УКООПСПІЛКА
Полтавський університет споживчої кооперації УкраїниКафедраматематичного моделювання та соціальної інформатики
КУРСОВИЙ ПРОЕКТ
з дисципліни”Чисельні методи”
на тему:
Метод Галеркінапошуку розв’язку лінійної крайової задачі
Захищенана Виконав студент групи СІ-31
„_______________” спеціальності „Соціальна інформатика”
„____” _____________200_ р. Буцький Владислав Володимирович
Полтава – 2007
ЗМІСТ
ВСТУП
РОЗДІЛ 1.Теоретична частина
1.1. Постановка задачі
1.2. Математична модель
РОЗДІЛ 2.Практична частина
2.1. Алгоритмметоду
2.2. Блок-схемаалгоритму
2.3. Тестовий приклад
ВИСНОВОК
СПИСОКЛІТЕРАТУРНИХ ДЖЕРЕЛ
Додаток А
Вступ
В зв’язку з потребами нової техніки інженерна практика наших дніввсе частіше і частішезустрічається з математичними задачами, точне розв’язання яких досить складнеабо невідоме. В цих випадках зазвичай вдаються до тих чи інших наближенихобчислень. Осьчому наближені і чисельні методи математичного аналізу набули за останні роки широкого розвиткуі отримали виключно важливе значення.
Зростанняпродуктивних сил в ХХ сторіччі зумовило рішучий прогрес в областіобчислювальної техніки, що привів до створення сучасних електроннихобчислювальних машин з пограмним управлінням. Це необмежено розширилообчислювальні можливості математики: задачі, для вирішення яких при ручному обрахунку булипотрібні роки, зараз розв'язуються за декілька годин, причомубезпосередній обрахунок займає хвилини. У свою чергу,нові обчислювальні засоби викликали переоцінку відомих методів розв’язання задач з погляду доцільності їх реалізації на сучасних обчислювальних машинах істимулювали створення більш ефективних прийомів.
Сучасні електронні обчислювальні машини дали в руки дослідниківефективний засіб дляматематичного моделювання складних задач науки і техніки. Саме томукількісні методи дослідження в даний час проникають практично у всі сфери людськоїдіяльності, а математичні моделі стають засобом пізнання. Роль математичних моделей далеко не вичерпується проблемою пізнаннязакономірностей. Їх значення безперервно зростає у зв'язку з природною тенденцієюдо оптимізації технічних пристроїв і технологічних схем плануванняексперименту. В процесі пізнання і в прагненні створити детальну картину досліджуваних процесів ми приходимо до необхідності будувати все більш складні математичні моделі,які у свою чергу вимагають універсального тонкого математичного апарату. Реалізація
математичних моделей на ЕОМ здійснюється за допомогою методівобчислювальної математики, яка безперервно удосконалюється разом з прогресом в областіелектронно-обчислювальної техніки. Всяка редукція задач
математичної фізики або техніки зрештою звичайно зводиться до рівняння алгебритієї або іншої структури. Тому предмет обчислювальної математики, якправило, пов'язаний з методами зведення задач до систем рівнянь алгебри і їх подальшого розв’язання.
Чисельніметоди сьогодні — один з найпотужніших математичних засобів розв’язуваннязадач. Найпростіші чисельні методи ми використовуємо постійно, наприклад,добуваючи квадратний корінь на аркуші паперу. У той час є задачі, де без достатньоскладних чисельних методів не можна було б отримати відповіді; класичнийприклад – відкриття Нептуна по аномаліях руху Урана.
Чисельні методи є основним інструментом розв’язання сучаснихприкладних задач. Аналітичний розв’язок тієї або іншої задачі є швидше виключенням,ніж правилом через складнийі наближений характер досліджуванихмоделей. От чому чисельний аналіз математичних моделей — метод, алгоритм,програма, обчислювальний експеримент — є в сьогоденні актуальним і найбільшефективним апаратом конструктивного дослідження прикладних проблем.
РОЗДІЛ 1. Теоретична частина
1.1 Постановка задачі
Крайова задача – це задача знаходження власного роз’язку системи:
/> />,
на відрізку />, в якій додаткові умови накладаються на значення функцій /> більше ніж в одній точці цього відрізка. Очевидно, що крайовізадачі можливі для систем порядку не нижче другого.
Свою первинну назву цей тип задач отримав з найпростіших випадків, количастина додаткових умов задається на одному кінці відрізка, а інша частина – надругому (тобто тільки в точках х=а і х=b). Прикладом єзадача знаходження статистичного прогину />навантаженої струни із закріпленими кінцями
/>, />, />; (1)
тут /> - зовнішнєзгинаюче навантаження на одиницю довжини струни, поділене на пружність струни.
Для рівнянь або систем більш високих порядків, де число додатковихумов більше за два, постановки крайових умов більш різнобічні. При цьомуможливі випадки, коли частина умов задана у внутрішніх точках відрізка [a, b]; їх нерідко називають внутрішніми крайовимиумовами. Наприклад, статистичний прогин навантаженого пружного бруска задовольняє рівняннючетвертого порядку
/>, />/>/>; (2)
якщо цей брусок лежить в точках />, />, на опорах, тододаткові умови мають вид
/>, />, />,
тобто всі вони задані в різних точках.
Самі додаткові умови можуть зв’язувати між собою значення кількохфункцій в одній точці (або навіть в різних точках); тоді для системи р-го порядку вониприймуть вигляд
/>,
/>, />.
Існують задачі з ще більш складнішими за формою крайовимиумовами, наприклад, умоваминормування
/>,
звичними в квантовій механіці, і т. д.
Не дивлячись на різноманітність форм крайових умов, крайовізадачі розв'язуються в основному одними і тими ж чисельними методами, що виправдовує їхоб'єднання в один тип. Зупинимося наметодах розв’язування.
Знайти точний роз’язок крайової задачі в елементарних функціях вдається рідко: дляцього треба знайти загальний розв’язок системи (1) і зуміти явно визначити зкрайових умов значення сталих, що входять у нього.
До наближених методів розв’язку крайових задач відносяться розклад в ряди Фур’є, методи Рітцаі Галеркіна. Ряди Фур’є застосовуються до лінійних задач. Інші два методи застосовуютьсяі до деяких нелінійних задач.
Для чисельного розв’язку крайових задач використовують метод стрільби і різницевий метод. Метод стрільби базується на зведенні крайової задачі до деякоїзадачі Коші для тієї ж системи рівнянь. В різницевому методі задачанаближено заміняється розв’язком алгебраїчної системи рівнянь з досить великимчислом невідомих. У випадку нелінійних задач обидва методи є ітераційними; при цьомупобудова ітераційних процесів, що добрезбігаються, виявляєтьсядостатньо складною.
Математична модельзадачі
Методи приблизного розв’язання поставлених крайових задач можна розбити на дві групи: різницеві методи і аналітичніметоди. До різницевих методіврозв’язку лінійної крайової задачівідносять: метод скінченних різниць для лінійних диференціальних рівнянь другогопорядку, метод прогонки. До аналітичних методів – метод Галеркіна, метод колокацій.
Метод скінченних різниць дозволяє знайти наближений розв’язок крайової задачі у вигляді таблиці, а аналітичні методи дають можливість знайти наближений розв’язок лінійної крайової задачі у вигляді аналітичного виразу. Розглянемометод Галеркіна длязнаходження наближеного розв’язку лінійної крайовоїзадачі.
Метод Галеркіна базується на одній теоремі з теорії загальних рядів Фур’є.
Теорема. Нехай /> - повна система функцій з ненульовою нормою, ортогональних навідрізку [a, b]. Якщо неперервна функція />ортогональна на відрізку [a, b] до всіх функцій />, тобто
/> (n = 0, 1, 2,...), (3)
то /> при />
Доведення. Розглянемо ряд Фур’є функції /> відносно заданої системи ортогональнихфункцій
/> (4)
Як відомо, коефіцієнти Фур’є /> визначаютьсяза формулою
/> де />
В силу умови (3) маємо
/> (n = 0, 1, 2,… .). (5)
Для повної системи /> у відношенні до будь-якої неперервної функції /> виконана рівність повноти
/> (6)
Звідси, враховуючи рівність (5), маємо
/>
і, отже, /> при />
Зауваження. З формули (4) випливає, що якщо неперервна функція />
ортогональна до кінцевої системи функцій /> (тобто /> то
/>
при достатньо великому N. В цьомувипадку функція /> в середньому на відрізку [a, b] буде якзавгодно малою. При додаткових обмеженнях звідси випливає, що /> також малий на відрізку />
Перейдемо до викладу метода Галеркіна. Нехай маємо лінійну крайовузадачу
/> (7)
де /> при наявностілінійних крайових умов
/> /> (8)
/>
Оберемо кінцеву систему базисних функцій /> (/> = 0, 1,., n), що складаютьчастину деякої повної системи, причому потурбуємося, щоб функція /> задовольняла неоднорідні крайові умови
/> />
а функції /> (/> = 1, 2,..., n) задовольняли б однорідним крайовим умовам
/> (/> = 1, 2,..., n).
Розв’язок крайової задачі(7) – (8) будемо, якзвичайно, шукати у вигляді
/> (9)
При нашому підборі базисних функцій /> функція />, що визначається формулою (9), очевидно,задовольняє крайовим умовам (8) при будь-якому виборікоефіцієнтів />. Вираз (9) підставимо удиференціальне рівняння (7), що даєнев’язність
/>
Для точного розв’язку у нашій крайовій задачі функція />; тому для отримання наближеного розв’язку, близького до точного,нам вигідно підібрати коефіцієнти /> так, щоб функція /> була в якомусь сенсі малою.
Згідно методу Галеркіна вимагаємо, щоб нев’язність /> була ортогональною до базиснихфункцій /> (/> = 1, 2,..., n), що при достатньо великому числі цих функцій, в силу наведеного вище зауваження, забезпечує малість нев’язності в середньому.
Наскільки цей наближений розв’язокблизький до точного, в загальному випадку питання залишається відкритим. Таким чином, длявизначення коефіцієнтів /> (/> = 1, 2,..., n) приходимо до системи лінійних рівнянь
/>/>
або, більш детально,
/> (10)
(/> = 1, 2,..., n).
РОЗДІЛ 2. ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА
2.1. Алгоритм методу
1. Визначаємо зданого диференціального рівняння другого порядку функції
/>.
2. Обираємо систему базисних функцій /> (/> = 0, 1,..., n) так, щоб функція /> задовольняла крайовим умовам: /> />а функції /> (/> = 1, 2,..., n) задовольняли боднорідним крайовим умовам /> (/> = 1, 2,..., n).
3. Знаходимо /> (/> = 0, 1, 2, 3, 4).
4. Використовуючи позначення
/>, />
обраховуємо коефіцієнти системи:
/> (/> = 1, 2,..., n).
5. Виконуючи необхідні скорочення приходимо до системи з якої визначаємо /> (/> = 1, 2,..., n) і отримуєморозв’язок вигляді:
/>.
2.2. БЛОК-СХЕМА АЛГОРИТМУ
Метод Галеркіна/> />
/>/> />
Ні/> />
Так />/> />
Ні
/> /> />
/> Так/> /> /> /> />
Обрахунок /> (/> = 0, 1, 2, 3, 4)
/> /> />
Обрахунок
/>,
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
2.3. Тестовий приклад
Методом Галеркіна знайти наближений розв’язок рівняння,
/>, (11)
що задовольняє крайовим умовам
/>. (12)
Розв’язання:
Оберемо в якості системи базисних функцій /> (/>0, 1, 2, 3, 4) наступні тригонометричніфункції:
/>, />, />, />, />.
Ці функції лінійно незалежні на відрізку />, причому функція /> задовольняє крайовій умові (12), а іншіфункції – нульовим крайовим умовам. Будемо шукати розв’язок у вигляді
/>.
Знаходимо /> (/> = 0, 1, 2, 3, 4):
/>,
/>,
/>,
/>,
/>,
/>.
Обраховуємо коефіцієнти системи (10), використовуючи наступні позначення:
/>, />,
і враховуючи при цьому ортогональність системи тригонометричних функцій
(1, />, />, />, />,… .)
/>, />,
/>, />, />, />,
/>, />, />, />,
/>, />, />, />,
/>, />, />, />.
Виконуючи відповідні скорочення, приходимо до системи
/>
з якої одержуємо />, />, />. Таким чином маємо
/>.
В таблиці 1наведено для порівняння значенняотриманого наближеного розв’язку і точного розв’язку />
Наближений іточний розв’язок задачі (11), (12)
Таблиця 1:
/>
- />
/>
/> 1.429 2 3.714
/> 1.368 2 3.718
Приклад розв'язання крайової задачі методом Галеркіна в середовищі Mathcad
Постановка задачі: Серед усіх функцій y(x), визначених на інтервалі [a;b] і задовольняючих крайовим умовам y(a)=0 і y(b)=0 потрібно знайти таку, яка задовольняла б диференціальному рівнянню p(x)y''+q(x)y'+r(x)y+k(x)=0
Вихідні дані: Границі інтервала:
/>
/> Функція p(x):
/> Функція q(x)
/> Функція r(x)
/> Функція k(x):
/>
Розрахункові формули: Алгебраїчні базисні функції:
/>
/>
/> Число членів у сумі Рітца
/>
/> Формування систем лінійних алгебраїчних рівнянь метода Галеркіна для випадку алгебраїчних базисних функцій:
/>
A_al_2:= [на дискеті,Галеркін.mcd]Число членів у сумі Рітца
/>
/>
A_al_3:= [на дискеті,Галеркін.mcd]
Розв'язання задачі Розв'язання систем рівнянь — визначення коефіцієнтів сум Рітца: Номер останнього утримуваного члена суми Рітца
/>
/>
Алгебраїчні базисні
функції:
/>
/>
/> Задання кроку табулювання сум Рітца:
/> Побудова розв'язків у вигляді сум Рітца: Алгебраїчні базисні функції:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Результати отримані за допомогоюствореної програми
/>
/>
/>
/>
/>
ВИСНОВОК
Математичнемоделювання процесів і явищ в різних галузях науки і техніки є одним зголовних способів отримання нових знань і технологічних рішень. В наш час коли життя людини вже майже неможливебез електронно-обчислювальної техніки, всіпроцеси автоматизуються, а задачі, які потребували деякого часу і зусиль тепервиконуються за лічені хвилини.
Чисельніметоди один із напрямів розробки пошуку оптимальних розв’язківматематичних задач та пошуку саме того методу, який би давав найбільш точнийрезультат. Моя робота присвячена одному з методів пошуку розв’язку лінійноїкрайової задачі – методу Галеркіна. Даний метод досить зручний для пошуку розв’язку у вигляді аналітичного виразу.
В першійчастині курсового проекту розглянута постановка задачі, в якій наведено описметоду. В математичній моделі описано безпосередньо сам метод Галеркіна та йогоосновні принципи.
Другачастина мого курсового проекту починається з опису алгоритму методу Галеркіна для пошуку розв’язкулінійної крайової задачі. В алгоритмі містяться головні кроки пошуку розв’язкулінійної крайової задачі за даним мені методом. За цималгоритмом наведений тестовий приклад, а також написана програма в середовищі Microsoft Visual C++, текст якої знаходиться в додатку А. До даного методускладена блок-схема алгоритму.
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Капченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерахи задачах. – М: Наука, 1972. – 369 С.
2.ДемидовичБ.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. — М.: Физматгиз, 1960. — 659с.
3.КалиткинН.Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978. — 512с.
4. Бахванов Н. С., Жидков Н.П.Кобельков Г.М. Чисельные методы електронный вариант учебника.
5. Белашов В. Ю., Чернова Н. М. Эффективные алгоритмы и программы вычислительной математики. Магадан:СВКНИИДВОРАН, 1997. 160 с.
6. Культін Н.Б. Программирование в Turbo Pascal 7.0 и Delphi. – СПб: BHV- Санкт-Петербург, 1999. – 234с.
ДОДАТОК А
ТЕКСТ ПРОГРАМИ МОВОЮ Microsoft Visual C++
MainFrm.cpp
#include «StdAfx.h»
#include «example.h»
#include «MainFrm.h»
#ifdef _DEBUG
#define new DEBUG_NEW
#undef THIS_FILE
static char THIS_FILE[] = __FILE__;
#endif
IMPLEMENT_DYNCREATE(CMainFrame, CFrameWnd)
BEGIN_MESSAGE_MAP(CMainFrame, CFrameWnd)
END_MESSAGE_MAP()
static UINT indicators[] =
{
ID_SEPARATOR,
ID_INDICATOR_CAPS,
ID_INDICATOR_NUM,
ID_INDICATOR_SCRL,
};
CMainFrame::CMainFrame()
{
}
CMainFrame::~CMainFrame()
{
}
int CMainFrame::OnCreate(LPCREATESTRUCT lpCreateStruct)
{
if (CFrameWnd::OnCreate(lpCreateStruct)== -1)
return -1;
if (!m_wndToolBar.Create(this) ||
!m_wndToolBar.LoadToolBar(IDR_MAINFRAME))
{
TRACE0(«Failed to create toolbar\n»);
return -1;
}
if (!m_wndStatusBar.Create(this) ||
!m_wndStatusBar.SetIndicators(indicators,
sizeof(indicators)/sizeof(UINT)))
{
TRACE0(«Failed to create statusbar\n»);
return -1;
}
m_wndToolBar.SetBarStyle(m_wndToolBar.GetBarStyle() |
CBRS_TOOLTIPS | CBRS_FLYBY | CBRS_SIZE_DYNAMIC);
m_wndToolBar.EnableDocking(CBRS_ALIGN_ANY);
EnableDocking(CBRS_ALIGN_ANY);
DockControlBar(&m_wndToolBar);
return 0;
}
BOOL CMainFrame::PreCreateWindow(CREATESTRUCT& cs)
{
return CFrameWnd::PreCreateWindow(cs);
}
#ifdef _DEBUG
void CMainFrame::AssertValid() const
{
CFrameWnd::AssertValid();
}
void CMainFrame::Dump(CDumpContext& dc) const
{
CFrameWnd::Dump(dc);
}
#endif
MainFrm.h
#if!defined(AFX_MAINFRM_H__9A49CF0A_0006_11D3_A7F6_F5D97F5F2E6D__INCLUDED_)
#define AFX_MAINFRM_H__9A49CF0A_0006_11D3_A7F6_F5D97F5F2E6D__INCLUDED_
#if _MSC_VER >= 1000
#pragma once
#endif
class CMainFrame: public CFrameWnd
{
protected:
CMainFrame();
DECLARE_DYNCREATE(CMainFrame)
public:
// Operations
public:
// Overrides
// ClassWizard generated virtual function overrides
//{{AFX_VIRTUAL(CMainFrame)
virtual BOOL PreCreateWindow(CREATESTRUCT& cs);
//}}AFX_VIRTUAL
// Implementation
public:
virtual ~CMainFrame();
#ifdef _DEBUG
virtual void AssertValid() const;
virtual void Dump(CDumpContext& dc) const;
#endif
protected: // control bar embedded members
CStatusBar m_wndStatusBar;
CToolBar m_wndToolBar;
// Generated message map functions
protected:
//{{AFX_MSG(CMainFrame)
afx_msg int OnCreate(LPCREATESTRUCTlpCreateStruct);
// afx_msg void OnDemoAnalit();
//}}AFX_MSG
DECLARE_MESSAGE_MAP()
};
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
//{{AFX_INSERT_LOCATION}}
// Microsoft Developer Studio will insert additional declarationsimmediately before theprevious line.
#endif //!defined(AFX_MAINFRM_H__9A49CF0A_0006_11D3_A7F6_F5D97F5F2E6D__INCLUDED_)
StdAfx.h
// stdafx.h: include file for standard system include files,
// or project specific include files that are used frequently,but
// are changed infrequently
//
#if!defined(AFX_STDAFX_H__9A49CF08_0006_11D3_A7F6_F5D97F5F2E6D__INCLUDED_)
#define AFX_STDAFX_H__9A49CF08_0006_11D3_A7F6_F5D97F5F2E6D__INCLUDED_
#if _MSC_VER >= 1000
#pragma once
#endif // _MSC_VER >= 1000
#define VC_EXTRALEAN // Exclude rarely-used stuff from Windows headers
#include // MFC core and standard components
#include // MFC extensions
#include // MFC OLE automation classes
#ifndef _AFX_NO_AFXCMN_SUPPORT
#include // MFC supportfor Windows Common Controls
#endif // _AFX_NO_AFXCMN_SUPPORT
//{{AFX_INSERT_LOCATION}}
// Microsoft Developer Studio will insert additional declarationsimmediately before theprevious line.
#endif //!defined(AFX_STDAFX_H__9A49CF08_0006_11D3_A7F6_F5D97F5F2E6D__INCLUDED_)