Министерство образованияи науки Российской Федерации
ГОУ ВПОМагнитогорский Государственный Технический Университет
им. Г. И.Носова
Кафедраобработки металлов давлением
Курсоваяработа
На тему
«Определениеаналитической зависимости сопротивления металла пластической деформации для стали30ХГСА»
По дисциплине
«Организацияи планирование эксперимента»
г.Магнитогорск 2009г.
Задание
На основании базисногозначения пластичности меди (σ о.д =105 МПа для стали 30ХГСА) с использованием графиков термомеханических коэффициентов Кt, Ке, Кu, составить аналитическую зависимость, позволяющую определитьсопротивление деформации (σт) при горячей прокатке непосредственноот величин температуры, скорости и степени деформации для стали 30ХГСА.
/>
Введение
Моделированиепредставляет собой метод исследования свойств определенного объекта (оригинала)посредством изучения свойств другого объекта (модели). В данной работе мымоделируем зависимость сопротивления металла пластической деформации от трехфакторов. Согласно классификации видов моделирования, эту работу можно отнестик гибридному моделированию (включающему аналоговое и цифровое).
Для научного анализапроцессов обработки металлов давлением широко применяют математическую иприкладную теории пластичности. Физические явления, происходящие при ОМД,описываются системой дифференциальных уравнений, которые содержат значительноечисло переменных.
Метод моделированияпозволяет на высоком научном уровне проводить экспериментальные исследованияфизических процессов. Этим методом можно на модели, уменьшенной или увеличеннойпо сравнению с оригиналом, проводить качественное или количественное изучениепротекающих в реальности процессов, что не всегда доступно для детальногоисследования, а в ряде случаев, когда, например, создается новый процесс илиоборудование, вообще невозможно.
При разработкетехнологических процессов обработки металлов давлением и проектированииоборудования необходимо знать полное усилие Р, которое нужно приложить кдеформируемому телу для преодоления сопротивления последнего пластическойдеформации и трения на поверхности контакта с инструментом. По величине Ропределяют характеристики необходимого для деформации оборудования – усилиепресса, мощность двигателя прокатного стана и др.
Из существующих методовопределения «мгновенного» предела текучести (сопротивления металла деформации)чаще всего используют метод термомеханических коэффициентов, как наиболеепростой и доступный, позволяющий в тоже время с достаточной для практикиточностью вычислить σт при заданных температуре, степени и скорости деформации.
σт=σ0.д.*Kt*K ε *Ku (1)
где σ0.д – базисное значение сопротивления деформации;
Kt – температурный коэффициент;
Kε – степенной коэффициент;
Ku – скоростной коэффициент.
Графики зависимостикоэффициентов Kt, Kε и Ku от температуры, степени деформации и скорости деформации приведены всправочниках.
Задачей регрессионногоанализа ставится нахождение зависимости отклика от фактора, то естьтермомеханического коэффициента от его аргумента.
П.Л.Клименко путемаппроксимации обобщенных кривых изменения kt, ke и ku вывел формулы зависимостикоэффициентов от температуры, степени и скорости деформации:
/> (2)
/> для /> (3)
/> для /> (4)
/> для /> с-1 (5)
/> для />с-1, (6)
Нам надлежит найтипохожие уравнения зависимостей Kt=f(t), Kε=f(ε) и Ku=f(u), используя метод парногорегрессионного анализа. Парный регрессионный анализ – это метод математическойстатистики, который позволяет найти отображение (модель, аппроксимацию)стохастической зависимости между откликом У и фактором Х.
В случае стохастическойзависимости при определенном значении Хi фактора Х может наблюдаться множествозначений отклика У. В производственных условиях фактор является переменнойвеличиной, но при проведении регрессионного анализа полагают, что его значениехi неслучайно.
Учитывая возможныеотклонения, модель связи некоторого значения отклика с соответствующимзначением фактора может быть представлена в виде двух составляющих
yi=φ(xi)+εi (7)
где φ(xi) – систематическая (объясненная) составляющая; онаобусловлена существованием связи между откликом и фактором;
εi – случайная составляющая; онаобусловлена разнообразными возмущениями и вызывает отклонение уi отсоответствующих реальной зависимости.
Относительно εi делают следующие предположения:
— это нормальнораспределенная случайная переменная.
— μ(εi)=0 (математическое ожиданиеслучайной составляющей равно нулю).
— σ(εi)=const (дисперсия случайнойсоставляющей постоянна).
— в различных наблюденияхзначения εi не зависят друг от друга.
Задача определения видауравнения регрессии состоит в нахождении систематической составляющей φ(xi).
Из различных уравненийрегрессии наилучшим считают то, которое обеспечивает минимум дисперсиифактических (полученных экспериментально) значений отклика относительно линиирегрессии. Эту дисперсию называют остаточной дисперсией относительно регрессиии находят по формуле
/> (8)
Объясненная дисперсияхарактеризует рассеяние уi, обусловленное зависимостью отклика от фактора; еенаходят по формуле
/> (9)
После расчетов проверяютсоответствие полученного уравнения опытным данным по критерию Фишера
/> (10)
где a- уровеньзначимости;
k- числонаблюдений.
Если это условиевыполняется, то объясненная дисперсия существенно больше остаточной. Этоозначает, что между откликом и фактором существует взаимосвязь, которую свероятностью a допустимо аппроксимировать рассматриваемым уравнением регрессии.
Проведя парныйрегрессионный анализ, находим значения термомеханических коэффициентов пополученным уравнениям и подставляем их в уравнение (1). Таким образом находимсопротивление металла деформации вторым методом (первый раз σт находили, используя графики).
Множественныйрегрессионный анализ – это метод математической статистики, позволяющий найтинаиболее точное и достоверное отображение (модель, аппроксимацию)стохастической зависимости между откликом Y и факторами Х1, Х2, …, Хj,Xm.
Связь отклика с некоторымкомплексом факторов также можно представить в виде объясненной и случайнойсоставляющих.
Коэффициенты регрессии bjявляются случайными величинами с математическими ожиданиями βjи дисперсиями, которым соответствуют стандартные отклонения Sbj. Значение bj признается статистически значимым, если выполняется условие
/> (11)
где tbj и t[a;n-k] – расчетное и табличное число Стьюдента.
Если условие (11) невыполняется, то влияние фактора Хj на отклик несущественное, и егонадо исключить из дальнейших расчетов.
Статистическая надежностьвыбранного уравнения регрессии проверяется также по критерию Фишера (уравнение(10).
После проведениямножественного регрессионного анализа получаем уравнение вида
σт = f (t, U, ε), (12)
Находим при помощиполученного уравнения сопротивления металла деформации третьим способом.
Затем сравниваемрезультаты всех трех подходов к определению σт и выбираемнаилучший результат, у которого меньше средняя ошибка.
Краткая характеристика стали30ХГСА
Из стали 30ХГСА изготовляют различные улучшаемые детали: валы,оси, зубчатые колеса, фланцы, корпуса обшивки, лопатки компрессорных машин,работающие при температуре до 200°С, рычаги, толкатели, ответственные сварныеконструкции, работающие при знакопеременных нагрузках, крепежные детали,работающие при низких температурах. Склонна к отпускной способности, флокеночувствительна
Таблица 1 – Химическийсостав стали 30ХГСА,(%).С Si Mn S P Cr Ni Cu 0,3 0,9-1,2 0,8-1,1 0,025 0,025 0,8-1,1 0,3 0,3
Исходные данные
Данные с исходныхграфиков приведены в таблице 2.
Таблица 2 – Исходныеданные данные.Число наблюю-дений t,ºC Kt ε,% Kε
u, c-1 Ku 1 900 1,30 5 0,82 1 0,71 2 925 1,23 7,5 0,92 2 0,80 3 950 1,15 10 1,00 4 0,88 4 975 1,07 12,5 1,07 6 0,92 5 1000 1,00 15 1,13 8 0,98 6 1025 0,93 17,5 1,18 10 1,00 7 1050 0,85 20 1,22 20 1,07 8 1075 0,79 22,5 1,26 30 1,12 9 1100 0,74 25 1,30 40 1,18 10 1125 0,68 27,5 1,33 50 1,21 среднее 1012,5 0,97 16,25 1,12 17,1 0,99
Определение уравненийзависимости термомеханических коэффициентов от их физических величин
Проведем парный регрессионныйанализ. Рассмотрим по 5 уравнений для каждой зависимости. Расчеты удобнопроводить в среде электронных таблиц MS Excel. Результатыоценки пяти уравнений представлены в таблицах 3-5. В таблицах жирной строкойвыделено то уравнение, которое является наилучшей аппроксимацией исследуемойзависимости. Для температурного коэффициента это логарифмическая зависимость,для коэффициента деформации — степенная зависимость, для скоростного коэффициента– логарифмическая зависимость. При выборе уравнения ориентировались на критерийФишера Fрасч принимающий максимальное значение, а также условие Fрасч>Fтабл.
Графики выбранныхуравнений приведены на рисунках 1-3. На рисунках точками изображены значения,полученные по исходным графикам зависимостей термомеханических коэффициентов отих физических величин. Сплошными линиями показаны графики полученных уравненийаппроксимации.
Таблица 3 – Уравнениязависимости Кt от tфункция Уравнение регрессии
R2 k Fp
F0,95 Линейная 1 Кt = -0,0028*t + 3,8065 0,9963 2 2154,162 5,318 Логарифмическая 2 Кt = -2,8261Ln(t) + 20,524 0,9987 2 6145,846 5,318 Полином 2 степ 3
Кt = 0,000002*t2 — 0,0077x + 6,2793 0,9993 3 4996,500 4,737 Степенная 4
Кt = 6*109*t-2,9378 0,995 2 1592,000 5,318 экспоненциальная 5
Кt = 18,259e-0,0029t 0,9982 2 4436,444 5,318
Таблица 4 – Уравнениязависимости Кε от εфункция Уравнение регрессии
R2 k Fp
F0,95 Линейная 1 Kε = 0,0219*ε + 0,7665 0,9672 2 235,902 5,318 Логарифмическая 2 Kε = 0,304Ln(ε) + 0,3123 0,9967 2 2416,242 5,318 Полином 2 степ 3
Kε = -0,0006*ε2 + 0,022ε + 0,6338 0,9985 3 2329,833 4,737 Степенная 4
Kε = 0,5186*ε0,2857 0,9996 2 19992,000 5,318 экспоненциальная 5
Kε = 0,799e0,020ε 0,9388 2 122,719 5,318
Таблица 5 – Уравнениязависимости Кu от Uфункция Уравнение регрессии
R2 k Fp
F0,95 Линейная 1 Ku = 0,0086U + 0,8404 0,8274 2 38,350 5,318 Логарифмическая 2 Ku = 0,1253Ln(U) + 0,7081 0,9960 2 1992,000 5,318 Полином 2 степ 3
Ku = -0,0002*U2 + 0,0202*U + 0,7777 0,9246 3 42,919 4,737 Степенная 4
Ku = 0,7268*U0,1317 0,9930 2 1134,857 5,318 экспоненциальная 5
Ku = 0,8401*e0,0087U 0,7648 2 26,014 5,318
/>
Рисунок 1. Температурныйкоэффициент для стали 30ХГСА
/>
Рисунок 2. Степеннойкоэффициент для стали 30ХГСА
/>
Рисунок 3. Скоростнойкоэффициент для стали 30ХГСА
По данным, полученным врезультате парного анализа (таблица 6) строим графики (рисунки 4-6).
Таблица 6 – Данныеполученные в результате парного регрессионного анализаЧисло наблюдений t,ºC Kt ε,% Kε
u, c-1 Ku 1 900 1,30 5 0,82 1 0,71 2 925 1,22 7,5 0,92 2 0,79 3 950 1,15 10 1,00 4 0,88 4 975 1,07 12,5 1,07 6 0,93 5 1000 1,00 15 1,12 8 0,97 6 1025 0,93 17,5 1,17 10 1,00 7 1050 0,86 20 1,22 20 1,08 8 1075 0,80 22,5 1,26 30 1,13 9 1100 0,73 25 1,30 40 1,17 10 1125 0,67 27,5 1,34 50 1,20
/>
Рисунок 4. Температурныйкоэффициент для стали 30ХГСА
/>
Рисунок 5. Степеннойкоэффициент для стали 30ХГСА
/>
Рисунок 6. Скоростнойкоэффициент для стали 30ХГСА
Определение уравнениязависимости сопротивления деформации непосредственно от физических величин
Для проведениямножественного регрессионного анализа нужно подготовить таблицу исходныхданных, в которой каждому значению σт (отклику) соответствуетнабор из трех значений параметров: температуры, скорости деформации и степенидеформации. При формировании таблицы нужно два из трех факторов оставлятьнеизменными, а третий должен меняться. Так следует смоделировать три опыта, вкоторых по очереди меняются значения температуры, степени деформации искорости. Исходные данные для множественного регрессионного анализа приведены втаблице 7.
Таблица 7 – Исходныеданные для составления уравнения σт = f (t, U, ε)
σт=σ0*Kt*Ke*Ku Т, С E, %
U, c-1 82,77 1012,5 5,0 17,1 92,87 7,5 100,94 10,0 108,01 12,5 114,06 15,0 119,11 17,5 123,15 20,0 127,19 22,5 131,22 25,0 134,25 27,5 81,54 16,25 1 91,88 2 101,07 4 105,66 6 112,55 8 114,85 10 122,89 20 128,63 30 135,52 40 138,97 50 151,30 900 17,1 143,15 925 133,84 950 124,53 975 116,38 1000 108,24 1025 98,92 1050 91,94 1075 86,12 1100 79,14 1125
По подготовленной таблицев MS Excel с помощью функции «Регрессия» из пакета анализа данных проводиммножественный регрессионный анализ.
В результате получаемуравнение σт=390,20 — 0,33*T +2,21*E +0,98*U
Для выяснениястатистической значимости коэффициентов уравнения сравниваем рассчитанныекоэффициенты Стьюдента с табличными для числа наблюдений 10 и уравнения счетырьмя коэффициентами и доверительной вероятностью 95%. КоэффициентыСтьюдента, рассчитанные для коэффициентов t, ε, uоказались больше табличного коэффициента Стьюдента, то есть, статистическизначимыми.
Для выяснения надежностиаппроксимации полученным уравнением сравниваем рассчитанное число Фишера стабличным для степеней свободы (10-4=6) и доверительной вероятностью 95%.Рассчитанный критерий Фишера оказался больше табличного, значит, уравнениедостоверно отражает исследуемую зависимость. Лист MS Excel с расчетомпредставлен на рисунке 7.