Курсовая работа
тема: Разработкаматематической модели теплообменника смешения
Аннотация
Целью выполнения даннойкурсовой работы является разработка математической модели теплообменникасмешения. В результате произведена разработка математической модели объекта ввиде ДУ, в виде переменных состояния, в дискретном виде, получены передаточныефункции, определена переходная функций объекта по заданному динамическомуканалу, рассчитаны коэффициенты передаточной функции по экспериментальной переходнойфункции методом площадей.
Введение
Качественные и количественные изменения в промышленности, науке и техникесоставляют основу для значительного повышения продуктивности труда и эффективностихозяйственной деятельности. Эти изменения возникают в результате осознанной,научно-обоснованной деятельности людей. Одним из направлений повышенияпродуктивности труда является использование современных математических методови технических средств, таких, как планирование эксперимента, исследованиеопераций, математическое моделирование и измерительная техника.
Цели и методы моделирования направлены на повышение эффективности ипроизводительности труда, повышение качества продукции, оптимизация планированияи управления, освобождение человека от работы во вредных условиях. В некотрыхотраслях промышленности проектируемые системы являются особенно сложными.Возникают вопросы, которые недостаточно изучить теоретически. Это придаетособое значение экспериментальным исследованиям. Часто для эффективного решениязадач управления необходимо иметь адекватные технологическим процессамматематические модели.
Одним из направленийповышения производительности труда является использование математических методови технических средств, таких как планирование эксперимента, исследованиеопераций, математическое моделирование и вычислительная техника.
Модель — это схема какого либо явления или физического объекта,заменитель оригинала. Моделирование объектов и систем управления являетсяопосредованным отражением объектов и систем управления производственныхпроцессов на основе замены реальных объектов и систем управления какими тодругими, которые связаны с реальными и позволяют более простыми методамиисследовать некоторые свойства исходных объектов и систем управления, а потомпереносить полученные итоги исследования на реальные объекты и системуправления.
Моделирование – этоспособ изучения объектов и систем управления, при котором экспериментпроводиться на его модели, а результаты качественно или количественнопереносятся на оригинал. Моделирование базируется на подобии объектов.Подобными называются объекты, параметры которых в любой момент времени и влюбой точке пространства определяются в определённое число раз. Один изобъектов называется оригиналом, а второй его моделью. К процессу моделированияпредъявляется два требования:
· экспериментальнаямодель должна быть безопаснее, проще, чем эксперименты на оригинале;
· должносуществовать правило, по которому результаты исследования модели переносятся наоригинал.
В зависимости отисточника информации, каторая используется для построения моделей, отличаютфизико-химические (так же называемые аналитическими и теоретическими) истатические или эмпирические модели.
Для всех химических технологий основной задачей развития являетсяповышение эффективности химико-технологических процессов и синтез системуправления.
При применении кибернетического подхода к вопросу построенияавтоматизированных систем управления технологическими процессами необходимо:
· разработатьматематическую модель процесса;
· решитьпроблему идентификации модели и ее параметров (т.к. в процессе функционированиятехнологического объекта или процесса в разных режимах работы модель можетменяться);
/> 1. Разработка математической модели объекта в видедифференциальных уравнений и систем
1.1 Объекты регулирования и их основные свойства. Использование математических моделей объектоврегулирования для анализа их свойств
Объектырегулирования, с которыми приходится иметь дело при автоматизации химическойпромышленности, весьма разнообразны. Это могут быть отдельные аппараты, вкоторых выполняется какая-либо технологическая операция: теплообменник смешения,на выходе из которого поток вещества должен иметь постоянную температуру;напорный бак, в котором необходимо поддерживать постоянный уровень жидкости;химический реактор, в котором должен быть получен продукт заданного состава ит. д.
Объектомрегулирования может быть также отдельная часть сложного технологическогоаппарата. Примером подобного объекта может служить сборник ректификационнойколонны, называемый обычно кубом, в котором необходимо поддерживать постоянныйуровень высококипящего компонента смеси (кубового остатка). С другой стороны,объект может состоять из нескольких технологических аппаратов. В качествепримера можно привести цепочку последовательно работающих химических реакторов,на выходе которой необходимо поддерживать заданный состав продукта.
Один и тот жеаппарат с происходящим в нем технологическим процессом может быть объектомнескольких САР. Например, выпарной аппарат одновременно является объектомрегулирования уровня упариваемого раствора, давления в аппарате и концентрациивыходящего раствора.
Как видно изприведенных примеров, объекты регулирования отличаются один от другогофизико-химической природой протекающих в них технологических процессов,принципом действия, конструкцией и размерами применяемого технологическогооборудования, режимом работы и многими другими факторами. Поэтому, еслиисследовать каждый объект отдельно, не сопоставляя его с другими ужеисследованными объектами по наиболее существенным (для элементов САР)свойствам, то это значительно затруднило бы анализ САР и задержало развитиеавтоматизации производственных, процессов.
Однако,несмотря на отмеченное разнообразие, многие, объекты, как элементы САР,обладают одинаковыми или достаточно близкими свойствами. Это позволяетклассифицировать их по типам. Детальное изучение свойств типовых объектовзначительно упрощает анализ конкретных промышленных объектов регулированияблагодаря использованию метода подобия. В этом случае задача анализа сводится восновном к определению типа исследуемого объекта, свойства которого отождествляютсясо свойствами соответствующего типового объекта.
Наиболееплодотворным методом описания свойств объектов регулирования (как и другихэлементов САР) является метод математическогомоделирования. Его суть заключается в том, что объект формальнорассматривается как преобразователь поступающих на его вход сигналов в выходнойсигнал. Математическая зависимость, связывающаявыходной сигнал объекта с входным, называется математической моделью или характеристикой объекта регулирования.
При математическоммоделировании полностью абстрагируются от физической природы сигналов и самогопроцесса, происходящего в объекте. Поэтому одинаковые уравнения могут описыватьповедение теплообменника, напорного бака или химического реактора при условии,что, как объекты регулирования, они обладают одинаковыми характеристиками. Переходот физического прототипа к математической модели дает ряд преимуществ.
Во-первых, анализироватьсвойства модели проще и быстрее, особенно при использовании современных средстввычислительной техники, чем экспериментально определять поведение реальногообъекта регулирования при различных возможных режимах его работы в САР.
Во-вторых,математическая модель иногда может быть составлена еще до создания реальногообъекта. В этих случаях результаты ее анализа могутбыть использованы при проектировании для корректирования режиматехнологического процесса или конструкции оборудования объекта регулирования. В-третьих,анализ математических моделей позволяет выделить свойства объектов, наиболее существенныедля процессов регулирования, и сгруппировать их по этим свойствам независимо отфизической природы.
Работабольшинства объектов регулирования заключается в преобразовании поопределенному закону материальных или энергетических потоков. При этом возможныдва принципиально различных режима работы: статический и динамический.
В статическом(установившемся) режиме приток вещества или энергии в объект равен стоку, такчто объект находится в состоянии равновесия. Признаком статического режимаработы является сохранение постоянного во времени значения выходного сигналаобъекта
/> (1.1)
У многихпромышленных объектов регулирования в статическом режиме каждому значениюсигнала на входе соответствует определенное значение выходного сигнала
/> (1.2)
Такие объектыназываются статическими, а приведенная выше зависимость, которая связывает значениявыходного и параметров объекта в установившемся режиме, называется ихстатической характеристикой.
Простейшемпримером статического объекта регулирования может служить напорной бак (рис.1.1).
математическиймодель теплообменник смешение
/>
Рис 1.1.Напорныйбак как объект регулирования уровня (где 1-входная труба,2-клапан,3-сливнаятруба)
Жидкостьпоступает в него по трубе 1 через клапан 2 и свободно вытекает по сливной трубе3. Входнымсигналом для этого объекта, очевидно, является изменение расхода Qвх жидкостичерез клапан 2, а выходным —изменение уровня Н.
Если приток исток равны, то количество находящейся в баке жидкости остается постоянным и ееуровень не изменяется. Это статический режим работы объекта, которыйописывается уравнением материального баланса:
/> (1.3)
где/>— расход жидкости через сливную трубу3.
Известно, чторасход жидкости при свободном истечении зависит от уровня и с достаточнойточностью описывается уравнением
/> (1.4)
Где />— коэффициент пропорциональности,который зависит от размеров и формы отверстия истечения. Подставим значение /> в (1.3) и после выполнениянеобходимых преобразований получим уравнение статической характеристики бака ввиде
/> (1.5)
где/>-коэффициент пропорциональности.
Этонелинейное уравнение и график статической характеристики такого объекта (рис.1.2) также нелинеен. Если в состав САР входит хотя бы один нелинейный элемент,то такая САР также называется нелинейной. Анализ подобных систем чрезвычайнотрудоемок, а во многих случаях он вообще невозможен. Поэтому всегда, когда этовозможно, стремятся заменить нелинейную математическую модель линейной,которая, хотя и менее точна, но поддается анализу стандартными, хорошоразработанными и относительно простыми методами. Замена нелинейнойматематической модели более грубой линейной с целью упрощения анализа и синтезаСАР называется линеаризацией модели[1].
/>
Рис 1.2.Статическаяхарактеристика напорного бака.
Наиболеепростым является метод графической линеаризации, который применяется в техслучаях, когда статическая характеристика имеет вид плавной кривой. Линеаризациязаключается в замене линейного участка характеристики в пределах возможногоизменения входного и выходного параметров объекта прямой, касательной кстатической характеристике в точке заданного режима работы. Рассмотримприменение этого метода на примере линеаризации характеристики напорного бака(рис. 1.2).
Предположим,что в баке должно поддерживаться заданное значение уровня /> с точностью />.Следовательно, рабочим участком статической характеристики служиткриволинейный отрезок CAD, в середине которого находится рабочаяточка А. Заменим егоотрезком CAD' прямой,касательной к статической характеристике в рабочей точке, который и будетлинеаризованной статической характеристикой данного объекта регулирования.Погрешность такой аппроксимации будет тем больше, чем больше отрезки СС и DD', которыезависят от кривизны истинной статической характеристики в окрестностях точки А и допустимогодиапазона изменения регулируемого параметра (т. е. величины рабочего участкахарактеристики). Следует отметить, что если в процессе работы САР регулируемыйпараметр по каким-либо причинам выйдет за пределы рабочего участка статическойхарактеристики, принятые при линеаризации, то это может привести к существенномуухудшению качества регулирования.
Математическойосновой данного метода линеаризации является разложение функции, описывающейстатическую характеристику, в ряд Тейлора по малым приращениям входного сигнала/>иограничениемряда линейным членом. Проиллюстрируем возможности этого метода на том жепримере напорного бака. Разложение функции (1.5) в ряд Тейлора по малымприращениям параметра /> в окрестностях рабочей точки (т. е.при />) имеет вид
/> (1.6)
Пренебрегаячленами ряда, в которые входит сомножитель /> во второй иболее высокой степени, и обозначая />получим линеаризованное статической характеристики бака
/>(1.7)
/> (1.8)
Графическиэто уравнение соответствует отрезку прямой CAD' па рис. 1.2.
Кроместатических, существуют объекты регулирования, у которых при работе встатическом режиме отсутствует однозначная зависимость между входным и выходнымсигналами. Такие объекты называются астатическими.
Примеромпростейшего астатического объекта регулирования может служить бак, из которогожидкость откачивается насосом постоянной производительности (рис. 1.3). У такогообъекта состояние равновесия возможно только в одном случае — когда притокжидкости в бак равен производительности насоса.
/>
Рис1.3.Астатический обьект регулирования(1-регулирующий клапан,2-бак,3-насоспостоянной производительности)
Статическийрежим работы, который рассматривался выше, не характерен для промышленныхобъектов регулирования. Гораздо чаще приходится иметь дело с динамическимрежимом, который возникает всякий раз при нарушении равновесиямежду притоком и стоком вещества или энергии в объекте. В реальных условияхэксплуатации, когда на объект регулирования все время воздействуют различныевозмущения, динамический режим является характерным режимом работы. Поэтому изучениединамических свойств объекта, т. е. определение его динамическойхарактеристики, составляет главную задачу при анализе САР.
Существуютдва метода определения характеристик промышленных объектов регулирования.
1. Аналитический,когда на основании главных физико-химических закономерностей, определяющих ходтехнологического процесса в данном объекте, составляется уравнениематематической модели объекта. Этот метод удобен тем, что при его использованииполучаются уравнения, в которые входят основные параметры технологическогопроцесса и применяемого оборудования. Поэтому наглядно видна связь этих параметровс характеристикой объекта и пути улучшения последней в случае необходимости.
Математическуюмодель, полученную аналитическим методом, можно распространить на объекты саналогичными технологическим процессом и конструкцией оборудования (с учетом ихиндивидуальных особенностей).
Недостаткианалитического метода — его сложность и трудоемкость, из-за чего в широкойпрактике автоматизации он применяется сравнительно редко. Однако в последнеевремя интерес к этому методу увеличился в связи со все более широкимраспространением вычислительных машин, использование которых позволяет резкоповысить производительность труда при выполнении расчетов.
2. Экспериментально-аналитический,когда статическая и динамическая характеристики объекта регулированияопределяются путем механической обработки результатов экспериментов,поставленных на исследуемом объекте по определенной методике.
Этот методменее трудоемок, не требует детального изучения физико-химическихзакономерностей, определяющих работу объекта, не может быть осуществленперсоналом относительно невысокой квалификации. Полученные при этом результатыдостаточно точны для большинства практических случаев, поэтомуэкспериментально-аналитический метод широко используется на практике. Егонедостаток заключается в том, что математическая модель, полученнаяэкспериментально, справедлива только для обследованного объекта и не может бытьиспользована при изучении других объектов, даже близких к нему по технологии иаппаратурному оформлению[3].
1.2 Аналитическое определениехарактеристик объектов регулирования
Прииспользовании аналитического метода определения характеристик объектоврегулирования за основу берут уравнения материального и энергетического балансаобъекта. Если необходимо определить статическую характеристику, то уравнениебаланса составляют для статического (установившегося) режима работы объекта. Типичным примеромявляется вывод уравнения статической характеристики напорного бака (пункт 1) наоснове уравнения его материального баланса.
При определении аналитическимметодом динамической характеристики объекта регулирования также составляютуравнения баланса, но для динамического (неустановившегося) режима работыобъекта. Эти уравнения выражают связь скорости изменения регулируемогопараметра с величиной материального или энергетического разбаланса, когорыйявляется причиной возникновения динамического режима работы объекта.
Пример 1
Определить характеристики теплообменника смешения (рис.1.4) как объекта регулирования температуры. Теплообменникявляется смесителем непрерывного действия, в который поступают два потокаодинаковой по физическим свойствам жидкости (т. е. с одинаковой теплоемкостью />и плотностью/>).
Первый потокимеет постоянный расход. />и переменнуютемпературу />. Второйпоток жидкости имеет постоянную температуру />, а расход его />поддерживается на таком уровне, чтобы температура /> жидкости, выходящей изсмесителя, была равна постоянной заданной величине />. Следовательно, для данного объекта возмущающимвоздействием служит изменение температуры /> первого потока, регулирующимвоздействием является изменение расхода />второго потока, арегулируемым параметром-отклонение температуры /> выходящегопотока от заданного значения.
Чтобыупростить вывод уравнения статической и динамической характеристики, примемследующие допущения:cмеситель снабжен теплоизоляцией, так чтобы тепловымипотерями в окружающую среду можно было пренебречь; температура жидкости во всемобъеме смесителя одинакова( смеситель идеального перемешивания) и равнатемпературе выходящего потока; расход
/> (1.9)
Дляопределения статической характеристикисоставим уравнение теплового балансасмесителя в установившемся режиме
Таблица1.1
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> 0.25 0.33 50 35 40 3.2 800 0.25 0.64
/> (1.10)
Откудас учетом условия (1.9) получим линеаризованное уравнение статическойхарактеристики в виде.
/> (1.11)
/>
Рис 1.4.Теплоабменниксмешения как объект регулирования температуры.
При нарушенииравновесия между притоком и стоком тепла в смеситель за малый промежутоквремени /> поступаетнекоторое дополнительное количество тепла />. В результатеизменяется температура жидкости в смесителе и температура выходящего потока навеличину />. Величина теплового разбалансаопределяется зависимостью
/>
Где />— дополнительное количество тепла,внесенное в смеситель первым потоком при изменении его температуры на />;
/>—дополнительное количество тепла, внесенное в смеситель вторым потоком приизменении его расхода на />;
/>—дополнительное количество тепла, вынесенное
из смесителявыходящим потоком при изменении температуры жидкости в смесителе на величину />.
Учитываяусловие (1.9), выражение для /> можноупростить:
/> (1.12)
Изменениетемпературы жидкости в смесителе, вызванное разбалансом />, равно
/> (1.13)
где V0— рабочий объем смесителя (V0= const).
Подставимзначение /> из (1.11) в(1.12) и после очевидных преобразований, переходя к пределу при />, получимуравнение, описывающее динамическую характеристику данного объекта:
/> (1.14)
Выведенноеранее уравнение статической характеристики (1.13) может быть получено из (1.13)при выполнения условия равновесия, т.е когда />Дляприведения уравнения (1.14) к безразмерной форме введем следующее обозначение:
/>/>/>
Подставляяданные из таблицы 1.1 получим следующее:
/> (1.15)
/> (1.16)
/> (1.17)
/>/>/>
Послеподстановки их в уравнение (1.14) и проведения необходимых преобразованийполучим в оканчательном виде.
/> (1.18)
/> (1.19)
/> (1.20)
Преобразуем в областьЛапласа/>/>/>
2. Получение передаточных функций по заданнымдинамическим каналам объекта
Передаточные функциихарактеризуют изменение сигнала при прохождении через систему.
Отношение Лапласовыхизображений выходной и входной величин системы при нулевых начальных условияхназывается передаточной функцией системы W(p)
/> (2.1)
где xвх(p) иxвых(p) – изображение по Лапласу входной и выходной величин системы.
По передаточной функциисистемы W(p) и изображению ее входной величины можно найти изображение выходнойвеличины
/> (2.2)
При наличии однойвходной и одной выходной величины система или звено имеют только один каналпрохождения сигнала, а следовательно, и одну передаточную функцию. Если жесистема или звено имеют несколько каналов прохождения сигнала, что возможно принескольких выходных и входных величинах, то прохождение сигнала в каждом каналехарактеризуется своей передаточной функцией[2].
Передаточные функциитеплообменника могут быть найдены по его уравнению динамики, а также поструктурной схеме (рис.2.1), составленной по равенствам (1.19).
/>
Рисунок 2.1-Структурнаясхема теплообменника смешения.
Приведем без выводапередаточные функции теплообменника:
/> (2.3)
по каналу />
/> (2.4)
по каналу />
/> (2.5)
/> 3. Получение математической модели объекта в виде переменныхпространство состояний
Одной из распространенныхформ математического описания линейных динамических систем являются уравненияследующего вида:
/>; /> (3.1)
Это название связано стем, что при uk = 0 достаточно задать начальное значение переменныхxi, чтобы однозначно определить состояние системы xi(t),y1 для любого момента времени. Модель (3.1) содержит nдифференциальных уравнений 1-го порядка с k управляющими входнымивоздействиями, а также s алгебраических соотношений для связи выходныхпеременных системы y с переменными состояния x. Коэффициенты aij, bik,cli называют параметрами модели.
Уравнения (3.1) удобнопредставить в матричной форме
/> (3.2)
где X — вектор переменных состояния; U − вектор управляющих (входных)воздействий; Y — вектор выходов; A, B, C − матрицыпараметров [2].
Модель (3.2), всравнении с ранее рассмотренными моделями, формирует дополнительно n переменныхвнутреннего состояния системы, что увеличивает количество информации об объектеуправления.
При этом начальныеусловия согласуют следующим образом:
/> (3.7)
Структурная схема объектас учетом полученных передаточных функций:
/>
Рисунок 3.1-Структурнаясхема объекта
Тогда вектор переменныхсостояния объекта в отклонениях от желаемых базовых значений примет вид:
/>
На основе полученныхдифференциальных уравнений запишем матрицы А, B и S.
/>4. Получениедискретной математической модели объекта
Термин “дискретный” еще не сложился. Каждая система управления, в которойприсутствует хотя бы один элемент, который не подчиняется непрерывномухарактеру изменения сигнала, может быть отнесен к классу дискретных систем. Дляэтих систем характерным является исчезновения сигнала информации хотя бы на небольшоминтервале времени. Если эти интервалы устремить к нулю, то можно рассматриватьсистему как непрерывную. Дискретные системы более общие. В производстве частотехнологические процессы непрерывные [2].
Пусть имеется на входе в дискретный элемент какой-то непрерывный сигнал.Введем период квантования. Заменяем реальное время на кванты т=к*Т к=0,1,…,/>. Если Т/> 0 тогда имеем непрерывнуюмодель. В этом случае можно зафиксировать амплитуды. Кроме квантования повремени можно квантовать и по вертикали (амплитуде). При таком виде квантованияцифры заносятся в виде “0” и “1”. В случае объединения этих квантований ониназываются дискретными.
Выделим случай, когдавходной сигнал x(t) является элементарной функцией 1(t). Реакцию системы навоздействие 1(t) можно компактно:
/>, (5.1)
где W(D) называетсяоператорной передаточной функцией или оператором. Формально W(D) можнорассматривать как дробно-рациональную функцию от оператора:
/>. (5.2)
Воспользуемсяпреобразованием Лапласа, основываясь на утверждении
/>, (5.3)
если f(0) = 0.Аналогично можно записать:
/>/> (5.4)
/> (5.5)
для любого операторногомногочлена степени k, если f(t) и ее производные при t
Применяя правило (5.5),получим
/>, (5.6)
где />
При этомпредполагается, что равны нулю y(0), x(0) и начальные значения производныхy(t), x(t) вплоть до (n – 1)-й и (m – 1)-й соответственно. Теперь a(p),b(p) - обычные функции комплексной переменной p. Поэтомуоперация деления на a(p) имеет обычный смысл
/>. (5.7)
Учитывая определения(5.7), приходим к основной формуле
/>. (5.8)
Для осуществленияz-преобразования и выбора периода квантования воспользуемся пакетом Matlab:
clc, clear
%Передаточная функцияпо 1-ому динамическому каналу
W1=tf([1.25],[5 1]);
%Передаточная функцияпо 2-ому динамическому каналу
W2=tf([0.924],[5 1])
%Формированиепередаточной объекта
Wo=series(W1,W2)
T=0.5;
WWo=c2d(Wo,T,'zoh')
figure(1);
step(Wo,WWo)
gridon
Определяем погрешностьквантования:
/>
Погрешность квантованияне превышает заданную (7%), значит выполняем переход от непрерывной модели кдискретной с периодом квантования 0.5.
Передаточная функция вz-области:
/>
Программа переходаот непрерывной модели(модели в пространстве состояния ) к дискретной в пакете MATLAB
clc, clear
% задаем матрицыпараметров
A=[-0.2 0;0 -0.2]
B=[0;0.1848]
F=[0.25;0]
C=[1 1]
D=[0]
BB=[B F]
% переход в областьпеременных состояний
sistema1=ss(A,BB,C,D)
% переход в дискретнуюобласть
sistema2=c2d(sistema1,0.5)
Wz=tf(sistema2)
Модель в пространствесостояний.
a= x1 x2 x1 0.9048 0 x2 0 0.9048 b = u1 u2 x1 0 0.119 x2 0.08793 0
c = x1 x2 y1 1 1 d = u1u2 y1 0
/>
Передаточная функция вz-области по каналам.
1.По первомудинамическому каналу.
/>
/>5. Получениепереходных функций объекта по передаточным функциям каналов
Переходнойхарактеристикой(переходной функцией) h(t) называется реакция системы наединичное ступенчатое входное воздействие u(t-τ)=1(t-τ) при нулевыхначальных условиях. Единичная ступенчатая функция – это функция, котораяобладает свойством
/>
На рисунке 5.1 приведенпример переходной характеристики системы.
/>
Рисунок 5.1-Примерпереходной характеристики системы (τ – момент возникновения входноговоздействия)
Для аналитическогоопределения переходной функции следует решить дифференциальное уравнение принулевых начальных условиях и единичном входном воздействии. При исследованииреального объекта переходную характеристику можно получить экспериментальнымпутем, подавая на его вход ступенчатое воздействие и фиксируя реакцию навыходе. Если входное воздействие представляет собой неединичную ступенчатуюфункцию u(t)=k1(t), то выходная величина будет равна y(t)=kh(t), т.е.представляет собой переходную характеристику с коэффициентом пропорциональностиk[2].
Для построенияпереходной характеристики воспользуемся пакетом
Matlab:
clear,clc
W1=tf([1.25],[0.051]);
step(W)
/>
Рисунок 5.1- Переходнаяхарактеристика объекта по первому динамическому каналу
/> 6. Расчет коэффициентов передаточной функции поэкспериментальной переходной функции методом площадейСравнение результатов расчета с истинной(аналитической) передаточной функцией объекта.
В основе метода площадей лежит предположение, чтообъект может быть описан линейным дифференциальным уравнением с постояннымикоэффициентами, а его нормированная (приведенная к единице) переходнаяхарактеристика может быть аппроксимирована передаточной функцией вида:
/> (6.1)
Порядокчислителя в выражении (6.1) всегда меньше или равен порядку знаменателя. Длянахождения явного вида выражения (6.1) для конкретного технологического объектанеобходимо определить значения коэффициентов ai и bi, атакже значения степеней полиномов n и m.
На первом этапе осуществляют нормирование переходнойхарактеристики и входного воздействия:
/>;
/> (6.2)
Искомыекоэффициенты W0(p) определяются из системы уравнений:
/> (6.3)
гдеi=m+n и для всех i>n ai=0, а для всех i>m bi=0.
Входящие в эту систему уравнений коэффициенты S1, S2,…, Si связаны с кривой разгона интегральными соотношениями и вычисляются всоответствии с (4), где обозначено /> - относительноевремя.Для расчета S1, S2 … Si используют численные методы (метод прямоугольников,метод трапеций и др.):[2]
/> (6.4)
Переход от нормированной передаточной функции кобычной осуществляется путем ее умножения на коэффициент передачи
/>: /> (6.5)
Программарасчет коэффициентов передаточной функции по экспериментальной переходнойфункции методом площадей в Matlab 6.5
clc,clear
T=0:1:30;
W=tf([1.25],[5 1])
y=step(W, T);
[T' y];
plot(T,y,'k');
grid
Таблицаэкспериментальных данных 6.1t y 1 0.22659 2 0.4121 3 0.56399 4 0.68834 5 0.79015 6 0.87351 7 0.94175 8 0.99763 9 1.0434 10 1.0808 11 1.1115 12 1.1366 13 1.1572 14 1.174 15 1.1878 16 1.199 17 1.2083 18 1.2158 19 1.222 20 1.2271 21 1.2313 22 1.2347 23 1.2374 24 1.2397 25 1.2416 26 1.2431 27 1.2444 28 1.2454 29 1.2462 30 1.2469
/>
Рис.6-1. График переходной экспериментальной характеристики.
clear, clc
dt=1
h=[0 0.22659 0.4121 0.56399 0.68834 0.79015 0.873510.94175 0.99763 1.0434 1.0808 1.1115 1.1366 1.1572 1.174 1.1878 1.199 1.20831.2158 1.222 1.2271 1.2313 1.2347 1.2374 1.2397 1.2416 1.2431 1.2444 1.24541.2462 1.2469]
h1=h/1.25
n=length(h)
i=1:n
t=(i-1)*dt
s1=dt*(sum(1-h1)-0.5*(1-h1(1)))
y=step(1.25,[s1 1], t);
plot(t,h,'ko',t,y);
grid
[yexp t]=step(1.25,[s1 1],t)
[s1]
s1 = 5.0054
/>
Рис. 6-2. Совмещённый график расчётной иэкспериментальной переходной характеристики.
В результате выполнения программы были полученыследующие результаты:
/>
/>Как видно из рисунка 6.2,экспериментальная и рассчитанная переходные характеристики практически неотличаются./>Заключение
В данной курсовой работе была получена математическая модельтеплообменника в виде дифференциальных уравнений. Также была полученапередаточная функция объекта по заданному каналу (регулирование температурыподаваемой жидкости) и ее переходная характеристика.Для идеального случая (возмущенияотсутствуют) и при наличии возмущений по двум другим каналам была полученамодель в переменных состояния. А также по заданному каналу дискретная модель.По экспериментальной передаточной функции с помощью метода площадейбыла получена расчетная передаточная функция. Сравнение показало, чтоэкспериментальная и расчетная передаточные характеристики практически неотличаются. />/>/>/>/>/>/>/>
Список использованной литературы
1 Полоцкий Л. М.,Лапшенков Г.И. «Автоматизация химических производств». Теория, расчет ипроектирование систем автоматизации — М: Химия, 1982. – 296 с.
2 Кузьмицкий,И.Ф., Кулаков Г.Т. Теория автоматического управления: учеб. пособие длястудентов специальности «Автоматизация технологических процессов и производств».– Минск: БГТУ, 2006. – 486
3 КазаковА.В, Кулаков М.В, Мелюшев Ю.К.Основы автоматики и автоматизации химическихпроизводств.Москва 1970.-374