Сопромат 2

--PAGE_BREAK--
4. КРУЧЕНИЕ

4.1.Кручение бруса с круглым поперечным
сечением

        Здесь под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только крутящий момент. Прочие силовые факторы, т.е. Nz
 , Qx
 , Qy
 , Mx
 , My
   равны нулю.

        Для крутящего момента, независимо от формы поперечного се­чения бруса, принято следующее правило знаков. Если наблюда­тель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит момент Mz
 направленным по часовой стрелке, то момент считается положительным. При противоположном направлении моменту приписывается отрицательный знак.

        При расчете бруса на кручение (вала) требуется решить две ос­новные задачи. Во-первых, необходимо определить напряжения, возникающие в брусе, и, во-вторых, надо найти угловые перемеще­ния сечений бруса в зависимости от величин внешних моментов.

        Наиболее просто можно получить решение для вала с круглым поперечным сечением (рис. 4.1 а). Механизм деформирования бруса с круглым поперечным сечением можно представить в виде. Предполагая, что каждое поперечное сечение бруса в результате действия внешних моментов поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое. Данное предположение, зало­женное в основу теории кручения, носит название гипотезы пло­ских сечений.

Рис. 4.1

        Для построения эпюры крутящих моментов Mz
 применим тра­диционный метод сечений - на расстоянии zот начала координат рассечем брус на две части и правую отбросим (рис. 4.1, б). Для оставшейся части бруса, изображенной на рис. 4.1, б, составляя уравнение равенства нулю суммы крутящих моментов SM
z
  = 0, получим:

M
z = M.                                                                (4.1)

        Поскольку сечение было выбрано произвольно, то можно сде­лать вывод, что уравнение (4.1) верно для любого сечения вала -крутящий момент Mz
 в данном случае постоянен по всей длине бруса.

        Далее двумя поперечными сечениями, как это показано на рис. 4.1, а, из состава бруса выделим элемент длиной dz, а из него свою очередь двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами rи r + drвыделим элементарное кольцо, показанное на рис. 4.1, в. В результате кручения правое торцевое сечение кольца повернется на угол dj. При этом образующая цилиндра АВ повернется на угол gи займет положение АВ ¢. Дуга BВ ¢равна с одной стороны, r dj, а с другой стороны - g d
z. Следовательно,

.                                                         (4.2)

        Если разрезать образовавшуюся фигуру по образующей и раз­вернуть (рис. 4.1, г), то можно видеть, что угол gпредставляет со­бой не что иное, как угол сдвига данной цилиндрической поверх­ности под действием касательных напряжений t, вызванных дейст­вием крутящего момента. Обозначая

,                                                           (4.3)

где Q - относительный угол закручивания. Этот угол представляет собой угол взаимного поворота двух сечений, отнесенный к рас­стоянию между ними. Величина Qаналогична относительному уд­линению при простом растяжении или сжатии стержня.

        Из совместного рассмотрения (4.2) и (4.3) и после некоторых преобразований, получим:

g = r Q.                                                                (4.4)

        Подставляя выражение (4.4) в выражение закона Гука для сдвига (2.23), в данном случае выражение касательных напряжений принимает следующий вид:

t = G Q r,                                                            (4.5)

где t - касательные напряжения в поперечном сечении бруса. Пар­ные им напряжения возникают в продольных плоскостях - в осе­вых сечениях.       Величину крутящего момента Mzможно определить через tс помощью следующих рассуждений. Момент относительно оси zот дей­ствия касательных напряжений tна элементарной площадке dF равен (рис. 4.2):

dM = t r dF.



        Проинтегрировав это выражение по площади поперечного сечения вала, получим:

.                    (4.6)

        Из совместного рассмотрения (4.5) и (4.6) получим:

        .(4.7)

        Откуда

                .                           (4.8)

        Величина G 
Irназывается жесткостью бруса при кручении.

        Из (4.8), с учетом (4.3), интегрируя полученное выражение по параметру z, получим:

          .                                             (4.9)

        Если крутящий момент Mzи жесткость G 
Irпо длине бруса пос­тоянны, то из (4.9) получим:

,                                             (4.10)

где j (0) - угол закручивания сечения в начале системы отсчета.

        Для определения выражения напряжений, возвращаясь к формуле (4.5) и исключая из него q, согласно (4.8), получим:

        t (r)=.                                                    (4.11)

        Величина  называется полярным моментом сопротивления поперечного сечения бруса в форме сплошного круга радиусом  R. Определяется эта величина из следующих соображений:

                   (4.12)

        Если же в брусе имеется внутренняя центральная полость ра­диусом r = , то для кольца

             ,                          (4.13)

где с = .

4.2.Кручение бруса с некруглым
поперечным сечением

        Определение напряжений в брусе с некруглым поперечным се­чением представляет собой сложную задачу, которая не может быть решена методами сопротивления материалов. Причина заключается в том, что для некруглого поперечного сечения упрощающая гипо­теза плоских сечений, оказывается неприемлимой. В данном случае поперечные сечения существенно искривляются, в результате чего заметно меняется картина распределения напряжений.

        Таким образом, при определении углов сдвига, в данном слу­чае, необходимо учитывать не только взаимный поворот сечений, но и деформации сечений в своей плоскости, связанная с искрив­лением сечений.

        Задача резко усложняется тем, что для некруглого сечения, на­пряжения должны определяться как функции уже не одного неза­висимого переменного r, а двух - xи y.    

        Отметим некоторые особенности законов распределения напря­жений в поперечных сече­ниях некруглой формы. Ес­ли поперечное сечение име­ет внешние углы, то в них касательные напряжения должны обращаться в нуль. Если наружная поверхность бруса при кручении свобод­на, то касательные напряже­ния в поперечном сечении, направленные по нормали к контуру также будут равны нулю.



        На рис. 4.3 показана, по­лученная методом теории упругости, эпюра касатель­ных напряжений для бруса прямоугольного сечения. В углах, как видно, напряже­ния равны нулю, а наиболь­шие их значения возникают по серединам больших сторон:

в точке А                   tA = tmax =,    (4.14)

где WК = b b3 - аналог полярного момента сопротивленияпопереч­ного сечения прямоугольного бруса;

в точке В               tB = h tmax ,           (4.15)

здесь необходимо учесть, что b - малая сторона прямоугольника.

        Значения угла закручивания определяется по формуле:

                          ,                                   (4.16)

где IK = a b4 - аналог полярного момента инерции поперечного сечения бруса.

        Коэффициенты a, bи hзависят от отношения сторон m = h/b, и их значения приведены в табл. 3.

Таблица 3

        Геометрические характеристикинаиболее представительных форм сечений обобщены в табл. 4.

4.3.Пример расчета (задача № 4)

        Стальной валик переменного сечения, испытывающего круче­ние, закручивается крутящими моментами, действующими в двух крайних и двух пролетных сечениях. Расчетная схема валика, ее геометрические размеры, величины и точки приложения внешних крутящих моментов указаны на рис. 4.4, а.

   Требуется:

        1. Построить эпюру крутящих моментов;

        2. Найти допускаемую величину момента М;

        3. Построить эпюры касательных напряжений по сечениям вала, отметив на сечениях опасные точки;

        4. Построить эпюру углов закручивания;

        Модуль упругости при сдвиге материала вала G = 8×107 кН/м2. Расчетное сопротивление материала вала срезу RC = 105кН/м2.

   Решение


1.     Построить эпюру крутящих моментов
. Для опре­деления величины крутящих моментов используется метод сечений. Согласно расчетной схемы (рис. 4.5, а) для I участка (0 £ z £ 0,5 м):

    откуда    .

        Согласно расчетной схемы (рис. 4.5, б) для участка II (0,5 м ££ z £ 1,0 м):

    откуда    .

        Согласно расчетной схемы (рис. 4.5, в) для участка III (1,0 м ££ z £ 1,8 м):

    откуда    .

        По полученным данным строим эпюру крутящих моментов (рис. 4.4, б).

        2. Найти допускаемую величину момента М. Допус­каемая величина момента МP определяется из условия прочности:

.


Рис. 4.4

        Сначала определим моменты сопротивления сечения валика для каждого участка.

I участок (трубчатое сечение)согласно (4.13):


   где ;

м3.

II участок (круглое сечение):

Рис. 4.5

 м3.
III участок (прямоугольное сечение):

    продолжение
--PAGE_BREAK--