--PAGE_BREAK--Приклад 1. Позначити на одиничному колі точки , в які відображується початкова т.Р0(1;0) при повороті навколо центра кола на кут радіанів, якщо , , , , , (Рис.2.2).
Розв'язання. За із формули довжини дуги, вираженої через радіанну міру, випливає , де – радіанна міра центрального кута і відповідної йому дуги. Це означає, що числове значення довжини дуги збігається з числовим значенням її радіанної міри.
Оскільки т., в яку відображається т.Р0(1;0), лежить на перетині осі у з колом і , , то т., в яку відображається Р0(1;0), лежатиме на колі між точками і . Точки і містяться на колі в 4-й чверті симетрично точкам і відносно осі .
Числу відповідає точка початок Р0 (1;0) – початок відліку дуг на одиничному колі, числу – т., яка є кінцем дуги, що дорівнює двом дугам .
Розв'язуючи цю вправу, небажано переходити від радіанної міри до градусної, хоч учням легше замінити 1 рад на 57°, а рад – на 90° і відшукати т. на дузі кола. Важливо навчити учнів знаходити відповідні точки на колі для кутів, заданих радіанною мірою, оскільки метою є ввести поняття тригонометричної функції довільного числа.
На завершення розв'язування цієї вправи доцільно розглянути координатну вісь, яка є дотичною до одиничного кола в т.Р0(1;0), має початком відліку цю точку й одиницю відліку, що дорівнює радіусу одиничного кола. Якщо намотувати цю координатну вісь на одиничне коло, то наочно виявляється відповідність між множиною R дійсних чисел і множиною точок одиничного кола.
Увагу учнів звертають на те, що кожній т. на одиничному колі відповідають її абсциса й ордината, які також залежать від числа . Тому маємо ще дві залежності між дійсним числом і абсцисою та ординатою відповідної т., в яку відображується початкова т.Р0(1;0) одиничного кола при повороті навколо центра кола на кут радіанів. Отже, існують відповідності між множиною дійсних чисел і множиною абсцис і ординат т. одиничного кола. Ці залежності (відповідності) дістали назву тригонометричних функцій числа або тригонометричних функцій числового аргументу.
Означення 1. Синусом числа називають ординату точки одиничного кола, в яку переходить початкова точка Р0(1;0) при повороті навколо центра кола на кут радіанів. Його позначають .
Означення 2. Косинусом числа називають абсцису точки одиничного кола, в яку переходить початкова точка Р0(1;0) при
повороті навколо центра кола на кут радіанів. Його позначають .
Означення 3. Тангенсом числа називають відношення , а котангенсом числа – відношення , їх позначають відповідно , .
Отже, за означенням, , .
Оскільки кожному дійсному числу можна поставити у відповідність дійсні числа і , то вважатимемо, що на множині R задано функції , . Враховуючи, що визначений для всіх , крім тих, за яких , і кожному дійсному числу, крім , відповідає єдине число , вважатимемо, що – функція, областю визначення якої є всі дійсні числа, крім .
Міркуючи аналогічно, можна зробити висновок, що функція областю визначення має множину всіх дійсних чисел, крім.
Для побудови графіків функцій , і для розв'язування деяких задач доцільно запровадити поняття лінії тангенсів і лінії котангенсів.
Послуговуючись означеннями 1 – 3, потрібно колективно дослідити характер зміни значень кожної з тригонометричних функцій та їхніх знаків.
Для тангенса і котангенса зручно використати їхні лінії як дотичні до одиничного кола. Запам'ятовуванню знаків функції по координатних чвертях сприяє схема (Рис. 2.3.).
Рис. 2.3
З метою повторення відомостей з курсу геометрії про значення тригонометричних функцій кутів 30°, 45°, 60° слід знайти ці значення для відповідних радіанних мір.
Приклад 2. Знайти значення всіх чотирьох тригонометричних функцій числа .
Розв'язання. Щоб знайти і , досить знайти ординату і абсцису т. (Рис. 2.4.), яка відтинає частини дуги . У прямокутному трикутнику , а . Оскільки у прямокутному трикутнику катет, що лежить напроти кута , дорівнює половині гіпотенузи, то . За теоремою Піфагора,
, ,
, .
Аналогічно можна знайти значення тригонометричних функцій чисел і . Учитель рекомендує учням запам'ятати значення функцій чисел , , , оскільки ними часто послуговуються, розв'язуючи інші задачі. Ці значення зводять до табл. 2.1.
Таблиця 2.1.
Щоб учні легше запам’ятали значення тригонометричних функцій для деяких кутів, доцільно використовувати модель тригонометра (Рис. 2.5.). Його використання дає змогу не зазубрювати таблицю значень тригонометричних функцій від 0 до , «кола» знаків тригонометричних функцій і формул зведень.
Мнемонічне правило (для тригонометра)
1. Якщо кут відкладається від вертикального діаметра одиничного кола ( і т. п.), то назва функції змінюється: на , на , на , на ;
Якщо кут відкладається від горизонтального діаметра одиничного кола ( і т. п.), то назва функції не змінюється.
2. Перед новою функцією записується той знак, який мала функція, що зводилася.
Рис. 2.5.
2.3 Вивчення властивостей тригонометричних функцій
Перш ніж вивчати властивості тригонометричних функцій, попередньо потрібно довести їхню періодичність і, послуговуючись означенням та цією властивістю, побудувати графіки. Графіки дають змогу виявити інші властивості, а потім обгрунтувати їх аналітично.
Використовуючи означення синуса і косинуса числового аргументу та враховуючи їх геометричну інтерпретацію на одиничному колі, матимемо , , де , тобто періодом синуса і косинуса є числа . Застосовуючи лінії тангенсів і котангенсів, неважко зробити висновок, що , , тобто періодом тангенса і котангенса є числа .
Доведемо методом від супротивного, що найменшим додатним періодом синуса і косинуса є число .
Припустимо, що існує додатне число таке, що . Тоді при маємо . Однак синус може дорівнювати 1 лише в т., яка відповідає на одиничному колі числам , . Отже, , звідки . За припущенням, , тобто . Поділивши всі три частини останньої нерівності на , дістанемо , що суперечить умові, оскільки , а між 0 і 1 немає жодного цілого числа. Отже, припущення неправильне, а справедливе те, що – найменший додатний період функції .
Аналогічно, взявши рівність , де х=0, можна довести, що найменшим додатним періодом для функції є число .
Доведемо, що число є найменшим додатним періодом функції . Припустимо, що існує додатне число таке, що . Тоді за матимемо . Однак тангенс дорівнює 0 лише в двох точках і одиничного кола, які відповідають числам , де . Тому . За припущенням, , тобто . Поділивши всі три частини останньої нерівності на , дістанемо 0 — найменший додатний період функції .
Доцільно розглянути сім властивостей тригонометричних функцій і систематизувати їх так, як це наведено для функції у = sin х.
1. Оскільки синус існує для будь-якого дійсного числа і як ордината точки одиничного кола змінюється на відрізку , то областю визначення функції у=sin x є множина R всіх дійсних чисел, областю значень – відрізок .
2. Графік функції симетричний відносно початку координат, тобто функція у=sin х непарна. Доведемо це за допомогою одиничного кола.
Область визначення цієї функції – множина, симетрична відносно початку координат. Залишається довести, що . Позначимо на одиничному колі точки і , які відповідають числам і , що належать множині R. Оскільки прямокутні трикутники і рівні, то ( — спільний катет). Отже, абсциси точок і рівні, а ординати – протилежні числа. Тому .
3. Функція періодична з найменшим додатним періодом .
4. Функція набуває значення, що дорівнює 0 (нулі функцій) при , де , оскільки ординати точок одиничного кола перетворюються на нуль на відрізку у двох точках і , a функція періодична.
5. Проміжки зростання функції – відрізки
,
де . Оскільки – періодична функція, то досить довести зростання на одному із названих відрізків, наприклад на . Скористаємось означенням зростаючої функції. Нехай
і .
Доведемо, що різниця додатна. Справді, , оскільки за умовою , тому , , отже,
і .
6. Проміжками, де синус додатний, є , оскільки на відрізку [0;2], довжина якого дорівнює найменшому додатному періоду 2, функція додатна на проміжку (0;). Синус від'ємний на проміжку , оскільки на відрізку [0;2] він від'ємний на проміжку (;2).
7. Синус досягає максимуму, що дорівнює 1, в точках , а мінімуму, що дорівнює -1, у точках , оскільки на відрізку ордината точки одиничного кола дорівнює 1 при і -1 при .
За такою самою схемою вводяться властивості функцій .
З метою закріплення вивчених властивостей тригонометричних функцій і повторення основних понять щодо функцій можна запропонувати вправи на знаходження області визначення й області значень складних функцій, формули яких містять тригонометричні функції; на порівняння числових значень тригонометричних виразів; на побудову графіків складних тригонометричних функцій за допомогою геометричних перетворень відомих графіків функцій.
2.4 Перетворення тригонометричних виразів
Для тотожних перетворень тригонометричних виразів необхідні знання формул і вміння ними користуватися. Запам'ятовування й застосування тригонометричних формул полегшується, якщо вводити формули групами:
співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу;
формули додавання, формули подвоєного аргументу;
формули половинного аргументу (формули пониження степеня);
формули перетворення суми й різниці тригонометричних функцій на добуток;
формули перетворення добутку тригонометричних функцій на суму;
вираження тригонометричних функцій через тангенс половинного аргументу (універсальна тригонометрична підстановка).
Доцільно підкреслювати, що, наприклад, сума (різниця) синусів або косинусів перетворюютъся в добуток, а у формулах половинного аргументу — аргумент збільшується вдвічі, а степінь зменшується вдвічі. Учням корисно мати на картці, або на останній сторінці зошита, а ще краще — на зворотному боці тригонометра ці формули. Мінімум формул можна записати такими блоками.
Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу
, , ,
, , .
Формули додавання, формули подвоєного аргументу
,
,
,
,
, .
Формули пониження степеня
, .
Формули перетворення суми й різниці тригонометричних функцій у добуток
, ,
.
Універсальна тригонометрична підстановка
, , .
Як же учневі навчитися користуватися цими формулами? Корисно дати учням деякі поради щодо тотожних перетворень тригонометричних функцій:
одиницю можна подати у вигляді суми ;
якщо зустрічаються всі тригонометричні функції (, , , ), то доцільно перейти до і ;
якщо можливо, то звести тригонометричні функції до однакового аргументу;
якщо в сумі більш ніж два доданки зрізними аргументами, то згрупувати їх і застосувати формули перетворення суми й різниці тригонометричних функцій у добуток;
якщо аргумент має вигляд , тощо, то застосувати формули зведення;
якщо до аргументу додається і т. п., то застосувати формули додавання;
універсальну тригонометричну підстановку застосовувати в особливих випадках.
Тригонометричні перетворення ускладнюються, якщо потрібно виконати алгебраїчні перетворення.
3. Фрагменти уроків з використанням мультимедійних засобів навчання
3.1 Урок №1
Тема. Тригонометричні функції кута та числового аргументу.
Мета. Повторити означення тригонометричних функцій гострого кута прямокутного трикутника і ввести означення тригонометричної функції довільного кута. Формування поняття тригонометричних функцій числового аргументу; вивчення значень тригонометричних функцій деяких чисел (кутів).
Тип уроку: Пояснення нового матеріалу.
Обладнання: Кодоскоп із заготовленими плівками (Додатки 1 – 4), підручник «Алгебра і початки аналізу. 10 клас» Нелін Є. П.
Хід уроку
ІV. Пояснення нового матеріалу
Розглянемо на координатній площині коло радіуса 1 з центром у початку координат, яке називають одиничним (рис. 1. Додаток №1. Кодоплівка №1 кладеться на робоче місце проектора). Позначимо точку – правий кінець горизонтального діаметра. Нехай при повороті радіуса на кут одержуємо радіус ОР (нагадаємо, що при а>0 радіус обертається проти годинникової стрілки, а при а
Далі слід виконати вправу 1 із підручника/
Перевіряємо правильність виконання вправи. (Додаток №1. Кодоплівка №2 кладеться на робоче місце проектора)
Якщо , де – ціле число, то при повороті на кут одержуємо ту саму точку, що й при повороті на кут .
Якщо точка Р відповідає числу , то вона відповідає і всім числам виду , де — довжина кола (бо радіус дорівнює 1), a k — ціле число, що показує кількість повних обходів кола в ту чи іншу сторону.
Виконання вправ:
2. Позначте на одиночному колі точки, які відповідають числам:
а) ; ; ; ; де .
б) ; ; ; ; , де .
Відповідь. а) рис. 2.(кожна чверть кола поділена на дві рівні частини); б) рис. 3 (кожна чверть кола поділена на 3 рівні частини). Перевіряємо правильність виконання вправи. (Додаток №2. Кодоплівка №3 кладеться на робоче місце проектора)
Синусом числа називається ордината точки , утвореної поворотом точки навколо початку координат на кут в радіан (позначають sin) (рис. 4. Додаток №2. Кодоплівка №4 кладеться на робоче місце проектора).
Синус визначений для будь-якого числа .
Косинусом числа називається абсциса точки утвореної поворотом точки навколо початку координат на кут в радіан (позначають cos) (рис. 4. Додаток №2. Кодоплівка №4 кладеться на робоче місце проектора). Косинус визначений для будь-якого числа .
Виконання вправ
1. Обчисліть: a) cos; б) sin; в) cos; г) sin.
Відповіді. а) –1; б) 0; в) 0; г) 1.
2. Обчисліть: а) ; б) ;
в) ; г) .
Відповіді: а) 0; б) –1; в) –1; г) 2.
Тангенсом числа називається відношення синуса числа до його косинуса: . Тангенс визначений для всіх , крім тих значень, для яких , тобто невизначений для .
Котангенсом числа називається відношення косинуса числа до його синуса: . Котангенс визначений для всіх , крім таких значень, для яких , тобто крім значень .
Значення тригонометричних функцій деяких чисел.
Через те, що поворот на кут в радіан збігається з поворотом на кут градусів, аргумент синуса і косинуса можна виразити як у градусах, так і в радіанах. Наприклад, при повороті точки (1; 0) на кут , тобто на кут : , .
Заповнимо таблицю значень синуса, косинуса, тангенса і котангенса деяких чисел (таблиця 1. Додаток №3. Кодоплівка №5 кладеться на робоче місце проектора).
Таблиця 1.
VII. Підведення підсумків уроку
Завдання класу: Сформулюйте означення тригонометричних функцій: а) гострого кута прямокутного трикутника; б) довільного кута (за допомогою кола радіуса R з центром у початку координат та за допомогою одиничного кола; в) Заповніть пропуски в таблиці 2(Додаток №3. Кодоплівка №6 кладеться на робоче місце проектора)
Таблиця 2
г) Заповніть пропуски в таблиці 3 (Додаток №4. Кодоплівка №7 кладеться на робоче місце проектора)
Таблиця 3
д) Заповніть таблицю 4 значень тригонометричних функцій. (Додаток №4. Кодоплівка №8 кладеться на робоче місце проектора)
Таблиця 4
Підводиться загальний підсумок уроку.
3.2 Урок №2
Тема: Побудова графіків синуса, косинуса, тангенса і котангенса та їх властивості.
Мета: Побудова графіків функцій , , . Вивчення властивостей тригонометричних функцій , , (область визначення; область значень; парність (непарність); симетричність графіків; періодичність; нулі функції; проміжки спадання (зростання); проміжки знакосталості; найбільші і найменші значення). Розвивати в учнів інтерес до математики і інформатики шляхом демонстрації різноманітних можливостей комп’ютера.
продолжение
--PAGE_BREAK--