ПЕДАГОГІЧНА ПРАКТИКА
Розробка учбового матеріалу для викладання вищоїматематики
на тему
«Наближені методи обчислення визначенихінтегралів»
Зміст
Вступ
1. Постановка задачі наближеного інтегрування
2. Чисельні методи інтегрування
2.1 Метод прямокутників
2.2 Метод трапецій
2.3 Метод Симпсона
2.4 Практичне порівняння точності методів наближеногообчислення інтегралів 3-ма методами
3. Графічне інтегрування
Список використаної літератури
Вступ
Актуальність темиконтрольної роботи полягає в тому, щопри розв’язанні низкиматематичних, фізичних або технічних задач застосовуються визначені інтеграливід функцій, первісні функції яких не виражаються через елементарні функції. Крімтого, в окремих задачах доводиться мати справу з визначеними інтегралами, уяких самі підінтегральні функції не являються елементарними. Це приводить донеобхідності розробки наближених методів обчислення визначених інтегралів.
Об’єктом роботи євизначені інтеграли, які не можуть бути представлені у вигляді комплексуелементарних функцій.
Предметом роботи єметоди наближеного обчислення визначених інтегралів, первісна яких не може бутипредставлена у вигляді комплексу елементарних функцій.
Метою роботи єаналіз умов використання та оцінки похибок обчислень при застосуванні найбільшуживаних методів наближеного обчислення визначених інтегралів:
методпрямокутників;
метод трапецій;
метод Симпсона абометод парабол;
методів графічногоінтегрування.
Інформаційноюбазою досліджень контрольної роботи є математичні монографії та учбовіпосібники з вищої математики по курсу „Методи обчислень" з взяттям заоснову курсу учбового посібника Бойко Л.Т. „Основи чисельних методів: навч. посібник."- Дніпропетровськ: Вид-во ДНУ, 2009.
1. Постановка задачі наближеногоінтегрування
Під чисельнимінтегруванням розуміють наближене обчислення визначених інтегралів.
Якщо для функції />, визначеної на відрізку />, можно знайти первіснуфункцію/>, то визначений інтегралрозраховується за формулою функціонального інтегрування (1.1) [6]:
/> (1.1)
Якщопідінтегральна функція /> має складнийаналітичний вираз, або задана таблично, то звичайні методи інтегрування, яківивчаються в математичному аналізі, непридатні, оскільки неможливо побудуватипервісну. Тому доводиться обчислювати інтеграли наближено. Формули наближеногообчислення інтегралів називаються квадратурними формулами. Ці формули міняютьоператор інтегрування на оператор сумування. Виникаюча при такій заміні похибканазивається похибкою квадратурної формули.
Задача чисельногоінтегрування функцій полягає в обчисленні визначеного інтеграла за значеннямиінтегруємої функції в ряді точок відрізка інтегрування. Функцію /> заміняємо інтерполюємоюфункцією />, а потім приблизно припускаємо[4]:
/> (1.2)
Функція /> повинна бути такою, щобінтеграл /> обчислювався безпосередньо.Якщо /> задана аналітично, тоставимо питання про оцінку похибки формули (1.2).
В загальномувигляді задача чисельного інтегрування може бути викладена наступним чином [1].Нехай інтеграл, який потрібно визначити, представлено у вигляді
/> (1.3)
Підінтегральнафункція в формулі (1.3) є такою, що не дозволяє в функціональному виглядіотримати первісну функцію.
Цей інтегралобчислюємо за наближеною квадратурною формулою:
/> (1.4)
де: функція /> - визначена і неперервнана інтервалі />;
/> - ваговафункція, яка може мати якісь особливості на відрізку
інтегрування,наприклад, перетворюватись у нескінченість в
деяких точкахцього відрізка.
/> - квадратурнікоефіцієнти;
/> - квадратурнівузли (/>);
n — довільне числоінтервалів всередині відрізку [a,b].
Сума, що стоїть управій частині наближеної рівності (1.4), називається квадратурною сумою.
Параметри />,/> вибирають так, щоб абопохибка квадратурної формули була по можливості мінімальною, або обчислення заформулою (1.4) були достатньо простими. Різні квадратурні формули відрізняютьсяодна від одної способами вибору параметрів />,/>.
Більшістьквадратурних формул базується на заміні підінтегральної функції /> алгебраїчними багаточленамирізного степеня.
Означення: Кажуть,що квадратурна формула (1.4) має алгебраїчний степінь точності />, якщо ця наближена формуластає точною на множині всіх алгебраїчних багаточленів не вище />-ого степеня.
Це означає, щоякщо до наближеної формули (1.4) замість функції /> підставитибудь-який алгебраїчний багаточлен />-огостепеня, то наближена рівність (1.4) стає точною, тобто
/> /> (1.5)
Але при цьомунаближена рівність (1.4) не для всіх багаточленів степеня /> буде точною.
Алгебраїчнийстепінь точності квадратурної формули є мірою точності цієї формули. Оскількибудь-яку неперервну функцію /> можнаяк завгодно точно наблизити алгебраїчними багаточленами (за рахунок збільшеннястепеня багаточлена), то слід очікувати, що квадратурні формули, які маютьвисокий алгебраїчний ступінь точності, будуть мати високу точність длябудь-яких неперервних функцій />.
Параметри />,/> можна вибрати так. щобзробити алгебраїчний ступінь точності квадратурної формули якомога вищим. Такіформули називаються квадратурними формулами найвищого степеня точності. Впершевони були розглянуті Гауссом і тому їх часто називають формулами гауссовоготипу.
Якщо вузли /> вибрати з міркуваньзручності (рівномірно розташованими />,), акоефіцієнти /> - з міркувань точності, тоу випадку /> отримаємо квадратурніформули Ньютона — Котеса [2].
Якщо вузли /> вибрати з міркуваньточності, а коефіцієнти /> - зміркувань зручності (всі коефіцієнти однакові), то добудемо квадратурні формули,що носять ім’я Чебишова [2].
Обгрунтуванняінтерполяційних квадратурних формул будується на наступних висновках [1].
Нехай на відрізкуінтегрування якось зафіксовані різні між собою вузли />, і будемо вибирати лишекоефіцієнти /> (/>) так, щоб формула (1.4) булаякомога точнішою. Припускаємо, />, тобтофункія /> і всі її похідні до /> порядку включно єнеперервними на відрізку />. Візьмемоквадратурні вузли як вузли інтерполяції (оскільки вони всі з відрізкуінтегрування та всі різні між собою), та побудуємо інтерполяційний багаточлен /> для функції />. Будемо мати таку рівність
/> (1.5)
/> (1.6)
/> (1.7)
/> (1.8)
Розглянемо теперінтеграл від функції />/>
/> (1.9)
підставимо (1.6),(1.7), (1,8) до формули (1.9)
/> (1.10)
Якщо позначити
/> (1.11)
/> (1.12)
то інтеграл (1.10)можна переписати у вигляді
/> (1.13)
Відкинувши у (1.13)похибку />, добудемо наближенуформулу (1.4).
Означення. Квадратурнаформула (1.4) будемо називати інтерполяційною, якщо квадратурні коефіцієнти />,/> визначаються формулами(1.11). Нагадаємо, що квадратурні вузли при цьому всі різні та всі розташованіна відрізку інтегрування, в усьому іншому вони довільні.
Формула (1.12) визначаєпохибку інтерполяційної квадратурної формули. З похибки видно, що алгебраїчнийстепінь точності інтерполяційної квадратурної формули дорівнює />. Збільшити степіньточності можна лише за рахунок вибору вузлів />.
Квадратурніформули при сталій ваговій функції та з рівновіддаленими вузлами називаютьформулами Ньютона-Котеса у пам’ять того, що вперше вони в достатньомузагальному вигляді були розглянуті Ньютоном, коефіцієнти вперше були добутіКотесом /> [4].
Кінечний відрізокінтегрування /> ділимо на /> рівних частин довжини />, точки ділення беремо завузли інтерполяційної формули. Спростимо вигляд квадратурних коефіцієнтів />,/>, які визначаються формулою(1.11), підставивши туди
/>,/>.
Крім тогоперейдемо до нової змінної інтегрування />,де />
Для виконання всіхцих дій спочатку розглянемо добуток у формулі (1.11)
/> (1.14)
Підставимо добуток(1.14) до формули (1.11) та перейдемо до нової змінної, будемо мати
/> (1.15)
Де
/> (1.16)
Квадратурнаформула Ньютона-Котеса приймає вигляд
/> (1.17)
Алгебраїчнастепінь точності формули (1.17) дорівнює />.Коефіцієнти (1.16) називаються коефіцієнтами Котеса. Вони мають властивості:
/>. Дійсно,підставимо до формули (1.17) />, тоді />, при цьому наближенаформула стає точною. Виконуємо інтегрування властивість доведена.
/>, тобторівновіддалені від кінців коефіцієнти формули Ньютона -Котеса є однаковими. Дійсно,маємо з формули (1.16)
/>
Зробимо замінузмінної інтегрування />тоді
/>
В добуткуперейдемо до нового індексу /> івластивість доведена
/>
3. Коефіцієнти /> не залежать від довжинивідрізка інтегрування та підінтегральної функції/>,тому вони можуть бути обчислені раз і назавжди
В залежності відвибраного параметра n отримана загальна форма квадратурних рівнянь розподіляєтьсяна випадки [6]:
1) Коли />, то застосовуєма формаквадратурних рівнянь називається — „квадратурна формула трапеції”;
2) Коли />, то застосовуєма формаквадратурних рівнянь називається — „квадратурна формула Симпсона”;
3) Коли />, формула (1.19) незастосовується, оскільки значення не визначені, тому застосовується особливийвипадок „квадратурної формули прямокутників (ліві, праві, центральні) ".
2. Чисельні методи інтегрування
2.1 Метод прямокутників
Нехай є відрізок /> і нам треба обчислити визначенийінтеграл
/> (2.1 1)
за попередньопредставленою загальною квадратурною формулою Н’ютона — Котеса (1.4)
/> (2.1 2)
де /> - деякі фіксовані вузли
Найпростішийваріант інтерполяційної квадратурної формули (2.1 2) виникає, коли /> [1]. У цьому випадку неможна скористатися формулою (1.20), бо коефіцієнт (1.19) при /> невизначений. Тому, як і припобудові загальної інтерполяційної формули, замінимо підінтегральну функціюінтерполяційним багаточленом нульового степеня, що побудований за єдиним вузлом/>.
/> (2.1 3)
при замініпідінтегральної функції (2.1 2) інтерполяційним поліномом нульового степеня, щопобудований по єдиному вузлу/>
/> (2.1 3)
Знайдемокоефіціент />
/> (2.1 4)
Після інтегруваннямаємо квадратурну „формулу прямокутника”:
/>,/> (2.1 5)
При/> її називають формулоюлівих прямокутників,
При/> її називають формулоюправих прямокутників,
При/> - центральних (абосередніх) прямокутників.
Геометричнетлумачення цієї формули показано на рис 2.1
/>
Рис.2.1 Геометричнезображення „формули прямокутників"
Оцінимо похибку /> квадратурної формули (2.1 5)за умови, що />. За означеннямпохибки квадратурної формули (2.1 5) маємо
/> (2.1 6)
Функцію /> запишемо у виглядірозвинення в ряд Тейлора в околі точки /> [7]:
/> (2.1 7)
Проінтегруємообидві частини рівності (2.1 7) по відрізку />
/> (2.1 8)
Тепер підставимоінтеграл (2.1 8) в (2.1 6)
/>
/> (2.1 9)
Тепер розглянемоконкретні варіанти вибору точки />
При /> (праві прямокутники): /> (2.1 10)
При /> (ліві прямокутники): /> (2.1 11)
При/> - (центральні прямокутники):/> (2.1 12)
З формул (2.1 10),(2.1 11), (2.1 12) видно, що алгебраїчний степінь точності формули центральнихпрямокутників на 1 вище ніж лівих або правих.
Якщо довжинавідрізку />велика, то формулипрямокутників мають невисоку точність. У цих випадках краще користуватися сумарнимиформулами прямокутників. Для цього розіб‘ємо відрізок на />рівних частин з кроком />. Інтеграл шукаємо як сумуінтегралів по всіх цих відрізках, тобто
/> (2.1 13)
На кожномувідрізку />інтеграл обчислюємо,користуючись однією з квадратурних формул прямокутників. Розглянемо окремівипадки.
1. „Лівіпрямокутники"
/>. (2.1 14)
В останній формулі(2.1 14) враховано не тільки наближені значення інтегралів за формулою (2.1 5),але й залишки за формулою (2.1 9). Тепер в правій частині цієї рівностізапишемо окремо суму наближених значень інтегралів та суму залишків
/> (2.1 15)
Приймемо до увагинеперервності функції /> на />. Нехай
/>
тоді існує така точка />, що буде вірною рівність />
Тепер з формули(2.1 15) маємо остаточно узагальнену формулу „лівих прямокутників”:
/> (2.1 16)
та похибку цієїформули
/> (2.1 17)
Геометричнезображення „формули лівих прямокутників" наведене на рисунку (2.2)
/>
Рис.2.2 Геометричнезображення „формули лівих прямокутників"
2. Аналогічно дляквадратурної формули „правих прямокутників" отримуємо узагальнену формулу
/> (2.1 18)
та похибку
/> (2.1 19)
Геометричнезображення „формули правих прямокутників" наведене на рисунку (2.3).
/>
Рис.2.3 Геометричнезображення „формули правих прямокутників”
3. Узагальненаквадратурна формула „центральних прямокутників" запишеться у вигляді:
/>/> (2.1 20)
її залишок маєвигляд
/> (2.1 21)
Геометричнезображення „формули центральних прямокутників" наведене на рисунку (2.4).
/>
Рис.2.4 Геометричнезображення „формули центральних прямокутників"
2.2 Метод трапецій
Квадратурна „формулатрапеції” — це виключний випадок формули Н’ютона — Котеса (1.20), коли /> [1]. Квадратурна формулатрапеції має вигляд:
/> (2.2.1)
Два коефіцієнтиКотеса знаходимо, враховуючи їхні властивості
/>
Тоді формулатрапеції має вигляд
/> (2.2.2)
Геометричнетлумачення наведене на рис.2.5 Геометрично цю формулу отримаємо, якщо криву /> замінити хордою, якапроходить через точки /> та />, тоді інтеграл знаходитьсяяк площа трапеції />.
/>
Рис.2.5 Геометричнетлумачення „формули трапецій”
Формула (2.2.2) наближена.Визначимо похибку для квадратурної формули трапеції:
Похибкаквадратурної формули (2.2.2) випливає з (1.12), якщо взяти /> та />
/>
/>
/> (2.2.3)
До обчисленняостаннього інтеграла застосуємо теорему про середнє [5].
Теорема. Нехай /> - інтегровані на проміжку /> функції, причому />, />на всьому проміжку незмінює знак. Тоді
/> де />
Якщо /> неперервна на />, то ця формула може бутизаписана у вигляді
/> де />
Застосуємо цютеорему до інтеграла (2.2.3). За припущенням функція /> є неперервною на />, тому знайдеться такаточка />, що буде виконуватисярівність.
/>
Отже,
/> (2.2.4)
Якщо відрізок /> достатньо великий, топохибка (2.2.4) квадратурної формули трапеції, як правило, велика. Для збільшенняточності розділимо відрізок інтегрування на /> частинточками />, тоді
/>
Якщо розбиттярівномірне, тобто />, то
/>
Запишемо окремо узагальненуформулу трапеції і окремо її похибку:
/> (2.2.5)
/> (2.2.6)
Величина />-середнє арифметичнезначень другої похідної в />точках відрізку/>. Очевидно, що />, де />-найменше значення, а />-найбільше значення другоїпохідної />, />. Оскільки /> неперервна на />, то в якості своїх значеньна /> вона приймає всі проміжні числаміж /> і />. Отже, існує така точка />, що />, тобто
/> (2.2.7)
На рис (2.6) показаногеометричне зображення узагальненої формули трапеції (2.2.5).
/>
Рис.2.6 Геометричнезображення узагальненої формули трапецій
Точне значенняінтеграла, тобто ліва частина наближеної рівності (2.2.5) це площакриволінійної трапеції, що обмежена зверху графіком функції />. Наближене значенняінтеграла (права частина рівності (2.2.5) — це площа фігури, що зверху обмеженаламаною /> (рис.2.6).
З формули (2.2.7) видно,що чим більшим є число />, тим меншою будепохибка квадратурної формули (2.2.5). Крім того, з (2.2.7) видно, щоалгебраїчний степінь точності і квадратурної формули трапеції дорівнює одиниці(так же, як і формули центральних прямокутників).2.3 Метод Симпсона
Якщо вквадратурній формулі Ньютона-Котеса (2.12) взяти /> тоздобудемо таку формулу [1]
/> (2.3.1)
За формулою (2.11)знаходимо />. Врахувавши властивостікоефіцієнтів Котеса, знаходимо />.
Після підстановокзнайдених коефіцієнтів Котеса в формулу (2.3.1), отримуємо квадратурну формулу,яка називається „формулою Симпсона” або „формулою парабол”:
/> (2.3.2)
/>
Рис.2.7 Геометричнетлумачення „формули парабол"
Назва квадратурноїформули (2.3.2) як „формула парабол" випливає з геометричного тлумачення інтеграла,якщо криву /> замінити параболою, щопроходить через три точки /> (на рис.2.7парабола показана пунктиром) і наближене значення інтеграла обчислювати якплощу криволінійної трапеції, яка зверху обмежена графіком цієї параболи.
Знайдемозалишковий член квадратурної формули Симпсона. Для цього з наближеної рівності(2.3.2) запишемо формулу для похибки
/> (2.3.3)
Розкладемо функцію/> у ряд Тейлора в околіточки />, припускаючи функцію /> такою, що розкладанняможливе [7]:
/>
Знайдемо точнезначення інтеграла:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> (2.3.4)
/> />
Тепер знаходимо
/> (2.3.5)
Підставимо (2.3.3)і (2.3.5) у праву частину рівності (2.3.4):
/>
Отже похибкаквадратурної формули Симпсона може бути записана у вигляді
/> (2.3.6)
З формули (2.3.6) видно,що алгебраїчний степінь точності квадратурної формули Симпсона дорівнює трьом,тобто ця формула має підвищений степінь точності.
Формулу Симпсонатакож можна застосовувати не до всього відрізка інтегрування, а до окремих йогочастин. Для цього поділимо відрізок /> на /> частин рівної довжини /> кожний, як показано нарисунку (2.8)
/>
Рис.2.8 Геометричнетлумачення формули Симпсона
Візьмемо />-й подвоєний відрізок,функцію /> проінтегруємо на цьомувідрізку, використовуючи квадратурну формулу (2.3.1) з похибкою (2.3.5)
/>
/>.
Просумувавшиінтеграли за всіма подвоєними відрізками, добудемо узагальнену формулу Сімпсона
/>/>
Якщо прийнятиумову, що відстань між будь-якими двома сусідніми вузлами однакові і дорівнює />, то останню формулу можнапереписати в більш простому вигляді
/>
Тепер запишемоокремо узагальнену формулу Сімпсона та її похибку
/> (2.3.7)
/> (2.3.8)
Геометричнезображення формули (2.3.7) показане на рисунку (2.8).
Наближене значенняінтеграла (права частина наближеної рівності (2.3.7) — це площа криволінійноїтрапеції, яка зверху обмежена кусками парабол /> (кривапоказана пунктиром).
На кожномуподвоєному відрізку графік функції /> наближаєтьсясвоєю параболою.
З формули (2.3.7) видно,що з ростом /> похибка дуже швидкозменшується.2.4 Практичне порівняння точностіметодів наближеного обчислення інтегралів 3-ма методами
Застосовуючи цітри метода наведемо приклад:
Обчислимо наближенезначення інтеграла
/>,
використовуючиквадратурні формули прямокутників, трапеції та Сімпсона. Для цього підготуємотаблицю значень підінтегральної функції /> уточках відрізка />Значення підінтегральної функції у вузлах i
xi
f (xi) 0,00000000 1 0,1 0,10049875 2 0,2 0, 20396078 3 0,3 0,31320918 4 0,4 0,43081316 5 0,5 0,55901695 6 0,6 0,69971418 7 0,7 0,85445885 8 0,8 1,0244998 9 0,9 1,2108262 10 1 1,4142135
Квадратурніформули прямокутників (лівих, правих, центральних) дать такі результати:
/>, />
/>
У цьому прикладіінтеграл такий, що його точне значення можна обчислити, воно дорівнює (зточністю до сьомого розряду після коми)
/>
Зауважимо, що хочаформула центральних прямокутників у цьому прикладі використана з вдвічі більшимкроком, ніж формули лівих та правих прямокутників, але результат вийшов ближчимдо точного, ніж у двох інших методів.
За квадратурнимиформулами трапецій та Симпсона маємо такі результати:
/>
/>
Отже післяобчислень за різними квадратурними формулами маємо такі наближені значенняінтеграла:
/>; />; />
З використанихформул більш точною є формула Симпсона, оскільки її алгебраїчний степіньточності на дві одиниці більший ніж у формули трапеції. Тому, користуючисьапостеріорним методом оцінки похибки, в результаті, добутому за формулою Симпсонаможна вважати три розряди після коми правильними, а четвертий розряд округленимтобто
/>
Але, якщопорівняти з точним значенням інтеграла, то видно, що насправді результат,добутий за формулою Симпсона, має п’ять правильних розрядів після коми, шостийрозряд округлений.
3. Графічне інтегрування
Задача графічногоінтегрування полягає в наступному: за графіком неперервної функції /> потрібно побудувати графікїї первісної функції.
/> (3.1)
Іншими словами,потрібно побудувати таку криву />,ордината в кожній точці якої чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції з основою/>, обмеженою даною кривою />.
Для наближеноїпобудови графіка первісної функції /> розбиваємоплощу відповідної криволінійної трапеції, обмеженої кривій />, на вузькі вертикальнісмужки за допомогою ординат, проведених у точках /> (рис.3.1)[2].
/>
Рис.3.1 Графічнеінтегрування функції f (x) з отриманням первісної функції F (x) [2]
Кожну з такихсмужок заміняємо, використовуючи теорему про середнє, рівновеликим (поможливості) прямокутником з тією ж основою і висотою, рівною />, />,/>де деяка проміжна точка />-го по порядку відрізка />, тобто думаємо:
/> (3.2)
Де
/> (3.3)
Значення первісноїфункції
/> (3.4)
у точках /> можна підрахувати методомнагромадження:
/>
/> (3.5)
Нехай /> — відповідні точки кривої />. Проектуючи їх на вісь /> одержимо точки/> (рис.3.1).
Виберемо теперполюс /> із відстанню /> й проведемо промені />. Розраховуєму первіснуфункцію — лінію/> приблизно можназамінити ламаною /> з вершинами />. Послідовні ланки цієїламаної будуть паралельні відповідним променям, а саме: />. Справді, кутовийкоефіцієнт ланки />на підставіформули (1) дорівнює
/> (3.6)
У силу ж побудовикутовий коефіцієнт променів /> якщо
/> (3.7)
Отже
/> (3.8)
Таким чином,технічно побудова графіка функції /> можебути здійснена так:
із/> точки проводимо пряму/> паралельну променю />, до перетину в точці />з вертикаллю/>;
із точки />проводимо пряму/> паралельну променю />, до перетину в точці/> з вертикаллю /> й так далі.
Слід зазначити, щопри застосуванні даного методу графічного інтегрування точки />не обов'язково братирівновіддаленими. Для збільшення точності побудови рекомендуються характерніточки графіка інтегрувальної функції (нулі, точки екстремуму, точки перегину) обов'язкововключати до складу точок />.
Висновок: Графічнеінтегрування володіє, взагалі говорячи, малою точністю. Тому цей прийом корисновикористовувати тоді, коли потрібно мати загальне подання про інтеграл функціїабо коли підінтегральна функція задана графічно і її аналітичне вираження намневідомо.
Список використаної літератури
1. Бойко Л.Т. Основи чисельних методів: навч. посібник.- Д.: Вид-во ДНУ, 2009. — 244 с.
2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики.- М.: Изд-во „Наука” — „Физматлит", 1979. — 664 с.
3. Канторович А. В., Крылов В.И. Приближенные методы высшегоанализа. — М.: Изд. Физико-математической литературы, 1962. — 708 с.
4. Крылов В.И. Вычислительные методы: учебное пособие/ В.И. Крылов, В.В. Бобков, П.И. Монастырный. — М.: „Наука”, 1976. — Т.1. — 304с.
5. Крылов В.И. Вычислительные методы: учебное пособие/ В.И. Крылов, В.В. Бобков, П.И. Монастырный. — М.: „Наука”, 1977. — Т.2. — 399с.
6. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. Схемы,таблицы. — М.: " Наука", 1977. — 456 с.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегральногоисчисления. — М.: „Наука”, 1970. — Т.2. — 800 с.