним значениям нагрузок или надежность по выбранномусреднему коэффициенту запаса прочности. Определение функции У позволяет такжеисследовать влияние на надежность величины статистического разброса разрушающихи действующих нагрузок.
Статистическиеметоды позволяют дать оценку влияния на надежность пластмассовых изделийтемператур, агрессивных сред, усталости, климатических факторов и т.д.
Например, поэкспериментальным данным нагрев до 60 0С приводит к снижению пределапрочности при растяжении для стеклотекстолита КАСТ-В на 10%, пресс-материала АГ-4С– на 35 – 40%, пресс-материала АГ-4В – на 20%.
Если трубаизготовлена из АГ-4С, и σв = 9,75 МПа; σд = 5,1МПа; νR = 0,095; νд = 0,3, то:
n0= 9,75 / 5,1 = 1,91
/>У = (1,91 – 1) / √ 1,912·0,0952+ 0,32 = 2,5
По таблицедля У = 2,5 находим α = 0,9938 или 99,38%.
При нагреведо 60 0С:
n0= 0,6·9,75 / 5,1 = 1,147
/>У = (1,147 – 1) / √1,1472·0,0952 + 0,32 = 0,445
По таблицедля У = 0,445 находим α = 0,672 или 67,2%.
Количественнаяоценка надежности показывает, что такое изделие эксплуатировать нельзя.
Повышениянадежности можно достичь за счет улучшения прочности материала илиусовершенствования технологии изготовления изделий, приводящих к понижениюкоэффициента вариации νв.
/>Из уравнения для У можно определить запаспрочности:
n0= (1 + У·√νR2 + νQ2 – У2·νR2·νQ2) / (1 – У2·νR2)
4. Оценка эксплуатационныхсвойств пластмасс по критерию эффективной удельной прочности
Примем заусловный вес конструкции изделия вес, приходящийся на единицу длины l и единицу действующейнагрузки Q.
q´усл = q/ (l·Q),
а за единицупрочности примем величину:
kв = l·R / q,
где R – разрушающая нагрузка.
Из этихуравнений выводим:
q´усл = n / kв
Условныйнаиболее вероятный коэффициент запаса прочности с учетом вариации поперечногосечения изделия равен:
/>n0= [1 + У·√νв2 + νF2 + νQ2 – У2 ·νQ2 ·(νв2 + νF2)] / [(1 – У2·(νв2 + νF2)]
Тогда можнозаписать, что средняя наиболее вероятная прочность материала равна:
k0σ = σв0 / γ,
где γ– удельный вес материала.
Пусть q0усл ´= n0/ k0σ.
Послеподстановок получим:
/>q0´усл = 1/ k0σ·[(1-У2·(νв2+νF2)] / [1+У·√νв2+νF2+νQ2–У2·νQ2 ·(νв2+νF2)]
Знаменательэтой формулы называют критерием эффективной удельной прочности материалов:
/>
k´0σ = k0σ · [(1-У2·(νв2+νF2)] / [1+У·√νв2+νF2+νQ2–У2·νQ2 ·(νв2+νF2)]
Из уравнениявидно, что k´0σ учитывает неоднородностьматериала (νв), вариацию действующих напряжений (νQ), рассеивание размеров (νF) и заданную надежность α= Ф(У).
Упростивуравнение и приняв, что νQ = νF = 0, получим:
k´0σ = k0σ ·(1 – У· νв)
Оценкаконструкционных свойств пластмасс по критерию эффективной удельной прочностипоказывает, что пластмассы резко отличаются по степени однородности. Изреактопластов наиболее неоднородны АГ-4С, АГ-4В, из термопластов – полиамиды 6и 66. Если же перерабатывать пластмассы при оптимальных строго регулируемыхрежимах, то k´0σ имеет примерно равныезначения при любых степенях надежности (У = 2, 3, 4). Это свидетельствует отом, что качество изделий при этих условиях, их прочностные свойства иоднородность изделий значительно улучшаются.
Заключение
В процессенаписания реферата мы ознакомились со статистическими методами оценки прочностипластмасс; оценкой прочности пластмасс с помощью вероятности разрушения поСеренсену; статистической оценкой прочности пластмасс по нагрузкам и оценкой эксплуатационныхсвойств пластмасс по критерию эффективной удельной прочности.
Литература
1. Альшиц И.Я. и др.Проектирование изделий их пластмасс. – М.: Машиностроение, 1979. – 248 с.
2. Зенкин А.с. и др.Допуски и посадки в машиностроении. К.: Техніка, 1990. –320 с.
3. Штейнберг Б.И. и др.Справочник молодого инженера-конструктора. – К.: Техніка, 1979. – 150 с.
4. Лепетов В.А., Юрцев Л.И. Расчети конструирование резиновых изделий. М.: Химия, 1987. – 408 с.