ГОУ СПО«Кунгурское педагогическое училище»
ПЦКпреподавателей естественно-математических дисциплин
Допущена к защите
Зам. директора по учебной работе
Л. А. Патракова
2009 г.
Председатель ПЦК
естественно-математических
дисциплин
Т.А. Трясцына
2009 г.
Разработка программы факультативного курса по теме «Элементы комбинаторики»для 8 класса
Выпускнаяквалификационная работа
по методикепреподавания математики
Лузиной Татьяны Юрьевны
специальность: 050201 Математика
группа М-51
отделение: очное
Руководитель:
преподаватель математики
Л. Г. Янкина
2009
Оглавление
Введение
Глава 1. Использование комбинаторныхзадач на уроках математики
1.1 Правила решения комбинаторныхзадач
1.2 Методика обучения решениюкомбинаторных задач
Глава 2. Разработка программыфакультативного курса по теме «Элементы комбинаторики» для 8 класса
2.1 Основные понятия о факультативномкурсе
2.2 Программа факультативного курса
Заключение
Литература
Приложения
Введение
В повседневной жизнинередко перед нами возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколькоразличных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, очень важно неуступить ни одной из них. Для этого нужно осуществлять перебор всех возможныхвариантов или хотя бы подсчитать их число.
Задачи, в которых идетречь о тех или иных комбинациях объектов, называются комбинаторными. Областьматематики, в которой изучаются комбинаторные задачи, называетсякомбинаторикой.
За последние годыкомбинаторика переживает период бурного развития, связанного с общим повышениеминтереса к проблемам дискретной математики. Комбинаторные методы используютсядля решения транспортных задач, в частности задач по составлению расписаний;для составления планов производства и реализации продукции. Установлены связимежду комбинаторикой и задачами линейного программирования.
В настоящее времякомбинаторика является одним из важных разделов математической науки. Ее методышироко используются для решения практических и теоретических задач.
В ходе работы над темойбыл проведен анализ учебников математики на наличие в них комбинаторных задач ианализ программы по математике, а также анкетирование учителей школ г. Кунгура(приложение №1).
Анализ учебников показал,что только в учебниках Дорофеева Г. В. (6 класс) и Мордковича А. Г. (9 класс)имеются элементы комбинаторики. А, именно, разбираются два способа решения комбинаторныхзадач: перебор и дерево возможных вариантов, а также рассматриваются правиласложения и произведения.
Анализ программы дляобщеобразовательной школы показал, что элементы комбинаторики в процессобучения математике не вводятся, а в школах (классах) с углубленным изучениемматематики они вводятся в 8 классе.
В лицее №1 г. Кунгураэлементы комбинаторики изучаются не достаточно, только один час в неделю, (таккак нет программы), поэтому автору работы было предложено разработать программуфакультативного курса по теме «Элементы комбинаторики» для 8 класса.
Факультативный курсявляется одной из форм дифференцированного обучения. Главной цельюфакультативных занятий по математике является углубление и расширение знаний,развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей,привитие школьникам интереса и вкуса к самостоятельным занятиям математикой,воспитание и развитие их инициативы и творчества.
Включение комбинаторныхзадач в курс математики оказывает положительное влияние на развитие учащихся.
Решение таких задач даетвозможность расширить знания учащихся о самой задаче, о процессе решения,подготовить к решению жизненных практических проблем, научить приниматьоптимальное в данной ситуации решение, организовать элементарнуюисследовательскую и творческую деятельность учащихся. Следовательно, эта темаактуальна.
Учащиеся также знакомятсяс новым методом решения задач – перебором возможных вариантов, который можноиспользовать в дальнейшем для решения другого типа задач.
Цель: разработка программы факультативногокурса по теме «Элементы комбинаторики» для 8 класса.
Задачи:
1) изучитьметодическую и научную литературу по теме исследования;
2) выделить основныепонятия комбинаторики и способы решения комбинаторных задач, показать методикуработы на уроках математики при использовании элементов комбинаторики;
3) разработатьпрограмму и систему уроков для изучения данной темы.
Объект исследования: учебная деятельность учащихся 8класса в процессе решения комбинаторных задач.
Предмет исследования: процесс решения комбинаторных задачучащимися 8 класса.
Контингент: учащиеся восьмого класса лицея №1 г.Кунгура.
В написании выпускнойквалификационной работы помогла следующая литература:
ü Виленкин Н. Я. Комбинаторика. – М.:Наука, 1969. В этой книге разбираются некоторые довольно сложные комбинаторныезадачи, так же даются понятия о методах их решения.
ü Журнал «Начальная школа», в которомбыли освещены следующие темы:
— «Способы решениякомбинаторных задач»;
— «Методикаобучения решению комбинаторных задач»;
— «Характеристикакомбинаторных задач».
ü Газета «Математика», которая включалав свое содержание комбинаторные задачи для школьников различных возрастов.
Структура работы
Выпускнаяквалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения иприложений.
Во введении обоснованаактуальность исследования, определены цель, задачи, охарактеризованаиспользуемая литература.
В главе 1 речь идет обистории науки «Комбинаторики», ее развитии. Освещены основные понятиякомбинаторики, правила решения комбинаторных задач, а также представленаметодика обучения решению комбинаторных задач
Во второй главе –основные понятия о факультативном курсе, а также программа факультативногокурса по теме «Элементы комбинаторики».
В заключении представленыосновные выводы по работе, практическая значимость темы.
В приложении показанаразработка занятий факультативного курса, а также анкетирование учителей школгорода Кунгура.
Глава 1. Использованиекомбинаторных задач в обучении математике
1.1 Правила решения комбинаторныхзадач
В математике и ееприложениях часто приходится иметь дело с различного рода множествами иподмножествами: устанавливать их связь между элементами каждого, определятьчисло множеств или их подмножеств, обладающих заданным свойством. Такие задачиприходится рассматривать при определении наиболее выгодных коммуникаций внутригорода, при организации автоматической телефонной связи, работы морских портов,при выявлении связей внутри сложных молекул, генетического кода, а также влингвистике, в автоматической системе управления, значит и в теориивероятностей, и в математической статистике со всеми их многочисленнымиприложениями.
Один из разделов теориивероятности – комбинаторика.
Комбинаторика – ветвьматематики, изучающая комбинации и перестановки предметов. Еще комбинаторикуможно понимать как перебор возможных вариантов. Комбинаторика возникла в XII веке. Долгое время она лежала внеосновного русла развития математики.
Задачи, в которых идетречь о тех или иных комбинациях объектов, называются комбинаторными. Областьматематики, в которой изучаются комбинаторные задачи, называется комбинаторикой[23, 28].
Раздел комбинаторики, вкотором рассматривается лишь вопрос о подсчете числа решений комбинаторнойзадачи, называется теорией перечислений. Он тесно связан с теориейвероятностей. Во многих случаях при вычислении вероятности данного события надонайти число возможных вариантов и число благоприятных вариантов. Числовариантов отыскивается комбинаторными методами [23, 19].
С задачами, в которыхприходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенномпорядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись ещев доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты,воинов – во время битвы, инструментов – во время работы.
Комбинаторные навыкиоказались полезными и в часы досуга. Нельзя точно сказать, когда наряду ссостязаниями в беге, метании диска, прыжках появились игры, требовавшие, впервую очередь, умения рассчитывать, составлять планы и опровергать планыпротивника.
Со временем появилисьразличные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игрприходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто ихлучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. Не толькоазартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще сдавних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, асекретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Сталиприменять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различныхперестановках букв, заменах букв с использованием ключевых слов и т.д.
Комбинаторика как наукастала развиваться в XIII векепараллельно с возникновением теории вероятностей, так как для решениявероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинацийэлементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянскимученым Дж. Кардано, Н.Тарталье (1499-1557), Г.Галилею (1564-1642) и французскимученым Б.Паскалю (1623-1662) и П.Ферма.
Комбинаторику каксамостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г.Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666году. Он также впервые ввел термин «комбинаторика». Значительный вклад вразвитие комбинаторики внес Л.Эйлер. В современном обществе с развитиемвычислительной техники комбинаторика «добилась» новых успехов. В настоящеевремя в образовательный стандарт по математике включены основы комбинаторики,решение комбинаторных задач методом перебора, составлением дерева вариантов(еще его называют «дерево возможностей») с применением правила умножения.
Возрастает ролькомбинаторных задач уже в начальном обучении математике, так как в них заложеныбольшие возможности не только для развития мышления учащихся, но и дляподготовки учащихся к решению проблем, возникающих в повседневной жизни [11,18].
Рассмотримисходные понятия, лежащие в основе решения комбинаторных задач.
Правила решениякомбинаторных задач
В основе науки«Комбинаторики» лежит теория множеств. Множество – это основное понятие теориимножеств, поэтому никак не определяется, а поясняется на примерах (множествонатуральных чисел, множество треугольников, квадратов).
В математике изучают нетолько те или иные множества, но и отношения, взаимосвязи между ними. Например,известно, что все натуральные числа являются целыми, т. е. множествонатуральных чисел является подмножеством множества целых чисел. Множество Вназывают подмножеством множества А, если каждый элемент множества Вявляется также элементом множества А.
Используя 2 цифры,например, 3 и 5, можно записать 4 двузначных числа: 35, 53, 33 и 55. Несмотряна то, что числа 35 и 53 записаны с помощью одних и тех же цифр, эти числа различные.В том случае, когда важен порядок следования элементов, говорят обупорядоченных наборах элементов. Такие наборы называют кортежами и различают подлине. Длина кортежа – это число элементов, из которых он состоит. Например,(3; 6; 7) – это кортеж длины 3.
Рассматривают вматематике и декартово произведение множеств. Декартовым произведением множествА1, А2, …, Аn называют множество всех кортежейдлины n, первая компонента которогопринадлежит множеству А, вторая – множеству А2, …, n-я множеству Аn.
Если в множестве Асодержится а элементов, а в множестве В – b элементов, то в декартовомпроизведении множества А и В содержится а·b элементов, т. е. n(A×B)=n(A)·n(B)=a·b [23, 6].
Задача: сколькодвузначных чисел можно записать, используя цифры 5, 4 и 7?
Решение: запись любогодвузначного числа состоит из двух цифр и представляет собой упорядоченную пару.В данном случае эти пары образуются из элементов множества А={5, 4, 7}.В задаче требуется узнать число таких пар, т. е. число элементов в декартовомпроизведении А×А. Согласно правилу n(A×А)=n(A)·n(А)=3·3=9. Значит, двузначных чисел, записанных с помощьюцифр 5, 4 и 7, будет 9.
Таким образом, на основенекоторых понятий теории множеств строятся основные понятия комбинаторики.
Комбинаторные задачи в начальномкурсе математики решаются, как правило, методом перебора. Для облегчения этогопроцесса нередко используются таблицы и графы. В связи с этим необходимыопределенные умения и навыки решения комбинаторных задач. Прежде всего, решаянесложные комбинаторные задачи, нужно грамотно осуществлять перебор возможныхвариантов.
Задача: сколькодвузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7?
/>Решение:для того чтобы не пропустить и не повторить ни одно из чисел, будем выписыватьих в порядке возрастания. Сначала запишем числа, начинающиеся с цифры 1, затемс цифры 4 и, наконец, с цифры 7: 11, 14, 17, 41, 44, 47, 71, 74, 77. Такимобразом, из трех данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел.
Существует единый подходк решению самых разных комбинаторных задач с помощью составления специальныхсхем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда название – дерево возможныхвариантов. При правильном построении дерева ни один из возможных вариантоврешения не будет потерян. Знак * изображает корень дерева, ветви дерева –различные варианты решения [15,115].
Правило суммы
В комбинаторике, котораявозникла раньше теории множеств, правило нахождения числа элементов объединениядвух непересекающихся конечных множеств называют правилом суммы и формулируют втаком виде.
Если объект аможно выбрать mспособами, а объект b– kспособами (не такими, как а), то выбор «либо а, либо b» можно осуществить m+kспособами.
п(А+В)=п(А)+п(В)
Задача: на тарелке лежат5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один плод?
Решение: по условиюзадачи яблоко можно выбрать пятью способами, апельсин – четырьмя. Так как взадаче речь идет о выборе «либо яблоко, либо апельсин», то его, согласноправилу суммы, можно осуществить 5+4=9 способами.
Правило произведения
Правило нахождения числаэлементов декартова произведения двух множеств называют в комбинаторикеправилом произведения и формулируют в таком виде.
Если объект аможно выбрать mспособами, а объект b— kспособами, то пару (a, b)можно выбрать m∙kспособами.
п(А×В)=п(А)×п(В)
Правило суммы ипроизведения, сформулированные для двух объектов, можно обобщить и на случай t объектов.
Задача: сколькотрехзначных чисел можно составить, используя цифры 7, 4 и 5?
Решение: в данной задачерассматриваются трехзначные числа, так как цифры в записи этих чисел могутповторяться, то цифру сотен, цифру десятков и цифру единиц можно выбрать тремяспособами каждую. Поскольку запись трехзначного числа представляет собойупорядоченный набор из трех элементов, то, согласно правилу произведения, еговыбор можно осуществить 27 способами, так как 3∙3∙3=27.
Правила суммы ипроизведения – это общие правила решения комбинаторных задач. Кроме них вкомбинаторике пользуются формулами для подсчета числа отдельных видовкомбинаций, которые встречаются наиболее часто. Рассмотрим некоторые из них и,прежде всего те, знание которых необходимо [24, 72].
Размещения
С теоретико-множественнойточки зрения запись любого двузначного числа – это кортеж длины двух. Записываяразличные двузначные числа с помощью цифр 7, 4 и 5, мы по сути делаобразовывали из данных трех цифр различные кортежи длины двух с повторяющимисяэлементами. В комбинаторике такие кортежи называют размещениями с повторениямииз трех элементов по два элемента.
Размещение сповторениями из kэлементов по mэлементов – этокортеж длины m,составленный из m элементов k-элементного множества.
/>=km
Из определения следует,что два размещения из kэлементов по m элементовотличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.
Например, два двузначныхчисла из перечисленных выше (а это размещения из трех элементов по два)отличаются друг от друга либо составом элементов (74 и 75), либо порядком ихрасположения (74 и 47).
Задача: скольковсевозможных двузначных чисел можно записать, используя цифры 7, 4 и 5?
Решение: пользуясьформулой />=km, легко подсчитать, сколькодвузначных чисел можно записать, используя цифры 7, 4 и 5. так как речь идет оразмещениях с повторениями их трех элементов по два, то />=32=9.
Нередко встречаютсязадачи, в которых требуется подсчитать число кортежей длины m, образованных из k элементов некоторого множества, нопри условии, что элементы в кортеже не повторяются. Такие кортежи называютсяразмещениями без повторений из k элементов по mэлементов.
Размещение безповторений из kэлементов по mэлементов – этокортеж длины m,составленный из неповторяющихся элементов множества, в котором k элементов.
/>/>, />
m множителей
Задача: скольковсевозможных трехзначных чисел можно записать, используя цифры 7, 4 и 5, так,чтобы цифры в записи числа не повторялись?
Решение: в задачерассматриваются размещения без повторений из трех элементов по три, и их числоможно подсчитать по формуле:
/>=3(3-1)∙(3-2)=3∙2∙1=6.
Эти числа таковы: 745,754, 475, 457, 547, 574.
Одним из видов размещенийявляются перестановки.
Перестановки
Два размещения безповторений из n элементов по m состоят из одних и тех же элементов,расположенных в различном порядке. Такие размещения называют перестановкамибез повторений из nэлементов.
/> где n!=1∙2∙3∙…∙n
Читают «n факториал». Считают, что 1!=1, 0!=1.Например, 5!=1∙2∙3∙4∙5=120; 7!=1∙2∙3∙4∙5∙6∙7=5040.
Задача: сколькимиспособами можно расставить на шахматной доске 8 одинаковых ладей, так, чтобыникакие две из них не били друг друга?
Решение: ладьи не будутбить друг друга тогда и только тогда, когда на каждой горизонтали и каждойвертикали стоит ровно одна ладья. Поэтому будем выставлять их по горизонталям.Первую можно поставить на любые 8 полей первой горизонтали, вторую на 7 полейвторой горизонтали (одна вертикаль уже занята первой ладьей) и т.д. Получаем Р8=8!=40320способов.
Пусть дан кортеж длинны п,составленный из элементов множества Х={х1, …, хk}. Причем элемент х1входит в этот кортеж п1 раз, элемент хk– пk раз. Тогда п=п1+…+пk. Если переставлять в этом кортеже буквы, то будутполучаться новые кортежи, имеющие тот же состав. Эти кортежи называются перестановкамис повторениями из элементов х1,…, хk, имеющими состав (п1,…, пk).
/>
Задача: сколько различныхкортежей получится, если переставлять буквы слова «математика»?
Решение: это слово имеетсостав: м – 2, а – 3, т – 2, е – 1, и – 1, к – 1, то есть (2, 3, 2, 1, 1, 1),поэтому получим Р(2,3,2,1,1,1)=/>
В размещениях иперестановках важен порядок размещения элементов кортежа.
Сочетания
В отличие от размещений,в сочетаниях порядок элементов множества не важен.
Из элементов множества Х={7,4, 5} можно образовывать не только кортежи различной длины, но и различныеподмножества, например двухэлементные. В комбинаторике их называют сочетаниямибез повторений из трех элементов по два элемента.
Сочетание безповторения из k элементов по mэлементов – этоm-элементное подмножество множества,содержащего k элементов.
/>
Два сочетания изkэлементов поmэлементов отличаются друг от другахотя бы одним элементом.
Число всевозможных сочетанийбез повторений из k элементовпо m элементов обозначают /> [23, 154].
Задача: четыре человекасыграли друг с другом по одной партии в шахматы. Сколько было сыграно партий?
Решение: каждую партиюможно рассматривать как комбинацию из двух элементов четырех элементногомножества, в которой порядок расположения элементов не существен. Но такиекомбинации являются сочетаниями без повторений из 4 элементов по 2 и их числоравно: />
Сочетанием сповторениями из n элементов по k элементов называется всякая последовательностьиз k элементов, членами которой являются элементы n[29].
/>= />
Задача: сколько наборов из 7 пирожныхможно составить, если в продаже имеется 4 сорта пирожных?
Решение: /> = />= />= /> = />=120.
В комбинаторике решаютсязадачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинацийиз элементов этих множеств. В зависимости от правил составления можно выделитьтри типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания [28].
Конечно, применениеформул облегчает подсчет числа возможных вариантов решений той или инойкомбинаторной задачи. Однако чтобы воспользоваться формулой, необходимоопределить вид комбинаций, о которых идет речь в задаче, что бывает сделать неочень просто.
Виды комбинаций
Формула
На «языке» комбинаторики
На теоретико-множественном «языке»
Размещения с повторениями из к элементов по т элементов
Кортежи длины т, составленные из m элементов k-элементного множества (важен порядок элементов).
/>
Размещения без повторений из к элементов по т элементов
Кортежи длиныm, составленные изнеповторяющихся элементов множества, в котором k элементов
(важен порядок элементов).
/>/> Перестановки с повторениями из n элементов Кортежи, составленные из n повторяющихся элементов множества (важен порядок элементов)
/>
Перестановки без повторений из к элементов
Размещения из k элементов по k элементов (важен порядок элементов).
Рk=k!
Сочетания без повторений из к элементов по т элементов
m-элементное подмножество множества, содержащего k элементов (порядок элементов не важен)
/> Сочетания с повторениями из элементов n-типов
Всякая последовательность из k элементов, членами которой являются элементы n(порядок элементов не важен)
/>
Данная таблица даетпредставления о возможности использования формул комбинаторики итеоретико-множественном смысле комбинаторике.
Таким образом, решаянекоторые комбинаторные задачи, можно решить жизненные проблемы. Например,заведующему учебной частью школы – составить расписание уроков, лингвисту — учесть различные варианты значений букв незнакомого языка. Следовательно,комбинаторные задачи играют большую роль не только в обучении математике, но ивообще в жизни.
Для использованиякомбинаторных задач на уроках математики учителю необходимо знать методикуобучения решению комбинаторных задач.
1.2 Методика обучениярешению комбинаторных задач
В комбинаторных задачахзаложены большие возможности для развития мышления учащихся. Кроме того, впроцессе обучения решению комбинаторных задач можно расширить знания учащихся осамой задаче, познакомить их с новым способом решения задач; подготовить крешению жизненных практических проблем, научить принимать оптимальное в даннойситуации решение; организовать элементарную исследовательскую и творческуюдеятельность учащихся.
В процессе решениякомбинаторных задач учащиеся приобретают опыт хаотичного перебора возможныхвариантов. И на основе этого опыта в дальнейшем можно будет обучать детейорганизации систематического перебора.
Выделяют три этапаобучения комбинаторным задачам в 5 классе:
1. Подготовительный.
2. Решение задач с небольшим числомвозможных вариантов.
3. Работа с графическими средствами.
На подготовительном этапеидет работа над совершенствованием мыслительных операций (анализа, синтеза,сравнения), которые входят в состав деятельности при решении комбинаторныхзадач. Особое внимание уделяется сравнению объектов, состоящих из отдельныхэлементов. В этом случае сравнение может быть проведено по таким основаниям,как: числу элементов; составу, входящих в объект элементов; порядкурасположения элементов в объекте. Например, предлагаются следующие задания:
1. Рассмотри внимательноколечки из бусинок. Скажи, что изменяется от одного колечка к другому.
/>
Рис. 1
2. Вставить пропущенныечисла:
1) 24, 21, 19, 18,15, 13, _, _, 7,6 (12, 9);
2) 1, 4, 9, 16, _,_, 49, 64, 81, 100 (25, 36);
3) 16, 17, 15, 18,14, 19, _, _ (13, 20);
4) 2 5 9 (2+4):2=3
4 7 5 (5+7):2=6
3 6 ? (9+5):2=7
5) 12 (56) 16 (12+16)∙2=56
17 (__) 21 (21+17) ∙2=76
3. Решить задачу:
Мальчик написал число 86,затем увеличил его на 12, не производя записи. Как он это сделал? (перевернулего)
На втором этапе школьникиучатся находить все возможные варианты в комбинаторных задачах, организуяперебор в определенной системе. Но здесь решаются задачи с небольшим числом возможныхвариантов. Основная цель этого этапа – обучение школьников решениюкомбинаторных задач с использованием систематического перебора всех возможных вариантов [2, 43].
Каким же образом можноподвести учеников к идее организации перебора в определенной системе, какмотивировать переход от хаотичного к систематическому перебору?
Разыгрывается следующаяситуация: Маша, Саша и Даша едут в электричке на дачу. Они сидят на однойскамейке (трое детей садятся у доски на стулья в любом порядке). Детям нужно былопроехать 8 остановок. Чтобы не было скучно ехать, они решили на каждойостановке меняться местами. Ставится вопрос «Смогут ли дети каждый раз менятьсяместами так, чтобы их новое расположение оказывалось все время отличным отпредыдущих?». Ученики предлагают варианты расположения детей, они проигрываютсяу доски и записываются. Пока перебор осуществляется случайным образом,хаотично. После того как найдены 6 расположений, ученики стараются ещесоставить другой, новый вариант. Все их попытки сделать это не приводят куспеху. Встает вопрос «Почему они не нашли седьмой вариант: не могут этосделать или его не существует и уже найдены все возможные расположения?». Чтобыответить на него, учащимся предлагается рассмотреть составленные 6 вариантов,найти и записать пары вариантов, очень похожие друг на друга. Например, можновыделить такие тройки:
М. С. Д. С. Д.М. Д. М. С.
М. Д. С. С. М.Д. Д. С. М.
Полученнаяпоследовательность вариантов анализируется. Учащиеся замечают, что все девочкисидели у окна и, когда одна из них сидит у окна, то две другие могутразместиться только двумя различными способами. Таким образам, дети убеждаютсяв том, что можно составить только 6 различных вариантов, других быть не может.Затем учитель просит учеников по записанным вариантам еще раз рассказать, какойспособ пересаживания был выбран во втором случае. И обращает внимание на то,что, используя его, можно быстро составить варианты, не повторяя дважды одни ите же, и быть уверенным, что найдены все возможные варианты. В дальнейшемрешение задач хаотичным перебором не запрещается. Но те ученики, которыепроводят перебор по определенной системе, поощряются. Предложенные ими способыразбираются и подчеркиваются преимущества осуществления такого перебора.Постепенно дети убеждаются в пользе систематического перебора и приучаются егоиспользовать.
В одной и той же задачеможно выбрать разную систему перебора, и каждый ученик сам решает, как он будетдействовать. Так, например, при решении приведенной выше задачи можно былоориентироваться на сидящего посередине (или у прохода):
С.М.Д. М.С.Д. М.Д.С. С.М.Д. М.Д.С. Д.С.М
Д.М.С. Д.С.М. С.Д.М. М.С.Д. Д.М.С. С.Д.М.
Можно предложить учащимсяиспользовать прием, заключающийся во временном уменьшении числа элементов исоставлении требуемых в задаче комбинаторных соединений на основе найденныхвариантов для меньшего числа элементов. Например, задача: «Сколько разных фигурможно составить на листе бумаги из четырех одинаковых квадратов при условии,что квадраты соприкасаются точно по сторонам?» Чтобы ее решить, учительпредлагает детям сначала все возможные фигуры из трех квадратов. Затем взятьпервую фигуру, составленную из трех квадратов, и по-разному присоединять к нейчетвертый квадрат, следя за тем, чтобы не получились одинаковые фигуры. Такжепредлагается действовать и со второй фигурой, составленной из трех квадратов(рис 2).
/>/>/>/>/>
Рис.2
Рис. 3
После того как школьникиубедятся в преимуществе систематического перебора, им следует показать, чтоесть и такие задачи, в которых не стоит искать какую-либо систему перебора. Этозадачи комбинаторной геометрии. Комбинаторная геометрия – это раздел математики,который занимается вопросами расположения и комбинаций фигур. Например, нужноиз деталей, изображенных на рис. 3, выложить «лесенку», по заданному контуру(рис. 4). Различные решения (рис. 5, 6, 7,) находятся в процессе хаотичногоперебора, так в этой задаче можно быстрее и легче выполнить требуемое.
/>
Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7
При решении комбинаторныхзадач в некоторых случаях у школьников могут возникать затруднения в различениисоставляемых соединений, связанных с тем, что для определения их неразличимостинужно выполнить определенные геометрические преобразования.
Составление комбинаторныхсоединений происходит с опорой на запись. Следовательно, в задачах, в которыхэлементы являются реальными предметами, стоит проблема их обозначения. И если вначале обучения используются конкретные, наглядные заместители реальныхпредметов, то в дальнейшем учащиеся постепенно переходят к применению условныхобозначений. Например, задача: «На каждом флажке должны быть три горизонтальныеполоски: красного, синего и белого цвета. Сколько можно получить различныхфлажков, если менять порядок расположения цветов?» Решая ее, можно выбратьразличные способы обозначения флажков.
К 1
Б 2
С 3 /> Рис. 8
/>
/>/>Непосредственный перебор всехвозможных вариантов при решении комбинаторных задач в некоторых случаях можетбыть затруднен. Облегчить процесс нахождения этих вариантов можно, научив детейпользоваться такими средствами перебора, как таблицы и графы. Они позволяютрасчленить ход рассуждений, четко провести перебор, не упустив каких-либоимеющихся возможностей. Решение задач с использованием таблиц и графов являетсяосновным содержанием третьего этапа, выделяемого в обучении школьников решениюкомбинаторных задач.
Сначала как с наиболеепростым средством организации перебора учащиеся знакомятся с таблицами.Рассматривая таблицу (рис. 9) ученики открывают принцип её составления. Затемим предлагают заполнить другую таблицу. Проговариваются разные способызаполнения: по строчкам, по столбцам.
/>/>В дальнейшем в целях освоенияпринципа составления таблиц используются и такие задания:
1. Запиши в нужные клеткитаблицы (рис. 10) следующие числа: 57, 75, 44, 47, 55, 77, 47. Какие числанужно записать в оставшиеся клетки?
/>2.Проверь, правильно ли заполнена таблица (рис. 11).
Когда школьники научатсясоставлять таблицы, можно переходить к решению комбинаторных задач с ихиспользованием. Как правило, дети неоправданно много времени тратят навычерчивание самой таблицы: затрудняются определить нужные размеры, разметитьвсе строчки и столбики.
Для того чтобы помочьдетям разметить таблицу, методистами были разработаны специальные трафареты(рис. 12). Опишем, как действуют учащиеся, решая с помощью таблицы задачу: «Водной деревне по сложившейся традиции мужчин называют каким-либо из следующихимен: Иван, Петр, Василий и Михаил. Проживают в этой деревне 15 мужчин. Можетли оказаться так, что в деревне нет мужчин с одинаковым именем, отчеством?»Ученик накладывает на тетрадный лист трафарет. Вписывает через «окошечки» натрафарете в верхнюю строчку и в первый столбик данные задачи. Через прорезинамечает места записи составляемых объектов. Убирает трафарет. Цветными линиямиотчерчивает данные задачи (рис. 13).
Затем ученик заполняеттаблицу (рис. 14), подсчитывает число всех возможных отличающихся имен-отчеств,сравнивает с числом мужчин в деревне и отвечает на вопрос задачи.
/>Призаполнении таблиц нужно каждый раз определять, следует записывать составляемое
/>
Рис. 16
Составляются недостающиерукопожатия (эти линии лучше проводить другим цветом, так как потом легче будетподсчитывать общее число рукопожатий). И так действуют до тех пор, пока все непоздороваются друг с другом. По получившемуся графу (рис. 16) подсчитываетсячисло рукопожатий (их всего 10).
Следующая задача:«Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4?»приводит учащихся к изображению ориентированного графа (рис. 17). Идеяпроведения стрелок возникает, когда учащиеся задумываются
/>
Рис. 17
как обозначить, например,число 12: показать, что оно начинается с цифры 1, а оканчивается цифрой 2.петля появляется при обозначении, например, числа 11: стрелка должна начинатьсяи заканчиваться на одной и той же цифре. Открыв для себя на первых задачах этиусловные обозначения (точки, линии, стрелки, петли), учащиеся в дальнейшемприменяют их при решении различных задач, составляя графы того или иного вида.Приведем некоторые примеры.
1. В финал турнирапо шашкам вышли два российских игрока,
Рис. 18
/>
два немецких и два американских.Сколько партий будет в финале, если каждый играет с каждым по одному разу ипредставители одной страны между собой не играют? (граф на рис. 18)
/>
Рис. 19
2. В зале лежаликонфеты четырех сортов. Каждый ребенок взял по 2 конфеты. И у всех оказалисьотличающиеся наборы конфет. Сколько могло быть детей? (граф на рис. 19)
3. Сколькоразностей можно составить из чисел 30, 25, 17, 9, если для их составлениябрать по 2 числа? Будут ли среди них разности, значения которых равны? (граф нарис. 20)
Можно предлагать учащимсяи обратные задания: составить задачу по имеющемуся графу. Например: «Рассмотривнимательно граф (на рис. 21) и пофантазируй, о какой ситуации он может теберассказать». Ученики, рассуждая, что точки могут обозначать людей, предметы, алинии говорят о том, что из них образуются пары, составляют разные вариантызадач, например
/>/>
Рис. 20 Рис. 21
1. Четыре подружкивечером по телефону созваниваются друг с другом. Сколько звонков было сделано,если каждая подружка поговорила с каждой по одному разу?
2. В магазинепродаются елочные шары четырех видов. Сколько отличающихся наборов, состоящихиз двух разных шаров, можно с, состоящих из двух разных шаров, можно составить?
Примеры задач, которыеможно решать с помощью таблиц и графов:
1. На фабрике естьстержни для ручек четырех цветов: красного, синего, зеленого и черного. Сколькоразличных трехцветных ручек можно при этом собрать?
2. У девочки естьбумага зеленого и желтого цвета. Из нее она вырезает круги, квадраты итреугольники, делая их большими и маленькими. Сколько различных вариантов у нееполучится?
3. Шерлоку Холмсунужно открыть сейф, для этого он должен отгадать код. Он знает, что код – этотрехзначное число, составленное из цифр 1, 2, 3, 4 и большее числа 400. Какиечисла должен проверить Шерлок Холмс, чтобы найти код?
Правиларешения комбинаторных задач и представленная методика обучения решениюкомбинаторных задач может помочь учителю в разработке уроков.
Такимобразом, если это будут не разрозненные сведения из комбинаторики, афакультативный курс, то повысится эффективность обучения, так как задачи такоговида часто включаются в олимпиадные задания. Поэтому автором данной работы быларазработана программа факультативного курса по теме «Элементы комбинаторики»для 8 класса.
Глава 2. Разработкапрограммы факультативного курса по теме «Элементы комбинаторики» для 8 класса
2.1 Основные понятия офакультативном курсе
Факультативный курс — (франц. facultatif — возможность)необязательный учебный курс или предмет, изучаемый студентами вузов и учащимисясредних учебных заведений по их желанию для углубления и расширениянаучно-теоретических знаний [25, 573].
Еще на рубеже XIX и XXвв. некоторые педагоги поняли, что преподавание в общеобразовательной школекакого-либо предмета по обязательной единой общегосударственной программестановится более успешным, если его дополнить циклом необязательных дляучащихся внепрограммных групповых занятий. Такие занятия должны были, преждевсего, учитывать «местные условия», а именно: реальные и потенциальные запросыи интересы конкретного коллектива учащихся данного класса, реальные возможностиучителя вызвать и развить интерес учащихся к важным аспектам данного предмета,не охваченного обязательной программой. Так возникла идея факультативныхзанятий в школе.
Назначениефакультативных занятий состоит в развитии способностей и интересов учащихся всочетании с общеобразовательной подготовкой; зарождение интереса к математикена первичном уровне, поддержка его до познавательного уровня и тем самымсоздание основы для выбора профиля.
Факультативные занятияявляются одной из форм дифференцированного обучения. Главной цельюфакультативных занятий по математике является углубление и расширение знаний,развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей,привитие школьникам интереса и вкуса к самостоятельным занятиям математикой,воспитание и развитие их инициативы и творчества.
Основнаязадача факультативныхзанятий: учитывая интересы и склонности учащихся, расширить и углубить знанияпо предмету, обеспечить усвоение ими программного материала, ознакомитьшкольников с некоторыми общими идеями современной математики, раскрытьприложения математики на практике.
Факультативныезанятия играют большую роль в совершенствовании школьного, в том числематематического образования. Они позволяют производить поиск иэкспериментальную проверку нового содержания, новых методов обучения, в широкихпределах варьировать объем сложности изучаемого материала.
Программа основного курсаматематики вместе с программой факультативных занятий по математике для среднейшколы составляют программу повышенного уровня по данному предмету для учащихсяданного класса.
Программа факультативныхзанятий по математике составлена так, что все вопросы ее могут изучатьсясинхронно с изучением основного курса математики в школе. В тех случаях, когдав данном классе основной курс математики ведет один учитель, а факультативный — другой, изучение тем факультатива может проводиться независимо от основногокурса программы (в этом случае изучение тем можно проводить с некоторымзапозданием по отношению к основному курсу программы).
Факультативные занятияшкольники посещают по желанию, следовательно, педагогу необходимо создатьусловия, при которых способные ученики смогут реализовать свои возможности, аостальные учащиеся смогут решать посильные для них задачи или, пользуясьпомощью учителя, более трудные задания [16, 29].
Для того чтобыфакультативные занятия по математике были эффективными, необходимо ихорганизовать там, где есть:
1)высококвалифицированные учителя или другие специалисты, способные вести занятияна высоком научно-методическом уровне;
2) не менее 15 учащихся,желающих изучать данный факультативный курс.
Если школа имеет классы снебольшой наполняемостью (что особенно характерно для некоторых сельских школ),то группы учащихся для факультативных занятий можно комплектовать по параллелямили из учащихся смежных классов (5-6 классы, 8-9 классы и т. п.).
Записьучащихся на факультативные занятия производится на добровольных началах всоответствии с их интересами. Не следует принуждать учащихся обязательноизучать факультативные предметы. Особенно внимательно следует относиться к темучащимся, которые встречают трудности в изучении математики или совмещаютобучение в школе с другими видами занятий (спорт, музыка и т. д.). По окончаниифакультативного курса учащиеся сдают зачет (с оценкой), о чем делается отметкав аттестате.
Учительматематики несет полную ответственность за качество факультативных занятий;факультативные занятия вносятся в расписание и оплачиваются учителю.Примечательной особенностью факультативного курса является то, что программакурса для каждого класса составлена из ряда основных тем (независимых друг отдруга), содержание которых непосредственно примыкает к общему курсу математики.Однако содержание учебной работы учащихся на факультативных занятиях определяетсяне только математическим содержанием изучаемых тем и разделов, но и различнымиметодическими факторами:
— характеромобъяснения учителя;
— соотношением теории и учебных упражнений;
— содержаниемпознавательных вопросов и задач;
— сочетаниемсамостоятельной работы и коллективного обсуждения полученных каждым учащимсярезультатов.
Проведение факультативныхзанятий по математике не означает отказа от других форм внеклассной работы(математические кружки, вечера, олимпиады и т. д.). Они должны дополнять этиформы работы с учащимися, которые интересуются математикой [30].
Требования кпроведению факультативных занятий
1. Преемственность всодержании, методах и формах организации занятий по математике должнаопределяться целями обучения математики, всестороннего развития и воспитанияучащихся.
2. Взаимосвязанноепостроение уроков и факультативных занятий по математики не должнопротиворечить дидактическим принципам в обучении математики.
3. Не должно бытьпротиворечий с научно обоснованными психолого-педагогическими требованиями,такими как: изучение новых понятий на основе известных; опора при изученииматематических абстракций на конкретные модели; использование практическихвозможностей приложения математики не только на развивающем этапе изучения данноговопроса, но и в качестве мотива, обосновывающего необходимость изучения этогораздела, вопроса.
4. Не должно бытьнесогласованности с нормами организации работы общеобразовательной школы.Например, нельзя часы, отведенные на факультативные занятия, использовать длявнеклассной работы или дополнительных занятий по математике.
5. Главным критериемэффективности взаимосвязанного построения факультативных занятий по математикедолжна быть результативность неразрывно связанных друг с другом процессов обучения,развития и воспитания школьников.
6. Факультативных занятияпо математике целесообразно проводить, учитывая их функции – развивающую,воспитывающую и учебную [31].
Методическиерекомендации по организации факультативных занятий
1. Взаимосвязь всодержании, формах и методах организации учебной работы и факультативныхзанятий.
2. Обеспечениевзаимосвязи (по содержанию) уроков и факультативных занятий.
3. Единство всодержании факультативных занятий различных разделов математики.
4. Активизациясамостоятельной работы учащихся.
5. Построениеучебного процесса как совместной исследовательской деятельности учащихся.
6. Использованиенаглядных пособий, применение конспект-таблиц на лекциях.
7. Использованиесистемы ключевых задач по темам на факультативных занятиях.
8. Использованиеисторико-математического материала на факультативных занятиях.
9. Принципызанимательности занятий.
10. Построениезанятий проблемного изучения материала.
Прежде всего,факультативные занятия должны быть интересными, увлекательными для школьников.Хорошо известно, что занимательность изложений помогает раскрытию содержаниясложных научных понятий и проблем. Занимательность поможет школьникам освоитьфакультативный курс, содержащиеся в нем идеи и методы математической науки, логику,и приемы творческой деятельности. В этом отношении цель учителя — добитьсяпонимания учениками того, что они подготовлены к работе над сложнымипроблемами, однако для этого необходима заинтересованность предметом,трудолюбие, владение навыками, организации своей работы.
Возможность 1-2 часа внеделю дополнительно работать со школьниками, проявляющими повышенный интерес испособности к математике, представляет собой одно из проявлений новой формыобучения математике — дифференцированного обучения.
По существуфакультативные занятия являются наиболее динамичной разновидностьюдифференциации обучения.
В какой бы форме, икакими бы методами не проводились факультативные занятия по математике, онидолжны строиться так, чтобы быть для учащихся интересными, увлекательными, аподчас и занимательными. Необходимо использовать естественную любознательностьшкольника для формирования устойчивого интереса к своему предмету.
Известный французскийфизик Луи де Бройль писал, что современная наука – «дочь удивления и любопытства,которые всегда являются ее скрытыми движущими силами, обеспечивающими еенепрерывное развитие».
Основными формамипроведения факультативных занятий по математике являются в настоящее времяизложение узловых вопросов данного факультативного курса учителем (лекционнымметодом), семинары, собеседования (дискуссии), решение задач, рефераты учащихся(как по теоретическим вопросам, так и по решению цикла задач), математическиесочинения, доклады учащихся и т. д.
Однако учителю не следуетотдавать предпочтение какой-либо одной форме или методу изложения. Вместе стем, памятуя о том, что на факультативных занятиях по математикесамостоятельная работа учащихся должна занять ведущее положение, следует все жечаще применять решение задач, рефераты, доклады, семинары-дискуссии, чтениеучебной и научно-популярной литературы и т. п.
Одной из возможных формведения факультативных занятий по математике является разделение каждогозанятия на две части. Первая часть посвящается изучению нового материала исамостоятельной работе учащихся по заданиям теоретического и практическогохарактера. По окончании этой части занятия учащимся предлагается домашнеезадание по изучению теории и ее приложений. Вторая часть каждого занятияпосвящена решению задач повышенной трудности и обсуждению решений особеннотрудных или интересных задач. Эта форма проведения факультативных занятий можетспособствовать успешному переходу от форм и методов обучения в школе к формам иметодам обучения в высших учебных заведениях.
Также при проведениифакультативных занятий можно использовать методы изучения (а не обучения)математики, а также проблемную форму обучения.
В частности, ее можноосуществить, если представить изучаемый факультативный курс в виде сериипоследовательно расположенных задач. Решая последовательно все задачисамостоятельно или при незначительной помощи преподавателя, школьникипостепенно изучают курс при большом личном участии, проявляя активность исамостоятельность, овладевая техникой математического мышления.
Теоремы имеют вид задач.Если теорема, которую учащиеся должны доказать, является большой или трудной,то она разбивается на несколько задач так, что решение предыдущей помогаетрешить последующую. Определения либо включаются преподавателем в текст задачи,либо сообщаются особо. В необходимых случаях преподаватель проводитпредварительную беседу или делает обобщения.
Полезно также широкоиспользовать задачи проблемного характера.
В настоящее времяфакультативные занятия по математике проводятся по двум основным направлениям:
а) изучение курсов попрограмме «Дополнительные главы и вопросы курса математики»;
б) изучение специальныхматематических курсов.
Содержание программы«Дополнительные главы и вопросы» систематического курса математики позволяетрешить и углубить изучение программного материала, ознакомить учащихся снекоторыми общими современными математическими идеями, раскрыть приложенияматематики в практике, готовит учителя к работе по новой программе.
На самих занятияхкачество усвоения теории проверяется в процессе решения задач и примеров. Здесьсовершенно недопустимы такие формы работы, которые сковывали бы инициативуучащихся. Занятие начинается с постановки упражнения для всех учащихся. Завремя, которое отводится на выполнение задачи или примера, учитель успеваетпроследить, кто и как справляется с заданием. Не следует торопить учащихся.Обычно, если не все, то некоторые из них выполняют задание в запланированноеучителем время, а затем начинается разбор и теоретическое обоснование решений.Инициатива в оценке способов решения, в исправлении ошибок, в постановкевопросов представляется самим учащимся. В процессе этой работы достигаетсялогическая точность в формулировках определений понятия или их свойств. Взаключительном слове учитель дает мотивированную оценку знаний учащихся. Помимоуказанной формы контроля знаний, целесообразно проводить кратковременные15-20-минутные проверочные работы.
На занятиях полезнопрактиковать постановку докладов учащихся. При подготовке к докладам учащиесяиспользуют различную дополнительную литературу, указанную учителем. Не следуетувлекаться большим количеством докладов, в противном случае, у учителя простоне хватит времени для хорошей подготовки докладчиков [32].
Начальное общееобразование призвано помочь учителю реализовать способности каждого ученика исоздать условия для индивидуального развития школьников.
Чем разнообразнееобразовательная среда, тем легче раскрыть индивидуальность личности ученика, азатем направить и скорректировать развитие школьника с учетом выявленныхинтересов, опираясь на его природную активность.
Личностно-ориентированноеобучение строится на принципе вариативности, т.е. признания разнообразиясодержания и форм обучения, выбор которых осуществляется с учетом развитияребенка и его педагогической поддержки. Пытаясь создать условия для личностноориентированного обучения, школа предоставляет учащимся право выбора предметовпо интересам и склонностям.
В соответствии стребованиями была разработана программа факультативного курса по теме «Элементыкомбинаторики» для 8 класса.
2.2 Программа факультативного курса
Пояснительная записка
В математике и ееприложениях часто приходится иметь дело с различного рода множествами иподмножествами: устанавливать их связь между элементами каждого, определятьчисло множеств или их подмножеств, обладающих заданным свойством. Такие задачиприходится рассматривать при определении наиболее выгодных коммуникаций внутригорода, при организации автоматической телефонной связи, работы морских портов,при выявлении связей внутри сложных молекул, генетического кода, а также влингвистике, в автоматической системе управления, значит и в теориивероятностей, и в математической статистике со всеми их многочисленнымиприложениями.
Один из разделов теориивероятности – комбинаторика
На современном этаперазвития науки невозможно полноценное ее изучение и понимание без минимальнойвероятностно-статистической грамотности. Элементы комбинаторики включены вФедеральный компонент государственных образовательных стандартов основногообщего образования по математике.
Данная программафакультативного курса по теме «Элементы комбинаторики» предназначена дляучащихся 8 класса. Курс рассчитан на 11 часов. Он ведется в рамках предмета«Алгебра» 8 класса общеобразовательной школы. Данный факультативный курсрасширяет учебный материал, представленный в обязательном минимуме содержанияучебной программы курса математики.
Цель факультативногокурса: расширениепредставлений учащихся о науке «Комбинаторика».
Основная задача курсасостоит в том, чтобы научить учащихся применять формулы комбинаторики к решениюкомбинаторных задач.
В целом содержание курсанацелено на изучение пособия «Алгебра. Элементы статистики и теориивероятностей» авторов Ю.Н.Макарычева, Н.Г.Миндюк, под редакцией С.А.Теляковского(М: Просвещение, 2005г).
В ходе изученияфакультативного курса учащиеся должны будут подготовить и защитить доклады.
Обучение предполагаеттеоретическую, практическую и самостоятельную работу учащихся. Основные формытеоретических занятий: лекция, комбинированные уроки, практикумы по решениюзадач.
В ходе обучениязначительное место отводится практическим и самостоятельным работам учащихся.
Текущий контроль осуществляется в разных формах:устная, письменная, фронтальная (в зависимости от темы).
Итоговый контроль – контрольная работа.
В результате изученияфакультативного курса учащийся должен:
знать:
- основные понятияи формулы комбинаторики;
- приемы решениязадач.
уметь:
- применять формулыкомбинаторики к решению комбинаторных задач.
Тематический планфакультативного курса
Наименование тем
Общее количество часов
Количество часов
Самост.
работа
Всего
Аудит. занятия
Практ. занятия
Введение
1
1
1
-
-
Тема 1. Поиск закономерностей
1.5
1
1
-
0,5
Тема 2. Перебор возможных вариантов. Дерево возможных вариантов
1.5
1
1
-
0,5
Тема 3. Правило суммы и правило произведения
3.5
2
1
1
1,5
Тема 4. Размещения
3.5
2
1
1
1,5
Тема 5. Перестановки
1.5
1
1
-
0,5
Тема 6. Сочетания
5.5
3
1
2
2,5
ВСЕГО
18
11
7
4
7
Содержание программыфакультативного курса
Введение(1 час)
Понятия«Комбинаторика», «Комбинаторные задачи». Исторические сведения о комбинаторике.Список тем для докладов и сообщений.
Тема1. Поиск закономерностей (1 час)
Понятие«закономерность». Основные виды закономерностей. Выявление закономерностей врасположении фигур. Выявление закономерностей в числовых рядах.
Самостоятельнаяработа
Подборзакономерностей
Тема2. Перебор возможных вариантов.
Деревовозможных вариантов (1 час)
Способырешения комбинаторных задач: перебор возможных вариантов, дерево возможныхвариантов. Специальная схема для решения комбинаторных задач.
Самостоятельнаяработа
Составлениезадач.
Тема3. Правило суммы и правило произведения (1 часа)
Правилосуммы. Правило произведения.
Практическоезанятие №1 (1 час)
Решение задач.Проверочная работа по темам: «Поиск закономерностей», «Перебор возможныхвариантов. Дерево возможных вариантов», «Правило суммы и правило произведения».
Тема4. Размещения (1 час)
Основные понятия.Размещения с повторениями. Размещения без повторений. Кортеж. Порядокэлементов. Факториал. Формулы. Множество.
Самостоятельнаяработа
Подготовка сообщений идокладов. Решение задач.
Практическое занятие№2 (1 час)
Тест по теме «Размещения»
Тема5. Перестановки (1 час)
Перестановки без повторений.Перестановки с повторениями. Порядок элементов. Формулы.
Самостоятельнаяработа
Подборзадач по теме «Сочетания»
Тема6. Сочетания (1 час)
Сочетания без повторений.Сочетания с повторениями. Порядок элементов. Формулы. Подмножество.
Самостоятельная работа
Подготовка сообщений.Решение задач. Подбор задач.
Практическоезанятие №3 (1 час)
Решениезадач. Подготовка к контрольной работе.
Практическоезанятие №4 (1 час)
Контрольнаяработа
Литератураи средства обучения
Учебно-методическаялитература
Основнаялитература
1.Виленкин Н. Я. Комбинаторика. – М.: Наука, 1969. – 328с.
2.Стойлова Л. П. Математика: Учебник для студентов отделений и факультетовначальных классов средних и высших педагогических учебных заведений. — М.:Издательский центр «Академия», 1997. – 464с.
3.Семеновых А. Комбинаторика //Математика. – 2004. — №15. – с. 28-32.
4.Семеновых А. Комбинаторика //Математика. – 2004. — №16. – с. 19-22.
5.Семеновых А. Комбинаторика //Математика. – 2004. — №17. – с. 22-27.
Дополнительнаялитература
1.Игнатьев Е. И. В царстве смекалки /Под ред. М. К. Потапова. — 2е изд. – М.:Наука, 1981. – 208с.
2.Перельман Я. И. Занимательные задачи и опыты. — Д.: ВАП, 1994. – 527с.
3.Русанов Н. В. Математический кружок младших школьников: Книга для учителя. — Оса: Росстани-на-Каме, 1994. – 144с.
4.Цыганов Ш. Комбинаторика от А до Я//Математика. – 2001. — №25. – с. 16-24. 5.Цыганов Ш. Комбинаторика от А до Я //Математика. – 2001. — №26. – с. 9-13.
6.Цыганов Ш. Комбинаторика от А до Я//Математика. – 2001. — №27. – с. 11-19.
Справочная литература
1. Комбинаторика //Энциклопедическийсловарь юного математика /Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. – 352с.
2. Математическая энциклопедия /Подред. И. М. Виноградова и др. – М.: Советская энциклопедия, 1977. – 1152 с.
Средства обучения
1. Учебные и методические пособия,справочная литература.
2. Тематические тесты и проверочныеработы.
3. Доклады и сообщения.
Тематика докладов
1. Комбинаторная геометрия
2. Историческая справка о науке«Комбинаторике»
3. Бином Ньютона
4. Блез Паскаль
5. Пьер Ферма
6. Треугольник Паскаля
7. Леонард Эйлер
8. Г. Лейбниц
9. Галилео Галилей
10. Некоторыесвойства числа сочетаний
11. Правила решениякомбинаторных задач
12. Дж. Кардано
13. Н. Тарталье
14. Магическиеквадраты
Факультативныезанятия играют большую роль в совершенствовании школьного, в том числематематического образования. Они позволяют производить поиск иэкспериментальную проверку нового содержания, новых методов обучения, в широкихпределах варьировать объем сложности изучаемого материала.
Программафакультативных занятий по математике составлена так, что все вопросы ее могутизучаться синхронно с изучением основного курса математики в школе.
Такимобразом, данная программа факультативного курса разработана в соответствии стребованиями. К ней прилагаются разработки всех занятий, осуществляетсяпромежуточный и итоговый контроль. Предложены темы для докладов и сообщений(приложение 2).
Заключение
Представителям самыхразличных специальностей приходится решать задачи, в которых рассматриваются теили иные комбинации, составленные из букв, цифр и иных объектов. Областьматематики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинацийможно составить из заданных объектов, называется комбинаторикой.
Комбинаторные задачи –это задачи, связанные с подсчетом числа всевозможных комбинаций из элементовданного конечного множества.
Включение комбинаторныхзадач в курс математики оказывает положительное влияние на развитие учащихся.Решение комбинаторных задач дает возможность расширить знания учащихся опроцессе ее решения, а также подготовить к решению жизненных практическихпроблем.
В обучении математикироль комбинаторных задач постоянно возрастает, так как в них заложены большиевозможности не только для развития мышления учащихся, но и для подготовкиучащихся к решению проблем, возникающих в повседневной жизни.
Специфика комбинаторныхзадач и методов их решения требует от учителя определенного уровняматематической подготовки. Прежде всего, он должен, решая несложныекомбинаторные задачи, уметь грамотно осуществлять перебор возможных вариантов ипри этом быть уверенным в том, что перебор осуществлен правильно.
Учителю надо знать общиеправила комбинаторики (в частности, правила суммы и произведения), некоторыевиды комбинаций, число которых может быть подсчитано с помощью формул.
Таким образом, в даннойработе были рассмотрены все правила решения комбинаторных задач: правило суммыи правило произведения, а также все виды комбинаций с повторениями и безповторений: размещения, перестановки и сочетания.
С целью формирования иразвития математических способностей у школьников и их интереса к математикебудет актуальным такой способ обучения как факультативный курс.
Назначениефакультативных занятий состоит в развитии способностей и интересов учащихся всочетании с общеобразовательной подготовкой; зарождение интереса к математикена первичном уровне, поддержка его до познавательного уровня и тем самымсоздание основы для выбора профиля.
Факультативные занятияявляются одной из форм дифференцированного обучения. Главной цельюфакультативных занятий по математике является углубление и расширение знаний,развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей,привитие школьникам интереса и вкуса к самостоятельным занятиям математикой,воспитание и развитие их инициативы и творчества.
Основнаязадача факультативныхзанятий: учитывая интересы и склонности учащихся, расширить и углубить знанияпо предмету, обеспечить усвоение ими программного материала, ознакомитьшкольников с некоторыми общими идеями современной математики, раскрытьприложения математики на практике.
Факультативные занятияшкольники посещают по желанию, следовательно, педагогу необходимо создатьусловия, при которых способные ученики смогут реализовать свои возможности, аостальные учащиеся смогут решать посильные для них задачи или, пользуясьпомощью учителя, более трудные задания.
Факультативныезанятия играют большую роль в совершенствовании школьного, в том числе математическогообразования. Они позволяют производить поиск и экспериментальную проверкунового содержания, новых методов обучения, в широких пределах варьировать объемсложности изучаемого материала.
Программафакультативных занятий по математике составлена так, что все вопросы ее могутизучаться синхронно с изучением основного курса математики в школе.
В ходе работы былаизучена различная литература, разработаны занятия факультативного курса. Такжебыл осуществлен анализ учебников по математике 5-9 классов на наличие в нихкомбинаторных задач. Он показал, что только в учебниках Дорофеева Г. В. (6класс) и Мордковича А. Г. (9 класс) имеются элементы комбинаторики. А, именно,разбираются два способа решения комбинаторных задач: перебор и дерево возможныхвариантов, а также рассматриваются правила сложения и произведения.
Было проведеноанкетирование учителей школ г. Кунгура. Оно показало, что не во всех школахиспользуются комбинаторные задачи на уроках математики, хотя учителя понимают,что такие задачи нужны, так как они развивают логическое мышление.
Таким образом, всоответствии с требованиями и методическими рекомендациями быларазработанапрограмма факультативного курса по теме «Элементы комбинаторики» для 8 класса;изучена методическая и научная литература по теме исследования; показанаметодика обучения решению комбинаторных задач.
А, следовательно, цельреализована, задачи решены.
Данная программа иметодические разработки уроков помогут учителю математики в организации ипроведении занятий данного факультативного курса по теме «Элементыкомбинаторики».
Выпускнаяквалификационная работа может стать методическим пособием для студентовКунгурского педагогического училища, как при подготовке докладов, сообщений наэту тему, так и при проведении пробных уроков или преддипломной практики. Атакже ею могут воспользоваться учителя математики, преподающие в средней школе,которые стремятся вызвать интерес к урокам математики с помощью факультативногокурса по теме «Элементы комбинаторики».
Литература
1. Арифметика: Учеб.для 5 кл. общеобразоват. учреждений / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н.Решетников, А. В. Шевкин. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2003. – 255с.
2. Белокурова Е. Е.Методика обучения решению комбинаторных задач //Начальная школа. – 1994. — №12.– с.43-47
3. Белокурова Е. Е.Характеристика комбинаторных задач //Начальная школа. – 1994. — №1. – с.34-38.
4. Болотов В. А. Овведении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержаниематематического образования основной школы //Математика. – 2004. — №44. –с.45-47.
5. Виленкин Н. Я.Комбинаторика. – М.: Наука, 1969. – 328с.
6. Гнеденко Б. В.,Журбенко И. Г. Теория вероятностей и комбинаторика //Математика в школе. –2007. — №6. – с. 67-70.
7. Гусев В. А. Внеклассная работа по математике в 5-8 классах. /Под. ред. С. И. Шварцбурга. — М.: Просвещение, 1977. – 288с.
8. Дихтярь М., ЭрглеЕ. Исторические комбинаторные задачи и комбинаторные модели //Математика. –2007. — №14. – с. 23-24.
9. Загородных К. А.Возможности использования графов при обучении в начальной школе //Начальнаяшкола. — 2004. — №11. – с. 87-91.
10. Когаловский С. Р.Роль комбинаторных задач в обучении математике //Математика в школе. – 2004. — №7. – с. 18-23.
11. Комбинаторика//Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А. П. Савин. — М.:Педагогика, 1985. – 352с.
12. Математика: Учеб.для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С.Чесноков, С. И. Чесноков, С. И. Шварцбург. – 6-е изд. – М.: Мнемозина, 1998. –384с.
13. Математика: Учебник для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова,И. Ф. Шарыгин и др.; под ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина. – 8-е изд. — М.:Просвещение, 2006. – 302с.
14. Нурк Э. Р.,Тельгман А. Э. Математика: Учеб. для 5 кл. сред. шк. – 4-е изд., дораб. – М.:Просвещение, 1994. – 304с.
15. Овсянникова Л.В.Факультативный курс по математике //Начальная школа. – 2005. — №9. – с. 29-33.
16. Перельман Я. И.Занимательные задачи и опыты. — Д.: ВАП, 1994. – 527с.
17. Романова Н. В.Комбинаторно-геометрическо-арифметические задачи на стыке начальной и основнойшколы //Математика в школе. – 2006. — №4. – с. 42-45.
18. Русанов Н. В.Математический кружок младших школьников: Книга для учителя. — Оса:Росстани-на-Каме, 1994. – 144с.
19. Семеновых А.Комбинаторика //Математика. – 2004. — №15. – с. 28-32.
20. Семеновых А.Комбинаторика //Математика. – 2004. — №16. – с. 19-22.
21. Семеновых А.Комбинаторика //Математика. – 2004. — №17. – с. 22-27.
22. Стойлова Л. П.Математика: Учебник для студентов отделений и факультетов начальных классовсредних и высших педагогических учебных заведений. — М.: Издательский центр«Академия», 1997. – 464с.
23. Стойлова Л. П.Способы решения комбинаторных задач //Начальная школа. – 1994. — №1. – с.72-77.
24. Ткачева М. В.Домашняя математика. — М.: Просвещение, 1994. – 255с.
25. Факультативныйкурс //Большая советская энциклопедия /Сост. В. А. Юдин. — М.: Советскаяэнциклопедия, 1985. – с. 573.
26. Цыганов Ш.Комбинаторика от А до Я //Математика. – 2001. — №26. – с. 9-23.
27. http://cito-web.yspu.yar.ru/link1/metod/theory/node4.html
28. http://combinatorica.narod.ru/second.htm
29. http://festival.1september.ru/articles/416112/
30. http://vipkro.wladimir.ru/elkursy/html/math/&3.doc
31. www.5ballov.ru
32. www.pstu.ac.ru/files/ file/ Resurs_matematika/ KombinVeroyatn.doc