Федеральное агентство пообразованию Р.Ф. ПГПУ им. В. Г. Белинского
Курсовая работа на тему:
«Методика обучениярешению задач на построение сечений многогранников в 10-11 классах»
Выполнила:
студентка группы ми-51
Комисарова Л.П.
Проверила:
Финогеева И.С.
Пенза, 2007 г.
Встереометрии наряду с задачами на доказательство и вычисление решаются задачина построение, но подход к методике изучения несколько иной, чем в планиметрии.
Задачи напостроение в пространстве решаются двумя методами:
1) Задачи навоображаемое построение или задачи на доказательство существования фигур;
2) Задачи напроекционном чертеже.
В процессерешения задач на построение в воображении устанавливается лишь фактсуществования решения, само же построение искомого элемента не выполняется. По идееметода элементы, определяемые условием задачи, не задаются непосредственно впространстве, ни на плоском чертеже, а удерживается в воображении. Решениезадачи сводится к перечислению такой совокупности геометрических операций,фактическое выполнения которых (в случае если их можно было выполнить) приводитк построению искомого элемента. Задача считается решенной, если удаетсяотыскать рассматриваемую совокупность построений.
Привыполнении «воображаемых» построений считаем, что, во-первых, умеем строитьплоскость, если заданы определяющие ее элементы (три точки, не лежащие на однойпрямой, или прямая и точка вне ее, или две пересекающиеся прямые, или двепараллельные прямые), и, во-вторых, в любой плоскости умеем осуществить все тепостроения, которые обоснованы в планиметрии. Так, если требуется провестичерез данную прямую а произвольную плоскость, берут произвольную точку А внепрямой а (возможность выбора такой точки также постулируется) и считают, чтоискомая плоскость проведена через прямую а и точку А.
Проиллюстрируемприем решения задач на построение в воображении на примере решения следующейзадачи.
Задача 1.Построить плоскость, параллельную данной плоскости bи проходящей черезданную точку В
Решение.Допустим, что точка В не лежит в плоскости b. Решение задачи в этомслучае свелось бы к перечислению следующей совокупности построений:
1) вплоскости b проводим две пересекающиеся прямые a и b;
2) черезпрямую а и точку В проводим плоскость g1;
3) вплоскости g1 через точку В проводим прямую a1, параллельную прямой а;
4) черезпрямую b и точку В проводим плоскость g2;
5) вплоскости g2 через точку В проводим прямую b1, параллельную прямой b;
6) через двепересекающиеся прямые a1 и b1 проводим плоскость b. плоскость b¢– искомая.
Чертеж прирешении в воображении задач на построение может не выполняться. В тех жеслучаях, когда к нему прибегают, он играет вспомогательную роль: чертежнеобходим только для облегчения работы воображения, когда пространственноевоображение плохо развито или когда построения оказываются громоздкими.
В учебникетакие задачи решаются в разделах параллельные и перпендикулярные прямые иплоскости в пространстве в 10 классе, и большинство из них даны с решением(чаще всего просто построение, без анализа, доказательства, без исследования).
При решениизадач на построение на проекционном чертеже элементы, определяемые условиемзадачи, задаются на изображении оригинала (точки, линии, плоскости,геометрические тела пространства в любой из материальных реализаций иливоображаемые). Для эффективного решения задач на построение используются полныеизображения, построение на которых выполняются без какой бы то ни было степенипроизвола./> />
Решение «Задачи 1»на проекционном чертеже выполняется следующим образом.
Рис. 1
Решение. Элементы,определяемые условием задачи, задаются на изображении так, как это выполнено нарисунке 1:
В плоскости b(b1) строим АМ (А1М) и AN(А1 N). В соответствии с условиями проекционного чертежа прямые АМ (А1М) и AN(А1 N) служат прямыми, принадлежащими плоскостиb(b1). C помощью линейки иугольника проводим через прямые BN1 (B1N1) и BM1 (B1M1), параллельные прямым АМ(А1М) и AN (А1 N). Такие прямые строятся единственным образом и действительноизображают прямые, параллельные прямым АМ (А1М) и AN (А1 N). Пересекающиесяпрямые BN1 (B1N1) и BM1 (B1M1) определяют искомую плоскость b¢.
Рис.2
/>
Обучениерешению задач на построение на проекционном чертеже служит активным и гибкимсредством развития пространственного воображения учащихся.
Практикарешения задач на построение на проекционном чертеже облегчает учащимся усвоениистереометрии. Развивает навыки в построении изображений, облегчает пониманиекурса черчения.
Однако донастоящего времени не закончена разработка методики изучения этого материала вшколе. Требует уточнения объем материала, подлежащего изучению. Не определено иместо изучения этих задач в школе.
Как показалопыт преподавания, обучение решению задач на построение лучше начинать собучения решению задач на проекционном чертеже, так как понимание этих задач нетребует хорошо развитого пространственного воображения учащихся. Более того, впроцессе решения этих задач пространственное воображение настолько развивается.Что с определенного момента учащимся становится посильно освоение задач напостроение, решаемых в воображении. В этом случае учащиеся после знакомства сновым методом на примере решения одной- двух задач остальные решаютсамостоятельно.
Чтобыполучить проекционный чертеж, позволяющий конструктивно определить общиеэлементы изображенных прямых и плоскостей, т. е. решить на изображении такназываемые позиционные задачи, достаточно задать, кроме изображения точек,прямых, плоскостей и вообще пространственных фигур на плоскости чертежа,изображения их проекций на некоторую плоскость, называемую основной.
Такойпроекционный чертеж получается в результате двойного проектирования: точки А,В, С, D пространства проектируются на основную плоскость а, затем вместе с этойплоскостью, со своими проекциями на ней А', В', О, D' и проектирующими прямыми(АА\ ВВ', СО, DD') проектируются на плоскость чертежа (рис. 3, б).
/>
Рис.3
Обучениерешению задач на построение на проекционном чертеже строится так, чтобыучащиеся знакомились с этими задачами в порядке возрастающей трудности, и так,чтобы ранее решаемые задачи в основном подготавливали учащихся к пониманиюрешения последующих задач. Последнее достигается тем, что в работе рассматриваютсяследующие типы задач:
задачи,решаемые при введении проекционного чертежа;
задачи-упражнения по текущему материалу;
задачи напостроение точек и линий пересечения прямых и плоскостей;
программныезадачи на построении;
задачи напостроение сечений.
Задачи напроекционном чертеже
Под решениемзадач на проекционном чертеже понимают решение позиционных и метрических задачна полном изображении.
Введениемпонятия о проекционном чертеже удобно выполняется в нижеприведеннойпоследовательности. Наиболее подходящим моментом для проведения такой работыявляются уроки, непосредственно следующие за уроками, на которых доказываласьпервая теорема существования и на которых учащиеся познакомились с методамипостроения изображений планиметрических оригиналов.
В классеустанавливается, что на чертеже точка плоскости служит изображением не толькоточки оригинала, но и прямой (проектирующей). Прямая плоскости может изображатьне только прямую, но и плоскость (проектирующую). Параллельные прямые плоскостиизображают не только параллельные прямые оригинала, но и скрещивающиеся прямые,лежащие в параллельных проектирующих плоскостях, равно как и сами этиплоскости. Четыре точки плоскости изображений представляют, например,изображение как четырех точек одной плоскости оригинала, так и четырех точек нележащих в одной плоскости. Внимание учащихся обращается и на тот факт, что почертежу невозможно составить представление об относительном взаимномрасположении изображенных на плоскости точки и прямой, точки и плоскости,прямой и плоскости и т.п. невозможно судить о принадлежности точек к прямым иплоскостям, прямых к плоскостям.
Снеопределенностью рассматриваемых изображений можно знакомить учащихся сразупосле введения понятия об изображении.
Передвведением проекционного чертежа все эти факты следует обобщить.
В качествецели учащимся указывается на необходимость отыскания такого способа построенияизображений пространственных фигур, при котором только по изображению можнобыло бы с безусловной необходимостью судить о взаимном расположении точек,прямых и плоскостей пространства. Прием построения изображений должен быть таким,чтобы только по изображению позволял бы определить, параллельны илинепараллельны прямые оригинала, скрещиваются они или пересекаются, принадлежитточка прямой или плоскости, прямая- плоскости.
Далееучащимся сообщается, что сформулированных целей можно достигнуть, еслиизображения пространственных фигур, как и изображения плоских оригиналов,строить по базису с привлечением свойств изображения.
Сначалавводим понятие о базисе в оригинале и на изображении и показываем, что дляпостроения изображения достаточно эффективно спроектировать лишь базисные точкиоригинала. Далее раскрываем содержание второй теоремы существования.
К понятиюпроекционного чертежа можно прийти, если получить изображение одной из моделейобозначения точек в пространстве по базису и с привлечением свойствизображений.
Рассмотримвозможности осуществления этого пути на примере моделей обозначения точек спомощью основной плоскости.
Фиксировавбазисные точки, строим моделей обозначения точек изображение точки. Показываем,что на таком чертеже может быть построено, и единственным образом, изображениелюбой наперед заданной точки оригинала.
Обосновываетсяи обратное утверждение, что в случае если изображение точки будет представленовместе с основанием проектирующего отрезка на основной плоскости, то прификсированном базисе изображение определяет единственную точку.
Как результатпроведенных построений дается определение заданной точки: «Точка называетсязаданной на изображении, если при фиксированных базисах она являетсяизображением единственной точки оригинала».
Напостроенном нами изображении заданными окажутся не только те точки, изображениекоторых предварительно было построено по оригиналу, но и те точки, для которыходна из точек плоскости принята за изображение собственно точки оригинала, адругая – за изображение ее основания.
Полученныйтаким образом проекционный чертеж представляет метрически определенноеизображение.
Прямыеплоскости оказываются заданными на изображении в том же смысле, что и точка.
Введениепроекционного чертежа и решение задач на построение на нем не должнорассматриваться как два отдельных этапа обучения.
Одной изтрудностей обучения решению задач на построение на проекционном чертежеявляется отсутствие в существующей учебной литературе достаточного числа четковыделенных простейших задач, овладение которыми обеспечивало бы пониманиеучащимися приемов решения более сложных задач. Кроме того, в методике неопределилось еще число достаточно принципов, которыми можно было быруководствоваться при отыскании решения задач.
Достижениемосознанного понимания изучаемого материала при любой структуре обучения станетвозможным, если решение задач не будет ограничиваться только механическимвыполнением построений. От учащихся необходимо требовать устных пояснений походу выполняемых построений, аргументированного обоснования их. Следует такжедобиваться, чтобы и построения, проводимые в контрольных работах,сопровождались письменными объяснениями.
Задачи,решаемые при введении проекционного чертежа
Первойгруппой таких задач является упражнения, раскрывающие, что неопределенностьвосстановления оригинала по чертежу устранена на проекционном чертеже. Учительпоказывает, что на проекционном чертеже «точка» изображает только точкуоригинала, «прямая» — прямую, «плоскость» — плоскость.
Напроекционном чертеже становится возможным определять только по изображениювзаимное расположение точек, прямых и плоскостей. В порядке упражнения сучащимися рассматриваются способы изображения различных случаев взаимногорасположения точки и основной плоскости.
В ходеупражнений учащимся сообщаются и новые необходимые определения.
В этот периодследует дать определения «следа» прямой и заданной плоскости. Определениязаписываются в тетради.
Определение.Следом заданной прямой (плоскости) на основной плоскости называется точка(прямая) пересечения прямой (плоскости) с основной плоскостью.
В итогеобучения решению этих задач учащихся следует познакомить с двумя принципами, наоснове которых выполняется построение точек пересечения прямой с плоскостью ипостроение прямой, по которой пересекаются плоскости.
1) дляпостроения линий пересечения двух плоскостей достаточно знать две точки прямой,по которой пересекаются плоскости, или одну точку и направление прямой. Точкипрямой, по которой пересекаются плоскости, определяются как точки пересеченияпроизвольной прямой одной из заданных плоскостей с другой плоскостью.
2) дляпостроения точки пересечения прямой с плоскостью достаточно построить линиюпересечения произвольной вспомогательной плоскости, проведенной через даннуюпрямую, с данной плоскостью. Точка пересечения данной прямой с даннойплоскостью определяется как точки пересечения данной прямой с линиейпересечения вспомогательной и данной плоскостей./> />
рис. 4
Задача:Построить точку пересечения данной прямой АВ (А1В1) с основной плоскостью
Решением этойзадачи является точка пересечения (если она существует) прямых АВ и А1В1, таккак в оригинале эти прямые лежат в одной и той же проектирующей плоскости.
Приопределении точек пересечения прямых полезно приучать учащихся с первых жешагов рассматривать построения на проекционном чертеже как проекциюсоответственных построений в одной из материальных реализаций оригинала иустанавливать принадлежность или непринадлежность рассматриваемых прямых однойи той же плоскости оригинала. В данном случае, например, построение точкипересечения прямых АВ и А1В1 можно рассматривать как проекцию построений налисте фанеры, представляющим проектирующую плоскость АА1ВВ1.
Задача.Построить (рис.5а) точку пересечения произвольно заданной прямой а(а1) спроектирующей плоскостью φ.
/>
Рис.5а
Для решениязадачи проводим через заданную прямую а(а1) вспомогательную проектирующуюплоскость и строим линию (х) пересечения вспомогательной и заданнойпроектирующих плоскостей. Точка Х(Х1) —точка пересечения прямых х и а наизображении— является изображением точки пересечения этих прямых, так как воригинале эти прямые лежат в одной плоскости. Вместе с тем точка Х(Х1) будетточкой пересечения прямой а(а1) с проектирующей плоскостью φ.
В самом деле,точка Х(Х1) принадлежит прямым а(а1) и х. Прямая х, как линия пересеченияплоскостей β и φ, принадлежит плоскости φ. Следовательно, иточка X(X1) принадлежит плоскости φ, т.е. действительно точка X(Х1)является точкой пересечения прямой a(a1) и заданной плоскости.
Сначала привыполнении чертежей 'полезно обозначать вспомогательные плоскости обрывами иобрезами так, как это сделано на рис. Позже, чтобы не загромождать чертежапосторонними линиями, от такого обозначения вспомогательных плоскостей следуетотказаться и приучить учащихся воображать их.
Длязакрепления решения этой задачи можно предложить следующую систему задач:
Точки А1 и В1расположены на боковых ребрах куба ABCDA1 B1C1D1. Найти точку пересеченияпрямой (АВ) с плоскостью верхнего и нижнего основания.
Точки А1 и В1расположены на смежных боковых гранях куба ABCDA1 B1C1D1. Найти точкупересечения прямой (АВ) с плоскостью нижнего основания.
Точки А1 и В1расположены на двух смежных ребрах пирамиды ABCD. Найти точку пересеченияпрямой (АВ) с основанием пирамиды.
Даны тетраэдрABCD и точки M и N, принадлежащие боковым граням. Постройте точку пересеченияпрямой MN с плоскостью ABC.
Точки Н и Красположены на соответственно на ребрах АВ и АD призмы ABCDA1B1C1D1. найтиточку пересечения прямой (HF) с прямой (DC);(DD1).
Точки A1 и B1расположены соответственно на ребрах АС и АВ пирамиды ABCD.Найти точкупересечения прямой (A1B1) с прямой (ВС).
Дана пирамидаABCDS.Найти точку пересечения прямой (AS) с прямой (ВК), где К-точка принадлежащаяребру CS.
Дана пирамидаABCDS. Найти точку пересечения прямой (АВ) с прямой (DH), где H-середина ребраBC.
Задача:Построить линию пересечения заданных проектирующих плоскостей
/>
Рис. 6а
Пустьпроектирующие плоскости заданы проектирующими прямыми АА1 и ВВ1 ТТ1 и РР1.Одной точкой линии пересечения заданных плоскостей будет точка Х1 —точкапересечения следов обеих плоскостей. В оригинале линия пересеченияпроектирующих плоскостей будет проектирующей прямой, как линия пересечения двухплоскостей, проведенных через параллельные (проектирующие) прямые.Следовательно, и на изображении прямая ХХ1, по которой пересекаютсяпроектирующие плоскости, будет параллельна АА1.
Как решениеэтой задачи, так и всех остальных следует рассматривать через возможно большуюсовокупность частных случаев. Проектирующие прямые, определяющие проектирующиеплоскости, могут располагаться так, что линия пересечения плоскостей будетнаходиться либо между одной из пар проектирующих прямых, либо между обеимипарами. Проектирующие плоскости следует задавать не только одной паройпроектирующих прямых, но и проектирующей прямой и точкой, лежащей в основнойплоскости.
Во всехслучаях решения следует связывать с построениями в оригинале. Если, например,проектирующую плоскость рассматривать как частокол с плотно примыкающими друг кдругу кольями, то учащиеся должны понимать, что линия пересечения будет колом,который находится одновременно и в первой и во второй изгородях. Линиюпересечения проектирующих плоскостей можно рассматривать как стык двух листовфанеры, являющихся образами проектирующих плоскостей.
Задача:Построить линию пересечения двух произвольно заданных плоскостей
Решениезадачи в соответствии с выставленными принципами, понимание которых учащимся кэтому моменту должно быть.подготовлено, не должно уже вызывать затруднений… Водной из заданных плоскостей (рис.5), например в плоскости φ(φ1),берутся две произвольные вспомогательные прямые а(а) и в(в) и строятся точки —точки Х(Х1) и Y(Y1) — пересечения этих прямых с плоскостью β(β1).Прямая XY(X1Y1)— искомая.
/>
Рис. 5
Вповседневной практике в качестве вспомогательных прямых выбирают те, которыеимеются уже на чертеже: следы плоскостей, прямые, определяемые точками,задающими плоскость. Одна точка линии пересечения плоскостей, заданных на рис.6, определяется как точка пересечения следов плоскостей — точка Х(Х1). Вкачестве второй вспомогательной прямой а(а,) взята прямая, лежащая впроектирующей плоскости РP1 ТT1.
/>
Рис. 6
Длязакрепления решения этой задачи можно предложить следующую систему задач:
Плоскостьзадана тремя точками, расположенными на смежных боковых ребрах пирамиды(призмы). Найти линию пересечения этой плоскости с плоскостью нижнегооснования.
Плоскостьзадана тремя точками, расположенными на не смежных боковых ребрах пирамиды, восновании которой лежит четырехугольник. Найти линию пересечения этой плоскостис плоскостью нижнего основания.
Плоскостьзадана тремя точками, две из них расположены на смежных боковых ребрахпирамиды, а третья – на боковой грани пирамиды. Найти линию пересечения этойплоскости с плоскостью нижнего основания.
Дана четырехугольнаяпирамида SABCD. Построить линию пересечения двух ее граней ASB и CSD
Даначетырехугольная призма ABCDABCD. Найти линию пересечения плоскости, заданнойточками В, К,L, где В-вершина основания, точка K принадлежит ребру DD1, точка Lпринадлежит ребру CC1, с плоскостью A1B1C1D1.
Точки О и О1являются точками пересечения диагоналей оснований куба. Найти линии пересеченияплоскости, заданной точками О, О1, С с боковыми гранями.
Дано SABCD — пирамида.Точка Н- середина DC. Найти линию пересечения плоскости, заданной точкамиA,H,S, с плоскостью SBC.
Но дляполноценного решения задач на построении полезно на основании двух опорныхзадач (нахождении точки пересечения с плоскостью и линии пересеченияплоскостей) рассмотреть задачи.
Задача 1.Найти точку пересечения плоскости Q, заданной следом ВС и точкой А(А1), спроектирующей прямой DD1 (рис. 7а)./> />
Проводим плоскостьR через точку А(А1) и данную прямую DD1 и на линии AM пересечения плоскостей Qи R находим искомую точку Х(Х1).
Рис 7а
Задача 2.Построить точку пересечения треугольника ABC(A1B1C1) с прямой DE (D1E1)
/>
Рис 7б
Находим линиюLM пересечения плоскости треугольника ABC с проектирующей плоскостью R,проходящей через данную прямую DE.
В пересечениипрямых LМ и DE, лежащих в одной плоскости R, находим искомую точку X, котораяна чертеже определяется своим изображением и изображением своей проекции Х1 наплоскость П.
Задача 3.Определить точку пересечения плоскости Q, заданной следом АВ и точкой С, спрямой DE (рис 7в).
Через точкуС, принадлежащую плоскости Q, проводим вспомогательную плоскость S,параллельную проектирующей плоскости R, проходящей через данную прямую DE(LC1|| D1E1). Затем находим линию LC пересечения плоскости S с плоскостью Q. Далеестроим прямую MX пересечения плоскостей О и R(MX || LC).
Точка X естьискомая точка пересечения, так как она одновременно принадлежит плоскости Q ипрямой DE.
/>
Рис 7в
Решениемзадачи заканчивается обоснование принципов построения прямых, по которымпересекаются плоскости, и точек пересечения прямых и плоскостей. Однако вклассе следует решить еще несколько задач, решение которых сводится кпостроению точек и линий пересечения прямых и плоскостей.
Итак, приизучении задач на построение на проекционном чертеже учащиеся должны знать,что:
Точкупространства считают заданной на проекционном чертеже, если заданы изображениеэтой точки и изображение се проекции на основную плоскость.
Прямуюсчитают заданной на проекционном чертеже, если заданы две ее точки или еслизаданы ее изображение и изображение ее проекции на основную плоскость.
Плоскостьсчитается заданной на проекционном чертеже, если заданы три точки этойплоскости, не лежащие на одной прямой, или прямая и точка вне ее, или двепересекающиеся прямые, или две параллельные прямые.
Если всеточки, прямые и плоскости изображенной фигуры являются заданными напроекционном чертеже в указанном смысле, то такое изображение называется полными можно на нем построением отыскать все непустые пересечения прямых иплоскостей изображенной фигуры, т. е. решать различные позиционные задачи.
Решениезадач на построение сечений
Работа поознакомлению учащихся с проекционным чертежом может быть продолжена приобучении решению задач на построение сечений многогранников.
Обучение решениюзадач на построение сечений можно проводить в следующем плане.
Во-первых,первоначальное ознакомление учащихся с методами построения сечений следуетпроводить на метрически определенных изображениях. Удобно, например, этопроделать на изображении куба и правильного тетраэдра, сопровождая построенияна изображении демонстрацией соответствующих отношений на модели. Все это будетспособствовать укреплению связи изображения и оригинала.
Во-вторых,точки, определяющие секущую плоскость, следует задавать по возможности приразнообразном взаимном расположении этих точек и многогранника, сечениекоторого строится.
/>
Рис. 7
На рис.8 Приведенапоследовательность первых таких задач. Секущая /> />
плоскость на этихчертежах задается точками К(К1), М(М1) и Р(Р).
Рис. 8
При обучениирешению как этих задач, так и любой из последующих учащимся следует выделятьотдельные этапы решения, представляющие собой известные уже учащимся задачи напроекционном чертеже.
/>
Рис. 9а
/>
Рис. 9 б
Дляпостроения сечения куба, представленного на рис. 9а, достаточно, например,найти точку пересечения ребра СС1 с плоскостью КМР (К1М1 Р1). Метод построенияэтой точки удобно раскрыть учащимся на примере решения уже известной им задачи:на проекционном чертеже (рис. 9б) построить точку пересечения плоскости β(β1)ипроектирующей прямой СС1 На вспомогательном чертеже следует лишь по возможноститочно воспроизвести взаимное расположение точек К(К1), M(M1), P(P1) и прямой СС1.
В порядкеобеспечения преемственности в решении задач на проекционном чертеже важноподчеркнуть мысль, что в качестве вспомогательной плоскости СС1КК1 могла быбыть принята произвольная плоскость, проведенная через ребро СС1. Вместе с темучащихся сразу следует приучать к рациональному выбору вспомогательныхплоскостей.
При построениисечения куба (рис. 10а) плоскостью КМР (К1М1Р1) не следует препятствовать применениюобщего метода (рис. 10б). Однако решение этой задачи следует вести до тех пор,пока учащиеся не догадаются, что наиболее подходящей вспомогательной плоскостьюбудет плоскость грани BB1 CC, (рис. 10в), а не плоскости ВВ1ЕЕ1.
/>
рис. 10а
/>
/>
Рис. 10б рис.10в
/>
Рис. 11
В то же времядля построения сечения правильной шестиугольной призмы, высота которой равнастороне основания, плоскостью КМР (K1M1P1) удобнее принять в качествевспомогательной плоскость ВВ1ЕЕ1 (рис. 11). В этом случае с помощью однойвспомогательной плоскости одновременно строятся точки пересечения секущейплоскости с двумя ребрами призмы.
Такой подходк решению задач на построение сечений дает надежное общее средство решения этихзадач и позволяет развивать изобретательность учащихся при отыскании частныхприемов.
Важный моментобучения решению задач на построение сечений при рассматриваемой методикесоставляет выделение в условии задач элементов, задающих секущую плоскость. Еслиусловием задачи секущая плоскость задана точкой и прямой, или пересекающимисяпрямыми, или параллельными прямыми, то, выбирая на них три точки, сводимрешение задачи к построению сечения плоскостью, заданной тремя точками.
Припостроении сечения правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей черезсторону верхнего основания и образующей с основанием данный двугранный угол,прежде всего определяется пара пересекающихся прямых, задающих эту плоскость.
Секущаяплоскость определяется парой пересекающихся прямых АВ и ММ (рис. 12) и припостроении сечения правильной шестиугольной пирамиды плоскостью, проходящейчерез данную точку М1 основания пирамиды, параллельно одной из большихдиагоналей основания и /> />
параллельно высотепирамиды.
Рис. 12
Выделение секущейплоскости — один из важных этапов решения задач на построение сечений.
При решениизадач на построение сечений в доходчивой форме удается познакомить учащихся спонятиями полного и метрически определенного изображений, с решениемпозиционных и метрических задач.
Изображениемногогранников вводится как метрически определенное в соответствии с вышеизложеннойметодикой обучения построению изображений. К понятию полного изображения можноподвести учащихся, если добиться от них понимания, что изображение, построенноепо наперед заданному оригиналу, есть в то же время изображение более широкогокласса фигур. Учащиеся должны понимать, что изображение, например, правильноготетраэдра является вместе с тем и изображением всех треугольных пирамид.Изображение правильной четырехугольной призмы, высота которой в два раза большестороны основания, является в то же время и изображением четырехугольных призм,в основании которых, лежит не только квадрат и высота которых не только в двараза больше стороны основания, изображением не только прямых призм, но инаклонных.
Навык впостроении сечений целесообразнее вырабатывать на полных изображениях, несвязывая себя без необходимости с оригиналами наперед заданной формы. Это темболее полезно, что на полных изображениях раскрываются и некоторые общиесвойства многогранников.
Полезно,например, не только построить сечение правильной треугольной призмы (рис 13)секущей плоскостью А102С1, где 02— середина оси призмы, но и доказать, чтоплоскость пересечет верхнее и нижнее основания любой из правильных треугольныхпризм..
/>
Рис. 13
Дляпостроения сечения достаточно найти точку (X) пересечения ребра ВВ1, с прямой О102,по которой пересекаются вспомогательная плоскость BВ1DO1 с секущей плоскостью.Отрезок XB1=30102, так как D1B1 =3D1O1, и, следовательно, D1O2 пересечетверхнее основание.
Широкиевозможности для проведения такой работы представляет построение изображений кзадачам с буквенными данными.
Приведем вкачестве примера решение задачи на построение сечения призмы плоскостью.
Задача.Построить сечение пятиугольной призмы плоскостью, заданной тремя точками,лежащими на боковых ребрах призмы.
/>
Пусть данапризма ABCDEA'B'C'D'E' и три точки М, N, Р, лежащие соответственно на ребрахАА', ЕЕ', DD', (рис).
Выберемплоскость А'В'С нижнего основания за основную плоскость а, а направлениебоковых ребер — за направление проектирования на основную плоскость. При такомвыборе основной плоскости и направления проектирования изображение призмыявляется полным, т. е. все элементы призмы (грани, ребра и вершины) заданы начертеже, что легко проверить. Так как изображение является полным, то требуемоев задаче построение осуществимо на чертеже.
Задачапостроения сечения сводится в нашем случае к отысканию точек пересеченияплоскости MNP с боковыми ребрами (проектирующими прямыми) ВВ' и СС.
Приведемсимволическую запись хода решения задачи
(L С MN,α) и (К С NP, α) Þ (MNP ∩ α =KL);
R С C'D', KL;
(R С C D') и(CD' С С CD) => (R С С CD);
(R С KL) и (KLMNP)=>(R С MNP);
(P С MNP, СCD) и (R С MNP, C'CD)=>(MNP ∩C'CD=
= PR);
(X С C'C, PR)Þ (X = MNP ∩ C C);
S С B'C, KL;
(S С B'C) и (B'CB'BC) => (S С B'BC);
(S С KL) и (KLС MNP)=>(S С MNP);
10) (XMNP,B'BC)и(SСMNP,B'BC)=>(XS=MNP∩B'BC);
11) (Y С XS,B'B)=>(Y С MNP, B'B).
Итак, MNPXY —искомое сечение.
Задача 2.Найти линию пересечения четырёхугольной пирамиды SA1B1C1D1 с плоскостью Q,проходящей через точки L(L1), М (М1) и N(N1) (рис.15).
/>
Рис 15.
Так как точкиL, М и N заданы на чертеже своими изображениями и изображениями своихвнутренних центральных проекций, то в данном случае целесообразновоспользоваться центральным проектированием на плоскость П из точки S, как изцентра, и определять точки пересечения рёбер пирамиды с плоскостью Q. Рёбрапирамиды здесь тоже можно рассматривать как проектирующие прямые.
Соединимточки L1 с N1, L с N и А1 с М1, затем через
точкуРх=L1N1∩A1M1проведём проектирующую прямую SP1 и найдём точку Р=LN∩SP1. Далее, прямуюMP продолжим до пересечения в точке А с ребром SA. Точка А есть точкапересечения ребра SA1 с плоскостью Q.
/>
Черт. 51.
Чтобы найтиточку D пересечения ребра SD1 с плоскостью Q, через точку R1 =A1M1∩L1D1проведём проектирующую прямую SR1, пересекающую прямую AM в точке R, и прямуюLR продолжим до пересечения с ребром SD1.
Аналогичноможно найти точки В и С. Но мы здесь для определения точки С использовали точкуТ=АМ ∩ ST1 и для построения точки В нашли линию SK1 пересечения гранейSA1D1 и SB1C1, а точку К= SK1 ∩ AD соединили с точкой С. Отметим, что этиприёмы могут быть использованы при проверке построений. Линия ABCD есть искомаялиния пересечения данной пирамиды с плоскостью.
Используемаялитература
1. А.Р. Зенгин «Основныепринципы построения изображений в стериометрии». Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства Просвещения РСФСР. М. 1956.
2. А.Д. Семушкин«Методика обучения решению задач на построение по стереометрии».Издательствоакадемии педагогических наук РСФСР. М. 1959
3. А.А. Столяр«Педагогика математики». Издательство «Высшая школа» 1986.