Содержание.
1.Анализ системы.................................................................................................4
1.1 Исследование устойчивости...................................................................4
1.2 Построение АЧХ, ФЧХ, АФЧХ..............................................................7
1.3 Численные методы интегрирования........................................................9
1.4 Анализ системы с использованием спектрального метода (базис Лягерра)................................................................................................................13
2. Синтез регулятора...........................................................................................17
3. Синтез робастного регулятора матричным методом...................................19
Приложение..........................................................................................................22
Литература............................................................................................................33
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>
/>/>/>/>/>/>/>у(t) x(t)
/>/>— -
/>/>/>/>
/>/>/>/>
/>/>
Рис. 1. Структурная схема заданной САУ
Данные:
/>
/>
/>
/>
/>
1. Анализ системы.
1.1 Исследование устойчивости.
/>
/>
/>— передаточная функция
/>— характеристический полином
/>
Рис. 2. Характеристический полином.
/>имеет 1 действительный корень и 2 комплексных.
/>
Уравнение решается методом Стеффенсена.
Метод Стеффенсена.
/>
Начальное приближение />для нахождения действительного корня.
/>
На рис.3. изображено значение корня от итерации.
/>
Рис.3. Динамика изменения корня в зависимости от итерации.
/>
/>
Подставим />в (*).
/>
Корни характеристического уравнения
/>
Полюса передаточной функции находятся в левой полуплоскости. Система устойчива. Система будет колебательной т.к. корни имеют мнимую часть />
Построение АЧХ, ФЧХ, АФЧХ.
Годограф АФЧХ.
/>
Рис.4. АФЧХ
График АЧХ
/>
/>
Рис.5. АЧХ
/>
/>
/>
/>
График ФЧХ
/>
Рис.6. ФЧХ
/>
1.2 Построение переходного процесса численным методом.
Для решения дифференциального уравнения используется многошаговый, неявный метод второго порядка, интерполяционная схема Адамса.
В неявных методах используется информация о возможном будущем значении решения в точке п+1. Это несколько повышает точность получаемых результатов по сравнению с явными методами.
/>
Погрешность />
/>
При решении уравнения высокого порядка необходимо перейти к нормальной форме Коши.
/>
нормальная форма Коши имеет вид
/>
/>
/>
Разгонный метод Рунге – Кутта 5.
/>
Дифференциальное уравнение системы.--PAGE_BREAK--
/>
/>
/>
/>
Рис.7. Переходная функция найденная численным методом и точная />
/>
Рис.8. Переходная функция найденная численным методом и точная при />
/>
Рис.9. Переходная функция найденная численным методом и точная />
Заключение: из графиков видно, что наибольшая погрешность возникает в самом начале процесса интегрирования.
При />погрешность значительно вырастает.
1.3 Анализ спектральным методом системы по базису функций Лягерра.
/>
/>
Разложим ядра />интегрального уравнения в ряды Фурье по базису функций Лягерра.
/>
/>
/> функции Лягерра.
Выбираем />
/>
Дифференциальное уравнение системы.
/>
Спектральная характеристика системы определяется по формуле
/>
/>
/>
Спектр выходного сигнала системы:
/> Спектральная характеристика системы:
/>
/>
Рис.10. Переходная функция, построенная спектральным методом
/>
Рис.11. Реакция на />
Фазовый сдвиг />
2. Синтез регулятора
Так реальная переходная характеристика системы не удовлетворяет поставленным требованиям />, необходимо произвести коррекцию системы. В качестве корректирующего устройства ПИД –регулятор />.
Эталонная переходная характеристика />
Необходимо минимизировать следующую целевую функцию.
/>
Метод оптимизации Дэвидона, Флетчера, Пауэла.
Согласно данному методу минимум ищется в направлении />
/> — ищется на каждом шаге мини минимизацией />
/> — некоторая симметричная положительно определённая матрица, которая при />переходит в матрицу Гессе. Обычно при />/>
/>
достоинства этого метода высокая скорость сходимости, простота вычисления /> продолжение
--PAGE_BREAK--
/> — будем искать методом золотого сечения.
Параметры регулятора:
/>
/>
Рис.12. Графики переходных характеристик системы
3. Синтез робастного регулятора матричным методом.
Одним из возможных и перспективных способов решения задачи синтеза регуляторов является использования метода матричных операторов. Достоинством данного метода является возможность его применения для различных классов систем, в том числе нелинейных и нестационарных.
Рассмотрим линейную систему без неопределенности, описываемую в форме матричных операторов:
Очевидно, что для линейной системы без неопределенности справедливы следующие зависимости: />; />; />.
Получаем следующую формулу расчета спектральной характеристики выходного сигнала: />
Спектральная характеристика невязки между эталонной и реальной переходными характеристиками имеет вид:
/>,
где />– варьируемые параметры корректирующих устройств, подлежащие определению.
В приведенной формуле используется зависимость />, усложняющая вычислительный процесс. Можно воспользоваться другим, более простым подходом. Определим спектральную характеристику невязки следующим образом:
/>.
Перейдем к системе с неопределенностью:
/>,
где />– матричный оператор объекта, элементы которого зависят от />.
Необходимо минимизировать целевую функцию вида: />,
где />– число элементов выборки.
Полученный функционал содержит полную информацию о параметрической неопределенности.
В качестве корректирующего устройства выберем ПИД-регулятор:
/>.
Пусть выборка составляет 1000 элементов. В качестве эталонного сигнала выберем />. В качестве ортонормированного базиса выберем систему функций Уолша (128 функций). Интервал исследования – />.
/>имеют интервальную неопределённость 20%
Приведем здесь клетку />матричного оператора интегрирования:
/>
Получены следующие значения коэффициентов регулятора:
/>
Несколько примеров для произвольно взятых />, на которых представлены переходные характеристики эталонной системы и 4-х из семейства систем представлены на рис. 13.
/>/>/>
Рис. 13. Графики эталонной и реальной переходных характеристик для разных значений параметра />: />, />, />,/>, />
Приложение.
Программа 1.
Решения уравнения методом Стеффенсена.
function Stefens
clc
e=10.^-5;
x=-20;
x1=0;
i=0;
As=0.0125*(x.^3)+0.3*(x.^2)+4.886*x+61.72;
x=x-(As.^2)./((0.0125*((x+As).^3)+0.3*((x+As).^2)+4.886*(x+As)+61.72)+As);
As=0.0125*(x.^3)+0.3*(x.^2)+4.886*x+61.72;
A(1)=x;
i=i+1;
while abs(x-x1)>e
x1=x;
x=x-(As.^2)./((0.0125*((x+As).^3)+0.3*((x+As).^2)+4.886*(x+As)+61.72)+As);
As=0.0125*(x.^3)+0.3*(x.^2)+4.886*x+61.72;
A(i+1)=x;
i=i+1;
end
plot(1,A(1));
hold on
for n=1:i
plot(n,A(n),'b-o')
end
grid on
xlabel('iteraciya')
ylabel('roots')
disp('ответ');
disp(x);
disp('число итераций');
disp(i);
Программа 2.
Решение дифференциального уравнения численным способом.
clc
a2=24;
a1=390.88;
a0=4937.6; продолжение
--PAGE_BREAK--
b2=0;
b3=0;
b1=230.88;
b0=4617.6;
f1=b2;
f2=b1-a1*f1;
f3=b0-a1*f1-a2*f2;
B=[f1;f2;f3]
A=[0 1 0; 0 0 1;-a0 -a1 -a2]
h=0.02;
Xt=[0;0;0];
X(1,1)=Xt(1);
X(1,2)=Xt(2);
X(1,3)=Xt(3);
F=A*Xt+B;
% Разгонный метод
K1=h*F;t(1)=0;
K2=h*(F+K1/3);
K3=h*(F+K2/6+K1/6);
K4=h*(F+K1/8+3/8*K2);
K5=h*(F+K1/2-3/2*K3+2*K4);
Xt=Xt+(1./6)*(K1+4*K4+K5);
X(2,1)=Xt(1);
X(2,2)=Xt(2);
X(2,3)=Xt(3);
t(2)=t(1)+h;
F=A*Xt+B;
i=2;
%Неявный метод второго порядка
while t(i)
X1(1)=X(i-1,1);
X1(2)=X(i-1,2);
X1(3)=X(i-1,3);
Xt=Xt+(h./12)*(5*B+8*(A*Xt+B)-(A*X1'+B));
Xt=((eye(3)-(5./12)*h*A)^-1)*Xt;
X(i+1,1)=Xt(1);
X(i+1,2)=Xt(2);
X(i+1,3)=Xt(3);
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end
h=0.9352-0.0629*exp(-17.6849*(t))-(0.8723*cos(16.4082*(t))-0.2357*sin(16.4082*(t))).*exp(-3.1576*(t));
for j=1:i
V(j)=X(j,1);
end
E=h-V;
plot(t,V,t,h,t,E); grid on
Программа 3.
Анализа заданной системы с использованием спектрального метода.
syms t T;
Kx=(4937.6./2)*(t-T).^2-390.88*(1./2)*(-2*(t-T))+24;
Ky=(4617.6./2)*(t-T).^2-230.88*(1./2)*(-2*(t-T));
for i=0:9
F6=0;
for j=0:i
m=i;
K=(sqrt(1.1552)*exp(-(1.1552*t)./2));
F=(factorial(m))./(factorial(m-j));
F1=((-1.1552*t).^j);
F2=(factorial(j)).^2;
F3=K.*F;
F4=F1./F2;
F5=F3.*F4;
F6=F6+F5;
L(i+1)=F6;
end
end
for i=0:9
F6=0;
for j=0:i
m=i;
K=(sqrt(1.1552)*exp(-(1.1552*T)./2));
F=(factorial(m))./(factorial(m-j));
F1=((-1.1552*T).^j);
F2=(factorial(j)).^2;
F3=K.*F;
F4=F1./F2;
F5=F3.*F4;
F6=F6+F5;
L1(i+1)=F6;
end
end
G=L'*L1;
In=Kx*G;
r=int(In,T,0,t);
Cx=int(r,t,0,1.5);
In=Ky.*G;
r=int(In,T,0,t);
Cy=int(r,t,0,1.5);
A=((Cx+eye(10))^-1)*Cy;
Cy=int(L,t,0,1.5);
Cx=A*Су'
function H=fun(t)
Cx=[-0.1275; 0.5090; 0.2483; 0.0697; -0.0459; -0.1140; -0.1472; -0.1555; -0.1468; -0.1275];
for i=0:9
F6=0;
for j=0:i
m=i;
K=(sqrt(1.1552)*exp(-(1.1552*t)./2));
F=(factorial(m))./(factorial(m-j));
F1=((-1.1552*t).^j);
F2=(factorial(j)).^2; продолжение
--PAGE_BREAK--
F3=K.*F;
F4=F1./F2;
F5=F3.*F4;
F6=F6+F5;
L(i+1)=F6;
end
end
H=(Cx'*L');
Программа 3.
Минимизация функционала.
function K=minF(X)
% Kn=X(1);
% Ku=X(2);
% Kd=X(3);
X=[0.7;
0.7;
0.7];
Kn=X(1);
Ku=X(2);
Kd=X(3);
clc
%--ПЕРЕМЕННЫЕ--%
e=0.0001;
l=1;
t=0;
h=0.001;
J1=1;
J=0;
J2=-1;
I=11;
I1=32;
alph=-10;
Xe=1-exp(alph*t);
H=eye(3);
H1=H;
Kn1=Kn+10^-3;
Kd1=Kd+10^-3;
Ku1=Ku+10^-3;
X1=[Kn1;Ku1;Kd1];
while (abs(J1-I)>e)
%--ГРАДИЕНТ--%
X3=[Kn;Ku;Kd];
U=Dif2([X3]);
J1=0;
i=1;
t=0;
while (t
J1=J1+(1-exp(alph*t)-U(i))^2;
t=t+h;
i=i+1;
end
X3=[Kn+10^-3;Ku;Kd];
U=Dif2([X3]);
J=0;
i=1;
t=0;
while (t
J=J+(1-exp(alph*t)-U(i))^2;
t=t+h;
i=i+1;
end
g1=(J-J1)/10^-3;
X3=[Kn;Ku+10^-3;Kd];
U=Dif2([X3]);
J=0;
t=0;
i=1;
while (t
J=J+(1-exp(alph*t)-U(i))^2;
t=t+h;
i=i+1;
end
g2=(J-J1)/10^-3;
X3=[Kn;Ku;Kd+10^-3];
U=Dif2([X3]);
J=0;
t=0;
i=1;
while (t
J=J+(1-exp(alph*t)-U(i))^2;
t=t+h;
i=i+1;
end
g3=(J-J1)/10^-3;
I1=J;
GradJ=[g1;g2;g3];
%--НОВОЕ ЗНАЧЕНИЕ Х--%
X1=X1-l*H*GradJ;
X=X1;
Kn1=X(1);
Ku1=X(2);
Kd1=X(3);
Kn=Kn1;
Ku=Ku1;
Kd=Kd1;
X3=[Kn;Ku;Kd]; продолжение
--PAGE_BREAK--
U=Dif2([X3]);
J1=0;
i=1;
t=0;
while (t
J1=J1+(1-exp(alph*t)-U(i))^2;
t=t+h;
i=i+1;
end
X3=X1+[10^-3;0;0];
U=Dif2([X3]);
J=0;
t=0;
i=1;
while (t
J=J+(1-exp(alph*t)-U(i))^2;
t=t+h;
i=i+1;
end
g11=(J-J1)/10^-3;
X3=X1+[0;10^-3;0];
U=Dif2([X3]);
J=0;
t=0;
i=1;
while (t
J=J+(1-exp(alph*t)-U(i))^2;
t=t+h;
i=i+1;
end
g21=(J-J1)/10^-3;
X3=X1+[0;0;10^-3];
U=Dif2([X3]);
J=0;
t=0;
i=1;
while (t
J=J+(1-exp(alph*t)-U(i))^2;
t=t+h;
i=i+1;
end
I=J;
g31=(J-J1)/10^-3;
GradJ1=[g11;g21;g31];
U1=GradJ1-GradJ;
V=l*H*GradJ;
A=(V*V')/(V'*U1);
B=-(H*U1*U1')/(U1'*H*U1);
H1=H+A+B;
if J1>I
l=min_lz(X,l,H,GradJ);
X1=X;
end
X=X1;
Kn1=X(1);
Ku1=X(2);
Kd1=X(3);
Kn=Kn1;
Ku=Ku1;
Kd=Kd1;
end
Kn
Ku
Kd
function la=min_l(X,l,H,GradJ)
b=1;
a=0;
e=0.05;
x4=10;
x2=a+(-1+sqrt(1+4*(b-a)))/(2);
while (abs(x2-x4)>e)
x4=a+b-x2;
F2=X-x2*H*GradJ;
F4=X-x2*H*GradJ;
if norm(F2)
b=x4;
else
x2=x4;
a=x2;
end
end
X=[0.43101603658062
0.78399472393963
0.05296602599762];
Kn=X(1);
Ku=X(2);
Kd=X(3);
a4=693/693;
a3=(160000*Kd+16632)/693;
a2=(110880+160000*Kn+3200000*Kd)/693;
a1=(160000*Ku+221760+3200000*Kn)/693;
a0=3200000*Ku/693;
b4=0;
b3=160000*Kd/693;
b2=(3200000*Kd+160000*Kn)/693;
b1=(3200000*Kn+160000*Ku)/693;
b0=3200000*Ku/693; продолжение
--PAGE_BREAK--
H=tf([b4 b3 b2 b1 b0],[a4 a3 a2 a1 a0]);
h=tf([10],[1 10]);
ltiview(H,h);
function Xre=Dif2(X)
Kn=X(1);
Ku=X(2);
Kd=X(3);
a4=693/693;
a3=(160000*Kd+16632)/693;
a2=(110880+160000*Kn+3200000*Kd)/693;
a1=(160000*Ku+221760+3200000*Kn)/693;
a0=3200000*Ku/693;
b4=0;
b3=160000*Kd/693;
b2=(3200000*Kd+160000*Kn)/693;
b1=(3200000*Kn+160000*Ku)/693;
b0=3200000*Ku/693;
f0=b4;
f1=b3-a3*f0;
f2=b2-a2*f0-a3*f1;
f3=b1-a1*f0-a2*f1-a3*f2;
f4=b0-a0*f0-a1*f1-a2*f2-a3*f3;
B=[f1;f2;f3;f4];
A=[0 1 0 0;
0 0 1 0;
0 0 0 1;
-a0 -a1 -a2 -a3];
h=0.001;
Xt=[0;0;0;0];
X(1,1)=Xt(1);
X(1,2)=Xt(2);
X(1,3)=Xt(3);
X(1,4)=Xt(4);
F=A*Xt+B;
% Разгонный метод
K1=h*F;t(1)=0;
K2=h*(F+K1/3);
K3=h*(F+K2/6+K1/6);
K4=h*(F+K1/8+3/8*K2);
K5=h*(F+K1/2-3/2*K3+2*K4);
Xt=Xt+(1./6)*(K1+4*K4+K5);
X(2,1)=Xt(1);
X(2,2)=Xt(2);
X(2,3)=Xt(3);
X(2,4)=Xt(4);
t(2)=t(1)+h;
F=A*Xt+B;
i=2;
%Неявный метод второго порядка
while t(i)
X1(1)=X(i-1,1);
X1(2)=X(i-1,2);
X1(3)=X(i-1,3);
X1(4)=X(i-1,4);
Xt=Xt+(h./12)*(5*B+8*(A*Xt+B)-(A*X1'+B));
Xt=((eye(4)-(5./12)*h*A)^-1)*Xt;
X(i+1,1)=Xt(1);
X(i+1,2)=Xt(2);
X(i+1,3)=Xt(3);
X(i+1,4)=Xt(4);
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end
for j=1:i
V(j)=X(j,1);
end
Xre=V;
Программа 4.
Синтез робастного регулятора.
function I=Robsist(X)
Kp=X(1);
Ku=X(2);
Kd=X(3);
clc
N=128; %ЧислофункцийУолша
% syms Kp Ku Kd;
m=1000;
T=1.5;
h=T/(N-1);
K0=0.2*(0.8+0.4*rand(m,1));
Ky=100*(0.8+0.4*rand(m,1));
Ce=0.0105*(0.8+0.4*rand(m,1));
Jp=165*(0.8+0.4*rand(m,1));
ta=0.05*(0.8+0.4*rand(m,1));
al=0.2*(0.8+0.4*rand(m,1));
Tm=0.25*(0.8+0.4*rand(m,1));
Int=m_intM(T,N);
I=eye(N);
H=hadamard(N); %построение матрицы Адамара
for i=0:(N-1)
t=i*h;
f(i+1)=y(t);
end
Cy=(1/sqrt(N)*H)*f';%спектрвхода
for i=0:(N-1)
t=i*h;
f(i+1)=xe(t); %эталонныйвыход
end
Cx=(1/sqrt(N)*H)*f';%спектр эталонного выхода
for k=1:m
a4=Ce(k)*Tm(k)*ta(k);
a3=(Ky(k)*Jp(k)*Kd*ta(k)+Ce(k)*Tm(k)+Ce(k)*ta(k));
a2=(Ce(k)*Ky(k)*Jp(k)^2*K0(k)*ta(k)+Ky(k)*Jp(k)*Kd+Ky(k)*Jp(k)*Kp*ta(k)+Ce(k)); продолжение
--PAGE_BREAK--
a1=(Ce(k)*Ky(k)*Jp(k)^2*K0(k)*al(k)+Ky(k)*Jp(k)*Ku*ta(k)+Ky(k)*Jp(k)*Kp);
a0=Ky(k)*Jp(k)*Ku;
b3=Ky(k)*Jp(k)*Kd*ta(k);
b2=(Ky(k)*Jp(k)*Kp*ta(k)+Ky(k)*Jp(k)*Kd);
b1=(Ky(k)*Jp(k)*Ku*ta(k)+Ky(k)*Jp(k)*Kp);
b0=Ky(k)*Jp(k)*Ku;
E=(a4*I+a3*Int+a2*Int*Int+a1*Int*Int*Int+a0*Int*Int*Int*Int)*Cx-(b3*Int+b2*Int*Int+b1*Int*Int*Int+b0*Int*Int*Int*Int)*Cy;
E1(k)=E'*E;
end
I=sum(E1(k));
X=[0.05189976146807 0.39467280591765 0.00047228019868];
Kp=X(1);
Ku=X(2);
Kd=X(3);
m=100;
K0=0.2*(0.8+0.4*rand(m,1));
Ky=100*(0.8+0.4*rand(m,1));
Ce=0.0105*(0.8+0.4*rand(m,1));
Jp=165*(0.8+0.4*rand(m,1));
ta=0.05*(0.8+0.4*rand(m,1));
al=0.2*(0.8+0.4*rand(m,1));
Tm=0.25*(0.8+0.4*rand(m,1));
for k=1:m
a4=Ce(k)*Tm(k)*ta(k);
a3=(Ky(k)*Jp(k)*Kd*ta(k)+Ce(k)*Tm(k)+Ce(k)*ta(k));
a2=(Ce(k)*Ky(k)*Jp(k)^2*K0(k)*ta(k)+Ky(k)*Jp(k)*Kd+Ky(k)*Jp(k)*Kp*ta(k)+Ce(k));
a1=(Ce(k)*Ky(k)*Jp(k)^2*K0(k)*al(k)+Ky(k)*Jp(k)*Ku*ta(k)+Ky(k)*Jp(k)*Kp);
a0=Ky(k)*Jp(k)*Ku;
b3=Ky(k)*Jp(k)*Kd*ta(k);
b2=(Ky(k)*Jp(k)*Kp*ta(k)+Ky(k)*Jp(k)*Kd);
b1=(Ky(k)*Jp(k)*Ku*ta(k)+Ky(k)*Jp(k)*Kp);
b0=Ky(k)*Jp(k)*Ku;
H(k)=tf([b3 b2 b1 b0],[a4 a3 a2 a1 a0]);
end
h=tf([10],[1 10]);
ltiview(H(1),H(10),H(45),H(78),H(58),h);
Литература.
Вержбитский Численные методы. – М.: Наука, 1987
Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5-ти т.; 2-е изд., перераб. и доп. Т.3: Синтез регуляторов систем автоматического управления / Под редакцией К.А. Пупкова и Н.Д. Егупова. – М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. – 616с.; ил.