/>Содержание
Введение ……………………………………………………………………….….3
Глава I «Технология гуманитаризации»
1.1 Понятиепедагогической технологии ………………………….......6
1.2. Основные положения теории гуманитаризации ………. ………….....9
1.3. Принципы, положенные в основу технологиигуманитаризации
школьного математического образования…………………………….…11
Глава II«Практическое применение элементов технологии гуманитаризации»
2.1Анализ программы……………………………………………………...14
2.2 Особенности содержания и структуры курса………………………...15
2.3 Методика изучения дробных чисел……………………………….......20
Заключение……………………………………………………………………....32
Библиографическийсписок …………………………………………………….34
Приложение 1………………………………………………………..…………...35 Приложение2………………………………………………………………….....37
Введение
Ничем не оправданное выхолащивание нашей школы на протяжении многих летпривело к резкому снижению уровня общей культуры и воспитанности выпускниковшкол и, следовательно, общества в целом. В век научно-технической революции мына каждом шагу сталкиваемся с вопиющей неграмотностью и отсутствием вкуса,неумением людей использовать программные школьные навыки на практике.
Поэтому основным направлением развития школы сегодня является поворотобучения к человеку. Школьный курс содержит довольно сложные предметы, такиекак математика, физика, химия и другие, которые не всем даются легко, и какследствие этого — потеря интереса к обучению.
Не все дети одарённые в математическом смысле. Конечно знания, умения инавыки, безусловно, нужны, но в меру. Для особо способных детей существуютспециальные программы, имеются факультативы, кружки, но речь сейчас не о них.Путей достижения психологической комфортности в обучении математики существуетнемало. Наиболее актуальным на данный момент является внедрения технологийгуманитаризации в обучение математики. Ведь гуманитаризация предполагаетусиление взаимосвязи естественно-математического образования с гуманитарным,т.е. более понятным, близким ребёнку, усиление практического и прикладногоаспектов в её преподавании. Это означает, что в обучении математике акцентнеобходимо ставить на общее развитие учащегося, а именно на развитиелогического мышления, математической речи, пространственного воображения,интуиции, чувства прекрасного.
Предметом исследований данной работы мы избрали технологиюгуманитаризации.
В последнее время очень многие исследователи работают над выявлениемгуманитарного потенциала математики как науки (Л.П. Бестужева, Н.Н. Костин,Е.С. Петрова, Т.А. Корешкова, Н.Ф. Усынина, А.Н Чалов и др.), отдаваяпредпочтение либо истории, либо художественной литературе, либо поэзии, либофилософии, т.е. различным составляющим общей культуры.
Так А.В. Дорофеева обосновывает тезис о том, «что история математикипомогает формированию мировозрения учащихся». Причем, по её мнению, «элементыистории математики привлекают школьников, склонных к гуманитарным наукам» иотстающих учащихся. На сегодняшний день, данный тезис представляется актуальнымс точки зрения привлечения внимания школьников различных способностей иинтересов к математике как науке.
Исследования К.В. Лавринович охватывают не только историю, но и другиеобласти человеческого познания. Так исследователь раскрывает необходимость«включения «других искусств»» в содержание математического образования. Подтермином «другие искусства» понимается использование поэзии, истории, картинизвестных художников и т.п. на уроках математики.
В. Гачев считает, что познание целого невозможно без познания частей,поэтому негуманитарные и гуманитарные науки следует не просто рассматривать вконтексте культуры, важно отыскивать взаимосвязи «между двумя колоссальными,самостоятельными системами внутри культуры, т.е. осуществлять привод и переводматематики, её проблем, задач, языка – на сюжеты гуманитарной культуры, на языкеё образов, символов, мифов, категорий».
Опираясь на выше изложенное, в нашей работе мы представим некоторыерекомендации по применению технологии гуманитаризации при изучении темы «Дробныечисла» в 5-6 кл.
Для реализации этой цели поставлены задачи:
1. Раскрыть технологиюгуманитаризации и ее основные положения.
2. Охарактеризоватьгуманитарный потенциал современных учебников для 5-6 классов.
3. Разработать рекомендации использования технологии гуманитаризациипри изучении дробей.
Надеемся, что проведённые в работе исследования послужат практическимприложением для учителей математики.
Глава I «Технология гуманитаризации»
1.2 Понятие педагогической технологии
Необходимость разработки технологии гуманитаризациишкольного математического образования вызвана актуальностью проблемы насовременном этапе реформирования школьного образования. Но, к сожалению, лишьнемногие педагоги и методисты (В.В. Гузеев, Т.А. Иванова, К.В. Лавринович, Л.Ф.Пичурин и др.) видят пути решения указанной проблемы, предлагаяучителям-практикам методические разработки или учебные пособия, раскрывающиевозможности гуманитаризации школьного математического образования, развиватьпедагогические технологии, необходимые для этого.
Что же понимается под «педагогической технологией».Существуют различные к определению этого понятия: В.П. Беспалько, И.П. Волков,М.В. Кларин, В.М. Монахов Н.В. Чекалев и др. Так В.М. Монахов представляетпедагогическую технологию, как продуманную модель совместной педагогическойдеятельности по проектированию, организации и проведению учебного процесса собеспечением комфортных условий для учащихся и учителя.
С позиции системного подхода анализирует понятия«педагогическая технология» М.В. Кларин, рассматривая его как системнуюсовокупность и порядок функционирования всех личностных, инструментальных иметодических средств, используемых для достижения педагогических целей.
В соответствии с теорией педагогических технологийВ.П. Беспалько определения терминов «педагогическая технология» и «педагогическаясистема» следующие: «Педагогическая технология – это проект определённойпедагогической системы, реализуемый на практике. Педагогическая система – этоопределенная совокупность взаимосвязанных средств, методов и процессов,необходимых для создания организованного, целенаправленного педагогическоговлияния на формирование личности с заданными качествами».
Структура любой педагогической системы, по мнениюВ.П. Беспалько, представляется следующей взаимосвязанной совокупностьюинвариантных элементов: 1 — учащиеся; 2 — цели обучения; 3 – содержаниеобучения; 4 – дидактические процессы; 5 – учитель, технические средстваобучения, наглядные средства обучения; 6 – организационные формы обучения.Причем первые три из перечисленных элементов представляют собой дидактическуюзадачу, а последующие – непосредственно педагогическую технологию.
На наш взгляд наиболее удачный подход к понятию«педагогическая технология» представлен в исследованиях Г.К. Селевко. Авторобобщает и систематизирует все имеющиеся на сегодняшний день технологииобучения, раскрывает взаимосвязь между ними, выделяет структурные компонентыобразовательных технологи, классифицирует их.
Согласно теории Г.К. Селевко понятие «педагогическаятехнология» представимо тремя аспектами:
«1) научным: педагогические технологии – частьпедагогической науки, изучающая и разрабатывающая цели, содержание и методыобучения и проектирующая педагогические процессы;
2) процессуально-описательным: описание процесса,совокупность целей, содержания, методов и средств для достижения планируемыхрезультатов обучения;
3) процесуально-деятельностным: осуществлениетехнологического процесса, функционирование всех личностных, инструментальных иметодических педагогических средств».
Именно последний подход лежит в основе технологиигуманитаризации школьного математического образования.
Основываясь на исследованиях И.Д. Пехлецкого, введёмпонятийный аппарат, необходимый для раскрытия технологии гуманитаризациишкольного математического образования.
Математические объекты – «все математическиепонятия, имеющие самостоятельный смысл и употребление». Утверждения оматематических объектах и их свойствах, различные связи между объектами иутверждениями будем называть логическими конструкциями.
Гуманитарные объекты представляют собой элементыразличных систем гуманитарной культуры – истории, музыки, искусства,архитектуры, скульптуры, различных жанров литературы и т.д.
Изучение математических объектов и логическихконструкций происходит на когнитивном уровне; изучение же гуманитарных объектов– преимущественно на эмоционально- ценностном, чувственном уровне.
Составные объекты – органически взаимосвязанныемежду собой математические объекты, логические конструкции и гуманитарныеобъекты. Взаимосвязи между перечисленными объектами и конструкциямиосуществляются в большей степени на эмоционально-ценностном уровне, хотя и безучастия когнитивных процессов.
При описании технологии гуманитаризации школьногоматематического образования будем использовать следующие структурныекомпоненты:
1. Общая характеристика технологиигуманитаризации школьного математического образования, её цели и основныепринципы.
2. Дидактические усовершенствованиеи реконструирование содержания математического образования при реализациитехнологии гуманитаризации.
3. Деятельностное ипрограммно-методическое обеспечение технологии школьного математическогообразования.
1.2.Основные положения теории гуманитаризации
Название технологии: технология гуманитаризации школьногоматематического образования. Данное название отражает характер основныхнаправлений модернизации системы обучения.
Идентификация:
- по уровню применения данная технология обученияявляется частно-предметной, так как раскрывает особенности обучения математике;
- по отношению к ребёнку – личностно-ориентированная;
- по направлению модернизации традиционной системыобучения данная технология основывается на конкретной реализации идеигуманитаризации школьного математического образования, раскрытой ранее.
Концептуальная часть:
Позиция ребёнка. Рассмотрим законы высшей нервной деятельности,объясняющие процессы познания. Первый закон взаимной индукции. Суть его вследующем: «если возбуждаются одни участки головного мозга, то в других в этовремя идут процессы торможения». Например, когда решается математическая задача,все знания о литературе, театре как бы «замирают». Второй закон – закондинамического стереотипа: «при частых, постоянных раздражениях одних участковголовного мозга и столь же постоянных раздражениях других происходит устойчивоераспределение очагов возбуждения. М.Л. Портнов подмечает важную закономерность:«чем больше очагов возбуждения, тем больше их может появиться – возможностиголовного мозга во много раз выше, чем кажется».
Описанные характеристики познавательного процесса дают возможностьпредположить, что обучение учащихся будет носить более продуктивный характер,если при изучении дисциплин естественно-математического цикла мы по возможностибудем множественно воздействовать на различные участки головного мозга,используя органические гуманитарных и негуманитарных дисциплин.
Сформулируем цели положенные в основу технологии гуманитаризациишкольного математического образования.
Учебные цели в когнитивной области:
— формировать умения учащихся строить новые сочетания математическихзнаний со знаниями, полученными из системы гуманитарной культуры;
— формировать умения учащихся транслировать математический материал изодной формы выражения в другую, т.е. умение интерпретировать ученикомматематический материал с помощью гуманитарных объектов;
— формировать умения учащихся использовать изученный математический игуманитарный материал в конкретных условиях и новых ситуациях, отыскивать точкисоприкосновения математической и гуманитарной культур.
Заметим, что, сформулированные выше цели не касаются теоретическихоснов математики, поскольку задача предлагаемой технологии гуманитаризации – невносить изменения в действующую систему математических знаний, а обогащать еёгуманитарными объектами.
Учебные цели в эмоционально-ценностной области:
— формировать восприятие учащимися целостной картины мира, а неразделённой на различные области человеческого познания;
— формировать эмоционально-личностное отношение учащихся к такимсоставным частям культуры, как математика и гуманитарные науки;
— способствовать концептуализации ценностных ориентаций учащихся ксоставным частям культуры, организации собственной системы ценностей. Этопредполагает, что в результате реализации технологии ученик имеет не простоопределенные знания, принадлежащие к различным системам культуры, но и свободноориентируется в категориях этих систем, имеет собственное мнение, объективнооценивает свои возможности и «строить жизненные планы в соответствии сосознанием им самим собственных способностей, интересов и убеждений»;
— развивать правополушарные и левополушарные возможности учащихся какодного из условий формирования необходимого уровня «усвоения ценностей, накотором они устойчиво определяют поведение индивида, входят в привычный образдействий, входят в привычный образ действий, или жизненный стиль».
Учебные цели в психомоторной области сводятся в основном к формированиюединой речевой культуры. Заметим, что мы не формируем навыки, а несколькоуглубляем их, формируя определенные качества речи, т.е. ее содержательность,доступность, логичность, выразительность, действенность.
1.3. Принципы, положенные воснову технологии гуманитаризации школьного математического образования
При построении технологии гуманитаризации школьного математическогообразования осуществляется системный подход. Элементами этой системы являютсяцели, содержание школьного математического образования, раскрывающее связи спредметами гуманитарного цикла, законы высшей нервной деятельности, объясняющиепроцессы познания, методы и средства обучения. Фунционирование указанныхэлементов системы должно основываться на следующих основополагающих принципах:принципах гуманизации; принцип личностно-ориентированного подхода; принципцелостности; принцип выделения основной структуры системы; принципорганичности.
Остановимся подробнее на принципах, положенных в основу технологии школьного математического образования, подчеркивая еще раз, что эти принципыдолжны представлять технологию как педагогическую систему с необходимымперечнем принципов, присущих системному подходу.
Принцип целостности
Этот принцип является одним из наиболее важных. Это означает, что приразработке педагогической системы необходимо добиваться гармоническоговзаимодействия всех компонентов педагогической системы как по горизонтали (врамках одного периода обучения – четверти, учебного года), так и по вертикали –на весь период обучения.
Принцип выделения основной структуры системы
Важность данного принципа обосновывается в теории систем И.Д.Пехлецкого. Исследователь считает, что это один из основных принципов, которыедолжен «наложить свой отпечаток на все фундаментальные определения и понятиятеории системы». Причем смысл принципа выделения основной структуры системысостоит в том, что «всякое научное рассмотрение, анализ или моделированиедостаточно сложной, абстрактной или реальной системы не возможны без процессавыдвижения на первый план некой части структуры системы.
Конкретизируя все сказанное на примере технологии гуманитаризациишкольного математического образования, т.е. конкретной педагогической системы.С позиций целей исследования основной частью такой педагогической системыбудет являться математическое содержание. Ко всей же остальной структурепедагогической системы относятся гуманитарные и составные объекты.
Принцип органичности
Принцип органичности означает, что при разработке технологиигуманитаризации школьного математического образования необходимо достичьорганичного взаимодействия между математическими и гуманитарными системамикультуры. Гуманитарные объекты должны естественным образом включаться вматематическое содержание. Этот принцип должен найти отражение, при созданиисоставных объектов, а также всеми компонентами технологии гуманитаризации.
Технология гуманитаризации
школьного математического образованияОСНОВНЫЕ КОМПОНЕНТЫ
Концептуальный
· позиция ребёнка: множественное воздействие на различные участки головного мозга;
· учебные цели в когнитивной, эмоционально-ценностной, психомоторной областях;
· принципы: выделения основной структуры системы; целостности; органичности.
Содержательный
· математические объекты и логические конструкции;
· гуманитарные и составные объекты.
Деятельностный
· конкретизируются методики формирования мотивации учащимися;
· характеризуются четыре стадии учебно-познавательной деятельности учащихся: репродуктивная, алгоритмическая, эвристическая и творческая.
Программно-методическое обеспечение:
· использование различных видов уроков: от классического до нетрадиционного;
· гуманитаризированные учебники, учебно-методическая литература и др.
Глава II«Практическоеприменение
элементов технологии гуманитаризации»
2.1 Анализпрограммы
Изучениепрограммного материала по теме «Дробные числа» дает возможность учащимся:
- овладетьдостаточно развитой техникой вычислений с рациональными числами; овладетьнавыками устных вычислений;
- овладетьпервоначальными навыками работы с приближенными значениями;
- усовершенствоватьумения решать, в том числе текстовые задачи на дроби, проценты;
- ознакомить снекоторыми историческими сведениями о возникновении и развитии чисел.
Уровеньобязательной подготовки определяется следующими требованиями:
- знать иправильно употреблять термины, связанные с дробными числами: дробное,обыкновенная дробь, десятичная дробь; уметь переходить от одной формы записичисел к другой;
- уметьсравнивать дробные числа;
- уметьизображать дробные числа на координатной прямой и определять координату точки;
- уметьвыполнять сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в квадрат и куб обыкновенные и десятичные дроби; приобрести навыки устных вычислений; уметьнаходить значение числовых выражений;
- округлятьдесятичные дроби;
- решатьосновные задачи на дроби и проценты.
Наизучение темы «Дробные числа» программой отводится в общем 64 ч в 5 кл. и 58 чв 6 кл. За это время учащиеся должны овладеть всеми знаниями и умениями, представленнымивыше. Однако, помимо знаний обязательного материала они могут получить идополнительный материал, представленный информацией из области другихпредметов: истории, литературы, географии и др.
2.2 Особенностисодержания и структуры курса
Для всего курса характерны опора на здравый смысл иинтуицию, развития умения применять математику в реальной жизни, знакомство сматематикой как частью общечеловеческой культуры. Содержание курса развивается“по спирали”, что позволяет неоднократно возвращаться к знакомому материалу нановом уровне, формировать системные знания; при этом последовательнореализуется принцип “разделения трудностей”.
В 5-6 классахусилено внимание к арифметике и арифметическим (т.е. логическим) методамрешения задач. Существенно повышена роль геометрического материала: здесьпредставлена наглядная геометрия, направленная на развитие образного мышления,пространственного воображения, изобразительных умений.
Методическийаппарат учебников. Учебники включают в себя как объяснительный текст, так ибогатую систему упражнений, распределенных по уровню сложности в группы Аи Б. В систему упражнений включаются советы, указания, образцырешений, интересные для учащихся формы заданий – задания с выбором ответа,задачи-исследования.
Во всех книгахприсутствует рубрика «Для тех, кому интересно» — это обязательный материал,позволяющий расширить и углубить знания учащихся. Каждую главу завершаетрубрика «Задания для самопроверки», в которой представлены обязательныерезультаты обучения.
Рассмотрим ипроанализируем содержание и оформление основных учебников используемых внастоящее время в работе учителями школ.
Большинствоучителей используют учебники: Нурка Э. П. (А. Е. Тельгмаа), Виленкина (Чеснокова, Шварцбурга, Жокова).
Выяснимосновные содержания этих учебников:Нурк Виленкин 5 класс
1. Нат. числа, «+» и “-“
2. «x» и «:» нат. Чисел
3. Углы, треугольники и прямоугольники.
4. Дробные числа, сложение и вычитание десятичных дробей.
5. «x» и «:» десятичных дробей.
1. Натуральные числа.
2. Дробные числа. 6 класс
1. Делимость нат. чисел.
2. Обыкновенные дроби, «+» и «-»
3. «x» дробей.
4. «:» дробей, пропорции.
5. Положительные и отрицательные числа, система координат.
6. Действия с рациональными числами.
1. Обыкновенные дроби.
2. Рациональные числа.
Рассмотримособенности приведенных учебников и сравним их содержание.
Системауправлений и заданий:
1.Нурк содержит два уровня:
А– низкий, В – выше, * — нестандартные задания. Присутствуют задания наповторение. В конце учебника – курс повторения по всем темам этого учебника изадачи для любителей математики. Система упражнений разнообразная иразноуровневая.
Такжев учебнике есть справочный материал: на обложках формулы площадейпрямоугольника и квадрата; объема прямоугольника, параллелограмма, куба;сложение и вычитание обыкновенных дробей; проценты; математический алфавит,таблица простых чисел.
Ккаждой теме автором подобран исторический материал, даны темы рефератов,указаны источники.
2)Виленкин. Содержит: / — правила,? – вопросы к упражнениям, К – упражнениядля работы в классе, П – повторение, Д – домашние задания, @ — историческийматериал, Г – упражнения для правильного говорения, М – нестандартные задания.Есть также ответы на задания. Набор упражнений очень большой.
Присутствуетдополнительный материал в виде: латинского алфавита, формул объемов и площадей,и метрических соотношений, таблица простых чисел. Исторический материал.
Т.О. Можно сделать вывод по основам рассмотрим выше: самое удачное оформление уучебников Нурка и Виленкина; набор разноуровневых заданий – Нурк; удобен вработе для родителей – Нурк; теория лучше дана у Нурка и Виленкина.
Историческийматериал приведен в достаточном количестве только у Виленкина, но содержитсятакже и у Нурка.
Отдельнохотелось бы рассмотреть содержание учебников Дорофеева, внедряемых в практику с1995 года. Для всего курса характерны опора на здравый смысл и интуицию,развитие умения применять математику в реальной жизни, знакомство с математикойкак частью общественной культуры. Содержание курса развивается «по спирали», чтопозволяет неоднократно возвращаться к знакомому материалу на новом уровне,формировать системные знание; при этом последовательно реализуется принцип«разделение трудностей».
В5-6 классах усилено внимание к арифметике и арифметическим методам решения задач.Существенно повышена роль геометрического материала: здесь представленанаглядная геометрия, направленная на развитие образного мышления,пространственного воображения, изобразительных умений.
Вучебниках последовательно вводиться новая для нашей школысодержательно-методическая линия «Анализ данных», включающая комбинаторику,элементы теории вероятностей и статистику. Эта линия органично сочетается страдиционными вопросами курса и существенно усиливает его практическое иприкладное звучание.
Принятыепри построении курса методические подходы направлены на то, чтобы обеспечитьпонимание и осознанность при изучении материала, облегчить учащимся запоминаниеинформации, сформировать у них системные знания, помочь овладеть наборомразнообразных стратегий решения задач. К ним относятся:
- приоритетразвивающей функции обучения, это меняет акценты впреподавании, явно выдвигает задачу формирования интеллектуальнойвосприимчивости, гибкости, независимости мышления;
- вниманиек мотивационной стороне обучения, что способствуетактивизации познавательной деятельности, повышению интереса к изучаемомуматериалу;
- организацияэтапа содержательно-практической деятельности как исходного при введении новыхпонятий позволяет создать у учащихся запас содержательных представлений,служащих основой для последующей формализации, способствует лучшему пониманию,даёт возможность школьникам открывать новые знания;
- целенаправленноеобучение приёмам и способам рассуждений, обогащающееинтеллектуальный багаж школьников и эффективно развивающее их мышление;
- реализацияидеи уровневой дифференциации, что позволяетработать с учащимися разного уровня подготовки и способностей, выстраиватьиндивидуальные траектории обучения;
- личностно-ориентированныйстиль изложения, который выражается в живом и эмоциональном языке, широкомиспользовании диалога и обращений к ученику, привлечении совместных сюжетов приизложении теории и в задачном материале.
Учебникивключают в себя как объяснительный текст, так и богатую систему упражнений,распределённых по уровням сложности в группы А и Б. В систему упражненийвключаются советы, указания, образцы решения, интересные для учащихся формызаданий — задания с выбором ответа, задачи-исследования.
Вовсех книгах присутствует рубрика «Для тех кому интересно» — это необязательныйматериал, позволяющий расширить и углубить знания учащихся. Каждую главузавершает рубрика «Задания для самопроверки», в которой представленыобязательные результаты обучения.
Рассмотреввсе эти учебники можно сделать вывод, что в работе желательно использоватьучебники Виленкина и Дорофеева (возможно их параллельное применение).
2.3Методикаизучения дробных чисел
В практике преподавания основным методом изучения дробныхчисел являются поясняющие описания, которые опираются на жизненный опыт изнания учащихся. Поясняющие описания не заменяют определений, понятий, а лишьпоказывают целесообразность их введения.
Введение дробных чисел в школьном курсе связывается снеобходимостью более точного измерения величин, с делением чисел. В связи сэтим целесообразно познакомить учащихся с возникновением дробных чисел впроцессе практической деятельности человека, а именно в процессе измерения.Краткая историческая справка поможет учащимся лучше овладеть данным материалом.Содержание её может быть примерно следующим.
Измерение, так же как и счет, имело место у всех народов ссамых древних времён; измерение было непосредственно связано со счетом.Потребность в более точном измерении явилась причиной того, что единицы мерстали раздроблять на две, на три и более частей. Этим более мелким мерам давалиособые наименования, и в дальнейшем величины измерялись уже этими более мелкимиединицами, однородными с ними. Так возникли первые конкретные дроби.Отвлеченных дробей в это время еще не знали.
Длинен был путь перенесения названия какой-либо части одноймеры на такую же часть другой меры, это был путь создания абстрактного понятиядроби.
Так, например, в России была земельная мера четверть иболее мелкая – получетверть, которая называлась осьмина. Это были конкретныедроби, единицы для измерения площади земли, но осьминой нельзя было измеритьвремя или скорость и др. Значительно позднее осьмина стала означать отвлеченнуюдробь 1/8, которой можно выразить любую величину. Дроби первоначально в русскихрукописях назывались долями, затем ломаными числами. При записи числаиспользовалась горизонтальная черта.
Довольно долгим был путь и к введению десятичных дробей. Вдревности некоторые народы пользовались шестидесятеричной системой счисления идроби записывались в шестидесятеричной системе так же, как в настоящее времязаписывают наши десятичные дроби. Римляне пользовались двенадцатеричнымидробями.
В 16 – 17 вв. в связи с развитием общества, с развитиемнауки и техники возникла необходимость облегчить громоздкие вычисления.Внимание математиков было обращено к десятичным дробям, к десятичной системемер. В России учение о десятичных дробях впервые было изложено в «Арифметике»Магницкого, где были приведены и десятичные меры длины и площади. В этой жеработе излагается и учение о шестидесятеричных дробях (отголосок вавилонскойшестидесятеричной системы счисления).
Учащимся нужно также показать, что дроби применяются нетолько в математике, но и, например, в музыке.
Все знают, что Пифагор был учёным и, в частности, авторомзнаменитой теоремы. А то, что он был еще и блестящим музыкантом, известно нетак широко. Сочетание этих дарований позволило ему первым догадаться осуществовании природного звукоряда. Надо было ещё доказать это. Пифагорпостроил для своих экспериментов полуинструмент-полуприбор — «монохорд». Этобыл продолговатый ящик с натянутой поверх него струной. Под струной, на верхнейкрышке ящика, Пифагор расчертил шкалу, чтобы удобнее было зрительно делитьструну на части. Множество опытов проделал Пифагор с монохордом и, в концеконцов, описал математически поведение звучащей струны. Работы Пифагора легли воснову науки, которую мы называем сейчас музыкальной акустикой.
Оказывается, для музыки семь звуков внутри октавы такая жеестественная вещь, как десять пальцев на руках в арифметике. Уже тетива самогопервого лука, колеблясь после выстрела, давала готовым тот набор музыкальныхзвуков, которыми мы почти без изменения пользуемся до сих пор.
С точки зрения физики тетива и струна — одно и то же. Да исделал человек струну, обратив внимание на свойства тетивы. Звучащая струнаколеблется не только целиком, но одновременно и половинками, третями,четвертями и т.д. Подойдём теперь к этому явлению с арифметической стороны.Половинки колеблются вдвое чаще, чем целая струна, трети — втрое, четверти —вчетверо. Словом, во сколько раз меньше колеблющаяся часть струны, во столькоже раз больше частота её колебаний. Допустим, вся струна колеблется с частотой24 герца. Высчитывая колебания долей вплоть до шестнадцатых, мы получим рядчисел, показанных в таблице. Эта последовательность частот так и называется —натуральный, т.е. природный, звукоряд.1
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> 24 48 72 96 120 144 168 192 216 240 264 288 321 336 360 384
Согласно программе и учебнику по математике формированиепонятий дроби начинается с умения получать доли при делении какой-либо величинына несколько равных частей.
Учащимся предлагается разделить на равные части знакомыепредметы, такие, как арбуз, дыня, пирог и др., и выделить одну из частей, однуиз долей. Такие же по характеру упражнения выполняют учащиеся с использованиемгеометрического материала: деление отрезка, круга, квадрата на равные части, наравные доли и взятие одной такой части, одной доли. От выделения одной части ивзятию нескольких таких частей.
Учащимся сообщается, что для выражения одной или несколькихдолей предмета нужны новые числа, а именно дроби. Далее приводятся примерыобыкновенных дробей и даётся форма записи обыкновенной дроби, проводитсяобучение чтению. Учащиеся должны помнить: числитель дроби — количественноечислительное женского рода (одна, две и т.д.), а знаменатель — порядковоечислительное (седьмая, сотая, двести тридцатая и т.д.).
Например, /> — однапятая; /> — две шестых; /> — семь десятых;
/> — восемьдесят три сто пятьдесятвторых. В процессе работы над закреплением понятия дроби необходимо познакомитьучащихся с происхождением слова «дробь», ввести термины «числитель»,«знаменатель». Это можно сделать следующим образом.
В начале урока учащимся можно предложить три ребуса:
— Дробь />
— Числитель />
— Знаменатель />
После их разгадывания можно сообщить им следующие историческиесведения.
С древних времён людям приходилось не только считатьпредметы, но и измерять длину, время, площадь, вести расчеты за купленные илипроданные товары.
Не всегда результат измерения или стоимость товараудавалось выразить натуральным числом. Приходилось учитывать и части, долимеры. Так появились дроби.
В русском языке слово дробь появилось в VIII веке, онопроисходит от глагола «дробить» — разбивать, ломать на части. В первыхучебниках математики (в VII веке) дроби так и назывались — «ломаные числа». У другихнародов название дроби также связано с глаголами «ломать», «разбивать»,«раздроблять».
Современное обозначение дробей берет свое начало в ДровнейИндии; его стали использовать и арабы, а от них в XII-XIV веках оно былозаимствовано европейцами. Вначале в записи дробей не использовалась дробнаячерта; например, числа />, /> записывались так: />, />. Черта дроби сталапостоянно использоваться лишь около трехсот лет назад. Первым европейскимученым, который стал использовать и распространять современную запись дробей,был итальянский купец и путешественник, сын городского писаря Фибоначчи (Леонардо Пизанский). В1202 г. он ввел слово «дробь». Названия «числитель» и «знаменатель» ввел в XIII векеМаксим Плануд — греческий монах,ученый-математик.
Десятичные дроби вводятся в связи с рассмотрениемпозиционной системы. Десятичная дробь появляется как частный случайобыкновенной дроби, как способ записи дробей со знаменателем 10ⁿ (1/10,3/1000 и др.), второе условие относится к форме записи (0,1; 0,003 и др.).
Мотивацию их введения можно связать с тем, что в науке ипромышленности, в сельском хозяйстве при расчетах десятичные дроби используютсягораздо чаще, чем обыкновенные.
Это связано с простотой правил вычислений с десятичнымидробями, похожестью их на правила действий с натуральными числами. Правилавычислений с десятичными дробями описал знаменитый ученый средневековья Аль-Каши Джемшид ибн Масуд, работавший вгороде Самарканде в обсерватории Улугбека в начале XV века.
Записывал Аль-Каши десятичные дроби так же, как принятосейчас, но он не пользовался запятой: дробную часть он записывал краснымичернилами или отделял вертикальной чертой.
Но об этом в Европе в то время не узнали, и только через150 лет десятичные дроби были заново изобретены фламандским инженером и ученым Симоном Стевином. Стевин записывал десятичные дроби довольно сложно.
Например, число 24,56 выглядело так 2456 или />/> —вместо запятой нуль в кружке (или 0 над целой частью), цифрами 1, 2, 3,…,помечалось положение остальных знаков.
Запятая или точка для отделения целой части сталииспользоваться с XVII века.
В России учение о десятичных дробях изложил Леонтий Филиппович Магницкий в 1703 году впервом учебнике математики «Арифметика, сиречь наука числительная».
При изучении действий с дробями огромный гуманитарныйпотенциал кроется в содержании упражнений, которые можно использовать науроках:
— связанные с литературой:
Задача 1. Тринеразлучных друга Винни-Пух, Кролик и Пятачок решили узнать свой вес. Но шкалавесов до 20 килограммов была повреждена и показания по ней прочитать непредставлялось возможным. Поэтому Винни-Пух взвесился сначала с Кроликом:получилось 22,4 кг; затем с Пятачком, получилось 23,5 кг; а затем онивзвесились все вместе получилось 26,7 кг. Какова масса каждого из них вотдельности?
Древнеиндийская задача.
Естькадамба-цветок.
Наодин лепесток
Пчелокпятая часть опустилась.
Рядомтут же росла
Всяв цвету сименгда,
И на ней третья часть поместилась.
Разностьих ты найди,
Еётрижды сложи,
Накутай этих пчел посади.
Лишьодна не нашла
Себеместа нигде,
Вселетала то взад, то вперёд и везде
Ароматомцветов наслаждалась.
Назовитеперь мне, подсчитавши в уме,
Сколькопчелок всего здесь собралось?
Ответ:15 пчёл
Задание3. Отгадай пословицу
Выполните действия: