послушные шарики или еще раз о развитиилогического мышления
Математическая логика (теоретическая логика, символическаялогика) — раздел математики, посвященный изучению математических доказательстви вопросов оснований математики (“Математическая энциклопедия”).
Всякая математическая теория представляет собой множествопредложений, над которыми производятся действия (операции), в результатекоторых снова получаются предложения.
Если нет логических операций — нет математической логики, даи вообще математики; если ученик не совершает этих операций, то вряд липриходится говорить о развитии логического мышления.
В начальной школе в первую очередь именно через решениезадач ребенок учится рассуждать, т. е. строить предложения с помощью слови словосочетаний: неверно, что — логическая операция, называемаяотрицанием; и — конъюнкция; или — дизъюнкция; если…, то…— импликация; тогда и только тогда, когда — эквиваленция. Мы не будемдавать определения, поскольку учителя знакомы с этими операциями из курсовматематики педагогических университетов (институтов) и педколледжей (училищ).
1. Две классические задачи
1.В трех одинаковых коробках лежат по два шарика: в одной — два черных, вдругой — два белых, в третьей — белый и черный. На каждой коробке есть табличка:на одной изображены два белых шарика, на другой — два черных, на третьей —белый и черный. Но известно, что содержимое каждой коробки не соответствуеттабличке. Как вынув только один шарик только из одной коробки, переставитьтаблички на коробках в соответствии с их содержимым?
/>
Решение
Пронумеруем коробки как на рис. 1.
В коробке 3 находятся либо два белых шарика, либо двачерных. Достанем из нее шарик. Допустим, он оказался белым (рис. 2).
/>
Следовательно,в коробке 3 — два белых шарика (рис. 3).
/>
Поскольку вкоробке 1 не может быть ни двух черных шариков (по условию надпись несоответствует действительности), ни двух белых (они в коробке 3), то там —черный и белый (рис. 4):
/>
Ответ изображенна рис. 5.
/>
Если бы из коробки 3 при первой попытке мы вытащиличерный шарик, то ответ был бы таким (рис. 6):
/>
Подчеркнем, что при рассуждениях мы пользовались словами “неверно,что в коробке такие-то шары” (отрицание), “если достанембелый шар, то…” (импликация) и т. д. Таким образом, ребенок,сам того не подозревая, совершает логические операции над высказываниями.
2. У меня в трех коробкахлежали гвозди, винты и гайки. На каждой коробке было написано, что в ней лежит.Однажды мой младший брат пересыпал содержимое коробок так, что надпись накаждой коробке перестала соответствовать ее содержимому. Хорошо еще, что он неперепутал их между собой: гвозди остались лежать отдельно от гаек и винтов ит. д. Можно ли, открыв одну из коробок, определить, что лежит в каждой изкоробок?
Решение
/>
Во-первых, дляпростоты обсуждения, гвозди, винты и гайки обозначим кружочками разных цветов(рис. 7). Во-вторых, заметим, что начинать рассуждения можно с любойкоробки. Приведем один из вариантов, а другие — предоставим ученикам.
Откроем коробку 1. Допустим, там оказались гайки(рис. 8; а могли быть и винты: рассуждения проводились бы аналогично).
/>
В коробке 2винтов быть не может по условию, следовательно, винты — в коробке 3(рис. 9).
/>
Ну, а во второй коробке — гвозди.
2. Шариковый сериал
Имеются два непрозрачных ящика. В них находятся один черный и одинбелый шарик:
либо по одному в каждом ящике,
либо в одном ящике два шарика.
На ящиках есть надписи, по которым надо определить (если возможно), гдекакой шарик находится.
Указывается также, являются ли надписи истинными или ложными.
Условия задач и ответы представим ввиде таблицы. И — истинно, Л — ложно. Запись “Обе И”означает, что надписи на каждом ящике правдивы. № Ящик 1
Ящик 2
Истинность
надписей
Ответ
/>1 Здесь Здесь нет шариков
Обе И В ящике 1 и черный, и белый шарики 2 Здесь нет шариков Здесь оба шарика
Обе Л Возможны варианты (решение после табл.) 3 Здесь Здесь
Обе Л В ящике 1 — белый шарик, в ящике 2 — черный 4
Здесь не
Здесь не
Обе И В ящике 1 — черный шарик, в ящике 2 — белый 5
Здесь не
Здесь не
Обе Л В ящике 1 — белый шарик, в ящике 2 — черный 6
Здесь или
здесь Здесь
Обе И В ящике 1 — белый шарик, в ящике 2 — черный 7
Здесь или
здесь Здесь
Обе Л В ящике 1 — черный шарик, в ящике 2 — белый 8
Здесь и
здесь Здесь
Первая — И,
Вторая — Л В ящике 1 — оба шарика, в ящике 2 — пусто
Решение
1. Поскольку надписи истинны, то в ящике 2 шариков нет.Следовательно, они оба в ящике 1.
Внимание. Надпись на ящике 1 “здесь черный” не означает,что там не может быть белого шарика. Ведь утверждение “директор моей школыживет в Беларуси” не означает, что в стране не живу я…
2. Так как надпись на ящике 2 неверна, то возможныварианты:
а) в ящике 2 нет шариков вообще, следовательно, вящике 1 — и белый, и черный шарики;
б) если неверно утверждение “здесь оба шарика”, то вернымможет быть утверждение “здесь белый шарик” или “здесь черный шарик” (т. е.один из шариков находится в ящике 2), значит в ящике 1 тоже одиншарик.
Информациядля учителя. В этой задаче мы имеемдело с одним из законов де Моргана: />,который звучит так: отрицание конъюнкции двух высказываний эквивалентнодизъюнкции отрицаний каждого из данных высказываний. Напомним также, чтодизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно из высказываний. Применительно кнашей задаче: утверждение “неверно, что в ящике 2 лежат оба шарика”равносильно утверждению “неверно, что в ящике лежит черный шарик, илиневерно, что в ящике лежит белый шарик”. Отсюда и получаются вышеописанныеварианты а) и б).
Решения остальных задач предоставляем учителю.
Таким образом, ученик “проходит” через логические операции,хотя, естественно, и не знает их строгих определений (на интуитивном уровне),следовательно, его логическое мышление развивается. Учитель же знает законылогики и может корректировать рассуждения ребенка, если они ошибочны.
А. Щан —старший преподаватель кафедры математики и методики ее преподавания БГПУ