ВикторКулигин, Галина Кулигина, Мария Корнева, Исследовательская группа «Анализ»
Теорема о нарушении единственности решения
Теоремуо существовании и единственности решения задачи Коши можно найти в [1](стр.44...46). Логика доказательства приводит к однородному волновому уравнению(77) (см. стр.45 в [1]), решение которого должно удовлетворять нулевымначальным и граничным условиям (стр.45 в [1]). Далее идет доказательство, чторешение этого уравнения тривиальное и на основании этого делается заключение оединственности решения задачи Коши для волнового уравнения.
Оказывается,существует множество решений задачи Коши для волнового уравнения. Мы приведемдоказательство для свободного пространства (одномерный случай). Этопродиктовано следующими соображениями. Во-первых, доказательство не будетперегружено дополнительными деталями. Во вторых, доказательство этого случая ненарушает общности рассуждений и его нетрудно обобщить на случай наличияграничных условий. В третьих, нас интересуют процессы в свободном пространстве(излучение и распространение волн в электродинамике), к которым этодоказательство имеет прямое отношение.
Доказательство
Рассмотримоднородное волновое уравнение в безграничном одномерном пространстве с нулевыминачальными условиями.
/> (1)
Начальныеусловия: v = 0 и ∂v/∂t = 0 при t = 0.
Представимтеперь функцию v как сумму некоторых двух функций:v = u + f (2)
Подставимэто выражение в (1) и перенесем члены, зависящие от f в правую часть уравнения(1).
/> (3)
Мыможем выбрать и присвоить функции f определенное выражение. Пусть, например,
f= (cosπx·sinat)4, когда –1
f= 0 если x 1 и t > π/a или t
Функцияограничена f в пространстве и во времени. В этом случае уравнение (3)превращается в неоднородное волновое уравнение, правая часть которого намизвестна. Теперь мы можем сформулировать начальные условия для функции u.
Начальныеусловия:u = – f(x;0) и ∂u/∂t = – ∂f / ∂t при t = 0 (4)
Решениеуравнения (3) с начальными условиями (4) существует (см., например, [1],стр.75, выражение (24)). Следовательно, мы имеем окончательный результат –новое, нетривиальное решение однородного волнового уравнения с нулевыминачальными условиями. Запишем общее ненулевое решение однородного волновогоуравнения, удовлетворяющего задаче Коши с нулевыми начальными условиями:
/>, (5)
где/>.
Функцияf не должна быть решением волнового уравнения.
Мывидим, что второе решение существует и отлично от нуля при t>0. Такимобразом, теорема о нарушении единственности решения задачи Коши для волновогоуравнения доказана.
Применение результатов
Полученноедоказательство служит обоснованию метода получения новых решений, описанного в[2], [3] и др. статьях авторов. Оно имеет прямую связь с калибровкой решений вэлектродинамике [2], [3].
Пустьмы имеем неоднородное волновое уравнение
/>
ссоответствующими начальными условиями: v=φ(x) и ∂v/∂t=ψ(x)при t=0.
Представимрешение этого уравнения в форме (2): v=u+f.
Оставимв левой части волнового уравнения только члены, зависящие от u. Как и впредыдущем случае мы могли бы задать явный вид функции f (как говорят: «взяв еес потолка») и получить решение неоднородного уравнения. Но можно поступитьиначе. Мы можем наложить на f некоторое условие. Например, мы можемпотребовать, чтобы функция f удовлетворяла уравнению Пуассона:
∂2f/ ∂x2=F(x;t).
Еслирешение этого уравнения существует (функция F(x:t) интегрируема), то уравнениедля функции u определено и определены начальные условия задачи Коши:u=φ(x) –f(x;0) и ∂u/∂t=ψ(x)–∂f/∂t при t=0.
Такойметод построения второго решения по существу является калибровкой решения.Иными словами, мы ищем решение как сумму выражений, имеющих различнуюфункциональную зависимость от координат и времени (запаздывающие потенциалы,мгновеннодействующие потенциалы, потенциалы, удовлетворяющие уравнениютеплопроводности и т.д.) Этот метод описан и используется в работах [2], [3].
Следствия,вытекающие из отсутствия единственности решения для электродинамики весьмасущественны. Калибровочная (градиентная) инвариантность не имеет места. В общемслучае калибровка Лоренца уравнений Максвелла дает решения, отличающиеся отрешений в кулоновской калибровке [2], [3]. Однако существует важный частныйслучай, когда эти калибровки эквивалентны. Он рассмотрен в [4].
Остаетсядобавить, что для уравнений параболического типа (уравнение теплопроводности,уравнение Шредингера и др.) можно доказать аналогичную теорему. Более того,возможно, что нарушение единственности решения имеет место также для уравненийэллиптического типа (например, для задач Дирихле, Неймана и др.).
Список литературы
ТихоновА.А. и Самарский Н.Н. Уравнения математической физики. – М.: ГИФМЛ, 1954.
КулигинВ.А., Кулигина Г.А., Корнева М.В. Калибровки и поля в электродинамике. /Воронеж. Ун-т. – Воронеж, 1998. Деп. в ВИНИТИ 17.02.98, № 467 – В98.
Kuligin V.A., Kuligina G.A., Korneva M.V. Analysis of theLorentz's gauge. Canada, Montreal, 2000. – Apeiron, vol. 7, no 1...2.
КулигинВ.А., Кулигина Г.А. Корнева М.В. Однопроводные линии. / Воронеж. Ун-т. –Воронеж, 2002. Деп. в ВИНИТИ 10.06.2002, №1062 – В2002.