Федеральное агентство по образованию
Государственноеобразовательное учреждение
высшегопрофессионального образования
Тульскийгосударственный университет
Кафедра теоретическоймеханики
Курсовая работа
по курсу «Динамика» натему
«Динамика плоскихшарнирных механизмов»
Кафедра теоретическоймеханики
Рецензия на курсовуюработу
студента__________________________________
группы №_________________________________
вариант №_________________________________
количество страниц_________________________
курсовая работа по содержанию
соответствует / не соответствует
выданному заданию и выполнена
в полном / не в полном
обьёме. КР может быть допущена к защите с
добавлением____________баллов рецензента
после успешной защиты.
Рецензент_______/_______________________
«_______»_________________________2007 г.
Тула, 2007 г.
Аннотация
В даннойработе изучается динамическое поведение многозвенного плоского шарнирногомеханизма. Совместно решается нелинейная система, в которую входят: нелинейноедифференциальное уравнение движения механизма, система нелинейных уравненийгеометрических связей и система линейных алгебраических уравненийкинематических связей. Исследуются факторы, влияющие на неравномерностьвращения ведущего звена. Все вычисления и построения графиков осуществляется вматематическом пакете Mathcad
Содержание
Введение
1. Исходные данные и схема механизма
2. Составление дифференциального движения механизма
2.1 Составление кинематических соотношений
2.2 Составление дифференциального уравнения движения механизма спомощью теоремы об изменении кинетической энергии системы
3. Нахождение реакций внешних и внутренних связей
4. Результаты расчётов
4.1 Алгоритм вычислений
4.2 Динамический расчёт плоского шарнирного механизма
5. Анализ результатов вычислений
6. Результаты анализа
7. Выводы
8. Список использованной литературы
Введение
Плоскиешарнирные механизмы широко распространены в современном машиностроении в связис присущими им достоинствами: высокой технологичностью изготовления,возможностью выполнения шарнирных соединений на подшипниках качения, небольшимизносом соприкасающихся поверхностей, долговечностью, надежностью в работе иремонтоспособностью.
Безглубокого знания кинематических и динамических характеристик механизмов,входящих в современный агрегат, невозможно спроектировать машину с параметрами,близкими к оптимальным, что, безусловно, отражается на производительности,надежности, долговечности машины, и на качестве выпускаемой продукции. Знаниекинематических и динамических свойств и возможностей механизмов необходимо дляразработки новых технологических процессов.
Цельюкурсовой работы является исследование и анализ динамического поведения плоскогошарнирного механизма с помощью основных теорем и принципов теоретическоймеханики.
1. Исходные данные и схема механизма
Плоскийшарнирный механизм (рис. 1), расположенный в вертикальной плоскости, движетсяпод действием внешнего момента/>, приложенного к ведущему звену(кривошипу ОА) и изменяющемуся по закону/>. На звено О1D действует полезная нагрузка MH, величина которойзадается соотношением
/>
Звеньямеханизма моделируются сплошными однородными стержнями, массы которыхпропорциональны их длине. Погонная плотность каждого стержня равна ρ.Соединение стержней осуществлено идеальными шарнирами. Движение механизманачинается из состояния покоя, а начальное значение угла поворота ведущегозвена равно φ = 0.
Требуется
— Составитьдифференциальное уравнение движения механизма с помощью
теоремы обизменении кинетической энергии.
— Определить динамические реакции внешних и внутренних связей.
— Провестичисленное интегрирование дифференциального уравнения движения при заданныхначальных условиях с помощью пакета Mathcad.
— Провестианализ результатов вычислений.
/>
Рис. 1 Схема механизма
Дано:
/>/>/>
2.Составление дифференциального уравнения движения механизма
Для решенияпоставленной задачи выберем правую систему координат, начало которой расположимв подшипнике О. Рассмотрим механизм в произвольном положении и изобразим силы,действующие на него в данный момент времени (рис.2): /> — силы тяжести звеньев; MH — полезная нагрузка; МД — возмущающий момент; /> — реакции опор.
/>
Рис.2Расчётная схема механизма.
2.1 Составление кинематических соотношений
Рассматриваемыймеханизм представляет собой механическую систему с одной степенью свободы.Положение всех его звеньев будем определять с помощью угла поворота ведущегозвена φ. Углы поворотов звеньев φk (k=1,2,3),отсчитываются от горизонтальной оси Ох в положительном направлении.
Выразимкинематические характеристики всех тел механизма через кинематические параметрыведущего звена с помощью уравнений геометрических связей (подробное описаниеэтой процедуры можно получить в КР по кинематике 21 вариант за 2006 г.)
/> (1)
Угловыекоординаты звеньев механизма и координата ползуна B будут определяться соотношениями
/>
/>(2)
/>
/>
где — />
/>
/>
/>
Угловыескорости звеньев можно получить из соотношения
/>(3)
где /> векторугловых скоростей звеньев, отнесённых к угловой скорости ведущего звена />
/> — матрицакоэффициентов системы уравнений
/>
/> — векторправых частей системы уравнений />
Скоростицентров масс кривошипов ОА и О1D найдём по формуле Эйлера
/>/>(4)
а скоростицентров масс шатунов АB и KD вычислим с помощью теоремы о сложении скоростей плоской фигуры.
/>/>(5)
где /> - скоростьточки А кривошипа ОА, /> — скорость точки K шатуна AB.
Скоростьползуна B определим дифференцированием четвёртого уравнения системы (2)
/>(6)
Угловыеускорения механизма связаны между собой аналогичными с (3) выражениями
/>(7)
/> — векторнеизвестных угловых ускорений звеньев.
/> — векторправых частей системы уравнений />
/>(8)
Привычислении угловых ускорений учтено, что ускорение ведущего звена не равнонулю.
Ускоренияцентров масс кривошипов ОА и О1D найдём по формуле Эйлера
/>/> (9)
а ускоренияцентров масс шатунов АB и KD вычислим с помощью теоремы о сложении ускорений плоской фигуры.
/>/> (10)
где /> - ускорениеточки А кривошипа ОА, /> — ускорение точки K шатуна АB.
Ускорениеползуна B определим дифференцированием уравнения (6)
/> (11)
2.2 Составление дифференциального уравнения движения механизма спомощью теоремы об изменении кинетической энергии
Для составлениядифференциального уравнения движения механической системы с одной степеньюсвободы применим теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальнойформе
/>(12)
где Т — кинетическая энергия системы; /> — сумма мощностей внешних сил; — /> суммамощностей внутренних сил.
Вычислим кинетическуюэнергию системы как сумму кинетических энергий тел, образующих механическуюсистему
Т = Т0+Т1+Т2+Т3+Т4,
где /> — кинетическаяэнергия кривошипа ОА, совершающего вращательное движение вокруг оси Oz;
/> — кинетическаяэнергия шатуна АB, совершающего плоское движение;
/> — кинетическаяэнергия шатуна KD, совершающего плоское движение;
/> — кинетическаяэнергия кривошипа О1D, совершающего вращательное движение вокруг оси O1z;
/> — кинетическаяэнергия ползуна B, который движется поступательно.
Моментыинерции сплошных однородных стержней, составляющих механизм, относительно осейпроходящих через их центры масс равны
/>/>/>/>
Подставляявсё в выражение кинетической энергии системы, окончательно получаем:
/>(13)
где /> (14)
— приведенный момент инерции механизма, а величины/>, (k = 1,4) — скорости точекмеханизма, отнесенные к угловой скорости ведущего звена />
Длярассматриваемой механической системы, состоящей из абсолютно твердых тел,соединенных идеальными шарнирами сумма мощностей внутренних сил равна нулю/>.
Суммамощностей внешних сил будет равна
/>
где/>, />, />,/>мощности силтяжести звеньев; /> — мощность момента приводящегомеханизм в движение;/> — мощность полезной нагрузки.
Мощностисил/>,/>равны нулю,т.к. реакция опорной плоскости YП и сила тяжести /> перпендикулярнаскорости точки B, а остальные силы приложены к неподвижным точкам.
Учитываявыражения для движущего момента МД и полезной нагрузки/>, окончательно получим
/> (15)
где/>(16)
— приведенный момент внешних сил, а величины /> и /> равны
/>/>/>
Подставляянайденные выражение кинетической энергии (13) и мощности внешних сил (15) втеорему об изменении кинетической энергии (12), получим дифференциальноеуравнение движения механизма
/> (17)
где /> — производнаямомента инерции механизма по углу поворота ведущего звена.
Решивданное дифференциальное уравнение второго порядка с указанными в задаченачальными условиями, найдем закон движения ведущего звена/>, его угловую скорость /> и угловоеускорение/>.
3. Нахождение реакций внешних и внутренних связей
Дляопределения реакций внешних и внутренних связей расчленим плоский шарнирныймеханизм на отдельные звенья и изобразим реакции внешних и внутренних связейкаждого звена (рис. 3).
/>/>/>/>/>
Рис.3Расчётные схемы звеньев плоского механизма.
Применив ккаждому телу, изображенному на расчетной схеме, теорему о движении центра масс(в проекциях на оси координат) и теорему об изменении кинетического момента(для кривошипов относительно осей вращения, для шатунов относительно осейпроходящих через центр масс) получим следующую систему уравнений:
КривошипОА:
/> (18)
Шатун АB:
/>(19)
Шатун KD:
/>(20)
Кривошип О1D:
/>(21)
Ползун B:
/> (22)
Первое уравнение системы(22) позволяет определить реакцию опорной плоскости YП, а третье из системы (18), после подстановки найденных величин,дифференциальное уравнение движения механизма (17).
Оставшиеся двенадцатьсоотношений представляют собой систему линейных алгебраических уравненийотносительно неизвестных реакций.
4. Результаты расчетов
Решение поставленной задачисводится к численному интегрированию дифференциального уравнения движениямеханизма (17) и решению системы двенадцати линейных алгебраических уравнений(18) — (21) относительно неизвестных динамических реакций внешних и внутреннихсвязей.
Задача интегрированиядифференциального уравнения (17) связана с большим количеством предварительныхвычислений и может быть условно разбита на пять блоков:
о решение системы уравненийгеометрических связей (1) или вычисление геометрических соотношений (2);
о вычисление кинематическихсоотношений по формулам (3) — (11);
о вычисление приведенногомомента инерции механизма и приведенного момента внешних сил.
о вычисление производной отприведенного момента инерции по углу поворота ведущего звена.
о численное интегрированиедифференциального уравнения.
Все это может быть проведенов Mathcadнесколькими способами использующими различные встроенные процедуры-функции.Отличие этих способов и методов заключается во времени вычислений, котороетребуется для нахождения: решения системы уравнений геометрических связей,приведенного момента инерции механизма и его производной, приведенного моментавнешних сил, а также решения дифференциального уравнения движения (17). Нижерассмотрен алгоритм и приведен документ Mathcad, в котором обеспечиваетсяминимальное время вычислений.
4.1 Алгоритм вычислений
Угловые координаты звеньев /> и положениеползуна B /> вычисляютсяв явном виде по формулам (2).
Угловые скорости звеньев />, отнесенных кугловой скорости кривошипа, вычисляются в явном виде по формулам (3).
Скорости центров массзвеньев />отнесенныхк угловой скорости кривошипа, вычисляются в явном виде по формулам (4) — (6),которые примут следующий вид
/>
/>
/>
/>(23)
/>
Далее, по формулам (14) и(16) вычисляется приведенный момент инерции />и коэффициенты в приведенноммоменте внешних сил />.
Для вычисления производной />от приведенногомомента инерции по углу поворота ведущего звена воспользуемся явнымпредставлением этой производной
/>Производные />можно найти, продифференцировав поφ систему уравнений />. Получим
/>/>
Откуда />,
где вектор /> , а матрица /> определенасоотношением (8).
Производные /> находятсядифференцированием по углу поворота кривошипа ОА выражений (23)
Для численногоинтегрирования дифференциального уравнения второго порядка (17) представим егов виде системы двух дифференциальных уравнений первого порядка. Введя новыепеременные /> и/>, получим
/>
/>(24)
Эти соотношения позволяетвычислять угловое ускорение кривошипа, если известны его угол поворота иугловая скорость; в частности, можно вычислить угловое ускорение в начальныймомент по заданным начальным значениям угла поворота и угловой скоростикривошипа.
Для интегрирования системыуравнений (24) при заданных начальных условиях используем встроенную в пакет Mathcad процедуру-функцию Radau..
Матрица, получаемая врезультате решения, содержит три столбца; первый — для значений времени t, второй — для значений угла поворота />, третий — длязначений угловой скорости />
Решение системы линейныхалгебраических уравнений (18) — (21), для нахождения динамических реакцийвнешних и внутренних связей реализуем матричным способом
Ниже приведен документ Mathcad, в котором реализованапроцедура интегрирования дифференциального уравнения движения механизма ивычисления реакций внешних и внутренних связей.
4.2 Динамический расчетплоского шарнирного механизма
Ввод исходных данных ивычисление постоянных величин
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Определение угловых координат звеньев и горизонтальной координатыползуна B как функции угла поворота ведущего звена
/>
/>
/>
Определение положения узловых точек механизма радиус-векторами
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Блок вычисления приведённого момента инерции
/>
/>
/>Определение законов изменения скоростей звеньев отнесённых к угловой скорости кривошипа в векторной форме
/>
/>
/>
/>Определение скоростей узловых точек механизма отнесенных к угловой скорости кривошипа
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Вычисление приведённого момента инерции механизма
Блок вычисления производной от приведённого момента инерции
Вычисление моментов инерции кривошипов относительно оси вращения,шатунов — относительно осей, проходящих через центр масс
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Вычисление производных от скоростей отнесённых к угловой скоростикривошипа
Вычисление производных Ω'k (k=1,2,3)
Формирование производных Ω'k (k=1,2,3) в виде векторов
/>
/>
Блок вычисления приведённого момента внешних сил и угловогоускорения звена
Вычисление производной Jпр'
Формирование векторов сил тяжести звеньев механизма
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Вычисление коэффициентов в выражении приведённого момента внешнихсил
Отобразим изменение вычисляемых величин на графике за один обороткривошипа
/>
Вычисление углового ускорения кривошипа ОА
/>
/>
Конечный момент времени
Процедура интегрирования дифференциальных уравнений
Конечный момент времени
/>
Количество узловых точек
/>
/>
Формирование системы дифференциальных уравнений
Вывод результатов вычислений
/>
/>
Применение процедуры Radau
/>
Формирование векторов искомых величин
Вычисление средней угловой скорости
/>
/>
/>
График изменения угловой скорости ω=ω(t) и величиныωср
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Вычисление среднего углового ускорения εср
/>
График углового ускорения ε и εср
Вычисление MД и его среднего значения
/>
/>
График Мд и Мдср
/>
Процедура вычисления реакций внешних и внутренних связей
Вычисление угловых ускорений звеньев механизма
Формирование вектора правых частей системы уравнений
Нахождение угловых ускорений звеньев
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Вычисление ускорения узловых точек и центров масс звеньев
/>
/>
/>
/>
/>
Формирование матрицы коэффициентов V при неизвестных реакциях и вектораправых частей H для каждого момента времени задаваемого вектором решений t
/>
/>
/>/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Графики реакций внешних и внутренних связей
/>
/>
/>
/>
5. Анализ результатов вычислений
Анализ результатоввычислений позволяет сделать следующие выводы
1. Времянеустановившегося движения механизма невелико и составляет
около 1.3 с.
2. Вустановившемся режиме движение кривошипа близко к равномерному вращению,средняя угловая скорость которого порядка />
Максимальные и минимальныезначения угловой скорости в установившемся режиме приблизительно равны /> и />, а его период- 0.162 с. Таким образом, коэффициент неравномерности движения механизмаприблизительно равен
/>
3. В установившемся режимесреднее угловое ускорение маховика приблизительно равно />. Амплитуда измененияуглового ускорения значительна и составляет около />, а коэффициент динамичности вэтом случае
/>
4. При заданныхгеометрических и инерционных параметрах механизма градиенты углового ускоренияведущего звена, а также реакций внешних и внутренних связей в сочлененияхзвеньев механизма имеют большие значения. Это может привести к разрываммеханизма в местах сочленений и нарушению его работоспособности.
На основании выводов порезультатам расчета движения механизма сформулируем задачу исследования.
Выявить факторы, влияющие нанеравномерность движения механизма и найти такие решения, при которыхнеравномерность установившегося движения исчезает или становитсянезначительной.
Анализ дифференциальногоуравнения движения механизма (17) показывает, что основными факторами,влияющими на неравномерность движения, являются:
— величина приведенногомомента инерции />(чем больше/>, тем меньше амплитудаугловых ускорений);
— характер измененияпроизводной />(чемменьше амплитуда и чем больше период ее изменения, тем меньше градиентыуглового ускорения);
Такимобразом, для уменьшения неравномерности движения необходимо
обеспечить:
/>
— где />,/> — центр масс всегомеханизма
что может быть получено засчет увеличения приведенного момента инерции механизма и уменьшения амплитудыего изменения.
Это достигается постановкойна ведущее звено массивного маховика и (или) облегчением остальных звеньевмеханизма.
6. Результаты анализа
С целью подтвержденияпроведенных исследований произведем расчет конструктивно измененного механизма.Заменим ведущий кривошип (однородный стержень) массивным маховиком с массойраспределённой по ободу и уменьшим массы остальных частей механизма, выбравматериал с меньшей погонной плотностью.
Ввод исходных данных ивычисление постоянных величин
/>
/>
/>Определение положения узловых точек механизма радиус-векторами
/>
Вычисление моментов инерции кривошипов относительно оси вращения,шатунов — относительно осей, проходящих через центр масс
/>
Отображение приведённого момента инерции и его производной награфике за один оборот кривошипа
/>
/>
Процедура интегрирования дифференциальных уравнений
Конечный момент времени
/>
Вывод результатов вычислений
Вычисление средней угловой скорости
График изменения угловой скорости ω=ω(t) и величиныωср в интервале
/>
/>
/>
График изменения угловой скорости ω=ω(t) и величиныωср в интервале />
/>
Вычисление среднего углового ускорения εср
График углового ускорения ε и εср
/>
/>
/>
/>
/>
Вычисление MД и его среднего значения
/>
/>
График Мд и Мдср
/>
График Мд и Мдср
/>
Графики реакций внешних и внутренних связей
/>/>
/>
/>
Графики реакций внешних и внутренних связей
/>
/>
/>
В результате:
— Время неустановившегосядвижения механизма составляет около 5.5 с;
— В установившемся режимедвижения средняя угловая скорость маховика составляет />. Максимальные и минимальныезначения угловой скорости в установившемся режиме равны /> и />
— Коэффициентнеравномерности движения механизма становится равным
/>
— Коэффициент динамичности вэтом случае
/>
Такое уменьшение, посравнению с первоначальным случаем, коэффициентов неравномерности (/>в 9.5 раз) идинамичности (/>в 16.2 раза) приводит куменьшению максимальных значений модулей реакций внешних и внутренних связейприблизительно до 7.5 раз.
7. Выводы
В результате решенияполученного дифференциального уравнения движения механизма были определены:закон движения ведущего звена ОА, его угловые скорость и ускорение как функциивремени t. На основании найденного закона движения по разработанномуалгоритму были вычислены значения реакций внешних и внутренних связей.
Проведенный анализрезультатов расчета показал, что
1. Времянеустановившегося движения механизма невелико и составляет около 1.3 с.
2. Вустановившемся режиме движение кривошипа близко к равномерному вращению,средняя угловая скорость которого порядка />
Максимальные и минимальныезначения угловой скорости в установившемся режиме приблизительно равны /> и />, а его период- 0.162 с. Таким образом, коэффициент неравномерности движения механизмаприблизительно равен
/>
3. В установившемся режимесреднее угловое ускорение маховика приблизительно равно />. Амплитуда измененияуглового ускорения значительна и составляет около />, а коэффициент динамичности вэтом случае
/>
4. При заданныхгеометрических и инерционных параметрах механизма градиенты углового ускоренияведущего звена, а также реакций внешних и внутренних связей в сочлененияхзвеньев механизма имеют большие значения. Это может привести к разрываммеханизма в местах сочленений и нарушению его работоспособности.
С целью устранения этойситуации был сформулирован критерий, удовлетворение которого позволит уменьшитьзначение этих коэффициентов.
Проведенные исследованияпоказали, что уменьшения масс звеньев механизма, с одновременным увеличением массыведущего звена и замены кривошипа маховиком с массой распределенной по егоободу значительно снизили величины данных коэффициентов.
Таким образом, увеличениемассы ведущего звена в 15 раз с одновременным уменьшением масс звеньев в 10 рази уменьшением массы ползуна в 2 раза позволило добиться следующего:
— Время неустановившегосядвижения механизма составляет около 5.5 с;
— В установившемся режимедвижения средняя угловая скорость маховика составляет />. Максимальные и минимальныезначения угловой скорости в установившемся режиме равны /> и />
— Коэффициентнеравномерности движения механизма становится равным
/>
— Коэффициент динамичности вэтом случае
/>
Такое уменьшение, посравнению с первоначальным случаем, коэффициентов неравномерности (/>в 9.5 раз) идинамичности (/>в 16.2 раза) приводит куменьшению максимальных значений модулей реакций внешних и внутренних связейприблизительно до 7.5 раз.
8. Список использованной литературы
1. Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcadпрактикум – СПб.: БХВ – Петербург, 2005;
2. Кирьянов Д.В. Самоучитель Mathcad 12. — СПб.: БХВ –Петербург, 2004.
3. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., КельзонА.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т.2 (Динамика) – М.: Наука,1990.