Кинематический анализ механизмов
Содержание
Введение
1. Основные задачи и методы кинематического анализа
2. Построение положений звеньев механизма
3. Функция положения механизма
4. Основные уравнения для определения скоростей и ускорений
5. Кинематические диаграммы
5.1 Построение диаграммы перемещений
Литература
Введение
Тема контрольной работы «Кинематический анализ механизмов»по дисциплине «Теория механизмов и машин».
Цель работы: формирование знаний кинематического анализа механизмов.
Задачи выполнения работы: ознакомление с методами кинематическогоанализа механизмов.
Основные вопросы темы:
1. Основные задачи и методы кинематического анализа;
2. Построение положений звеньев механизма;
3. Функция положения механизма;
4. Основные уравнения для определения скоростей и ускорений;
5. Кинематические диаграммы.
1. Основные задачи и методы кинематического анализа
Основной задачей кинематики механизмов является изучение движениязвеньев механизмов вне зависимости от сил, действующих на эти звенья.
При кинематическом исследовании механизмов рассматриваются следующиеосновные вопросы:
1) построение планов скоростей;
2) построение траектории любой точки механизма;
3) определение скоростей и ускорений любой точки механизма, определениеугловых скоростей и ускорений любого звена механизма, определение радиуса кривизныв любой точке траектории и др.
Кинематическое исследование можно вести как с применением графическихметодов, так и аналитическим путем. Графические методы исследования, давая достаточнуюдля инженерной практики точность, обычно оказываются проще и нагляднее аналитических.Однако, когда ведется систематическое углубленное исследование какого-либо определенноготипа механизма, более удобным оказывается аналитический метод.
При графических построениях на чертеже приходится изображатьне только длины звеньев, но и скорости и ускорения отдельных точек, а также и другиевеличины. В этих условиях удобно использовать масштабный коэффициент, которым называютотношение действительной величины к изображению:
/>
/> - масштабный коэффициент;
/> - масштабный коэффициент;
/> - масштабный коэффициент
2. Построение положений звеньев механизма
Взаимное расположение звеньев движущегося механизма все времяменяется, но в каждый данный момент времени расположение звеньев является вполнеопределенным. Графическое изображение взаимного расположения звеньев, соответствующеевыбранному моменту времени, называется планом механизма. Ряд последовательных плановмеханизма, построенных для моментов времени, следующих друг за другом, называетсяпланом положений и позволяет наглядно проследить за движением механизма.
Построение плана положений механизма начинают с изображения тогозвена, положение которого задано для данного момента времени.
Кривошипно-ползунный механизм
/>
Рис.1
Из центра О — оси вращения кривошипа ОА радиусами /> и /> на оси X — X движенияползуна отмечаем В0 — правое В6 — левое крайние ползуна В.Прямые ОА0В0и ОА6В6 — положения механизма,соответствующие крайним положениям В0и В6 ползуна. Траекториюпальца А кривошипа от точки А0делим на 12 равных частей и из полученныхточек А1, А2, А3 … А11 радиусами АВ=/>=… отмечаем положенияВ1, В2, В3 …В11 ползуна на линии В0В6.Соединив точки А1, А2, А3 … А11 с центромО и соответствующими точками В1, В2, В3 …В11,получим планы механизма. Кривая, последовательно соединяющая центры S0,S1, S2 …S11 шатуна в различных его положениях,будет шатунной кривой.
3. Функция положения механизма
Функцией положения механизма называется зависимость координатывыходного звена от обобщенных координат механизма.
Перемещения, скорости и ускорения звеньев и точек механизма являетсяфункциями перемещений, скоростей и ускорений звеньев механизма, принятых за ведущие.Число ведущих звеньев механизма должно быть равно числу степеней подвижности механизмаили, что то же самое, числу обобщенных координат механизма.
Рассмотрим, в какой форме могут быть заданы законы ведущих звеньев.Эти законы называют функциями перемещений, скоростей и ускорений.
Функция перемещений может быть задана в аналитической форме ввиде соответствующей функции, связывающей перемещение ведущего звена со временем(рис.2).
/>/>
Рис.2
Если ведущее звено входит во вращательную пару со стойкой, тозадается функция φ=φ (t), где: φ — угол поворотаведущего звена относительно неподвижной системы координат ХОY,связанной со стойкой, а t — время.
Если ведущее звено входит в поступательную пару, то задаетсяфункция s=s (t),где s — перемещение произвольно выбранной точки А ведущегозвена относительно неподвижной системы координат, связанной со стойкой, а t — время.
Функции φ=φ (t) и s=s (t) могутбыть также заданы графически в виде кривых, где по осям ординат отложены углы поворотаφ или перемещения s в некоторыхвыбранных масштабах /> и />, а по осям абсцисс время t в выбранном масштабе /> (рис.3).
/>
Рис.3
φ0= 0; φi — φ0= />· в;
Соответственно время ti, закоторое ведущее звено повернулось на угол φi равно:
ti — t0= />·a;
Если закон движения ведущего звена задан в виде функций скоростейω=ω (t) или v=v (t), то переход от функций скоростейк функциям перемещений может быть осуществлен путем вычисления интегралов:
кинематический анализ механизм ускорение
/>и />;
где: φ0, s0,t0 — угол, перемещение и время, соответствующиеначальному положению ведущего звена.
Если закон движения ведущего звена задан в виде функций ускоренийε=ε (t) и ω=ω (t),то переход к функциям скоростей осуществляется путем вычисления интегралов:
/> и />
где: ω0, v0,t0 — угловая скорость, линейная скорость и время,соответствующие начальному положению ведущего звена.
4. Основные уравнения для определения скоростей и ускорений
Связь между скоростями и ускорениями общих точек звеньев кинематическойпары зависит от пары.
Рассмотрим два случая составления векторных уравнений скоростейи ускорений:
а) две точки принадлежат одному звену и удалены друг от другана расстояние l (рис.4).
/>
Рис.4
Из теоретической механики известно, что скорость любой точкиабсолютно твердого тела можно представить как геометрическую сумму скоростей переносногои относительного движений.
Переносным движением для рассматриваемого звена будем считатьпоступательное движение со скоростью точки А, а относительным — вращательное движениезвена вокруг точки А. Векторное уравнение для скорости точки В:
/>/>;
При вращении звена вокруг точки А точка В движется по окружностиββ, описанной из точки А. Поэтому скорость VBA направленапо касательной к дуге ββ, т.е. перпендикулярна линии АВ.
Величина скорости VBA=ω·АВили VBA=ω·/>.
По направлению VBA можно найти направление ωи наоборот.
Т.к. переносное движение выбрано поступательным, то ускорениеточки В можно составить из 2-х ускорений: ускорения точки А и ускорения точки Впри вращении звена вокруг точки А.
/>
При движении точки В по окружности ββ ускорениеWBA складывается из 2-хускорений: нормального />, направленного к центру вращения,и тангенциального />, направленного по касательной к дугеββ, т.е. перпендикулярно линии АВ. Векторное уравнение для ускоренияточки В:
/>;
Величины ускорений /> и /> определяем по формулам:
/>=/>·ω2=/>; />
где: ε — угловое ускорение;
б) две точки принадлежат двум звеньям, образующим поступательнуюпару и в данный момент времени совпадают (рис.5).
/>
Рис.5
Точка А принадлежит звену 1, точка В — звену 2. В данный моментвремени точки А и В совпадают (точка В лежит над точкой А). Звенья 1 и 2 образуютпоступательную пару с направляющей Н12.
Скорость точки В складывается из 2-х скоростей — переносной иотносительной. Переносным движением здесь является движение звена 1, поэтому скоростьточки А — VA будет переносной. Относительная скорость точки В равна скоростидвижения звена 2 относительно звена 1. При движении звена 2 относительно звена 1точка В движется по прямой линии ββ, параллельной направляющейН12. Поэтому относительная скорость VВАпараллельна Н12.
Ускорение точки В, когда переносное движение не является поступательным,складывается из 3-х ускорений: переносного, т.е. ускорения точки А, относительногои поворотного, или Кориолисова. В относительном движении точка В движется по линииββ, поэтому в этом движении точка В имеет только тангенциальноеускорение, направленное по этой линии, т.е. параллельно направляющей Н12.Обозначим это ускорение через />. Поворотное (Кориолисово) ускорениеобозначим через />.
Векторные уравнения для скорости и ускорения точки В будут иметьвид:
/>
Так как звенья 1 и 2 образуют поступательную пару, то они неимеют относительного вращения. Поэтому эти звенья обладают одинаковыми угловымискоростями и угловыми ускорениями, т.е.: ω2=ω1 иε2=ε1, где ω1 — угловая скоростьпереносного движения (вращения звена 1).
Вектор /> направлен в ту сторону, в которуюокажется направленным вектор />, если повернуть его на 900в направлении угловой скорости ω1. Величина его определяется поформуле:
/>
Определим скорость и ускорение ползуна кривошипно-ползунногомеханизма.
Дан план механизма, размеры ℓОА, ℓАВ,ω2, ε2.
Найдем скорость и ускорение звена 4 (точки В) и угловые скоростьи ускорение звена 3 (шатуна).
/>
Рис.6Зная ω2, находим VА=ℓОА·ω2. Скорость VА изобразим на плане скоростей в виде отрезка «Pа»,перпендикулярного ОА (рис.7). Поршень (звено 4) движется поступательно, поэтомувсе его точки имеют ту же скорость и то же ускорение, что и точка В.
/>
Рис.7 Рис.8
Однако точка В принадлежит не только звену 4, но и звену 3. Точнотакже точка А есть общая точка для звеньев 2 и 3. Таким образом, на звене 3 имеютсядве точки А и В, удаленные друг от друга на расстояние ℓАВ. Поэтомускорость точки В:
/>где: />║/>;
В соответствии с этим уравнением строим план скоростей. Проводимчерез точку а линию, перпендикулярную к АВ, а через точку Р — линию перпендикулярнуюН41. В точке пересечения ставим в. Отрезок Рв изображаетскорость точки В, а отрезок ав — скорость точки В относительно А (VВА). Угловую скорость звена 3 находим по формуле:
/>
Перенеся вектор /> в точку В, находим направление ω3(против часовой стрелки).
Ускорение точки А:
/>
где: /> и />;
Отложив от полюса /> (рис.8) ускорение /> и /> в виде отрезков /> и />, находим полноеускорение точки А (отрезок />).
Ускорение точки В:
/>
где: />; /> ║ /> и /> АВ;
Ускорение /> направлено от точки В к точке А. Отложивот точки а′ (на плане ускорений) отрезок а′в′′,соответствующий />, проводим через точку в′′линию, перпендикулярную АВ. Через полюс Р′ проводим линию,параллельную Н41. Эти линии пересекаются в точке в′,отрезок Р′в′ представляет искомое ускорениеточки В (WB), а отрезок в′′в′ — ускорение />.Из сопоставления направлений WB и VB заключаем,что звено 4 в данный момент движется замедленно.
Угловое ускорение звена 3 находим по формуле: />.
Перенос вектора /> в точку В показывает, что ε3,как и ω3, направлено против часовой стрелки.
В уравнениях вектор, известный по величине и направлению подчеркиваемдвумя линиями, а вектор, известный только по направлению — одной линией.
5. Кинематические диаграммы
Кинематическая диаграмма представляет собой графическое изображениеодного из кинематических параметров (перемещений, скорости и ускорения) точки либозвена исследуемого механизма в функции времени, угла поворота или перемещения ведущегозвена этого механизма, т.е. в функции обобщенной координаты. Кинематические диаграммыдают полную кинематическую характеристику механизма.
Построим кинематические диаграммы кривошипно-ползунного механизма.
Для перемещений SB, скоростей VBи ускорений WВ точки В, как перемещающейсяпрямолинейно, удобно строить кинематические диаграммы в виде зависимостей этих величинот времени t или обобщенной координатыφ2, т.е. строить графическое изображение зависимостей:
SB=SB(t), VB=VB (t), WB=WB (t) или:
SB=SB(φ2), VB=VB(φ2), WB=WB(φ2)
если угол φ2 поворота звена 2 выбран в качествеобобщенной координаты.
Если исследованию подлежат угловые перемещения φ3,угловые скорости ω3 и угловые ускорения ε3 шатуна3, то можно построить графическое изображение зависимостей:
φ3=φ3 (t),ω3=ω3 (t), ε3=ε3(t)
φ3=φ3 (φ2), ω3=ω3(φ2), ε3=ε3 (φ2)Кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростьюω2.
5.1 Построение диаграммы перемещений
1) Вычерчиваем схему механизма в масштабе μе/>в нескольких,например, двенадцати положениях, соответствующих последовательным поворотам кривошипаОА на 300(рис.9). За начальное положение кривошипа принимаем ОА0,при котором ползун В занимает крайнее правое положение В0;
2) строим оси координат SB-t (рис.10а) и на оси абсцисс откладываем отрезок ℓ в мм,изображающий время одного полного оборота кривошипа в масштабе: />; где: />рад/мм, />;
Отрезок ℓ делим на 12 равных частей и в соответствующихточках 1, 2, 3… по оси ординат откладываем расстояния SB1,SB2… пройденные точкой В от ее крайнегоправого положения В0.
До крайнего левого положения В6 расстояния возрастают,а начиная с положения В6, они будут уменьшаться; когда кривошип придетв начальное положение А0, ордината кривой (SB-t) будет равна нулю.
3) соединяем последовательно плавной линией полученные точки0, 1΄, 2΄, 3΄, …. Полученная криваябудет диаграммой расстояний точки В.
Если же по оси абсцисс откладывать углы поворота кривошипа φ,то данная кривая представит функциональную зависимость:
/>
Диаграммы скоростей и ускорений могут быть построены с использованиемпланов скоростей и ускорений и методов графического дифференцирования:
/>.Метод графического дифференцирования:
1) под диаграммой (SB-t) строим оси координат O1VB, O1t (рис.2.10б) и на продолжении оси O1t влево откладываем отрезок O1Р=Н1 мм (произвольно, чтобы дифференциальнаякривая разместилась на отведенном для нее месте чертежа);
2) из точки «Р» проводим лучи Р1, Р2,Р3… параллельно хордам кривой (SB-t) на участках 01΄; 1΄2΄; 2΄3΄….
Эти лучи отсекут на оси O1Вотрезки 011; 012; 013…, пропорциональные среднейскорости Vc на соответствующемучастке диаграммы;
3) отложим эти отрезки на средних ординатах соответствующих участков;
4) соединим ряд полученных точек I, II, III…плавной кривой; эта кривая будетдиаграммой скорости (V0-t).
Имея диаграмму скоростей, аналогично строим диаграмму ускорений.
При построении диаграмм (V0-t) и (WB-t)данным методом нельзя получить те участки этих диаграмм, которые соответствуют половинекрайних участков оси абсцисс. Чтобы закончить построение диаграмм, нужно дополнительнопостроить средние значения VВ и /> для одного-двухучастков следующего цикла.
/>
Рис.9 План положений скоростей
/> Рис.10 Кинематические диаграммы
Масштаб диаграмм остается таким же, как и раньше.
Масштабы по осям ординат определяются по формулам:
для диаграммы скоростей: />;
для диаграммы ускорений: />,
Метод построения диаграмм — прост и нагляден, но имеет следующиенедостатки:
1) неточность, особенно при дифференцировании кривых с большойкривизной;
2) невозможность полностью исследовать криволинейное движение,т.к. дифференцированием кривой скоростей получаем диаграммы изменения только тангенциальныхускорений;
3) диаграммы дают лишь численные значения векторов, направлениекоторых можно установить лишь после некоторых дополнительных построений.
Метод планов скоростей и ускорений не имеет упомянутых недостатков,поэтому его широко применяют при исследовании различных механизмов.
Литература
1. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. М, 1975, с.103-182.
2. Кореняко А.С. и др. Курсовое проектирование по теории механизмови машин. Киев, 1970, с.82-102.