КУРСОВАЯРАБОТА
по дисциплине: «Теория автоматического управления»
Уфа 2011
ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮРАБОТУ
Вариант 16Схема k1 k2 k3 k4 k5 T1 T2 T3 T4 T5 ξ (а) 4 1.5 4 2 0.7 0.4 0.3 0.5 0.15 0.9 0.5
Схема а:
/>
Для структурной схемыСАУ, соответствующей выбранному варианту, выполнить следующие действия:
1) Определитьпередаточную функцию разомкнутой системы, привести ее к стандартной формезаписи. Определить степень астатизма системы.
2) Определитьамплитудно-фазовую, вещественную и мнимую частотные характеристики.
3) Построитьгодограф АФЧХ разомкнутой системы.
4) Найти выражениядля асимптотической ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы.
5) Построить вмасштабе ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы.
6) Определитьустойчивость замкнутой САР с помощью критерия Найквиста и логарифмическихчастотных характеристик.
7) Найти запасыустойчивости системы по фазе и амплитуде.
8) Записатьвыражение для передаточной функции замкнутой системы и проверить выводы пункта6 с помощью алгебраических критериев Рауса и Гурвица.
9) Проверить выводыпункта 6 с помощью частотного критерия Михайлова.
10) Найти коэффициенты С0,С1, С2 ошибок системы.
11) Построить с помощьюЭВМ переходную функцию замкнутой системы и оценить основные показатели качестварегулирования (перерегулирование, и время регулирования) в системе.
передаточныйастатизм амплитудный голограф
1. Передаточная функция разомкнутойсистемы
Упростим схему.
/>
Где
/>; />; />; />; />; />.
Перенесем сумматор.
/>
Затем упростим.
/>
Где
/>; />
/>
Где
/>; />
/>
Где
/>
/>;
/>; />; />; />; />.
/>;
/>;
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Степень астатизмаν=0. Коэффициент передачи К=1.71. Постоянные времени: Т1=0.15,Т2=0.23, Т3=0.23, Т4=0.4, Т5=0.39,Т6=0.34, ξ=0.24.
2. Частотная передаточнаяфункция системы (s→jω)
/>
/>
/>
Особые точки АФЧХприведены в таблице 1.
Таблица 1.ω 2,85 ∞ P(ω) 1.71 Q(ω) -2.46
3. Годограф АФЧХразомкнутой системы
Годограф (рисунок 1) приω=0 начинается на положительной вещественной полуоси. При ω→ ∞через четвертый и третий квадранты стремиться к нулю. Пересекает при ω=0вещественную ось в точке (1,71;j0) ипри ω=2,85 пересекает мнимую ось в точке (0;-j2.46).
/>
Рисунок 1.
4. Асимптотическая ЛАХ иЛФХ
Асимптотическая ЛАХ:
/>
Асимптотическая ЛФХ:
/>
/>
5. Построение в масштабеЛАХ и ЛФХ системы
1) Значение ЛАХ приω =1 равно 20lgK, где К –коэффициент передачи разомкнутой системы. К=1,71, значит ЛАХ пересекает ось L(ω) на уровне 4.66.
2) Степень астатизмасистемы ν =0, следовательно наклон самой низкочастотной асимптоты равен 0дБ/дек.
3) Таблица значенийсопрягаемых частот.
Таблица 2.Т 0.4 0.39 0.34 0.23 0.23 0.15 ω 2.5 2.56 2.94 4.35 4.35 6.67 Изменение наклона (дБ/дек) -20 -20 -40 +20 +20 +20
Асимптотическая ЛАХ,построенная от руки (схематично) по информации из таблицы 2 показана на рисунке2.
/>
Рисунок 2.
На рисунке 3 показаны вмасштабе ЛАХ и ЛФХ системы, построенные с помощью ЭВМ.
/>
Рисунок 3.
6. Устойчивость замкнутойСАУ с помощью критерия Найквиста и логарифмических частотных характеристик
Степень астатизма системыν=0 и характеристический полином разомкнутой системы имеет все корни влевой половине комплексной плоскости, то критерий Найквиста будет следующим:Для того чтобы замкнутая САУ была устойчивой необходимо и достаточно, чтобыгодограф амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы не охватывалточку с координатами (-1; j0).
На рисунке 4 изображенгодограф АФХ. Он не охватывает точку (-1; j0), следовательно, замкнутая система будет устойчивой.
/>
Рисунок 4.
7. Запасы устойчивости пофазе и амплитуде
Как видно из рисунка 4годограф не пересекает отрицательную вещественную полуось, следовательно, запасустойчивости по амплитуде 100%.
Рассчитаем запасустойчивости по фазе:
Найдем ωср(частотусреза) из условия A(ω)=1
/>
/>
/>
/>
ωср=3,924с-1
/>
/>
Таким образом запас пофазе составляет 39,230.
Передаточная функциязамкнутой системы может быть найдена по следующей формуле
/>
/>
/>
/>
Характеристическийполином системы:
/>
/>
Определение устойчивостизамкнутой системы методом Рауса.
/>
Таблица Рауса.
a0
a2
a4
a1
a3
a5=0
C13=a2-τ3a3
C23=a4-τ3a5
C33=a6-τ3a7
τ 3 =a0/a1
C14=a3- τ4C23
C24=a5- τ4C33
C34=0
τ 4=a1/C13
C15=C23-τ5C24
C25=C33-τ5C34
C35=0
τ 5=C13/C14
C16=C24-τ6C25
C26=C34-τ6C35
C36=0
τ 6=C14/C15
Заполним таблицу.0.018 0.612 2.71 0.1314 2
C13=0.3384
C23=2.71
C33=0
τ 3 =0.137
C14=0.948
C24=0
C34=0
τ 4=0.388
C15=2.71
C25=0
C35=0
τ 5=0.357
C16=0
C26=0
C36=0
τ 6=0.34
Все элементы первогостолбца таблицы имеют один и тот же знак, следовательно, характеристическийполином замкнутой системы имеет корни только в левой половине комплекснойплоскости. Замкнутая САУ устойчива.
Определение устойчивостизамкнутой системы методом Гурвица.
Построим определителиГурвица
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Все определители Гурвицаположительны, следовательно, характеристический полином замкнутой системы имееткорни только в левой половине комплексной плоскости. Замкнутая САУ устойчива.
8. Определениеустойчивости замкнутой системы с помощью частотного критерия Михайлова
Характеристическийполином системы
/>
s→jω
/>
Вещественная функцияМихайлова:
/>.
Мнимая функция Михайлова:
/>
Решим уравнения
/>; />.
/>,
Учитываем корни ω> 0
/>
/>; />;
/>; />.
/>; />; />.
Построим таблицуω 2.88 3.9 5.36 Re(ω) 2.71 -2.44 Im(ω) 3 -9.57
Годограф Михайлова (всхематичном виде) представлен на рисунке 5.
/>
Рисунок 5.
Критерий Михайлова:Замкнутая САУ будет устойчивой тогда и только тогда, когда годограф Михайлова,при изменении частоты ω от 0 до +∞ начинаясь на положительнойдействительной полуоси последовательно и нигде не обращаясь в 0 пересекает n квадрантов комплексной плоскости(где n – порядок характеристическогополинома САУ).
В данном случае годографсоответствует критерию Михайлова, значит замкнутая САУ устойчива.
9. Коэффициенты ошибок системы
Передаточная функцияошибки будет иметь вид
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
10. Переходная функция САУ
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Найдем корни N(s):
/>
/>
Получим следующее:
/>
/>
/>
Построим график с помощьюЭВМ.
/>
График переходнойфункции.
Из графика видно, чтовремя регулирования tp≈3.29с,а перерегулирование
/>.