Міністерство освіти інауки України
Дніпропетровськийнаціональний університет
Кафедра математичногоаналізу
Факультет заочної тадистанційної освіти
ДИПЛОМНА РОБОТА
Графічні методирозв’язування задач із параметрами
Виконавець Керівник роботи
Студентка групи ЗММ-00-01к. ф. — м. н., доцент
Лісняк Л.В. Трактинська В.М.
“___” червня 200_ р. “____" червня 200_ р.
Допускається до захисту
Завідувач кафедроюРецензент
доктор фіз. — мат. наук, професорк. ф. — м. н., доцент
Бабенко В.Ф. Великін В.Л.
“___” червня 200_ р. “___”червня 200_ р.
м. Дніпропетровськ 200_р.
Реферат
Дипломна робота містить 105 стор., 95 рис., 5 табл. ., 7 джерел.
Об’єктом дослідження є задачі з параметрами.
Мета роботи — систематизувати графічні методирозв’язання задач з параметрами.
Методика дослідження — вивчення метода тарозв’язування задач.
Результати досліджень можуть бути застосованіпри викладанні теми “Графічні методи розв’язування задач із параметрами" вматематичних класах середніх шкіл та ліцеях.
Перелік ключових слів: ПАРАМЕТР, ФУНКЦІЯ,РОЗВ’ЯЗОК, РІВНЯННЯ, НЕРІВНІСТЬ, ПАРАЛЕЛЬНИЙ ПЕРЕНОС, ПОВОРОТ, ГОМОТЕТІЯ,КООРДИНАТНА ПЛОЩИНА, ПОХІДНА.
Annotation
This degree thesis of the 5th year student (DNU, Faculty ofMechanics and Mathematics, Department of Mathematical Analysis) deals withgraphic methods of the decision of problems with parameters. The work isinteresting for the students and post-graduates students of mathematicalspecialties.
Bibliography: 7
Зміст
Вступ
Розділ 1. Координатна площина />
1.1 Паралельний перенос
1.2 Поворот
1.3 Гомотетія. Стиск до прямої
1.4 Дві прямі на площині
Розділ 2. Координатна площина (x; a)
Розділ 3. Застосування похідної
Список використаної літератури
Вступ
В програмах по математиці для середніх шкіл задачам з параметрамивідводять незначне місце. Тому, в перше чергу, необхідно вказати розділизагальноосвітньої математики, в яких присутня сама ідея параметра.
Так, з параметрами учні зустрічаються при введенні деяких понять. Розглянемояк приклади наступні об’єкти:
функція пряма пропорційність /> (де /> — змінні, />-параметр, />);
лінійна функція /> (де /> — змінні, />-параметри);
лінійне рівняння /> (де /> — змінна, />-параметри);
рівняння першої степені /> (де /> — змінна, />-параметри, />);
квадратне рівняння /> (де /> — змінна, />-параметри, />);
До задач з параметрами, які розглядаються в курсі середньої школи,можна
віднести, наприклад, пошук розв’язків лінійних та квадратних рівнянь взагальному виді, дослідження кількості їх коренів в залежності від значеньпараметрів
Природно, що такий невеликий клас задач багатьом учням не дозволяєусвідомити головне: параметр (фіксоване, але невідоме число) має двоїступрироду. По-перше, параметр можна розглядати як число, а по-друге, — ценевідоме число. Таким чином, ділення на вираз, який містить параметр, добуваннякореня парного ступеня із таких виразів потребує попередніх досліджень. Якправило, результати досліджень впливають і на розв’язок, і на відповідь.
Головне, що необхідно усвідомити при роботі з параметром — ценеобхідність обережного відношення до фіксованого, але невідомого числа.
Дипломна робота присвячена розробці методики викладання теми “Графічніметоди розв’язування задач з параметрами”.
Робота складається із вступу, 3 розділів та списку використаноїлітератури. Кожний із 3 розділів присвячений одному із графічних прийомів. Розділиділяться на параграфи. Кожний параграф побудовано за такою структурою. Напочатку параграфа наводиться необхідний теоретичний матеріал, потім даютьсязадачі із подробним розв’язанням, а наприкінці наведені задачі для самостійноїроботи з відповідями.
І розділ роботи “Координатна площина />"присвячений побудові графічного образу на координатній площині />.
ІІ розділ роботи “Координатна площина />"присвячений побудові графічного образу на координатній площині />.
ІІІ розділ роботи “Застосування похідної” присвячений побудовіграфічного образу із застосуванням похідної.
Дипломна робота може бути використана вчителями та студентами старшихкурсів при проведенні педагогічної практики.
Розділ 1. Координатна площина />
На площині /> функція /> задає сім’ю кривих, які залежать відпараметра />. Кожній сім’ї функцій /> властиві деякі властивості. Нас будецікавити питання: за допомогою якого перетворення площини (паралельний перенос,поворот, гомотетія і т.д.) можна перейти від однієї кривої сім’ї до будь-якоїіншої. Кожному з таких перетворень буде присвячено окремий підрозділ.
Не завжди графічний образ сім’ї функцій /> описуєтьсяпростим перетворенням. Тому в таких ситуаціях необхідно зосередити увагу не натому, як пов’язані криві однієї сім’ї, а на самі криві. Іншими словами, можнавиділити ще один тип задач, в яких ідея розв’язку перш за все заснована навластивостях конкретних геометричних фігур, а не властивостях сім’ї взагалі. Насбудуть цікавити прямі та параболи. Такий вибір обумовлено окремим (основним) положеннямлінійної та квадратичної функції в шкільній математиці.
Говорячи про графічні методи, неможливо обійти одну проблему, породженупрактикою конкурсних екзаменів. Мається на увазі питання про законністьрозв’язку, який заснований на графічних зображеннях. З формальної точки зорурезультат, який “знятий" з рисунку, знайдений нестрого. Але вимоги дорівня математичної строгості для учня повинні визначатися здоровим глуздом.
Побудова графічних образів в даній роботі заснована на побудовіграфіків виду /> за допомогою перетвореньграфіка функції />.
1.1 Паралельний перенос
Почнемо з задач, в який членами сім’ї кривих /> будутьпрямі.
1. Для кожного значення параметра а визначитичисло розв’язків рівняння />.
Розв’язання. Побудуємо графіки функцій /> та />.
З рисунка 1.1.1 випливає, що при />-розв’язків немає, при /> - 2 розв’язки, при /> — 4 розв’язки, при />-3 розв’язки, при /> — 2 розв’язки.
/>
Рис.1.1.1
Відповідь: при />-розв’язків немає, при /> - 2 розв’язки, при /> — 4 розв’язки, при />-3 розв’язки, при /> — 2 розв’язки.
2. Для кожного значення параметра />визначити число розв’язків рівняння />.
Розв’язання. Побудуємо графік функції />. Знайдемо ОДЗ функції />, тобто />.
З рисунка 1.1.2 випливає, що при /> -розв’язків немає, при /> — 3 розв’язки, при /> — 4 розв’язки, при />-2 розв’язки, при /> — немає розв’язків.
/>
Рис.1.1.2
Відповідь: при /> -розв’язків немає, при /> — 3 розв’язки, при /> — 4 розв’язки, при />-2 розв’язки, при /> — немає розв’язків.
3. Знайти число розв’язків рівняння />.
Розв’язання. Побудуємо графік функції />.
/>
Рис.1.1.3
З рисунка 1.1.3 випливає, що при />-розв’язків немає, при /> — розв’язки /> або />,при /> — 4 розв’язки, при />-3 розв’язки, при /> — 2 розв’язки.
Відповідь: при />-розв’язків немає, при /> — розв’язки /> або />,при /> — 4 розв’язки, при />-3 розв’язки, при /> — 2 розв’язки.
4. Розв’язати рівняння />.
Розв’язання. Побудуємо графік функції />. Знайдемо ОДЗ: />,звідси />.
/>
Рис.1.1.4
Розв’язуючи рівняння />, знаходимо />.
Якщо />, то />;якщо />, то /> або/>.
Якщо /> або />,то />, звідси якщо />,то />, якщо />,то розв’язків немає.
5. При яких а рівняння /> маєрівно три розв’язки?
Розв’язання. Побудуємо графіки функцій /> та />.
/>
Рис.1.1.5
Графіки /> та /> мають три точки перетину при а=-1 та а=-0,5.
Відповідь: а=-1 та а=-0,5.
6. При яких значення параметра арівняння /> має єдиний розв’язок?
Розв’язання. Побудуємо сім’ю функцій />, а точніше графіки
функцій />та />.Знайдемо ОДЗ рівняння: />.
/>
Рис.1.1.6
Графіки функцій />та /> мають одну точку перетину при /> та />.
Відповідь: /> та/>.
7. При яких значеннях а рівняння /> має два корені?
Розв’язання. Побудуємо графіки функцій /> та />.ОДЗ: />, звідки />.Знаходимо дві точки перетину графіків: />,звідси />, />.Тоді для параметра /> справедлива нерівність />.
/>
Рис.1.1.7
Відповідь: />.
8. Розв’язати нерівність />.
Розв’язання. Побудуємо графік прямої /> та пів парабол />.
/>
Рис.1.1.8
Якщо пів парабола розташована нижче прямої, то нерівність розв’язківнемає. Розв’язки з’являються тільки з моменту дотику. Знайдемо значенняпараметра />, яке відповідає моменту дотикудвох функцій: />, звідси />, />, звідси />. При /> маємо1 розв’язок. Тобто, при /> нерівністьрозв’язків немає.
Якщо />, то />.
Далі, зсуваючи півпараболу ліворуч, зафіксуємо момент, коли графіки />, /> мають двіспільні точки. Таке розташування забезпечує вимога: />,тоді розв’язком буде відрізок />.
Коли півпарабола і пряма перетинаються тільки в одній точці (цевідповідає випадку />), то розв’язком будевідрізок />.
9. При яких /> рівняння/> має єдиний розв’язок?
Розв’язання. Запишемо задане рівняння в такомувиді: />. Права частина рівняння /> задає нерухомий “кут", ліва частина /> — “кут", вершина якого рухається по вісіабсцис.
/>
Рис.1.1.9
Задане рівняння буде мати єдиний розв’язок, якщо одна з сторін рухомого“кута" пройде через точку (-1,3). Маємо />,звідки /> або />.
Відповідь: /> або/>.
10. Знайти всі значення параметра />, при яких система рівнянь /> має розв’язки.
Розв’язання. З першого рівняння системизнаходимо />.
Це рівняння задає сім’ю парабол, які “ковзають" вершинами вздовжпрямої />. З другого рівняння знаходимо /> - коло з центром в точці (1, 0) радіуса 1.
/>
Рис.1.1.10
З’ясуємо, при яких значення параметра сім’я парабол має спільні точки зколом.
Випадок дотику знайдемо з системи />,вимагаючи від системи мати один розв’язок. Одну спільну точку графіки мають при/> або />.Якщо />, то система має два розв’язки.
Відповідь: />.
Задачі для самостійної роботи
1. Знайти всі значення параметра b, прияких рівняння /> має єдиний Розв’язання.
Розв’язання. Позначимо />.Запишемо рівняння, яке рівносильне початковому: />.Переходимо до рівносильної системи
/>
Будуємо графік функції /> з областювизначення /> та /> (рис.1.1.11).
/>
Рис.1.1.11
Знайдений графік сім’я прямих /> повиннаперетинати тільки в одній точці. З рисунка видно, що ця вимога виконується лишепри а > 2, тобто lg b > 2, b > 100.
Відповідь: b > 100.
2. При яких значеннях параметра /> нерівність /> маєрозв’язки?
Розв’язання. Графіком функції /> є півколо з центром (0; 0) та радіусом 1(рис.1.1.12). Функція /> для кожного фіксованогозначення параметра задає пряму, тобто рівняння /> накоординатній площині (х; у) породжує систему паралельних прямих.
/>
Рис.1.1.12
Нам необхідно визначити ті значення параметра, при яких знайдутьсяточки півкола, розташовані вище відповідних точок прямої. Такі точки з’являтьсяпісля того, як пряма /> займе положення зліва віддотичної. Моменту дотику відповідає />. Таким чином,при /> дана нерівність має розв’язки.
Відповідь: />.
3. При яких значеннях параметра акорені рівняння /> мають однакові знаки?
Розв’язання. Перша сім’я /> задає систему «кутів», сторонияких утворюють кути по 45° с віссю абсцис. Вершини знаходяться на вісі х,причому праворуч від початку координат (а = 0 нас не задовольняє, так як вцьому випадку початкове рівняння має корені різних знаків). Друга сім’я /> являє собою множину прямих, паралельних вісіабсцис. Ці прямі повинні перетинати «кути» в точках, абсциси якихмають однакові знаки. По рис.1.1.13 легко знайти умову для параметра, якезадовольняє вимогам задачі.
/>
Рис.1.1.13
Маємо
/>
Розв’язавши цю систему, знайдемо
Відповідь. /> або/>.
4. Знайти всі значення параметра а, прикожному з яких рівняння /> має три різнихкореня.
Розв’язання. Графік функції /> для /> наведенона рис.1.1.14.
/>
Рис.1.1.14
При а = 0 рівняння має єдиний корінь.
З сім’ї паралельних прямих у = х-а нас цікавлять тільки ті, якіперетинають побудований графік в трьох точках. Очевидно таких прямих тільки дві.Вони й побудовані на рисунку 1.1.14. Для прямої 1 маємо />, а для прямої 11 маємо />. Оскільки />,то знаходимо
Відповідь: /> або/>.
Тепер будемо розглядати сім’ї кривих, які задаються рівняннями /> або />,/>. Членами цих сімей будуть «півпараболи».
5. Розв’язати нерівність />.
Розв’язання. Побудуємо прямую /> (рис.1.1.15). Якщо «пів парабола» /> розташована нижче прямої, то очевиднонерівність розв’язків не має (рис.15, положення I). Розв’язки з’являютьсятільки з моменту дотику (положення II).
/>
Рис.1.1.15
Значення параметра, яке відповідає дотику, можна знайти, вимагаючи відсистеми
/>
мати один Розв’язання, що рівносильне для рівняння /> мати один корінь. Звідси знаходимо />. Таким чином, при /> початкованерівність розв’язків не має.
Далі, зсуваючи «півпараболу» ліворуч, зафіксуємо останніймомент, коли графіки /> та /> мають дві спільні точки (положення III). Такерозташування забезпечується вимогою />.
При /> відрізок />,де /> та /> -абсциси точок перетину графіків, буде розв’язком початкової нерівності. Розв’язавнаведене вище рівняння, знаходимо />, />. Таким чином, якщо />,то />.
Коли «півпарабола» та пряма перетинаються тільки в однійточці (це відповідає випадку />), торозв’язком буде відрізок />, де /> - більший з коренів/>та/> (положенняIV).
Відповідь: при /> розв’язківне має; при /> />;при />, розв’язком буде відрізок />, де /> -більший з коренів/>та/>.
6. Скільки коренів має рівняння /> в залежності від значень параметра а?
Розв’язання. Зазначимо, що вводячи функції /> та />,ми одержуємо одразу дві сім’ї кривих. В цьому випадку пошук спільних точокпровести важко. Однак задачу можна спростити, використавши заміну />. Звідси знаходимо />.
Розглянемо функції /> (рис.1.1.16). Середних лише одна задає сім’ю кривих.
/>
Рис.1.1.16
Очевидно, якщо абсциса вершини «півпараболи» більше одиниці,тобто />, то рівняння коренів не має.
Якщо />, то по рисунку видно, щографіки перетинаються, причому тільки в одній точці, оскільки функції /> та /> маютьрізний характер монотонності.
Відповідь. Якщо />,то рівняння має один корінь; якщо />,то рівняння коренів не має.
7. Знайти всі значення параметра а, прияких система рівнянь має розв’язки
/>
Розв’язання. З першого рівняння системизнайдемо /> при />. Це рівняння задає сім’ю «півпарабол»(параболи /> «сковзають» вершинамипо вісі абсцис, причому ми розглядаємо лише праву вітку).
Ліву частину другого рівняння системи розкладемонамножники.Маємо
/>
Тільки графіком другого рівняння є об’єднання двох прямих /> и />.
З’ясуємо, при яких значеннях параметра а сім’я «півпарабол»має хоча б одну спільну точку з однією зі знайдених прямих.
/>
Рис.1.1.17
Скористаємося рис.1.1.17. Якщо вершини «півпарабол» знаходятьсяправоруч від точки А, але ліворуч від точки В (точка В відповідаєположенню вершини в момент дотику «півпараболи» з прямою />), то очевидно графіки спільних точок немають.
Якщо вершина розташована в точці А, то очевидно а = −3. Випадокдотику знайдемо, вимагаючи від системи
/>
мати один Розв’язання, тобто рівняння /> повинномати один корінь. Звідси знаходимо а = />.
Таким чином, початкова система не має розв’язків, якщо /> и відповідно має розв’язки, якщо /> та />.Відповідь. /> або />.
8. Знайти найменше с, при якомусистема має єдиний розв’язок
/>
Розв’язання. Перше рівняння системи зручнопредставити у вигляді />. Це рівняння задає сім’юкіл постійного радіуса, рівного 1, причому центри кіл лежать на прямій />. Побудуємо графік функції /> (рис.1.1.18). На цьому ж рисунку показаночотири положення кола, при яких початкова система має єдиний Розв’язання.
Кожному з відмічених кіл відповідає деяке значення параметра с. Оскількиумова задачі вимагає, щоб с було найменшим, то з чотирьох кіл требавибрати те, абсциса центра якого приймає найменше значення. Очевидно це будеколо з центром в точці О/>.
/>
Рис.1.1.18
Маємо />. З /> />. Звідси />. Тоді з /> />. Таким чином, />.Оскільки положенню центра О/> відповідає />, то знаходимо />
Відповідь: />
9. При яких а множиною розв’язківнерівності /> є відрізок довжиною />?
Розв’язання. Графіком функції /> є півколо з радіусом, рівним 1, яке«пливе» своїм центром по вісі абсцис. Дана нерівність буде матиРозв’язання тоді, коли точки півкола будуть вище відповідних точок прямої />. На рис.1.1.19 показано одно з можливихположень півкола.
/>
Рис.1.1.19
Для цього випадку розв’язком початкової нерівності буде відрізок />. Умова вимагає, щоб />.
Якщо центр О1 співпадаєз точкою A (-1; 0) або розташований ліворуч, то розв’язком нерівності будевідрізок довжиною 2. Разом з тим, якщо О/> співпадаєз точкою O (0; 0) або знаходиться праворуч, то розв’язком нерівності будевідрізок довжиною менше, ніж />, або взагалірозв’язків не буде. Дійсно, якщо О1 співпадає зО, то />, a x/> -корінь рівняння /> Звідси /> та />.Таким чином, потрібне положення центра О/> визначаєтьсяумовою />, тобто />.
Знайдемо значення x/> та x/>. Очевидно x/> - найменший корінь рівняння
/>. Звідси />.В той же час х/> - корінь рівняння /> Це рівняння рівносильне системі
/>
Знайдене рівняння при /> має тількиодин невід’ємний корінь, тобто. />
За умовою />. Розв’язав це рівняння,знаходимо />, />.Оскільки />, то />.
Відповідь: />.
10. Знайти всі значення параметра а,при яких рівняння /> має єдиний розв’язок.
Розв’язання. Представимо рівняння у вигляді />. Права частина цього рівняння задаєнерухомий «кут», ліва — «кут», вершина якого рухається повісі абсцис (рис.1.1.20).
/>
Рис.1.1.20
Рівняння буде мати єдиний розв’язок, якщо вершина рухомого «кута»
потрапить або в точку А або в точку В.
Маємо А (-4; 0), В (-2; 0), і координати цих точокзадовольняють рівнянню />. Тоді /> або />.Звідси /> або />.
Відповідь: /> або/>.
11. Знайти всі значення параметра а, для якихнайменше значення функції /> більше 2.
Розв’язання. Дана функція не задає сім’ю«кутів». За умовою задачі необхідно шукати значення параметра, прияких нерівність /> виконується прибудь-яких х. Це і є формулювання, рівносильна даній.
Одержану нерівність слід переписати так: />.
«Кут» /> повинен бутирозташований так, щоб на параболі /> не знайшлося ніоднієї точки, яка б лежала вище відповідних точок «кута» або насамому «куті». Для цього вершина «кута» не повинна належативідрізку /> (рис.1.1.21).
/>
Рис.1.1.21
Абсциси а1 и а2 відповідаютьмоменту дотику. Таким чином, шукані значення параметра визначаються сукупністюнерівностей /> або />.Залишилось знайти /> та />. Значення /> та/> знайдемо, вимагаючи відповідно від рівнянь /> /> мати
єдиний корінь. Звідси /> />.
Відповідь: />або/>.
12. При яких а множиною розв’язківнерівності /> є відрізок числової прямої?
Розв’язання. Маємо />.Права частина цієї нерівності задає сім’ю «кутів», вершини якихлежать на прямій у = 3 (рис.1.1.22).
/>
Рис.1.1.22
Якщо вершина «кута» знаходиться між точками А та В,то обов’язково знайдуться проміжки області визначення, на яких графік лівоїчастини нерівності не вище графіка правої частини. На рис.1.1.22 показано одноз проміжних положень «кута» з вершиною С. В цьому випадку розв’язкомпочаткової нерівності будуть всі точки відрізку MN.
При /> вершина «кута» знаходитьсяміж точками А та В, і виникає бажання вважати проміжок (-8;
4) шуканою відповіддю. Але умова задачі вимагає, щоб розв’язкомнерівності був відрізок числової прямої. А якщо вершина «кута» співпадаєз будь-якою з точок відрізка EF, включаючи Е і не включаючи F(рис.1.1.23, точка F відповідає моменту дотику), то розв’язком нерівностібуде або відрізок і точка, або два відрізки. Визначив координати точок Е таF, знаходимо />.
/>
Рис.1.1.23
Відповідь: />.
1.2 Поворот
В цьому параграфі вибір сім’ї кривих не є різноманітним, а точніше вінодноваріантний: члени сім’ї кривих /> -прямі. Більш того, центр повороту належить прямій. Іншими словами, миобмежимося сім’єю виду />, де /> - центр повороту.
Такий вибір обумовлено тим, що в рівності /> складнопобачити аналітичне задання повороту кривих, які відрізняються від прямих. Томупро поворот, як про метод, доцільно говорити лише для прямих вказаного типа.
1. При яких /> рівняння/> має три розв’язки?
Розв’язання. Побудуємо графіки функцій /> та />.Прямі /> переходять друг в друга шляхомперетворення повороту з центром в точці О (0; 0).
/>
Рис.1.2.1
Рівняння буде мати три розв’язки, коли пряма /> перетинаєпараболу в двох точках і дотикається до вершини, тобто коли />.
/> /> />
/> /> />
/> /> />
Обираємо />, так як при /> пряма дотикається вітки гіперболи нижче вісіабсцис.
Відповідь: />
2. Розв’язати рівняння /> івизначити значення />, при яких воно має єдинийрозв’язок.
Розв’язання. Побудуємо графіки функцій /> та />.Прямі /> переходять друг в друга шляхомперетворення повороту з центром в точці О (0; 0).
/>
Рис.1.2.2
Якщо />, то />,звідки />
Якщо />, то />,звідки />
Знайдемо параметр />: />, звідки />,тобто />.
/>, звідки />,тобто /> та />.
Відповідь: при /> />; при /> /> або />;при /> або /> />.
3. При яких значеннях /> рівняння/> має одно, два, три чотири розв’язки?
Розв’язання. Побудуємо графіки функцій /> та/>. Прямі /> переходятьдруг в друга шляхом перетворення повороту з центром в точці О (9; 0).
/>
Рис.1.2.3
З рисунка видно, що при /> рівняння має 1розв’язок, при /> - 2 розв’язки, при /> - 3 розв’язки, при /> -4 розв’язки, при /> — 2 розв’язки, при /> — 1 розв’язок.
Відповідь: при /> -1 розв’язок, при /> - 2 розв’язки, при /> - 3 розв’язки, при /> -4 розв’язки, при /> — 2 розв’язки, при /> — 1 розв’язок.
4. При яких значеннях /> рівняння/> має рівно 1 розв’язок? Знайти його.
Розв’язання. Запишемо ОДЗ рівняння: />
Побудуємо графіки функцій /> та /> враховуючи ОДЗ.
Прямі /> переходять друг в другашляхом перетворення повороту з центром в точці О (0; 0).
/>
Рис.1.2.4
Рівняння можна переписати у вигляді: />,/>. Знайдемо />.
Якщо />, то маємо 1 розв’язок: />, />. Значення /> відкидаємо згідно з ОДЗ. Для /> розв’язок />.
Якщо />, то маємо 2 розв’язки: />. Згідно з ОДЗ />,тобто />, звідки />.
Відповідь: при /> />, при /> />.
5. При яких /> рівняння/> має розв’язки?
Розв’язання. Запишемо ОДЗ рівняння: />, звідки />.Побудуємо графіки функцій /> та />.
Прямі /> переходять друг в другашляхом перетворення повороту з центром в точці О (0; 0).
/>
Рис.1.2.5
З рисунка видно, що при /> та /> рівняння має розв’язки.
Відповідь: /> та/>.
6. Знайти значення />,при яких рівняння /> має тільки одинрозв’язок.
Розв’язання. Запишемо ОДЗ рівняння:
/>, />.
Перепишемо рівняння у вигляді: />.Побудуємо графіки функцій /> та />. Прямі /> переходятьдруг в друга шляхом перетворення повороту з центром в точці О (0; 0). Розв’язуєморівняння: />, />
Точку дотику двох функцій знайдемо з умови: />,тоді />, />.
Інші значення параметра /> знайдемо з ОДЗ: />, звідки />.
/>
Рис.1.2.6
Відповідь: />,/>.
7. При яких значеннях /> рівняння/> має єдиний розв’язок?
Розв’язання. Знайдемо ОДЗ рівняння:
/>, />.
Перепишемо рівняння у вигляді />,/>. Побудуємо графіки функцій /> та />,враховуючи ОДЗ.
/>
Рис.1.2.7
Знайдемо точку дотику двох графіків функцій: />;/>; />, />, />.
Також з рисунка видно, що рівняння буде мати єдиний розв’язок при />.
Відповідь: /> або/>.
8. Знайти всі значення параметра />, при яких найменше значення функції /> менше 2.
Розв’язання. Переформулюємо задачу: знайти />, при яких нерівність /> має хоча б один розв’язок.
Перепишемо нерівність у вигляді: />.Побудуємо графіки функцій /> та />. На рис.31 наведені графік функції /> та дві прямі сім’ї />.
Положенню І відповідає /> (/> проходе через точку (-4,0)), а положенню ІІ(момент дотику: />, />)відповідає />. Нерівність буде мати розв’язки,якщо прямі І та ІІ “крутити” відповідно за та проти годинникової стрілки довертикального положення.
/>
Рис.1.2.8
Відповідь: /> або/>.
Задачі для самостійної роботи
1. Знайти всі значення параметра k, прияких система рівнянь має розв’язки
/>
Розв’язання. Прямі сім’ї /> переходять друг в друга шляхом перетворенняповороту з центром в точці />.
Задана система буде мати Розв’язання, якщо наведені прямі мають з«півпараболою» /> хоча б однуспільну точку.
На рис.1.2.9 відмічені два положення прямої, яким відповідають деякізначення параметра /> и />.
/>
Рис.1.2.9
На першій прямій лежить вершина. Друга пряма дотикається «півпараболи».Наглядно очевидно, що якщо прямі сім’ї «заметають» утворений кут (параметрk змінюється від k1 до k2), тосистема має розв’язки.
Значення k1 знайдемо, підставляючи в перше рівняннясистеми пару (0; 0). Звідси />. Значення k2одержимо, вимагаючи від системи
/>
мати єдиний Розв’язання, що рівносильне для рівняння /> при k > 0 мати єдиний корінь. Звідси/>. Відповідь: />.
Зауваження. В деяких прикладах цього параграфуми будемо розв’язувати стандартну задачу: для прямої з сім’ї прямих знаходитиїї кутовий коефіцієнт, який відповідає моменту дотику з кривою. Покажемо, як церобиться в загальному виді за допомогою похідної.
Якщо /> - центр повороту, то координати />точки дотику з кривою /> можназнайти, розв’язав систему
/>
Кутовий коефіцієнт k дорівнює />.
2. Знайти все значення параметра k, прияких система рівнянь
/>
має два різних розв’язки.
Розв’язання. Наступна система рівносильнапочатковій
/>
На рис.1.2.10 зображено вітку гіперболи /> прих > 0. Всі прямі, які проходять через точку М (6;
8), складають сім’ю прямих у = 8 + k (x — 6). МА та MB- дотичні до гіперболи.
/>
Рис.1.2.10
Лише прямі з сім’ї прямих, які проходять між сторонами кутів AMDта ВМС, перетинають гіперболу в двох точках. Можливо здається, що прямі,близькі до вертикального або горизонтального положення, наприклад, МК таМР мають тільки одну спільну точку з гіперболою. Однак це не так: будь-якийпромінь, який проходить в середині кутів AMD та ВМС і перетинаєкриву, обов’язково перетне вісь координат, тобто «зіштовхнеться» згіперболою ще в одній точці.
Кутовий коефіцієнт прямої МА: />,а прямої MB: />. Остаточний результатзручно одержати, обертаючи пряму з сім’ї прямих в середині кута AMDпроти годинникової стрілки (додатний напрям), а в куті ВМС — загодинниковою стрілкою (від’ємний напрям). Таким чином, /> або />.Відповідь: /> або />.
3. При яких значеннях а система рівняньне має розв’язків
/>
Розв’язання. Система
/>
рівносильна початковій.
На рис.1.2.11 точка (3; 0) — центр повороту.
Якщо пряма сім’ї прямих /> обертаєтьсяв середині кута ОМА, то система не має розв’язків.
/>
Рис.1.2.11
Кутовий коефіцієнт прямої МА дорівнює />.Тоді при такому повороті параметр а приймає всі значення з проміжку />. (Ми включили />,оскільки пряма МО не перетинає гіперболу)
Існує ще одна пряма сім’ї прямих, а саме />,яка проходить через «дірки» в гіперболі. Тому при /> система також не має розв’язків.
Відповідь: /> або/>.
4. При яких значеннях параметра арівняння /> має єдиний Розв’язання?
Розв’язання. Розглянемо функції у = ахта />. Графік другої функції побудуємо, розглянувширівняння /> при />.Перетворюючи останнє до виду /> одержимо, щошуканий графік — півколо з центром (4;
1) і радіусом 1.
На рис.1.2.12 це дуга АВ. Всі прямі у = ах, які проходятьміж променями ОА та 0В перетинають дугу в одній точці. Також однуточку с дугою мають пряма ОВ та дотична ОМ.
/>
Рис.1.2.12
Кутові коефіцієнти прямих 0В та ОА відповідно дорівнюють /> та />.Кутовий коефіцієнт дотичної ОМ дорівнює />.Дійсно, вимагаючи від системи
/>
мати єдиний розв’язок, знаходимо />.
Таким чином, прямі сім’ї у = ах мають з дугою АВ тількиодну спільну точку при /> або />. Відповідь: /> або/>.
5. Визначити, при яких значеннях параметра амінімум функції /> більше 1.
Розв’язання. Перейдемо до рівносильногоформулювання задачі: визначити, при яких значеннях а нерівність />/>виконується длявсіх х.
На рис.1.2.13 зображено графік функції />.Всі прямі сім’ї прямих /> проходятьчерез точку (0;
1) — центр повороту.
/>
Рис.1.2.13
Якщо ці прямі «заповнюють» кут АМВ (МА — дотична), токожна точка побудованого графіка знаходиться вище відповідних точок прямих. Справедливей обернене твердження. Знаходячи найбільше значення параметра а, приякому рівняння /> має один Розв’язання,одержимо кутовий коефіцієнт прямої МА. (Менше значення авідповідає моменту дотику прямої з дугою параболи />)Звідси />. Для прямої МВ маємо а= 1.
Відповідь: />.
6. При яких значеннях параметра асистема
/>
має три різних розв’язки?
Розв’язання. Розглянувши перше рівняннясистеми як квадратне відносно y, легко розкласти його ліву частину намножники. Маємо />. Графік цього рівняння — об’єднання двох парабол — наведено на рис.1.2.14.
/>
Рис.1.2.14
Через точку А (4; 0) проходять всі прямі сім’ї прямих />. Виділимо ті з них, які мають з графікомпершого рівняння три спільні точки. На рисунку це прямі АВ, AC, AD, АF. Такимчином, шуканих значень параметра чотири. Однак ще дві прямі сім’ї прямих,задовольняють вимогам задачі. Дійсно, з точки А до параболи /> можна провести дві дотичні (нарисунку показана одна — АВ). Друга дотична не є вертикальною прямою,тому вона обов’язково «наздожене» параболу /> щев двох точках. Аналогічний результат дає друга, відмінна від AF, дотичнадо параболи />.
Будемо вимагати від рівнянь /> та/> мати єдиний корінь. Тоді знайдемо кутовікоефіцієнти дотичних відповідно до кривих /> та/>. Маємо />,/>. Далі абсциса точки Мдорівнює від’ємному кореню рівняння />, тобто х= — 1. Тоді кутовий коефіцієнт прямої AD дорівнює />, а кутовий коефіцієнт прямої АС дорівнює0.
Відповідь: />,/>, />, />.
7. Скільки різних розв’язків має системарівнянь
/>
в залежності від параметра а?
Розв’язання. Запишемо сукупність систем,рівносильну початковій. Маємо
/> або />
В цій задачі ми будемо мати справу одразу з двома перетвореннями — поворотомта паралельним переносом.
Перша система сукупності має два розв’язки при будь-якому а (рис.1.2.15).
Знайдемо число розв’язків другої системи (рис.1.2.15): при /> - немає розв’язків, при /> - один розв’язок, при /> - два розв’язки.
Додатково з рисунка видно, що при />,або />, або а = 0 прямі /> и /> перетинаються вточках, які лежать на колі />. Зрозуміло,що цей факт змінює число розв’язків для випадку />.
/>
Рис.1.2.15
Відповідь: якщо />,або а = 0, то розв’язків два; якщо /> або/>, то розв’язків три; якщо />, або />,або />, або />,то розв’язків чотири.
Наступні дві задачі пов’язані з ще одним перетворенням — паралельнимпереносом.
8. Знайти всі значення а, для яких існує паравід’ємних чисел х та у, які задовольняють умові
/>
Розв’язання. Нерівність х + 2у > азадає півплощину з «пливучою» межею х + 2у = а. Оскількиочевидно, що а /> /> задаєвнутрішню область трикутника ОАВ з координатами вершин О (0; 0), А(0; а), В/> - рис.1.2.16.
/>
Рис.1.2.16
Все прямі сім’ї прямих /> проходять черезточку М (0;
1). Очевидно початкова система має Розв’язання, якщо прямі сім’їперетинають вісь абсцис в точках, які лежать між А та О. Дляпрямої /> при фіксованому а абсцисаточки перетину с віссю х дорівнює />.Тоді залишилося вимагати, щоб />. Звідси />.
Відповідь: />.
9. При яких значеннях параметра арівняння /> не має розв’язків?
Розв’язання. Розглянемо функції /> та />,які задають: сім’ю «кутів» та сім’ю прямих, які проходять через точку/>. Оскільки кожен з графіків функційзнаходиться у «русі», то при пошуку їх спільних точок (або умов їхвідсутності) виникають ускладнення. Тому спробуємо застосувати такий метод:«зупинимо» один з рухів за допомогою заміни.
Нехай />. Тоді /> і початкове рівняння приймає вигляд />. Всі прямі виду /> проходятьчерезточку />. Оскільки положенняточки М не зафіксовано, то поворот не формує сім’ю прямих. Однак самаідея повороту є результативною.
Очевидно ордината точки М завжди від’ємна. За допомогою рис.39легко побачити, що якщо прямі сім’ї прямих проходять між сторонами кута АМВ />, то в цьому і тільки в цьому випадкупочаткове рівняння має розв’язки.
/>
Рис.1.2.17
Таким чином, кутовий коефіцієнт /> прямихзадовольняє вимозі />. Звідси />
Відповідь: />
1.3 Гомотетія. Стиск до прямої
1. Знайти число розв’язків системи рівнянь (/>)
/>
Розв’язання. Побудуємо графіки функцій /> (квадрат зі стороною />)та />. Члени сім’ї функцій /> -гомотетичні кола (з центром гомотетії (0,0)).
/>
Рис.1.3.1
Якщо коло лежить всередині квадрата, то розв’язків немає.
Якщо коло вписане в квадрат, то з’являються розв’язки. В цьому випадкуз теореми Піфагора: />.
При />система немає розв’язків, при /> система має 4 розв’язки. Далі зі збільшенням/> (/>) кожна сторонаквадрата має дві спільні точки перетину з колом (всього 8 розв’язків).
При /> квадрат вписаний в коло, маємо 4розв’язки. При /> розв’язків немає. Відповідь:при /> розв’язків немає, при /> - 4 розв’язки, при /> -8 розв’язків, при /> - 4 розв’язки, при /> розв’язків немає.
2. При яких дійсних значеннях /> система
/>
має 8 різних розв’язків?
Розв’язнання. Побудуємо графіки функцій /> (ромб зі стороною довжиною />) та />.Члени сім’ї функцій /> - гомотетичні кола (зцентром гомотетії (0,0)).
/>
Рис.1.3.2
Знайдемо значення параметра />, при якому колодотикається до ромба.
З прямокутного трикутника (зі сторонами /> та1) знайдемо />, тоді з трикутника АВС />, звідки />.
Зі збільшенням /> система буде мати 8розв’язків (8 точок перетину кола з ромбом). А при /> системабуде мати 4 розв’язки (4 точки перетину з ромбом). Отже, />. Відповідь: />
3. Визначити, при яких /> системарівнянь
/>
має точно два розв’язки.
Розв’язання. Перепишемо систему рівнянь увигляді
/>
Перше рівняння визначає гомотетичні кола (з центром гомотетії (0,0) тарадіусом />). Друге рівняння — об’єднання двохпрямих: />, />.Побудуємо прямі та кола на графіку.
/>
Рис.1.3.3
Система буде мати точно 2 розв’язки, коли коло дотикається двох прямих.Знайдемо параметр />. З /> гіпотенуза />,/>. З /> />, тоді />,/>. Остаточно знаходимо />. Відповідь: />.
4. Для кожного від’ємного числа /> розв’язати нерівність />.
Розв’язання. Перепишемо нерівність у вигляді />. Побудуємо графіки /> та/>. Членами сім’ї функцій />є гомотетичні півкола (центр гомотетії — точка (0,0)). З нерівності випливає, що півкола повинні лежати вище прямої />.
Кутовий коефіцієнт прямої /> дорівнює -2. Тоді/>, />, із />: />, />.
/>
Рис.1.3.4
/>, звідки
/>, />.
Розв’язком нерівності для кожного від’ємного числа /> буде проміжок />.Відповідь: />.
5. Скільки розв’язків в залежності від /> має рівняння />.
Розв’язання. Перепишемо рівняння у вигляді />. Побудуємо графіки функцій /> (гомотетичні кути з вершиною в точці (2,0)) та/>. При /> графікинаведені на рисунку 1.3.5
/>
Рис.1.3.5
З рис.1.3.5 видно, що при /> спільних точокграфіки не мають, рівняння розв’язків немає.
При /> графіки /> та/> наведені на рисунку 1.3.6.
З рис.1.3.6 видно, що при /> />, /> — 1 розв’язок;
при /> - 2 точки перетину графіків (2розв’язки);
при /> - 3 точки перетину графіків (3розв’язки);
при /> - 4 точки перетину графіків (4розв’язки).
/>
Рис.1.3.6
Відповідь: при /> />, /> — 1 розв’язок; при/> - 2 розв’язки; при /> -3 розв’язки; при /> - 4 розв’язки.
6. При яких значеннях /> криві/> та /> маютьтільки одну спільну точку?
Розв’язання. Необхідно розв’язати рівняння /> або />.Побудуємо графіки функцій /> (гомотетичнівітки парабол з центром гомотетії (0,0)) та />.ОДЗ рівняння: />.
При /> маємо 1 розв’язок.
Розглянемо випадок дотику двох графіків.
Запишемо рівняння дотичних до кожного з графіків в точці />:
/>, звідси />.
Підставляємо /> в рівняння />, тоді />,/>.
/>
Рис.1.3.7
Відповідь: /> або/>.
7. При яких значеннях параметра /> рівняння /> маєєдиний розв’язок, більше одного розв’язку, немає розв’язків?
Розв’язання. Побудуємо графіки функцій /> та />.
/>
Рис.1.3.8
Розв’яжемо рівняння на проміжку /> длятого, щоб знайти точку дотику функцій.
Якщо />, то />,/>, при /> />.
Таким чином, при /> - 1 розв’язок,при /> — точки перетину графіків є (більшеодного розв’язку), при /> — немає точокперетину графіків (немає розв’язків).
Відповідь: при /> -1 розв’язок, при /> - більше одногорозв’язку, при /> немає розв’язків.
Задачі для самостійної роботи
1. При яких с система має хоча б одинрозв’язок?
/>
Розв’язання. Спростимо нерівність системи. Маємо/>. Нехай />.Тоді />. Звідси з урахуванням того, що />, одержимо />.Запишемо />, тобто />.Таким чином, початкова система рівносильна такій:
/>
Графіком першої нерівності цієї системи є півплощина з межею /> (рис.1.3.9).
/>
Рис.1.3.9
Очевидно система може мати розв’язки, якщо />.Тоді рівняння
х 2 + у 2 = сзадає сім’ю гомотетичних кіл з центром в точці О (0; 0). Рисунокпідказує, що якщо радіус кола не менше довжини відрізка ОМ, тобтовідстань від точки О до межі півплощини, то система має розв’язки. Маємо/>. З />.Звідси />.
Відповідь: />.
2. Скільки розв’язків має система в залежностівід параметра а?
/>
Розв’язання. При /> системарозв’язків не має. При фіксованому /> графіком першогорівняння є квадрат з вершинами (а; 0), (0; — а), (-а; 0), (0; а). Такимчином, членами сім’ї /> є гомотетичніквадрати (центр гомотетії — точка О (0; 0)).
Якщо квадрат (рис.1.3.10) знаходиться в колі /> системарозв’язків не має.
/>
Рис.1.3.10
Зі збільшенням а (квадрат «роздувається») розв’язкиз’являються лише в той момент, коли квадрат буде вписаним в коло. В цьомувипадку (а = 1) розв’язків буде чотири. Далі, при /> кожна сторона квадрата має дві спільні точкиз колом, тоді система буде мати вісім розв’язків. При /> колобуде вписане в квадрат, тобто розв’язків стане знов чотири. Очевидно при /> система розв’язків не має.
Відповідь: якщо /> або/>, то немає розв’язків; якщо /> або />,то розв’язків чотири; якщо />, торозв’язків вісім.
3. Знайти всі значення параметра а, прикожному з яких рівняння /> має рівно вісімрозв’язків.
Розв’язання. Маємо />,де />. Розглянемо функції />та />. Перша зних задає сім’ю гомотетичних півкіл з центром в О (0; 0), друга — сім’юпрямих, паралельних вісі абсцис.
З рис.1.3.11 видно, що зі збільшенням радіуса /> півколазростає число коренів початкового рівняння. Їх буде рівно вісім, якщо />.
/>
Рис.1.3.11
Зауважимо, що а не є радіусом півкола, т. як />.
Відповідь: /> або/>.
4. Знайти всі а, при яких системирівносильні.
/> та />
Розв’язання. Перепишемо першу систему в виді /> де />
Перше рівняння системи задає сім’ю паралельних прямих, зображену на рис.1.3.12.Для випадку а > 0 друге рівняння системи задає сім’ю кіл.
Всі розв’язки другої з початкових систем містяться серед розв’язківпершої.
Обернена вимога виконується лише тоді, коли кола /> мають спільні точки тільки з прямою />. Відстань між сусідніми прямимидорівнює />, тому для радіуса кола знаходимообмеження />. Звідси />.
/>
Рис.1.3.12
Оскільки ми розглядаємо випадок а > 0, то значення а =0 потребує перевірки. Очевидно воно підходить. При а 0 початковісистеми розв’язків не мають, а значить, вони рівносильні.
Відповідь: />.
5. При яких додатних значеннях параметрів ата /> системи рівнянь
/> та />
мають однакове число розв’язків?
Розв’язання. Друга система задає сім’юпаралельних прямих />, та сім’югомотетичних кіл /> з центром О1 (1;
1) (рис.1.3.13). Оскільки за умовою />,то />, і система має не менше чотирьох розв’язків.Очевидно такою ж властивістю володіє перша з початкових систем.
/>
Рис.1.3.13
Вона рівносильна сукупності наступних двох систем:
/> або />
Оскільки а > 0, то сім’я паралельних прямих /> (рис.1.3.13) перетинає графік /> лише в одній точці, а значить, перша системасукупності має тільки один розв’язок. Друга система може мати не більше трьохрозв’язків (рис.1.3.14). Тому ми вимагаємо від цієї системи мати рівно трирозв’язки.
/>
Рис.1.3.14
Остання умова досягається тоді, коли прямі /> будутьперетинати криву />, в двох точках. Дляцього необхідно і достатньо, щоб рівняння /> приа > 0 мало два кореня, тобто дискримінант квадратного рівняння /> повинен бути додатним. Маємо />. Звідси для а > 0 знаходимо />
Тепер залишилося з’ясувати, при яких а друга з даних в умовісистем має рівно чотири розв’язки. Розглянемо точку /> (рис.1.3.13).Якщо радіус кола буде більше або дорівнює О1М, тосистема очевидно буде мати більше чотирьох розв’язків. Тоді знаходимо />, тобто при а > 0 маємо />.
Тепер визначимо при яких /> />. Легко встановлюємо, що />.
Відповідь: якщо />,то />; при інших b вимоги задачі невиконуються.
Зауваження. При фіксованому /> крива /> -результат стиску до вісі абсцис кривої /> в/> раз. (Іноді для випадку /> говорять, що крива розтягується від вісі)
6. При кожному фіксованому значенні параметра арозв’язати рівняння />.
Розв’язання. Розглянемо функції /> и />.На рис.1.3.15 побудовані графік першої з них, а також графіки шестипредставників сім’ї прямих /> відповідно длявипадків /> /> /> /> /> /> (Для а = 0маємо вісь абсцис) Одержаний графічний образ дає повну інформацію проРозв’язання початкового рівняння. Залишилося лише знайти значення /> та />.
/>
Рис.1.3.15
Очевидно шукані значення відповідно для /> и/> - це корені рівняння />.
Звідси />. При запису відповідінеобхідно врахувати, що х = 1 — корінь початкового рівняння прибудь-якому а.
Відповідь: якщо />,то х = 1; якщо />, то х =1 або />;
якщо а = 1, то/>; якщо а= — 1, то />.
7. Знайти всі натуральні значення b,при кожному з яких вираз /> має зміст длявсіх пар чисел (х; у), де /> и />, для яких вираз/> такожмає зміст.
Розв’язання. Оскільки вирази /> та /> повиннімати зміст одночасно, то нескладно прийти до формулювання, рівносильногопочатковому: знайти всі натуральні b, при яких система має розв’язок:
/>
Графіком першої нерівності системи є всі точки координатної площини (х;у), окрім прямої />. Інші нерівностізадають область, обмежену віткою гіперболи />.(На рис.1.3.16 ця область показана штриховою лінією)
/>
Рис.1.3.16
Система має розв’язки, якщо сім’я гіпербол /> маєне більше однієї спільної точки з прямою /> (однаточка відповідає моменту дотику). Для цього достатньо вимагати, щоб рівняння /> мало не більше одного кореня. Оскільки />, то умова недодатності дискримінантаквадратного рівняння /> дає шукані значенняпараметра. Маємо />. І так як b — натуральне,знаходимо b=3, 4,...
Відповідь: b=3, 4,...
8. При яких значеннях а множина точок,задана нерівністю />, є підмножиною множиниточок, заданої нерівністю />?
Розв’язання. Графіком нерівності /> є область, обмежена ромбом (рис.1.3.17).
/>
Рис.1.3.17
Нерівність /> рівносильна системі />. Очевидно при /> цясистема задає необмежену множину точок (рис.1.3.18), яка не може поміститися всередині ромба. Якщо а > 0, то система задає фігуру, зображену на рис.1.3.19.
Задача зводиться до пошуку значень а, при яких ця фігура «стиснеться»до таких розмірів, що поміститься в ромб. Із міркувань симетрії для пошукушуканих значень параметра достатньо вимагати від рівняння /> при /> матине більше одного кореня. Тоді />.
/>/>
Рис.1.3.18 Рис.1.3.19
Відповідь: />.
1.4 Дві прямі на площині
В основі ідеї розв’язку задач цього підрозділу лежить питання продослідження взаємного розташування двох прямих: /> та/>. Не будь-яке рівняння виду /> задає пряму: необхідно ще вимагати, щоб /> При дослідженні взаємного розташування двохпрямих зручно спочатку розглянути випадки, коли коефіцієнти при удорівнюють нулю (маємо вертикальне положення прямих), потім кожне з рівняньпредставити у вигляді />
1. Знайти значення />,при яких система рівнянь
/>
має єдиний розв’язок.
Розв’язання. Графіками рівнянь системи є прямі.Перше рівняння при /> задає вертикальну пряму />, яка перетинає графік другого рівняння, щорівносильно для системи мати єдиний розв’язок. Друге рівняння при /> задає вертикальну пряму />, яка перетинає графік першого рівняння, щорівносильне для системи мати єдиний розв’язок.
Якщо /> та />,то />, />.
Прямі паралельні, якщо />, звідки />
Прямі співпадають, якщо />, звідки />
Прямі перетинаються, якщо />, звідки />.
Відповідь: система має єдиний розв’язок при />.
2. Покажіть, що система рівнянь
/>
має єдиний розв’язок при всіх значеннях />.
Розв’язання. Графіками рівнянь системи є прямі.Перше рівняння при /> задає вертикальну пряму />, яка перетинає графік другого рівняння, щорівносильне для системи мати єдиний розв’язок. Друге рівняння при /> задає вертикальну пряму />, яка перетинає графік першого рівняння, щорівносильне для системи мати єдиний розв’язок.
Якщо />, то />;якщо />, то />.Прямі паралельні, якщо />, звідки зпершого рівняння />, розв’язків немає. Отже,співпадати прямі також не можуть.
Відповідь: прямі перетинаються при всіхзначеннях />.
3. Знайти всі значення />,при яких система рівнянь немає розв’язків:
/>
Розв’язання. Графіками рівнянь системи є прямі.Перше рівняння при /> задає вертикальні прямі />, які перетинають графік другого рівняння, щорівносильне для системи мати єдиний розв’язок.
Якщо />, то />;/>.
Система немає розв’язків, коли прямі паралельні, тобто
/> /> /> />/> />/>
Відповідь: система немає розв’язків при />.
4. При яких значеннях /> системарівнянь
/>
має нескінчену множину розв’язків?
Розв’язання. Графіками рівнянь системи є прямі.Друге рівняння при /> задає вертикальну пряму />, яка перетинають графік першого рівняння, щорівносильне для системи мати єдиний розв’язок.
Якщо />, то />.З першого рівняння маємо />.
Система має нескінчену множину розв’язків, коли прямі співпадають,тобто
/> /> /> /> />/>
/> /> />
Відповідь: система має нескінчену множинурозв’язків при />.
5. Знайти всі пари значень />, при кожній з яких система рівнянь
/>
має нескінчену множину розв’язків.
Розв’язання. Перепишемо систему рівнянь увигляді
/>
Система має нескінчену множину розв’язків, коли прямі співпадають,тобто
/>
Помножуємо друге рівняння на 2 і додаємо до першого рівняння: />. Виражаємо /> іпідставляємо в друге рівняння:
/>
/>
/>, тоді />
Відповідь: /> або/>.
6. При яких значеннях /> існуютьрозв’язки системи рівнянь
/>,
які задовольняють одночасно нерівностям />?
Розв’язання. Знаходимо з першого рівняння /> і підставляємо в друге рівняння: />, звідки />.За умовою задачі/>, тобто />, звідки />.
Тоді />. За умовою задачі/>, тобто />,звідки />, />.Отже, />/>/> />.
Відповідь: />.
7. Знайти всі />,при яких рівносильні системи рівнянь
/> та />.
Розв’язання. Розглянемо другу систему: />. Ця система має єдиний розв’язок прибудь-яких /> (/>).Для виконання умови рівноправності необхідно, щоб всі чотири прямі, якізадаються рівняннями системи, мали спільну точку. Цю точку знайдено,розв’язавши систему
/> /> />.
Підставимо знайдені значення /> в перші рівняннязаданих систем:
/> /> /> або />.
Перша система при /> має нескінченобагато розв’язків:
/>.
Тому системи рівнянь рівносильні при />.
Відповідь: />.
8. Числа /> такі,що система рівнянь
/>
має нескінчено багато розв’язків, причому /> -один із цих розв’язків. Знайти числа />.
Розв’язання. Перепишемо систему у вигляді:
/>.
Система має нескінчену множину розв’язків, коли прямі співпадають,тобто
/>
Так як /> - один із цих розв’язківсистеми, то підставимо його в систему:
/> /> />
Тоді
/>/> />.
З системи трьох рівнянь знаходимо
/> /> /> або />.
Відповідь: /> або/>.
9. Знайти всі значення />,при кожному з яких для будь-якого значення /> система
/>
мала б хоча б один розв’язок />
Розв’язання. Розглянемо задану систему яксистему з двома невідомими /> та трьомапараметрами /> Якщо />та/> перепишемо задану систему таким чином:
/>
З цієї системи маємо: система має розв’язки, якщо />, тобто /> та/> при будь-яких значеннях />
При />перше рівняння визначає вертикальнупряму, друге — невертикальну. Таким чином, при /> системамає розв’язок для будь-яких /> Аналогічно для />.
Необхідно дослідити систему при /> та/>. При даних значеннях рівняння системизадають або паралельні або співпадаючі прямі. Випадку перетину прямихвідповідає рівняння: />
При /> маємо />,/>, />, />. При /> маємо/>, />, />, />. Таким чином, />. Відповідь: />.
10. Знайти /> такі,щоб при будь-яких /> система рівнянь мала бхоча б один розв’язок: />
Розв’язання. Перепишемо систему рівнянь увигляді: />. При/> заданасистема має єдиний розв’язок при будь-яких значеннях />.Тому достатньо знайти такі />, щоб системамала б розв’язок при />.
Маємо />, звідси />.
Відповідь: />
Задачі для самостійної роботи
1. Визначити число розв’язків системи взалежності від значень параметра а.
/>
Розв’язання. Графіками рівнянь системи є прямі.Оскільки коефіцієнт при у в першому рівнянні не дорівнює нулю, то церівняння задає невертикальну пряму />Друге рівнянняпри /> задає вертикальну пряму, яка очевидноперетинає графік першого рівняння, що рівносильне початковій системі матиєдиний розв’язок. Якщо />, то маємо /> Прямі паралельні, якщо />
Прямі співпадають, якщо />
Прямі перетинаються, якщо />
Розв’язання першої системи /> другої: /> Розв’язання останньої нерівності /> и />
Відповідь: якщо /> та/> то система має єдиний Розв’язання (зазначимо,що значення /> враховано); якщо /> то розв’язків нескінчене багато; якщо /> то розв’язків немає.
Зауваження. Розглянута система належить класусистем двох лінійних рівнянь с двома змінними х та у, тобтосистем виду
/>
де /> - деякі числа (параметри).
2. Задані два твердження: а) система /> має нескінченно багато розв’язків; б) прямі,задані рівняннями /> та />
перетинаються в другій чверті декартової прямокутної системи координат.При яких значеннях а одне з тверджень істинно, а інше — хибне?
Розв’язання. Графіком першого рівняння системиє невертикальна пряма />. При /> система очевидно має єдиний Розв’язання (другерівняння задає вертикальну прямую). Якщо />,то маємо />. Звідси система має нескінченнобагато розв’язків, якщо
/>
Знаходимо />.
Прямі, задані в твердженні б), зручно записати так:
/> та />.Зрозуміло, що вони будуть перетинатися, якщо />,тобто />. Розв’язав рівняння />, легко знайти координати точки перетинупрямих.
Маємо /> та />.
Прямі перетинаються в другій чверті, якщо /> тау > 0. Звідси />.
Таким чином, твердження а) істинно, якщо а = 2, твердження б) — якщо/>. Тоді вимогам задачі задовольняє наступне: а.
Відповідь: а .
3. Знайти всі значення а, при кожному з якихдля будь-якого значення b система
/>
має хоча один розв’язок (х, у, z).
Розв’язання. Маємо систему двох рівнянь стрьома змінними. Однак на цю систему можна дивитися, як на лінійну зі змінними хта у і параметрами а, b, z. Тоді Розв’язання проведемо за схемою,викладеною раніше.
Маємо /> - невертикальнапряма. Тоді при /> (друге рівняння системи — вертикальна пряма) система має розв’язок при будь-яких а таz. Якщо/>, одержимо />
Звідси, якщо />, тобто /> та />,система очевидно має Розв’язання при будь-яких а та z. Однак задачавимагає, щоб b було довільним. Тому необхідно дослідити випадки, коли /> та />.Для даних значень b рівняння системи задають або паралельні прямі, абоспівпадаючі. Нас влаштовує, тільки другий випадок. Для цього необхідновимагати, щоб />. При /> маємо />,при />. Залишилося знайти такі а,при яких знайдені рівняння відносно z мають хоча б один Розв’язання,причому одночасно. Оскільки ці рівняння степені не вище другої, то встановлюємо,що />.
Відповідь: />.
4. Знайти всі а, при яких длябудь-якого b існують чотири різні значення с, при яких система /> має хоча б один Розв’язання.
Розв’язання. При /> данасистема має єдиний Розв’язання при будь-яких а та с. Оскільки заумовою b — довільне, то розглянемо окремо випадок, коли />.
Знаходимо
/>
Ця система має Розв’язання, якщо/>.Маємо біквадратне рівняння відносно с. Воно має чотири різнірозв’язки, якщо відповідне квадратне рівняння має два різних додатних кореня. Дляцього достатньо вимагати, щоб а > 0 та D > 0, де />. Звідси />.
Відповідь: />.
5. При яких а та b система /> має Розв’язання?
Розв’язання. Перетворимо нерівність системи довигляду
/>. Звідси />.Тоді />, тобто />.Таким чином, початкова система рівносильна такій:
/>/>
Нерівність системи задає півплощину з межею /> (рис.1.41).
/>
Рис.1.4 1
Система має розв’язок, якщо пряма /> перетинаємежу півплощини або, будучи паралельна їй, лежить в півплощині />.
Почнемо з випадку b = 0. Тоді рівняння /> задаєвертикальну пряму, яка перетинає пряму />.Однак це твердження справедливе лише при />.Значить, при b = 0 та /> система маєрозв’язки. Далі, при /> маємо />. В цьому випадку умова перетину прямихдосягається при /> тобто />. />Якщо />, то прямі або співпадають, абопаралельні. Додаючи вимогу /> (пряма /> перетинає вісь ординат нижче точки (0; — 1)),одержимо ще одне взаємне розташування прямих.
Відповідь: /> та/>, або /> та/>, або /> та/>.
6. При яких значеннях параметра асистема нерівностей має Розв’язання?
/>
Розв’язання. Якщо межі півплощин, які задаютьнерівності системи, перетинаються, то дана система має розв’язки.
Очевидно а = 1 підходе. Якщо />,то рівняння меж півплощин перепишемо в такому виді: /> та/>. Ці прямі перетинаються, якщо />, тобто /> та/>.
Розглянемо випадки а = 3 та а = 4. При а = 3 межіспівпадають, і очевидно система розв’язків не має (нерівності системи задаютьрізні півплощини). При /> маємо
/>
Ця система також розв’язків не має (рис.1.4 2).
/>
Рис.1.4 2
Таким чином, а = 4 не підходе.
Відповідь: /> та/>. />
Розділ 2. Координатна площина (x; a)
Погляд на параметр як на рівноправну змінну знаходить своє відображенняв графічних методах. Оскільки параметр «рівний в правах» зі змінною,то йому, природно, можна «виділити» і свою координатну вісь. Такимчином виникає координатна площина />.
Відмова від традиційного вибору букв х та у дляпозначення осей, визначає один з ефективніших методів розв’язку задач зпараметрами.
Для того, щоб найбільш повно розкрити можливості цього метода, покажемойого застосування для розв’язування основних типів задач з параметрами.
Дамо самі загальні признаки, які, можливо, допоможуть впізнаватизадачі, які підходять під цей метод: в задачі фігурують лише один параметр ата одна змінна х, вони конструюють деякі аналітичні вирази F/>, G/> і т.д.; графіки рівнянь F />= 0, G />= 0 і т.д. в системі координат/> будуються нескладно.
Сам процес розв’язування схематично виглядає так.
Спочатку будується графічний образ, потім, перетинаючи отриманий графікпрямими, перпендикулярними параметричній вісі, «знімаємо» потрібнуінформацію.
1. Знайти всі значення параметра />, при яких система нерівностей
/>
задовольняється лише при одному />.
Розв’язання. Перепишемо систему в такому виді:
/>/>/>
Всі розв’язки цієї системи утворюють область, показану на рисункуштриховою лінією.
/>
Рис.2.1
Вимога єдності розв’язку даної системи: горизонтальні прямі повиннімати з цією областю тільки одну спільну точку.
Знаходимо точки перетину графіків: />,звідки />, />.Тоді /> та />.
Лише прямі /> та /> задовольняють вимозі єдності розв’язкусистеми.
Відповідь: /> та/>.
2. Знайти всі значення параметра />, при яких система нерівностей
/>
задовольняється лише при одному />.
Розв’язання. Перепишемо систему в такому виді:
/>.
Всі розв’язки цієї системи утворюють область, показану на рисункуштриховою лінією.
/>
Рис.2.2
Вимога єдності розв’язку даної системи: горизонтальні прямі повиннімати з цією областю тільки одну спільну точку.
Знаходимо точки перетину графіків: />,звідки />.
З рисунка видно, що лише прямі /> та/> задовольняють вимозі єдності розв’язкусистеми.
Відповідь: /> та/>.
3. При яких значеннях /> рівняння/> має рівно три кореня?
Розв’язання. Маємо
/> /> />
/>
Рис.2.3
Графік цієї сукупності — об’єднання “кута" та параболи.
Лише прямі /> та /> перетинають знайдене об’єднання в трьохточках.
Відповідь: /> та/>.
4. При яких значеннях /> рівняння/> має рівно три розв’язки?
Розв’язання. Розв’яжемо задане рівняння якквадратне відносно />:
/>
/>
/>
Графік цієї сукупності — об’єднання двох парабол.
/>
Рис.2.4
Знайдемо точки перетину графіків функцій: />,звідки />.
/> та />,/>.
Лише прямі /> та /> перетинають знайдене об’єднання в трьохточках.
Відповідь: /> та/>.
5. В залежності від параметра /> визначити число коренів рівняння
/>
Розв’язання. Розв’яжемо задане рівняння якквадратне відносно />:
/>
/>
/>
Графік цієї сукупності — об’єднання двох парабол.
/>
Рис.2.5
Знайдемо координати вершин кожної з парабол:
/> та
/>.
Знайдемо також точки перетину графіків функцій: />,звідки />, тоді />.
Відповідь: якщо />,то розв’язків немає; якщо />, то 1 розв’язок;
якщо />, то 2 розв’язки; якщо /> або />,то 3 розв’язки;
якщо /> або />,то 4 розв’язки.
6. Знайти всі дійсні значення />, для кожного з яких рівняння
/>
має тільки два різних коренів. Записати ці корені.
Розв’язання. Перепишемо рівняння у виглядісукупності:
/>
Розв’язками системи є />, звідки />, />, />.
/> та />
Відповідь: якщо />,то /> або />;
якщо />, то /> або/>.
7. Знайти всі числа />,при яких існує єдине число />, яке задовольняєодночасно наступним умовам: /> та />.
Розв’язання. Перепишемо систему в вигляді:
/>
/>/>
Рис.2.6
На координатній площині /> перше рівняннязадає сім’ю вертикальних прямих. Параболи /> та/> розбивають площину на 3 частини. Заштрихованаобласть є розв’язком нерівності системи. Це точки, в яких дотичні будутьгоризонтальними:
/> або />.
Відповідь: /> або/>.
Задачі для самостійної роботи
1. При яких значеннях а рівняння /> має два кореня?
Розв’язок. Переходимо до рівносильної системи
/>
Ця система на координатній площині /> задаєкриву, наведену на рис.2.7 неперервною лінією. Всі точки цієї дуги параболи (ітільки вони) мають координати />, якізадовольняють початковому рівнянню. Тому число розв’язків рівняння при кожномуфіксованому значенні параметра а дорівнює кількості точок перетинукривої з горизонтальною прямою, яка відповідає цьому значенню параметра. Очевиднопри /> прямі перетинають графік в двох точках,що рівносильне для початкового рівняння мати два кореня.
/>
Рис.2.7
Відповідь: />
2. Знайти всі значення а, при якихсистема має єдиний розв’язок.
/>
Розв’язок. Перепишемо початкову систему втакому вигляді:
/>
Все розв’язки цієї системи (пари виду/>)утворюють область, наведену на рис.2.8 штриховою лінією.
/>
Рис.2.8
Вимога єдності розв’язка даної системи така: горизонтальні пряміповинні мати зі знайденою областю тільки одну спільну точку. Лише прямі а =0 та а = 1 задовольняють висунутій вимозі.
Відповідь: а = 0 або а = 1.
3. При яких значеннях а рівняння /> має
рівно три кореня?
Розв’язок. Маємо
/>
Графік цієї сукупності — об’єднання «кута» та параболи(рис.2.9).
/>
Рис.2.9
Лише пряма /> перетинає знайденеоб’єднання в трьох точках.
Відповідь: />
4. Скільки розв’язків має система в залежностівід значень параметра с?
/>
Розв’язок. Перепишемо систему у вигляді
/>
Кількість коренів другого рівняння системи дорівнює числу розв’язківсамої системи. Маємо />. Розглянувши церівняння як квадратне відносно с, одержимо наступну сукупність.
/>
На рис.2.10 наведено сукупність рівнянь на координатній площині/>.
/>
Рис.2.10
Координати точок перетину парабол можна знайти, розв’язавши рівняння />. Звідси />.Для запису відповіді залишилося лише зазначити, що спільна точка цих парабол — вершинапараболи />.
Відповідь: якщо />,то розв’язків чотири; якщо />, то
розв’язків два; якщо />, то розв’язокодин; якщо />, то розв’язків немає.
5. Знайти всі значення параметра b, прияких рівняння /> має один розв’язок.
Розв’язок. Задане рівняння рівносильне системі
/>
За допомогою цієї системи будуємо графік початкового рівняння (рис.2.11).
/>
Рис.2.11
Саме наявність «проколов» в цьому графіку дозволяє при /> та /> матирівнянню єдиний розв’язок.
Відповідь: /> або/>
6. При яких значеннях параметра арівняння /> має єдиний розв’язок?
Розв’язок. Запишемо систему, рівносильнупочатковому рівнянню:
/>, Звідси знайдемо
/>
Перші дві нерівності системи задають множину точок, наведену на рис.2.12штриховою лінією, причому в цю множину не входять гіперболи ах = 7 та ах= 6.
/>
Рис.2.12
Тоді відрізок АВ та промінь BD, відрізок EF тапромінь FK, які лежать відповідно на прямих /> та/>, є графіком початкового рівняння. Далізалишилося лише «зняти» з картинки: /> або/> або />
Відповідь: /> або /> або />
7. Знайти всі значення параметра а, прияких рівняння /> має рівно два різнихрозв’язки.
Розв’язок. Задане рівняння рівносильнесукупності двох систем:
/> або /> Звідси
/> або />
При побудови графіка початкового рівняння важливо врахувати, щопараболи /> /> тапряма /> мають дві спільні точки: А (-2; — 2), В (-1; — 1), причому точка В — вершина першої з записаних парабол. Вершинадругої параболи />
Графік початкового рівняння наведено на рис.2.13.
/>
Рис.2.13
Звідси знаходимо /> або />. Відповідь: /> або/>.
8. Знайти множину всіх чисел а, длякожного з яких рівняння /> має тільки дварізних кореня.
Розв’язок. Перепишемо задане рівняння внаступному виді: /> Тепер важливо невтратите, що /> /> та/> - корені початкового рівняння лише приумові />Графік заданого рівняння зручнобудувати, відводячи змінній х вісь ординат. На рис.2.14 шуканий графік — об’єднання неперервних ліній.
/>
Рис.2.14
Відповідь «зчитується» вертикальними прямими: /> або /> або/>
Відповідь: /> або/> або />
9. Знайти всі невід’ємні числа /> при яких існує єдине число /> яке задовольняє системі
/>
Розв’язок. Маємо
/> де />
Перше рівняння на координатній площині /> задаєсім’ю вертикальних прямих (рис.2.15). Прямі /> та/> розбивають площину на чотири області. Деякіз них є розв’язками нерівності системи. Для того, щоб встановити які — можнавзяти з кожної області по пробній точці. Та область, точка якої задовольняєнерівності, є її розв’язком. Для заданої нерівності розв’язком будуть двіобласті, обмежені кутами АМВ та DMC. Оскільки за умовою /> то для розв’язку задачі достатньообмежитися множиною, відміченою штриховою лінією на рис.2.15.
/>
Рис.2.15
Тоді початковій системі задовольняють всі точки (і тільки вони), якілежать на променях і виділені на графіку жирними лініями.
При фіксованому /> число розв’язківпочаткової системи дорівнює кількості точок перетину горизонтальної прямої />з відміченими променями. По рисунку видно,що вимога єдиності розв’язку досягається, якщо />,де /> та /> -відповідно ординати точок перетину двох пар прямих /> /> та /> /> Звідси /> />
Відповідь: />
10. Для яких а в множині розв’язківнерівності /> міститься проміжок />?
Розв’язок. Запишемо сукупність двох систем,рівносильну початковому рівнянню:
/>або />
Оскільки в розв’язок першої системи ні при яких значеннях параметра ане може входити відрізок />, то необхіднідослідження проведемо для другої системи. Маємо
/>
Позначимо /> Тоді друганерівність системи на координатній площині /> задаємножину, наведену на рис.2.16 штриховою лінією.
/>
Рис.2.16
Тепер за допомогою рисунка легко встановити, що при /> в знайденій множині містяться всі точки,абсциси яких пробігають всі значення з проміжку /> Тоді/> Звідси />
Відповідь: />
11. При яких значеннях параметра асистема
/>
має розв’язки?
Розв’язок. Маємо
/>
Нерівність системи задає область, обмежену кутами АКБ и CKD (рис.2.17).
. />
Рис.2.17
Тоді абсциси виділених дуг гіперболи /> -розв’язки початкової системи. Знайдемо абсциси точок /> розв’язавши рівняння /> та />Звідсидля перелічених точок абсциси відповідно дорівнюють /> />/>/> Залишилося записати /> або />
Відповідь: /> або />
12. Знайти всі значення а, при якихбудь-який розв’язок нерівності /> по модулю, неперевищує двох.
Розв’язок. Перепишемо задану нерівність втакому виді:
/>
Графіки рівнянь /> и /> розбивають координатну площину /> на чотири області. «Методомінтервалів» встановлюємо, що розв’язком початкової нерівності будутьзаштриховані області (рис.2.18).
/>
Рис.2.18
Тепер, якщо при деякому фіксованому значенні /> пряма/> в перетині зі знайденою областю дає лишеточки, абсциси яких задовольняють умові /> то/> - одне з шуканих значень параметра. Тодіочевидно, що всі а з відрізка АВ складаються />
Відповідь: />
13. При яких значеннях а множинарозв’язків нерівності /> містить не більшечотирьох цілих значень />?
Розв’язок. Раніше встановлено, що задананерівність рівносильна сукупності двох систем:
/> або />/>
За допомогою цієї сукупності наведено розв’язки початкової нерівностіна рис.2.19.
/>
Рис.2.19
Проведемо прямі /> де /> Тоді значення /> дляякого пряма /> перетинає прямі /> не більш, ніж в чотирьох точках звідміченої множини, буде шуканим. Проводячи аналіз графіка, приходимо довисновку, що в заданій задачі /> або /> або />
Відповідь: /> або /> або />
14. Розв’язати нерівність/>.
Розв’язок. Наступна сукупність двох системрівносильна заданій нерівності:
/> або />
Далі, при об’єднанні графічних образів кожної з цих систем необхідноврахувати, що пряма /> дотикається параболи /> в точці (-1;1).
На рис.2.20 наведено всі розв’язки початкової нерівності.
Горизонтальні прямі, які перетинають цю множину, перетинають її повідрізку (за виключенням однієї прямої />).Очевидно абсциси всіх точок цього відрізка і будуть розв’язками заданоїнерівності.
/>
Рис.2.20
Для одержання відповіді залишилося виразити х через а врівнянні /> При /> маємо/>
Відповідь: при /> розв’язківне має; при /> />;при />, розв’язком буде відрізок />, де /> -більший з коренів/>та/>.
15. Розв’язати нерівність />
Розв’язок. Задана нерівність рівносильнасукупності двох систем:
/> або />/> Звідси
/> або />
На координатній площині /> першасистема задає множину точок першого та четвертого координатних кутів, якіодночасно лежать всередині кола з центром (0; 0) і радіуса /> та поза колом з центром (1; 0) і радіуса 1. Другасистема — множина точок, які одночасно лежать поза першим колом, алезнаходяться в другому колі. Тоді всі розв’язки початкової нерівності наведенона рис.2.21.
/>
Рис.2.21
Зазначимо, що, наприклад, пряма /> (см.рисунок) перетинає кола в точках з абсцисами /> /> /> Тепернескладно «прочитати» з рисунка відповідь.
Відповідь: Якщо /> то/> якщо /> то/> або /> якщо/> то немає розв’язків.
Наприкінці, розглянемо технологію складання задач. Розглянемо задачу.
Навести на координатній площині /> розв’язоксистеми нерівностей
/>
/>
Рис.2.22
На рис.2.22 наведено цей розв’язок (область зі штриховою лінією).
Тепер, замінивши у на а, за допомогою графічного образулегко скласти наступні задачі.
При яких значеннях параметра а система нерівностей
/>
1) має розв’язок? 2) має єдиний розв’язок? 3) має тільки від’ємнірозв’язки? 4) має тільки додатні розв’язки? 5) має тільки розв’язки, якізадовольняють умові />;
6) має хоча б один розв’язок, якій задовольняє умові />? 7) має розв’язок, який містить відрізок />? 8) має розв’язки, які містять не більшетрьох цілих чисел?
Розділ 3. Застосування похідної
В цьому параграфі наведені задачі, для розв’язання якихвикористовуються наглядно-графічні міркування, причому при побудові необхідногографічного образу використовується апарат похідної.
1. Скільки розв’язків в залежності відпараметра /> має рівняння />?
Розв’язання. Перепишемо рівняння у вигляді: />. Маємо
/>, />,/>, />, звідки />. Отже,x (-¥, — 1) -1 (-1; — 1/Ö5) -1/Ö5 (-1/Ö5; 1/Ö5) 1/Ö5
(1/Ö5;
1) 1 (1; +¥)
a/ (x) + - + - + a (x) ¯ -16Ö5/125 -16Ö5/125 ¯
Побудуємо графік функції />.
/>
Рис.3.1
Якщо /> або />,то рівняння має 1 розв’язок (положення І та ІV); якщо /> (положення ІІ та ІІІ), то рівняння має 2розв’язки; якщо />, то рівняння має 3розв’язки (між положеннями ІІ та ІІІ). Відповідь: якщо /> або />,то 1 розв’язок; якщо />, то 2 розв’язки; якщо />, то 3 розв’язки.
2. При яких /> рівняння/> має три розв’язки? Розв’язання. Перепишеморівняння у вигляді: />, />. Знаходимо похідну: />, звідки />.Отже,x (-¥, 0) (0;1) 1 (1; +¥)
a/ (x) + + - a (x) -3 ¯
Побудуємо графік функції />.
/>
Рис.3.2
Ті значення />, для яких відповіднігоризонтальні прямі перетинають побудований графік в трьох точках і будутьшуканими. Отже, />.
Відповідь: />.
3. При яких /> рівняння/> має три розв’язки?
Розв’язання. Перепишемо рівняння у вигляді: />. Знаходимо похідну:
/>, звідки />, />. Отже,x (-¥, — 2) -2 (-2; 0) (0; +¥)
a/ (x) + - + a (x)
4/e2 ¯
Побудуємо графік функції />.
/>
Рис.3.3
Ті значення />, для яких відповіднігоризонтальні прямі перетинають побудований графік в трьох точках і будутьшуканими. Отже, />.
Відповідь: />.
4. Скільки розв’язків має рівняння /> на проміжку />?
Розв’язання. Перепишемо рівняння у вигляді: />. Знаходимо похідну: />. Побудуємо графік функції />.
Знайдемо значення функції в граничних точках проміжку />:
/>, />.
/>
Рис.3.4
З рис.3.4 випливає, що при /> або /> рівняння має 1 розв’язок; при /> рівняння має 2 розв’язки.
Відповідь: якщо /> або/>, то 1 розв’язок; якщо />, то 2 розв’язки.
5. При яких значеннях /> всітри корені рівняння /> дійсні?
Розв’язання. Точка /> неє коренем рівняння при ні яких значеннях />.Тому запишемо />, />.
Функція /> спадає на кожному зпроміжків /> та (/>,а зростає на />, причому /> -точка мінімуму, />.x
(-¥,
2)
(2;
4) 4 (4; +¥)
a/ (x) - - + a (x) ¯ ¯ 48
Побудуємо графік функції />.
/>
Рис.3.5
Ті значення />, для яких відповіднігоризонтальні прямі перетинають побудований графік в трьох точках і будутьшуканими. З рисунка видно, що />.
Відповідь: />.
6. Розв’язати рівняння />. При яких значеннях параметра /> добуток коренів менше найменшого кореняцього рівняння?
Розв’язання. Із заданого рівняння одразузнаходимо />, />,/>. Розглянемо функції />,/>, />, />. Побудуємо графіки цих функцій.
/>
Рис.3.6
Необхідно знайти такі значення параметра, при яких графік /> лежить нижче
/>. Шукані значення /> — це всі значення, менше />, де />найменшийкорінь рівняння />. Звідси знаходимо, що />. Відповідь: />.
7. Визначити як розташовані корені рівняння /> відносно відрізка />.
Розв’язання. Запишемо />. Точки /> та/> не є коренями заданого рівняння ні при яких/>. Тоді />.
Знайдемо похідну
/> /> /> або />.
Точка /> - точка мінімуму, /> - точка максимуму, />, />.
Функція /> спадає на кожному зпроміжків /> та зростає на />. Графік функції /> наведенона рис.3.7.
/>
Рис.3.7
Розташування коренів рівняння відносно проміжку /> можнавизначити, перетинаючи побудований графік горизонтальними прямими. Далі через /> позначимо менший корінь, а через /> - більший.
Якщо />, то />;якщо />, то />;
якщо />, то />;якщо />, то />;
якщо />, то />;якщо />, то />;
якщо />, то />;якщо />, то />;
якщо />, то рівняння коренів немає; якщо />, то />;
якщо />, то />.
8. При яких значеннях параметра /> рівняння /> маєрівно два корені на відрізку />?
Розв’язання. Запишемо задане рівняння в такомувигляді:
/>
Нехай />. Оскільки за умовою />, то />.Далі, знаходимо
/>, />.
Побудуємо графік функції /> для />. З
находимо похідну />, />, />. x
(-1, />)
/>
(/>; 0)
f/ (x) - + f (x) ¯
/>
Побудуємо графік функції /> для />.
/>
Рис.3.8
Рівняння /> має рівно два корені,якщо />. Функція /> монотоннана />, а значить на цьому відрізку кожне своєзначення приймає тільки один раз. Відповідь: />.
9. При яких дійсних /> рівняння/> має більше одного кореня на відрізку />?
Розв’язання.
Перепишемо рівняння у вигляді
/>
/>
Нехай />, оскільки за умовою />, то />.
Далі знаходимо, />.
Похідна дорівнює
/>,
/>, />,
/>, />
Побудуємо графік функції /> (рис.3.9).
Знайдемо a
(/>) =/>,a (/>) =/>.
/>
Рис.3.9
Рівняння /> має більше одногокореня, якщо />.
Приблизно це />.
Відповідь: />.
10. При яких /> рівняння/> має рівно чотири корені?
Розв’язання. Побудуємо графіки функцій
/> та
/>.
/>
Рис.3.10
Рівняння має чотири розв’язки, коли графік /> перетинає/> в чотирьох точках (див. рис.3.10)
Відповідь: />.
Задачі для самостійної роботи
1. Знайти всі значення />,при яких рівняння /> має єдиний розв’язок.
Відповідь: /> або />.
2. Знайти всі значення />,при яких для всіх /> за модулем неперевищуючих 1, виконується нерівність:
/>
Відповідь: /> або />.
3. Знайти всі />,при кожному з яких область визначення функції /> неперетинається з множиною />.
Відповідь: />.
4. При яких /> знайдеться/> з інтервала (0,1) таке, що рівняння /> має хоча б два розв’язки на інтервалі />?
Відповідь: />.
5. При />-більший з коренів рівняння />. Знайтинайбільше значення /> при />, />.
Відповідь: />.
Список використаної літератури
1. Вишенський В.О., Перестюк М.О., Самойленко А.М. Задачі з математики. — К.: Вища школа, 1985. — 264 с.
2. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. — К.: Євроіндекс Лтд, 1995. — 336 с.
3. Горделадзе Ш.Х., Кухарчук М.М., Яремчук Ф.П. Збірник конкурсних задач зматематики: Навч. Посібник. — 3-є вид., — К.: Вища школа, 1988. — 328 с.
4. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике дляпоступающих в вузы. — М.: Наука, 1976. — 638 с.
5. Дорофеев Г.В., Затакавай В.В. Решение задач, содержащих параметры. — М.:Перспектива, 1990. — Ч.2. — 38 с.
6. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник по методам решения задач поматематике для средней школы. — 2-е изд. перераб. и доп. — М.: Наука, 1989. — 576 с.
7. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. — М.: Просвещение, 1986. — 128с.