Содержание
Введение 5
1 Теоретико-методологическиеосновы исследования 9
1.1 О подходах к введению математических понятий 9
1.1.1 Конкретно-индуктивныйиабстрактно-дедуктивный подходы 9
1.1.2 Деятельностныйподход 10
1.1.3 Исследовательский подход 12
1.1.4 Как быть с«нерабочими» определениями? 18
1.2 Роль дефиниций в математической деятельностиучащихся 20
1.2.1 Отыскание описательногоопределения, не расширяющегообъем
понятия 20
1.2.2 Формулировка определения путемобобщающего описания 21
1.2.3 Формулировкаопределения посредством конструктивного описания 25
1.2.4 Формулировка определения,основаннаяна аналогии и переносе 27
1.2.5 Формулировка определений на основе классификации 28
1.2.6 Формулировкаопределения путем выделениячастного случая 30
1.2.7 Формулировкаопределения посредствомобобщения известного определения 31
1.3 Формирование математических понятийу учащихся 32
2 Экспериментальныеисследования диагностикиматематических
понятий у учащихся 43
2.1 Значение вопроса при диагностике математических понятий у учащихсяна уроках математики 43
2.2 К вопросу о диагностике математического понятия«величина» 47 2.3 Диагностика уровнясформированности математических понятий(метод ключевых понятий) 56
2.4 Исследование процесса сравнения понятийучащимися 11 класса 65
Заключение 67
Список используемых источников 69
Введение
Формирование научных понятий — одна изглавныхзадач обучения математике в школе. Под математическимпонятием будем подразумевать систему логически взаимосвязанных упорядоченных суждений,высказанных о некотором математическомобъекте. Эти суждения называются свойствами и признаками понятия исоставляют его содержание. Формирование конкретного понятия тесно связанос усвоением учащимися соответствующего математическогообъекта и возникновением общегопредставления о нем. Усвоить понятие — значит, усвоить систему знаний о некотором объекте и научиться использовать их вдеятельности.
Но чаще всего ребята называютпризнаки и свойства математических понятий, которые были подробнорассмотрены в соответствующих пунктах учебника, т.е. являлись объектомспециального изучения. Другие суждения о понятии (с которыми учащиеся знакомятся впроцессе решения задач или при изучениидругих понятий), как правило, не включаютсяв его содержание и усваиваются как отдельные факты, вне связи с понятием. Кроме того, школьники не владеют приемами деятельности, позволяющимиуспешно рассуждать, решать задачи, т.е.применять понятие в деятельности.
Это связано с тем, что вшкольной практике формирование понятии как целенаправленный процесс осуществляется слабо [6].Анализ конспектов уроков учителей показал,что «формирование понятия» как цельурока учителями даже не ставится(цели более узкие: изучить теорему, научитьрешать некоторые виды задач и др.), а уроки обобщения и систематизации знаний, на которых должны обобщаться и логически упорядочиватьсязнания о формируемых понятиях, чаще всегопревращаются в уроки повторения по данной теме. Это (и многое другое)ведет к фрагментарности знаний, неумениюприменять их на практике.
Одной из причин такого положения является сложившееся иукоренившееся в методике обучения математике за последние десятилетияневерное представление о понятии и его формировании, при котором математическийобъект и математическое понятие неразличались, а формирование понятия связывалось с его определением[6].
Поэтому при изученииосновных понятий курса математики в средней школе необходимо своевременноустанавливать, преобразуется ли сообщаемая учащимся информация в знания,основанные на долговременном запоминании, а не оперативном, как это частобывает. Это важно потому, что в школе закладывается основной понятийныйаппарат, на базе которого впоследствии будут строиться более сложныематематические теории.
Исходя из этого передучителем математики стоят две задачи.
Первая – правильноформироватьматематические понятия.
Вторая – делатьэкспертную оценку сформированности понятийного аппарата изученных тем.
Первой задачесоответствует традиционно применяемые на уроках различные подходы к введению иформированию математических понятий [6]. Дидактический материал, предлагаемыйдля этого, обширен и разнообразен [28]. Для второй задачи нет четкоопределенных и отработанных методов. Отчасти она решается на уроке устнымопросом при повторении пройденных тем. Но, очевидно, этот метод не позволяетохватить всех учащихся класса и является лишь эпизодическим. Поэтомуорганизация диагностики математических понятий у учащихся является актуальной,что и послужило причиной выбора этой темы в качестве выпускной работы.
Объект исследования – математические понятия.
Предмет исследования – диагностика математических понятий у учащихся.
Цельисследования – найти методы диагностики сформированности понятийного аппарата, показатьих эффективность в процессе обучения математике.
Длядостижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1) проанализироватьпсихолого-педагогическую и методическую литературу, посвящённую проблеме диагностикиматематических понятий у учащихся и найти методы диагностики сформированностипонятийного аппарата;
2) рассмотретьосновные подходы к введению математических понятий;
3) раскрыть роль определений в математической деятельности учащихся;
4) показать, как конструируется собственно методическая концепцияформирования математических понятий;
5) показатьзначение вопросов при диагностике математических понятий у учащихся на урокахматематики;
6) выявитьуровень сформированности понятия «величина» у учащихся IIIкласса
7) рассмотреть метод ключевых понятий, который хорошо отвечаетзадаче оценки сформированности понятийногоаппарата;
8) выявить,как изменяется определение понятий в процессе их усвоения на примере учеников XIкласса;
9) проанализироватьрезультаты экспериментальныхисследований.
Работа состоит из введения, двух разделов, заключения исписка использованных источников.
Впервом разделе "Теоретико-методологические основы исследования" рассматриваютсяразличные подходык введению математических понятий: конкретно-индуктивный,абстрактно-дедуктивный, деятельностный и исследовательский подходы; раскрываетсярольдефиниций в математической деятельности учащихся, а также показывается, какконструируется собственно методическая концепция формирования математическихпонятий, описываются методические требования к формированию понятий.
Практическая частьпредставлена во второй главе работы "Экспериментальные исследованиядиагностики математических понятий у учащихся". Здесь показано значение вопроса при диагностике математических понятий уучащихся на уроках математики и представлены различные методики с цельюопределения сформированности математических понятий в соответствии снормативными характеристиками в различных классах.
В результате теоретического и экспериментального исследования установлено, что очень важно при изучении основныхпонятий своевременно устанавливать,преобразуется ли сообщаемая учащимсяинформация в знания, основанные на долговременном запоминании, а неоперативном, так как в школе закладываетсяосновной понятийный аппарат. Приэтом, я думаю, существенную роль играетто, как учитель смог сформировать то или иное понятие.Но не каждое понятие нужно вводитьосновательно, так как некоторые понятия (предел, непрерывность и предел функции) сложны иплохо усваиваются учащимися. Лучше высвободившееся время уделить формированию общего представленияо новых математическихпонятиях,основываясь на знании их геометрического и физического смысла (в случае производной) или на наглядных представленияхучащихся (в случае предела инепрерывности функции). Это будет честнее, чемтребовать от учеников запоминания недоступных их пониманию определений,которые в дальнейшем все равно не применяются.
1 Теоретико-методологические основы исследования
1.1 О подходах к введениюматематических понятий
1.1.1Конкретно-индуктивный и абстрактно-дедуктивный подходы
В методике под введением математическогопонятияподразумевают этап ознакомления учащихсяс новым математическим объектом, заканчивающийся его определением. В специальной литературе донедавнего времени рассматривались дваподхода к введению математических понятии:конкретно-индуктивный (переход от частногок общему, от примеров — к определению) и абстрактно-дедуктивный (переходот общего к частному, от определения — к примерам) [6].
Основное достоинство первогоподхода заключается в том, что привведении нового понятия учитель опираетсяна знания и жизненный опыт учащихся, что само по себе предполагает их активное участие в работе. Этот подход способствует развитию индуктивного мышления школьников.
В методической практикесложилось неверное представление о том, что определение можно«открыть». По этому поводу Г.Фрейденталь писал: «Какможно определить нечто, коль скоро не знают, что определяют?»[33]. А.С. Мищенко заметил, что внешне деятельность«по открытию определения»на уроке выглядит вполне современно,побуждает учеников к анализу ситуации, как говорят«актуализирует» их мыслительную деятельность.В действительности, указанный способ «введения понятия»утомляет детей и создает неверноепредставление о науке математике в целом.Все усилия на этом этапе должны бытьнаправлены на закрепление употребленияпонятий (соответствующих терминов,обозначений) и их свойств в строгих математических формулировках для того, чтобы опиратьсяна них в процессе математических рассуждений[18]. Основная роль определений вматематике — служить начальным звеномв дедуктивном упорядочении суждений о некотором понятии.
Абстрактно-дедуктивныйподход обычно используется, когдаопределение нового объекта не сложно поструктуре, а сам объект знаком ученикам. В этом случае его существенные свойства легко обнаруживаютсяу объектов, рассматриваемых в качестве примеров. Этот подход болееэкономичен по времени, но после введения нового определениясо сложной структурой требуетсянекоторая (нередко значительная)работа по его усвоению. Так, часть определенийкурса геометрии и математического анализа школьники усваивают только послецеленаправленной работы, основанной на изучении их структуры [20].
Например, распознавание прямой, перпендикулярнойплоскости, несложно. У учащихся естьпредставления опредметах, расположенных вертикально относительно поверхности земли. Затруднения школьников при изучении данной темы связаны, прежде всего, с изображениемпространственных объектов на плоскости и сложностью структуры самогоопределения, формулировка которогосодержит слово «любой»: прямая называетсяперпендикулярнойплоскости, если она перпендикулярна любой прямой,лежащей в плоскости. Отметим, что абстрактно-дедуктивныйподход можно применить при введении любого понятия. Принятосчитать, что он развиваеттеоретическое мышление школьников.
Оба рассмотренных подхода основаны наабстракции отождествления–процессе отвлечения от исходных,различающихся свойств предметов и выделенииих одинаковых, тождественных свойств. Эти подходы в достаточнойстепени обеспечивают реализацию ориентировочной функции понятия, позволяющей уверенно подводить под понятия конкретныеобъекты.
1.1.2 Деятельностныйподход
Сущность данного подхода заключается в том, что, взяв за основу некоторое свойство (или несколькосвойств) математического объекта в качестве основания классификации, учащиесяпод руководством учителя проводятклассификацию математических объектов по этому основанию [6]. В результатетакой работы одному из получившихсяклассов присваивается некотороеназвание и дается определениеобъектов данного класса, т.е. начинается формирование нового понятия [10], [22].
Рассмотрим применение деятельностного подхода при введении понятий «параллелограмм» и «трапеция».
Учитель. Изкаких элементов состоит четырехугольник?
Ученик. Из сторон и углов.
Учитель. Какиеотношения можно рассматривать для отрезков — сторон четырехугольника?
Ученик. Отношения равенства, параллельности, перпендикулярности.
Учитель. Нашазадача — изучить четырехугольники с точки зренияналичия у них параллельных сторон. Существует ли четырехугольник с одной паройпараллельных сторон?
Ученик.Да.
Учитель.Как это доказать?
Ученик. Спомощью построения такогочетырехугольника.
(Один из учеников строит фигуру на доске, остальные — в тетрадях.)
Учитель. Существуетли четырехугольник с двумя парами параллельныхсторон?
Ученик.Да.
(Делаются соответствующие построения.)
Учитель. Можно ли построитьчетырехугольник с тремяи более парами параллельных сторон?
Ученик.Нет.
Учитель.Почему?
Ученик,Смежные стороны имеют общую точку, поэтому параллельнымимогут быть только противоположные стороны. А их две пары.
Учитель. Существуетли четырехугольник, у которого нет параллельных сторон?
Ученик.Существует.
(Выполняютсяпостроения на доске и в тетрадях.)
Таким образом, всегополучилось три различных вида четырехугольника: с одной парой параллельныхсторон – трапеция, с двумя – параллелограмм, и четырехугольник, неимеющий ни одной пары параллельных сторон, у него нет специальногоназвания.
Далее учитель вводиттермины «параллелограмм» и «трапеция»,рассказывает о том, что эти четырехугольники изучались с древности. Они имеютмного интересных и полезных с практической точки зрения свойств, поэтому длядальнейшей работы нужно ввести их строгие определения.Учащиеся без труда отвечают на вопрос, какой четырехугольник называетсяпараллелограммом, поскольку знают основание классификации. Затем формулируется определениетрапеции. После этого начинается изучение свойств и признаков введенных понятий [6].
Деятельностныйподход способствует пониманию учащимисяметода научного познания действительности, учит основам классификации. Он предполагаетактивное участие школьников в познавательнойдеятельности. С другой стороны, этотметод требует немалых затрат времени.Кроме того, он дает хорошийрезультат лишь там, где классификация объектов по определяющемупризнаку возможна и целесообразна [13].Так, деятельностный подход уместен, когда вводится отношение между объектами, например, приизучении угла, вписанного в окружность; взаимного расположения прямой и окружности, двух плоскостей и т.д.
1.1.3 Исследовательский подход
Если рассмотренные вышеподходы позволяют лишь ввести новое понятие, то исследовательский подход направлен на его формирование в целом (как системывзаимосвязанных логически упорядоченныхсуждений). При этом можно организоватьпознавательную деятельность учащихся таким образом, чтобы воспроизвести (снекоторой долей достоверности!) деятельность ученого-математика, направленнуюна изучение нового объекта и образование понятия [6]. Напомним, что при исследовательском подходесовместная деятельностьучителяи учащихся включает следующие этапы:
— постановка цели деятельности;
— эмпирическое изучениенового математического объекта, поиск его свойств;
— формулирование найденныхсвойств в виде гипотез;
— введение нового термина,определение математического объекта;
— проверка истинностивысказанных предположений путем отысканияих доказательств;
— поиск признаковисследуемого объекта (рассмотрение обратных утверждений);
— уточнение логических связеймежду суждениями, схематизациясодержания нового понятия; усвоение этого содержания;
— обучение применению новогопонятияв деятельности: решение опорных задач,выделение общих приемов деятельности, способствующих применению понятия (например, отыскание эвристик);
— применение понятия внестандартных ситуациях[26].
Покажем, как можетосуществлятьсяисследовательский подход при изучении понятия «равнобедреннаятрапеция».
Традиционно это понятиевводится в теме «Трапеция».Но его подробное рассмотрение можно отложитьдо момента, когда будет изучатьсятеорема Пифагора, поскольку именно в последней теме понятие трапеции широко применяется при решениизадач [6].
Класс разбивается на группы. Перед началом беседыучитель раздает ученикам (каждому или по одному на группу) чертежиравнобедренной трапеции.
Учитель.Назовите основные элементы трапеции.
Ученик.Стороны, углы, диагонали.
Учитель. Сегодняна уроке мы попробуем изучить данныйчетырехугольник, как, возможно, многовеков назад это сделали ученые-математики. Вспомните, что интересует геометров при изучении фигур в первую очередь?
Ученик. Соотношения между ее сторонами и углами.
Учитель. Таккто же сформулирует цель нашего исследования?
Ученик. Цель— выявить соотношения между элементами трапеции, т.е. между сторонами и углами. А также изучить другие особенности фигуры.
Учитель. Математики уже вдревности знали немало свойств и признаков этого четырехугольника. Возьмите в руки линейки, транспортиры. Измерьте,а затем сравните стороны, углы трапеции, еедиагонали. Сформулируйте гипотезы о свойствахэтих элементов трапеции.
После работы в группахбеседа возобновляется.
Учитель. Какимсвойством обладают боковые стороны трапеции?
Ученик. Они равны.
Учитель. Каким свойством обладаютуглы этой трапеции?
Ученик. Углы при каждомосновании трапеции равны. Учитель. Каким свойством обладают диагоналитрапеции?
Ученик.Они равны.
Учитель. Какиееще особенности этой трапеции вы заметили?
Ребятамогут добавить, например, такие суждения:
— высоты трапеции, проведенные из вершин меньшего основания,отсекают от нее равные прямоугольныетреугольники;
— диагонали разбивают трапецию на два равных и два равнобедренных треугольника.
Если ученики называютсвойства, которыми обладает любая, а не толькоравнобедренная, трапеция,то учитель дает соответствующие пояснения и не включает эти свойства в список [6]. Беседавозобновляется.
Учитель. Можноли считать, что мы с вами изучили данную фигуру?
Ученик.Нет. Пока у нас есть только гипотезы.
Учитель. Что же нужно сделатьдальше?
Ученик. Надо их доказать.
Учитель. Ноученые доказывают теоремы. Сформулируйте хотябы одну из них.
Поскольку учащиеся не могут использовать термин «равнобедренная трапеция»(который еще не введен), они предлагают суждениятипа: «Если боковые стороны трапеции равны, то ее углы при основанияхтакже равны», «Если боковые стороны трапецииравны, то ее диагонали равны» и т.д. Учительдолжен обратить внимание школьников на большоеколичество утверждений и на тот факт, что одни из них следуют из других [35]. Например, при условии, что окажутсяверными утверждения: если боковые стороны трапецииравны, то и углы при основании равны и если углы при основании трапеции равны, то ее диагоналиравны, будетверно утверждение: если боковые стороны трапеции равны, то ее диагонали равны.
Далее даетсяопределение равнобедренной трапеции, агипотезы оформляются в виде схемы (рисунок 1.1).
Трапеция с равными боковыми сторонами
Углы при Диагонали Другие
основанииравны равны отмеченные свойства
Рисунок 1.1 – Гипотезы о свойствах трапеции с равными боковыми сторонами
После этого каждаягруппа получает задание: сформулировать и доказать одну из теорем о свойствахравнобедренной трапеции, а также обратную ейтеорему. (Заметим, что в данном случае все приведенные выше утверждения иобратные к ним являютсяистинными.) Можно дать это задание на дом(причем свойства, рассмотренные в учебнике, учащиеся должны попробоватьдоказать другим способом), тогда онопроверяетсяна следующем уроке. Очевидно, что не все ученики смогут его выполнить, а внекоторых случаях задание можетоказаться непосильным на данномэтапе изучения. Отметим, что в процессе решения задач, а также при изучении других тем, начатая работа может быть продолжена [6].
На следующем этапе уучащихся формируется умение применятьпонятие «равнобедренная трапеция» в речи, в рассужденияхпри решении задач. Школьники должны научитьсяпроговаривать импликативные высказывания в общеутвердительной, более соответствующей естественному языку, форме.Например, формулировку теоремы: если трапецияравнобедренная, то ее углы приосновании равны, им следуетпроизносить так: в равнобедренной трапеции углы при основаниях равны. Кроме того, учащиеся должныуметь правильно перечислять свойства равнобедренной трапеции.
Обучение применению понятия можно начать с рассмотренияопорных задач по данной теме, решение которых приводит к общим приемам деятельности.Например, к приемам, способствующим применению понятия «равнобедреннаятрапеция» можно отнести следующие[11]:
- проведениевысот из вершин меньшего основания(при этом образуются два равных прямоугольных треугольника и прямоугольник,рисунок 1.2);
Рисунок 1.2
- проведениеиз вершины меньшего основания отрезка,параллельного боковой стороне (трапецияразбивается на параллелограмм и равнобедренный треугольник, рисунок 1.3);
Рисунок 1.3
- проведениеиз вершины меньшего основания отрезка,параллельного диагонали трапеции (при этом образуется ра