Оглавление
Введение
Глава 1. Теоретические аспекты использования историческогоматериала при обучении решению задач
1.1 Сущность общей методики работы над задачами
1.1.1 Арифметическая задача, виды арифметических задач
1.1.2 Общая методика работы над задачами
1.2 Специфика исторического материала
1.2.1 «Волк, коза и капуста» спустя 1200 лет
1.2.2 Из истории задач с одинаковыми цифрами
1.2.3 Из истории головоломок с неповторяющимися цифрами
1.2.4 Из истории задач о переливании жидкостей
1.3 Анализ методической литературы
Заключение
Литература
Приложение
Введение
Народная мудрость гласит, что, незная прошлого, невозможно понять подлинный смысл настоящего и цель будущего.Это, конечно, относится и к математике.
В русской математической литературе,в учебниках всегда уделялось большое внимание занимательным старинным задачамразличных народов и эпох, так как считалось, что элемент занимательностиоблегчает обучение, развивает познавательную активность. К занимательнымзадачам мы относим задачи с интересным содержанием или интересными способамирешения, математические игры, задачи, касающиеся интересных свойств чисел игеометрических тел.
В современной педагогическойдеятельности происходит полемика о том, как учить детей решать задачи, какзаинтересовать их в столь сложном процессе.
Некоторые педагоги выделяютиспользование исторического материала с одной стороны, как способ развитияпознавательной активности школьников, но с другой стороны вопросу использованияисторического материала в школе уделяется недостаточное внимание.
Данное противоречие формируетпроблему необходимости использования исторического материала при развитиипознавательной активности школьников. Если проблему не решать, то у ребёнкаразвивается пассивное отношение к решению задач, что в итоге может привести квозникновению следующих трудностей: неумение анализировать задачи, потеряинтереса к решению задач.
Проблему развития познавательнойактивности школьников можно решать различными способами, методами, приёмами,технологиями. В нашем исследовании мы не будем затрагивать огромный пласт технологийразвития познавательной активности, а остановимся на одном способе и на одномвозрастном периоде.
Исходя из выше изложенного теманашего исследования следующая: «Исторический материал, как одно из средствразвития познавательной активности младших школьников на уроке математике».
Цель нашей работы: провеститеоретическое исследование в области развития познавательной активности младшихшкольников на уроке математике через использование исторического материала.
Объектом исследования являетсяпроцесс развития познавательной активности младших школьников, а предметом — использование исторического материала на уроках математике.
Для того чтобы добиться целиисследования, мы ставим перед собой следующие задачи:
1. Изучить методыформирования познавательной активностишкольников.
2. Выявитьособенности исторического материала, изучаемого на уроке математике в начальной школе.
3. Разработатьрекомендации для учителя в его работе с заданиямиисторико-математического характера.
4. Разработатьфрагмент урока математики с использованиемисторического материала.
Таким образом, эффективность развитияпознавательной активности младших школьников на уроке математики будет выше,если использование исторических задач.
Глава 1. Теоретические аспекты развития познавательнойактивности младших школьников на уроке математике через использованиеисторического материала
1.1 Понятие познавательной активности учащихся
1.1.1 Движущие силы учения
Мотивация (от лат. «двигать» ) – общее название дляпроцессов, методов, средств побуждения ученика к активной познавательнойдеятельности. Управляют мотивами совместно учителя и ученики. Имея в видупервых, говорим о мотивации обучения, а с позиций ученика следует вести речь омотивации учения. Мотивация как процесс изменения состояний и отношенийличности основывается на мотивах, под которыми понимаются конкретныепобуждения, причины, заставляющие ученика учиться, действовать, совершатьпоступки. В роли мотивов выступают во взаимосвязи потребности и интересы,стремления и эмоции, установки и идеалы. Поэтому мотивы — очень сложныеобразования. Мотивы, а их много, всегда взаимосвязаны, и в педагогическом процессемы имеем дело не с одним действующим мотивом, а со многими.
Классифицировать мотивы, действующие в системе обучения,можно по различным критериям. К видам мотивов можно отнести познавательные и социальныемотивы. Если у школьника в ходе учения преобладает направленность на содержаниеучебного предмета, то можно говорить о наличии познавательных мотивов.
Познавательные мотивы могут иметь разные уровни. Так,познавательные мотивы имеют уровни: широкие познавательные мотивы (ориентацияна овладение новыми знаниями – фактами, явлениями, закономерностями),учебно-познавательные мотивы (ориентация на усвоение способов добывания знаний,приёмов самостоятельного приобретения знаний), мотивы самообразования(ориентация на приобретение дополнительных знаний и затем на построениеспециальной программы самосовершенствования).
Мотивы названных видов и уровней могут проходить в своёмстановлении следующие этапы: актуализация привычных мотивов, постановка наоснове этих мотивов новых целей, положительное подкрепление мотива приреализации этих целей, появление на этой основе новых мотивов, соподчинениеразных мотивов и построение их иерархии, появление у ряда мотивов новых качеств(самостоятельности, устойчивости и др.) .
Качества мотивов могут быть содержательными, связанными схарактером учебной деятельности (осознанность, самостоятельность, обобщенность,действенность, доминирование в общей структуре мотивации, степеньраспространения на несколько учебных предметов и др.), и динамическими,связанными с психофизиологическими особенностями ребёнка (устойчивость мотива,его сила и выраженность, переключаемость с одного мотива на другой,эмоциональная окраска мотивов) и т. д.
Мотивы делятся на внешние и внутренние. Первые исходят отпедагогов, родителей, класса, общества в целом и приобретают форму подсказок,намёков, требований, указаний, понуканий или даже принуждений. Они, какправило, действуют, но их действие нередко встречает внутренние сопротивлениеличности, а поэтому не может быть названо гуманным. Необходимо, чтобы самученик захотел что-то сделать и сделал это. Истинный источник мотивациичеловека находится в нём самом, но его нужно активизировать.
Составить первичное представление о преобладании и действиитех или иных мотивов учения можно, наблюдая отношение школьника к учению.Исследования позволяют выделить несколько ступеней включенности ребёнка впроцесс учения: отрицательное, безразличное и положительное.
В каждом классе постепенно выделяются конкретные типыотношения детей к учению, на которые прежде всего следует ориентироватьсяучителю. Наиболее распространён первый тип – хорошие исполнители ( «слушалки иотвечалки» ). Они старательны, но безынициативны. Ведущий мотив их деятельности– опосредованный интерес: обрадовать родителей, завоевать авторитет в классе,заслужить похвалу учителя. Второй тип – дети с интеллектуальной инициативой:они имеют собственное мнение, избегают подсказок, стараются работатьсамостоятельно, любят сложные задания. Третий тип – дети, у которых проявляетсяособое отношение к напряженной учебной деятельности. Они активны, хорошосоображают, но думают медленно, а потому пребывают всё время в напряжении.Требуют индивидуального подхода. Четвёртый тип – дети с заниженнымиинтеллектуальными способностями. Они не могут самостоятельно выполнять учебныезадания, находятся в подавленном состоянии или, наоборот, демонстрируютбесшабашность. Главное для них, чтобы учитель их не заметил. Причины здесьразные: незрелость ребёнка, слабая дошкольная подготовка. Наконец, в каждомклассе есть небольшая группа детей, которых объединяет отрицательное отношениек учению. Дети не могут освоить школьную программу по причине интеллектуальнойотсталости, глубокой запущенности.
Из этого следует, что, работая с различными группами детей,нужно ставить разные цели. Наиболее значимой для эффективной учебнойдеятельности является мотивация, обусловленная интеллектуальной инициативой ипознавательными интересами.
Отношение школьников к учению учителя обычно характеризуетсяактивностью. Активность определяет степень (интенсивность, прочность)«соприкосновения» ученика с предметом его деятельности.
В структуре активности выделяют следующие компоненты:
— готовность выполнять учебные задания;
— стремление к самостоятельной деятельности;
— сознательность выполнения заданий;
— систематичность обучения;
— стремление повысить свой личный уровень и др.
С активностью непосредственно сопрягается ещё одна важнаясторона мотивации учения школьников – самостоятельность, связанная сопределением объекта, средств деятельности, ее осуществление самим учеником безпомощи взрослых и учителей. Познавательная активность и самостоятельностьшкольников взаимосвязаны: более активные школьники, как правило, болеесамостоятельны.
Управление активностью школьников традиционно называютактивизацией. Ее можно определить как постоянно текущий процесс побуждения кэнергичному, целенаправленному учению, преодолевание пассивной и стереотипнойдеятельности, спада и застоя в умственной работе. Главная цель активизации –формирование активности учеников, повышение качества учебно-воспитательногопроцесса. Педагогическая практика использует различные пути активизации,основной среди них – разнообразие форм, методов, средств обучения, выбор такихих сочетаний, которые в возникших ситуациях стимулируют активность исамостоятельность школьников.
Наибольший активизирующий эффект на уроках дают ситуации, вкоторых ученики должны:
— отстаивать свое мнение;
— принимать участие в дискуссиях и обсуждениях;
— задавать вопросы своим товарищам и учителям;
— рецензировать ответы товарищей;
— оценивать ответы и письменные работы товарищей;
— помогать отстающим;
— объяснять более слабым ученикам непонятные места;
— самостоятельно выбирать посильные задания;
— находить несколько вариантов возможного решенияпознавательной задачи (проблемы);
— создавать ситуации самопроверки, анализа личныхпознавательных и практических действий;
— решать познавательные задачи путем комплексного примененияизвестных им способов решения.
Итак, установлено, что мотивы – это побуждение, причины,заставляющие ученика учиться, действовать, совершать поступки. В обученииодновременно действует множество мотивов. Представление о преобладании идействии тех или иных мотивов учитель получает, наблюдая отношение школьников кучению. Знание законов мотивации – ключ к решению большинства школьных проблем.
задача математика арифметическая исторический
1.1.2 Познавательный интерес младших школьников
Одним из постоянных сильнодействующих мотивов учения являетсяинтерес. Интерес (от лат. «имеет значение, важно») – реальная причина действий,ощущаемая учеником как особо важная. Интерес можно определить как формупроявления познавательных потребностей, что выражается в стремлении к познаниюобъекта или явления, овладении определенным видом деятельности. Познавательныйинтерес выражается в эмоциональном отношении школьника к предмету изучения.Л.С.Выготский пишет: «Интерес – как бы естественный двигатель детскогоповедения, он является верным выражением инстинктивного стремления, указаниемна то, что деятельность ребенка совпадает с его органическими потребностями.Вот почему основное правило требует построения всей воспитательной системы наточно учтенных детских интересах. …Педагогический закон гласит: прежде чем тыхочешь призвать ребенка к какой-либо деятельности, заинтересуй его ею,позаботься о том, чтобы обнаружить, что он готов к этой деятельности, что унего напряжены все силы, необходимые для нее, и что ребенок будет действоватьсам, преподавателю же остается только руководить и направлять его деятельность».¹
В обучении действует множество интересов. «Весь вопрос в том,- продолжает Л. С. Выготский, — насколько интерес направлен по линии самогоизучаемого предмета, а не связан с посторонним для него влиянием наград,наказаний, страха, желания угодить и т. п. Таким образом, правило заключается в том, чтобы не только вызвать интерес, но чтобыинтерес был как должно направлен. Наконец, третий, и последний, выводиспользования интереса предписывает построить всю школьную систему внепосредственной близости к жизни, учить детей тому, что их интересует,начинать с того, что им знакомо и естественно возбуждает их интерес».¹
Установлены общие закономерности действия интереса вобучении. Первая – зависимость интересов учеников от уровня и качества ихзнаний, сформированности способов умственной деятельности. Понимать её следуеттак, что чем больше знаний у ученика имеется по определенному предмету, темвыше его интерес к этому предмету. И наоборот. Вторая – зависимость интересовшкольников от их отношения к учителям. С интересом учатся у тех педагогов,которых любят и уважают. Сперва педагог, а потом его наука – зависимость,которая проявляется постоянно.
Проблема интереса не новая в педагогике. Над его сущностьюразмышляли ученые разных эпох. Так Л. А. Коменский говорил, что школа должнабыть школой радости, и один из путей создания такой школы – интерес. ФизикПаскаль утверждал: «Ученик не сосуд, который нужно наполнить, а факел, которыйнадо зажечь». К. Д. Ушинский видел в интересе основной внутренний механизмуспешного обучения.
Для формирования устойчивых познавательных интересов учительдолжен ставить перед собой следующие задачи:
1. Выявить наличиеинтересов с помощью:
— наблюдения;
— контакта с психологом;
— тестов, анкет;
— свободного выбора деятельности;
— бесед с ребёнком, с родителями.
2. Определить уровень развития интереса.
— Первый уровень – непосредственный интерес к новым фактам,явлениям, занимательным вещам; интерес ситуативный, неустойчивый.
— Второй уровень – стремление к познанию существенных свойствпредмета и явлений; интерес относительно устойчивый.
— Третий уровень – стремление к установлениюпричинно-следственных связей, использование элементов исследовательскойдеятельности; интерес устойчивый.
3. Закрепить, скорректировать, сформировать познавательныйинтерес.
Среди разнообразия путей и средств, выработанных практикойдля формирования устойчивых познавательных интересов, выделим:
— увлеченное преподавание;
— новизну учебного материала;
— историзм;
— связь знаний с судьбами людей, их открывшими;
— показ практического применения знаний в связи с жизненнымипланами и ориентациями школьников;
— использование новых и нестандартных форм обучения;
— чередование форм и методов обучения;
— проблемное обучение;
— эвристическое обучение;
— обучение с компьютерной поддержкой;
— применение мультимедиа-систем;
— использование интерактивных компьютерных средств;
— взаимообучение (в парах, в микрогруппах);
— тестирование знаний, умений;
— показ достижений обучаемых;
— создание ситуаций успеха;
— соревнование (с товарищами по классу, с самим собой);
— создание положительного микроклимата в классе;
— доверие к ученику;
— педагогический такт и мастерство педагога;
— отношение педагога к своему предмету и ученикам;
— гуманизация школьных отношений и т. д.
Даже неопытный учитель легко заметит изменение интересашкольника. Профессор А. К. Дусавицкий составил типичные «портреты»заинтересованного и незаинтересованного учеников.
«…Посмотрите, как работает ребёнок, когда ему интересно.Удовольствие буквально написано на его лице. Светятся глаза, движения легкие,свободные, быстрые. Да и как может быть иначе – ведь сейчас он раскован,раскрепощен в своих желаниях. Он делает своё дело, интересное и важное емусамому. Делает успешно! Положительная эмоция как тень сопровождает интерес, она– точный сигнал о том, что деятельность нам приятна, доставляет наслаждение.
…Мысль работает ясно, четко, откуда-то приходят решения,которые иначе как красивыми не назовёшь, настолько точно они отвечают характерузадачи. Она поглощает его целиком, всю его личность, отключает от остальногомира: ко всему остальному он в данный момент глух и слеп. И потому так труднобывает отвлечь ребёнка от выполнения других, может быть, не менее интересных иважных дел.
…Но вот ребёнок, которому неинтересно. Как он томится надкнигой, которую надо прочесть, или заданием, которое нужно обязательновыполнить. Его тело напряжено, он то ерзает, то беспокойно оглядывается посторонам, как бы ищет откуда-то спасения от немилой духовной или иной пищи. Илизастывает, погруженный в себя, как в сон, из которого его может вывести толькорезкий окрик или замечание».¹
Итак, самым важным, самым престижным мотивом учения являетсяпознавательный интерес. Это реальная причина действий, ощущаемая учеником. Интересы возникают под влиянием потребностей исуществуют в неразрывной связи с ними. Интересзависит от: 1) уровня и качества приобретенных знаний, умений, сформированностиспособов умственной деятельности; 2) отношения школьника к учителю.
1.2 Особенности историческогоматериала, изучаемого на урокахматематики в начальной школе
1.2.1 «Волк, коза и капуста» спустя1200 лет
В современной школе остро стоитвопрос о присутствии старинных занимательных задач в учебниках по математике. Вразличных математических монографиях есть страницы, посвященные историивозникновения знаменитых задач, доступных учащимся старших классов1.Однако практически нет работ, из которых учитель начальной школы мог быполучить исчерпывающую информацию о не менее известных старинных головоломках,представляющих интерес для учеников 1—4 классов.
Во многих учебниках они практическиотсутствуют. Но в учебниках по математике под редакцией Л. Г. Петерсона можновстретить довольно большое количество старинных занимательных задач, изучаемыхв разных классах, практически по всем темам. Проследим поразительную судьбунекоторых из таких задач. В частности в учебнике по математике 1-го класса (III часть) под редакцией Л. Г. Петерсонав уроке №27, в задании 10 встречается задача «Волк, коза и капуста», которойболее 1200 лет. Здесь она звучит следующим образом: «Некий человек должен былперевезти в лодке через реку волка, козу и капусту. В лодке может поместитьсяодин человек, а с ним или волк, или коза, или капуста. Но если оставить волка скозой без человека, то волк съест козу. Если оставить козу с капустой, то козасъест капусту. А в присутствии человека «никто никого не ел». Человек всё-такиперевёз свой груз через реку. Как он это сделал?».
В «Книге 1» труда Е. И. Игнатьева «Вцарстве смекалки, или Арифметика длявсех: Опыт математической хрестоматии: Книга для семьи и школы» приведена однаиз самых замечательных логических задач в истории человечества: «Задача 52-я.Волк, коза и капуста».
Даже если приводимая задача вамзнакома, не спешите читать решение, попробуйте, словно впервые, поискатьоптимальный маршрут и только затем ознакомьтесь с ходом решения, предлагаемымЕ. И. Игнатьевым.
Данный ход решения можно применять вначальной школе с использованием иллюстративного материала, что с большейстепенью повысит эффективность развития познавательной активности младшихшкольников.
«Решение: Ясно, что приходится начатьс козы. Крестьянин, перевезши козу, возвращается и берет волка, которогоперевозит на другой берег, где его и оставляет, но зато берет и везет обратнона первый берег козу. Здесь он оставляет ее и перевозит к волку капусту. Вследзатем, возвратившись, он перевозит козу, и переправа оканчиваетсяблагополучно».
Данная задача бессчетное число разпубликовалась в самых различных отечественных газетах, журналах и сборниках.При этом почти во всех работах упоминается только одно решение. А ведь есть иальтернативный путь! И возможно дети начнут именно с него, глядя наиллюстрации.
Вначале крестьянин опять-такиперевозит козу. Но вторым он не обязательно должен забирать волка! Можно взятькапусту, отвезти ее на другой берег, оставить там и вернуть на первый берегкозу. Затем перевезти на другой берег волка, вернуться за козой и снова отвестиее на другой берег. В этом случае количество рейсов (7) точно такое же, как и вопубликованном выше варианте.
Существование двух решений неотмечено ни в многократных переизданиях книги Е. И. Игнатьева, ни в другихсамых авторитетных источниках. В их числе: Э. Люкас «Математическиеразвлечения: Приложение арифметики, геометрии и алгебры к различного родазапутанным вопросам, забавам и играм», Н. Н. Аменицкий, И. П. Сахаров «Забавнаяарифметика: Хрестоматия для развития сообразительности и самодеятельности детей в семье и в школе», В. Арене«Математические игры и развлечения», Б. А. Кордемский «Математическаясмекалка» и многочисленные сборники последнихлет.
Это тем более удивительно, чтоналичие двух решений было указано, к примеру, еще в начале 20-х годов XX века в книге В. Литцмана «Веселое изанимательное в фигурах и числах: Математические развлечения», причем довольноподробное. Видимо, многие издатели сочли необязательным приводить оба варианта,ведь они схожи, и являются по сути «зеркальными». Но в книге для детей,особенно младшего возраста, это необходимо, иначе существенно снижаетсяпедагогическая ценность задачи!
Любопытно, что Б. А. Кордемский врешении отмечает только второй вариант и по какой-то причине не упоминаетпервый. Загадка? Загадка.
Очень интересен вопрос о временивозникновения данной головоломки и ее первоисточнике. Б. А. Кордемский в книге«Математическая смекалка» говорит вскользь: «Это… старинная задача;встречается в сочинениях VIIIвека».
Вначале может показаться, что мыимеем дело с опечаткой, ведь первая или одна из первых отечественных публикацийзадачи «Волк, коза и капуста» датирована концом XVIII века. В фондах Российской Исторической библиотекисохранилась книга «Гадательная арифметика для забавы и удовольствия». Натитульном листе значится: «На ижд. изд. И. Краен ополье кого», что означает «наиждивении издателя И. Краснопольского». В раритете на 62 страницах сорок одназанимательная задача. На с. 42 — 43 находится наша задача.
Далее приводится один вариант решения(первый).
Интересно, что в пособии болгарскихавторов «Математический фольклор» задача о волке, козе и капусте помещена враздел «Из математического фольклора других стран» с пометкой в скобках«Россия».
Вернемся к истории задачи и вопросу:прав ли Б. А. Кордемский, датировав задачу восьмым веком.
По мнению ряда историков, задачаимеет западные корни. В. Арене указывает, что авторство хрестоматийной задачиприписывается Алкуину.
В. Литцман, предлагая читателямпознакомиться с задачей о переправе в книге «Веселое и занимательное о числах ифигурах», вскользь пишет: «У Алкуина мы находим следующий рассказ».
Что же в наши дни известно об этойнезаурядной личности? Алкуин (735-804) был ученым монахом и математиком изИрландии, автором ряда учебников по математике. Король Карл Великий благоволилк ученым и всячески поощрял развитие наук. За королевским круглым столомнередко проводились состязания в решении хитроумных головоломок, в которыхАлкуин имел возможность проявить свои незаурядные способности.
Алкуин основал Палатинскую школу вТуре (созданную для детей Карла V),принимал участие в основании университета в Париже. Добавим, что Алкуин былдругом и учителем Карла Великого, его ученым советником.
Из других головоломок Алкуинанаибольшую известность получили задачи
1) о гончей и зайце,
2) о покупке свиней,
3) о трехнаследниках и 21 бочке,
4) о ста мерахпшеницы,
5) о быке.
Но только головоломка о волке, козе икапусте до сих пор поражает воображение и детей, и взрослых. Эту и некоторыедругие задачи Алкуин поместил в свой трактат «Задачи для оттачивания умаюношей», написанный, как было принято в то время, латиницей.
В копии латинского манускрипта подМХУШ легендарная задача. Сразу бросается в глаза, что решение одно — то самое,которое приводится в большинстве пособий. Но сама головоломка имеет иноеназвание: «Задача о человеке, козе и волке»!
Вот уже в нескольких изданиях приобъяснении решения данной головоломки авторы делают одну и ту же забавнуюошибку. Раскроем на с. 244 пособие Е. А. Латия «365 развивающих игр и затей длямаленьких детей», где предлагаемое решение столь фантастично, что его следуетвоспроизвести дословно: «Разгадка: сперва везут волка и капусту, оставляюткапусту на противоположном берегу; везут волка обратно и оставляют на берегу;забирают козу, переправляют на другой берег; там забирают капусту, везутобратно к волку и уже вместе их окончательно перевозят на другой берег».
Если бы волка и капусту можно быловезти в лодке одновременно, то переправа завершилась бы гораздо быстрее, чемуказано Е. А. Латием (но по условию задачи их нельзя переправлять вместе!) Ввышедшей ранее раскраске «Угадай-ка: Выпуск 4» (М: Крона, 1996) волка заменили крокодилом,козу — на пирата Крюка, а капусту — на Питера Пэна, но решение аналогичнопредыдущему: «Сначала надо перевезти Питера и крокодила...» и т.д. Очевидно,что первоисточник ошибки один и тот же.
Да, еще не все тайны замечательнойзадачи разгаданы, и не исключено, что лукавая улыбка Алкуина будет преследоватьне одно поколение авторов, составителей и читателей.
1.2.2 Из истории задач с одинаковымицифрами
Первое упоминание о подобных задачах можно найти вотечественной книге «Занимательные и увеселительные задачи, изданные ИваномБуттером». Символично, что общее количество заданий сборника представляет собойчисло, состоящее из одинаковых цифр: 111.
В 1844 году книга И. Буттера,включающая те же 111 забавных головоломок, была переиздана. В пособиях XIX века, написанных другимиотечественными авторами, аналогичных задач нам пока найти не удалось.
Из зарубежных авторов глубокоисследовал задания с одинаковыми Цифрами Г. Э. Дьюдени. В книге «520головоломок» он отмечает:
«Меня постоянно спрашивают о старойголоволомке «Четыре четвёрки». Я опубликовал её в 1899 г.Формулируетсяголоволомка так:
«Найти все возможные числа, которыеможно получить из четырёх четвёрок (не больше и не меньше) с помощью различныхарифметических знаков».
Например, число 17 можно представитьв виде
4-4 + 4:4
и т. д. Аналогичным образом можнозаписать все числа до 112 включительно, используя лишь знаки сложения,вычитания, умножения, деления.
В задаче «Двадцать четыре» Г. Э.Дьюдени указывает: «В одной книге было написано:
«Запишите число 24 с помощью трёходинаковых цифр, отличных от 8.»
Там же приводился ответ:
22 + 2 = 24.
Теперь рассмотрим наиболее интересныезадачи с одинаковыми цифрами, опубликованные в отечественных изданиях XX столетия. Самым примечательнымтрудом начала прошлого века стал трёхтомник Е. И. Игнатьева «В царствесмекалки, или Арифметика для всех: Опыт математической хрестоматии: Книга длясемьи и школы».
В «Книге 2» заданиям с одинаковым цифрамиотведён целый раздел, названный «Новый род задач». В ней приведено пятьголоволомок, которые с той поры кочуют из сборника в сборник. Снова цитируем Е.И. Игнатьева:
«Задача 47-я. Написать 2 тремяпятёрками». Один из двух ответов: (5+5): 5.
«Задача 48-я. Написать 5 тремяпятёрками».
Из десяти ответов два отвечаютрассматриваемой тематике:
5+ 5-5 и 5*(5: 5).
К ответам Е. И. Игнатьева можнодобавить также такие решения:
5:(5:5)и5-(5-5).
«Задача 49-я. Написать 31 пятьютройками. Решение,
Эта задача гораздо сложнеепредыдущих. Она не нова, и обыкновенно считают, что она имеет всего трирешения». В ряду предложенных ответов:
33-3 + 3: ЗиЗЗ-(3 + 3):3.
Хотя Е. И. Игнатьев и озаглавил раздел «Новый род задач», онпризнал, что «Задача 49» была известна ранее. Интересно, отечественных илизарубежных предшественников имел в виду автор? Во многих других работахотечественных математиков конца XIX — начала XX веков задачи с одинаковыми цифрами не упоминаются. Например,в книгах С. А. Рачинского «1001 задача для умственного счета: Пособие дляучителей сельских школ», Д. Н. Горячева, А. М. Воронца «Задачи, вопросы исофизмы для любителей математики».
Вскоре после выхода в свет книг Е. И.Игнатьева головоломки с цифрами стали популярны в России и появились настраницах пособий многих авторов и составителей. В их числе Н. Н. Аменицкий иИ.П. Сахаров, написавшие книгу «Забавная арифметика: Хрестоматия для развитиясообразительности и самодеятельности детей в семье и в школе». Если в первомиздании хрестоматии задачи с одинаковыми цифрами отсутствовали, то уже вследующем — расширенном, вышедшем в трёх выпусках, и всех последующих онипоявились. Приведём цифровые головоломки по третьему изданию, не отличающемусяот второго:
10. а) Постарайтесь изобразить число31 при помощи шести (или пяти) троек.
б) Изобразите число 100 при помощичетырёх одинаковых цифр» Воткакие ответы даны в этой книге: 10. а) 3 • 3 • 3 + 3 + 3: 3; 33 — 3 + 3: 3 и33 — (3 + 3): 3.
6) 99 + 9: 9.
Обратите внимание на то, что в задаче10.а), в отличие от книги Е. И. Игнатьева, требуется изобразить число 31 нетолько пятью, но и шестью тройками, а в ответе на головоломку 10.6), в отличиеот книги И. Буттера, после числа 99 стоит знак «плюс».
Задания из трёхтомника Е. И.Игнатьева использовал и А. В. Сатаров в четырёх брошюрах, вышедших под общимназванием «Живая арифметика в часы досуга: Пособие семье и школе для развитиясмекалки в детях». В «Книге второй» автор поместил три задачи с одинаковымицифрами: «14. Напишите 2 тремя пятёрками.
15.Напишите 5 тремяпятёрками;
16.Как изобразить 31пятью тройками?»
А в «Книге третьей» А. В.Сатаровпривёл ещё одно задание:
«Напишите число 100 четырьмяодинаковыми цифрами».
При этом, как А. В. Сатаров, так и Н.Н. Аменицкий с И. П. Сахаровым
в ответах использовали толькодействия сложения, вычитания, умножения и
деления.
1.2.3 Из истории головоломок снеповторяющимисяцифрами
Задачи с неповторяющимися цифрамивстречаем в замечательном отечественном трёхтомнике Е. И. Игнатьева «В царствесмекалки, или Арифметика для всех: Опыт математической хрестоматии: Книга длясемьи и школы». В «Книге 1» приведена:
«Задача 32-я: Написать число 100посредством девяти различных значащих цифр».
56 + 8 + 4 + 3 = 71+29=100».
Здесь Е. И. Игнатьев разъясняет: «Каквидим, в предпоследнем решении допущен некоторый «фокус». Сначала из шестиразных цифр составлено три числа, дающих в сумме 98 — число, опять-такисоставленное из двух новых цифр, и к нему прибавляется число, изображённоенедостающей цифрой 2. В сумме получается требуемое число 100. Подобно жесоставлено и последнее решение».
Интересно, что почти такую же задачуприводит И. Я. Герд в «Сборнике игр и полезных занятий для детей всех возрастовс предисловием для родителей и воспитателей», раздел «Задачи»:
«17. Составьте из цифр 1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8 и 9 такие числа, чтобы через сложение получить ровно 100».
При этом в ответе приводится толькоодно решение, немного отличающееся от указанных Е. И. Игнатьевым:
15 + 36 + 47-98 + 2=100.
Нетрудно найти и другие решения с«фокусом» помимо тех, которые присутствуют впособиях Е. И. Игнатьева и И.Я. Герда:
73 + 10 + 6 + 5 + 4 = 98 + 2= 100;
70 + 16 + 3 + 4 + 5 = 98 + 2= 100;
53 + 8 + 4 + 6 = 71+29=100;
45 + 37+ 16 = 98 + 2= 100;
58 + 3 + 4 + 6 = 71+ 29=100;
47 + 36+15=98 + 2= 100 и т. п.
Еще раньше головоломку о числе 100привёл классик занимательной математики американец С. Лойд, в его книге«Математическая мозаика».
Как видно, ответы на заинтересовавшиеголоволомки из книг Е. И. Игнатьева и С. Лойда либо очень сложны, либо невполне корректны.
Целям книги И.Г. Сухина «Занимательныематериалы» больше соответствует задание, которое привёл А. В. Сатаров вчетырёхтомнике «Живая арифметика в часы досуга: Пособие семье и школе дляразвития смекалки в детях». В «Книге второй» он опубликовал следующую задачу: «11.Составьте из первых семи цифр: 1,2, 3,4,5,6,7 такие четыре числа, чтобы присложении их получить ровно 100; при этом брать какую-либо цифру два или трираза нельзя. Ответ: Числа, удовлетворяющие условиям задачи, таковы: 2, 15, 36,47. Действительно: 2 + 15 + 36 + 47 = 100. Возможны и другие решения, например:2+ 17 + 35 + 46=100». В данной задаче очень много решений. Вот ещё некоторые изних:
5 + 12 + 37 + 46; 6+ 15 + 32 + 47; 7+16 + 35+42.
Очевидно, что иные решения легкополучить перестановкой цифр в слагаемых (т. е. вместо 35 + 42 можно написать 32+ 45 и т. д.).
1.2.4 Из истории задач о переливаниижидкостей
Практически ни один классическийсборник, связанный с играми и развлечениями, не обходится без раздела «Дележи»,причём заметное место в нём занимают задачи о переливании жидкостей из сосуда всосуд.
К сожалению, большинство подобныхстаринных головоломок сложны, и поэтому не подходят для начальной школы. Какэто ни удивительно, но вотечественных учебныхпособиях сравнительно простых заданий данного класса практически нет. А ведь неподлежит сомнению, что они помогут детям в занимательной форме быстрее освоитьдействия сложения, вычитания и попрактиковаться в комбинаторике.
Лишь одну доступную детям младшегошкольного возраста задачу находим в пособии для учителей М. Б. Балка«Организация и содержание внеклассных занятий по математике»:
«Имея 2 бидона на 4 и 5л, можно линалить из водопроводного крана в ведро 3 л. воды? (Ёмкость ведра не меньше 3 л.) Ответ: можно».
Быстрейшим путём задача решается так:Заполняется водой четырёхлитровый бидон, затем вода переливается впятилитровый, снова вода доверху наливается в меньшую ёмкость, и из меньшей 1 лотливается в большую. В результате в четырёхлитровом бидоне будет 3 литра воды.
Ещё две «водяные» головоломкиприводятся в разделе «Задачи-смекалки» пособия для учителей 1-11 классов А. А.Свечникова и П. И. Сорокина «Числа, фигуры, задачи во внеклассной работе»:
«111. Как набрать из водопровода 6лводы, пользуясь двухлитровой банкой и чайником, в который входит 5л?
Решение: Напиваем в банку 2 раза по 2 л ипереливаем в чайник, затем ещё раз напиваемв банку 2 л.
136. Как имея банку вместимостью 4 ли бидон -9 л, набрать из реки точно 7 л воды?»
Оптимальное решение второй задачи впособии не даётся. Вот оно: Два раза заполняем банку водой и переливаем по 4 лводы из банки в бидон, снова наполняем банку и добавляем 1 л из неё в бидон,после этого все 9 л воды из чайника выливаем в раковину, и в бидон переливаемоставшиеся в банке 3 л, снова заполняем четырёхлитровую банку водой из реки иполучаем требуемые (суммарные)
7л = Зл + 4л.
Непросто определить, в какомстаринном трактате впервые появились задачи на переливание жидкостей, которыеможно использовать при изучении темы «Величины» в начальной школе. Пожалуй,самая известная из них опубликована более семи веков назад. Познакомимся с ней:
«В одном средневековом сочинениивосходящим к середине 13-го столетия, предлагается такого рода задача: Господинпослал своего слугу в ближайший город купить 8 мер вина. Когда слуга, выполнивпоручение, собирался домой, ему повстречался другой слуга, которого господинтоже посла! за вином. «Сколько у тебя вина?» — спрашивает второй слуга. «8 мер», — отвечает тот.«Мне тоже нужно купить вина». «Ты уже ничего не получишь, так как в городебольше вина нет», — заявляет первый. Тогда второй слуга просит его поделиться сним вином и показывает ему имеющиеся при нём два сосуда, один в 5, другой в 3меры. Как произвести делёж: при помощи этих трёх сосудов?».
Приведём ход кратчайшего решения,включающего 7 операций переливания, обозначив «трёхмерный» сосуд, как первый,«пятимерный» назовём вторым, а «восьмимерный» — третьим.
Итак: 1. Из третьего во второй отливаем 5 мер.
2. Из второго впервый -— 3 меры.
3. Из первого втретий переливаем 3 миры.
4. Из второго в первый — 2 меры.
5. Из третьего во второй — 5 мер.
6. Из второго в первый — 1 меру.
7. Из первого в третий — 3 меры.
В результате во втором и третьемсосудах получается по 4 меры вина. Широкую известность эта задача получилапосле публикации двумя изданиями сочинения К. Баше «Игры и задачи, основанныена математике». На русском языке книга К.Баше была издана лишь в 19-м веке, даи то в сокращенном виде.
Безусловно, и до 1877 года задача ососудах встречалась на страницах отечественных книг. Указанную головоломкувстречаем в сочинении «Гадательная арифметика для забавы и удовольствия».Задача №24 имеет следующий вид:
«Сосуд, наполненный восьмью кружкамивина, разлить без меры на две равные части по сосудам, из коих в один входит 5кружек вина, а в другой 3».
Эту задачу можно включать привведении понятия «меры».
Немного позднее задачу привели вкниге «Библиотека учёная, экономическая, нравоучительная, историческая иувеселительная в пользу и удовольствие всякого звания читателей: Часть I». В разделе «Математические ифизические увеселения на стр. 261 читаем:
«Некто, имея бутыль, наполненную 8галенками хорошего вина...» и т.д.
Данная задача есть и в книге И.Буттера «Занимательные и увеселительные задачи, изданные Иваном Буттером».Усложнённые варианты головоломки находим в задачах №№ 18-22.
Публиковались ли в старину болеепростые задачи данной тематики? Ответ на этот вопрос проливают следующие строкииз работы У. Болла и Г. Коксетера «Математические эссе и развлечения»:
«… Упомянем ещё несколько задач,которые веками входили в почти каждое собрание математических развлечений…Первый пример даёт хорошее представление о целом классе подобных задач. Некто отправился к источнику за водой с двумя кувшинами ёмкостью в3 и 5 пинт. Как сможет он принести домойровно 4 пинты воды? Решение здесь несоставляет никакого труда».
Решение задачи в книге не приводится.С помощью наименьшего количества переливаний цели можно добиться следующимобразом: Заполняется водой из источника больший кувшин, Зл из него переливаютсяв меньший и выливаются. 2л воды, оставшиеся в пятилитровом сосуде, перемещаютсяв трёхлитровый. Больший кувшин вновь наполняется водой из источника, 1л из негоотливается в меньший кувшин. Теперь в пятилитровом сосуде находится ровно 4лводы.
Отметим, что именно с решением однойиз сложных задач о переливаниях, связывают раскрытие математическихспособностей выдающегося французского математика С. Д. Пуассона. В задаче,предложенной юному Пуассону, ёмкость сосудов в отличие от хрестоматийной задачисоставляла не 3, 5, 8 (мер), а 5, 8. 12 (пинт; пинта — мера жидкости):
«Некто имеет двенадцать пинт вина ихочет подарить из него половину, но у него нет сосуда в шесть пинт. У него двасосуда, один в 8, другой в 5 пинт; спрашивается: каким образом налить шестьпинт в сосуд в восемь пинт».
Быть может в школе учится будущийвыдающийся математик и предложит свое решение.
Таким образом, видно насколько дологи тернист был путь многих задач прежде, чем они дошли до наших дней. И насколькокропотлив и трудоемок был труд тех людей, тех ученых, которые искали новыеболее рациональные решения этим задачам, которые несомненно активизируютдеятельность детей в процессе решения задач.
Из выше приведенных примеров задачисторико-математического характера можно сделать вывод, что исторические задачисейчас используются как логические задачи. В свою же очередь задачи систорическим содержанием делятся на типовые стандартные и нестандартные,которые можно применять на уроках при изучении различных тем, касающихсявеличин, математических понятий и способов арифметических действий.
Глава 2. Методические аспектыиспользования исторического материала на уроках математики в начальной школе
2.1 Подготовка учителя киспользованию познавательных заданий историко-математического характера
2.1.1 Значение познавательных заданийисторико- математического характера
Одна из возможностей формированиятворческого мышления учащихся – развитие их познавательных способностей.Существенным педагогическим средством, направленным на развитие внутреннейпотребности интеллектуального роста, является использование познавательныхзаданий. Задача учителя состоит в том, чтобы при помощи познавательных заданийпредусмотреть ход мыслительной деятельности учащихся, который привел бы их ксамостоятельным выводам, обобщениям и открытиям. Большую роль в развитиишкольников играет познавательные задания исторического характера. Заданияданного вида имеют определенные методологические и педагогические цели:установление диалектической взаимосвязи между историей страны и края, раскрытиепричинно-следственных связей, закономерностей исторического процесса,углубление, расширение, конкретизация, повторение и закрепление заданий попредмету. Кроме того эти задания являются средством активизации познавательнойдеятельности, способствуют установлению связей между учебной ивнеучебной работой и приобщению учащихся к самостоятельному творческому труду.Знакомство с историей науки существенно влияет на более глубокое усвоениеосновных научных понятий и дает возможность правильно формулироватьпредставления о диалектике процесса познания, закономерности развитияматематической науки и эмоционально настраивать учащихся на положительноевосприятие культурного наследия.
2.1.2 Формы организации занятий сиспользованием исторического материала
Чтобы учитель научился использовать всвоей работе задания историко-математического характера, ему необходимо владетьнаучными знаниями исторического материала и умениями включать историческийматериал в тему урока.
Знание прошлого науки позволяют вконцентрированном виде получать представление о формировании научных понятий,возникновении научных идей, создании методов исследования. О значении историинауки говорил еще Г.Лейбниц: « Весьма полезно знать истинное происхождениезамечательных открытий, особенно таких, которые сделаны не случайно, а силоюмысли. Это приносит пользу не только тем, что история воздает каждому свое ипобудит других добиваться таких же похвал, сколько тем, что познание метода навыдающихся примерах ведут к развитию искусства открытия». Б.Гнеденко, развиваяэту мысль отмечал, что история науки – это тот факел, который освещает новымпоколениям путь дальнейшего развития и передает им священный огонь Птолемея,толкающий их на новые открытия, на вечный поиск, к познанию окружающего мира,включая их самих.
История науки в школе нужна дляреализации важнейших целей обучения: формированиядиалектико-материалистического мировоззрения, научного и теоретическогомышления, эмоционально-мотивационной сферы и системы ценностей учащихся.Формирование указанных свойств личности служит одновременно и средствомглубокого усвоения науки, развития и воспитания школьников. История науки вединстве с материалом и логикой предмета показывает науку как деятельность намакро- и микроуровне: исторический процесс развития науки и процесс отдельногооткрытия. История математики представляет собой часть общей истории развитиячеловеческой культуры. История математики как одна из математических дисциплинвключает в себя:
— факты, накопленные в ходе ееразвития;
— гипотезы, т.е. основанные на фактахнаучные предположения, подвергающиеся в дальнейшем проверке опытом;
— методология, т.е. общетеоретическиеистолкования математических знаков и теорий, характеризующие общий подход кизучению предмета «Математика».
Предметом изучения является выяснениетого, как происходит развитие элементов математики в изучаемый историческийпериод и куда оно ведет. В соответствии с этим на историю математикивозлагается решение большого круга задач.
Чтобы подготовить учителей киспользованию познавательных заданий историко-математического характера,необходима организация специальных занятий. Они призваны помочь учителюуглубить знания по истории математики и научить его работать с историческим материаломв начальной школе. Для этого используются занятия, цель которых:
— изучить математическую культуру иее развитие у различных народов и наций, уделив особое внимание России;
— раскрыть основные закономерностиразвития математики;
— познакомить с жизнеописанием инаучной деятельностью ученых-математиков;
— определить содержание, объемисторических сведений, используемых в школьном курсе математике;
— обучить студентов основнымпринципам отбора материала из истории математики, который можно использовать вшколе на уроках и во внеклассной работе;
— сформировать технологиюиспользования элементов истории математики в процессе обучения.
Для примера покажем общий планподготовки к урокам, на которых есть возможность использовать историческийматериал для активации познавательной деятельности школьников:
— определить место историческогоматериала при изучении темы;
— установить, с какими элементамиданной темы или группы тем допустимо связать использование историческогоматериала;
— определить место историческогоматериала в уроке, возможность использования его на протяжении всего урока илифрагментарно;
— отобрать из известных средствреализации те, которые могут быть использованы наиболее результативно на данномуроке;
— наметить внеклассные занятия, на которыхмогут быть более полно обсуждены данные вопросы.
Представим также формы включенияисторико-математического материала. К ним относятся:
На уроках:
— исторические отступления на уроке(беседа 2-10 минут);
— сообщение исторических сведений,органически связанных с программным материалом;
— специальные уроки по историиматематике.
На внеурочных занятиях:
— математические кружки;
— историко-математические вечера;
— стенная газета;
— внеклассное чтение;
— домашнее сочинение;
— составление альбомов и альманахов;
— работа по сбору «народнойматематике»;
— сообщение учителя или учащихся наклассном собрании;
— беседы, лекции, доклады учителя илиприглашенных научных работников;
— просмотр специальныхнаучно-исторических кинофильмов и диапозитивов.
Выделим основные принципы, на которыхстроятся познавательные задания историко-математического характера. Имиявляются:
— охват основных тем школьного курсаматематики;
— актуальность темы для истории краястраны;
— раскрытие общих закономерностей висторическом развитии науки, особенностей в развитии отечественной математики;
— разнообразие познавательных заданийпо форме и содержанию, по степени трудности их выполнения;
— учет интересов учащихся.
Использование познавательных заданийприводит к положительным результатам тогда, когда имеет место:
— систематическая постановка заданий;
— постепенное и последовательное ихположение;
— осознание учащимися роли и значениязаданий для развития их познавательных способностей;
— максимальное приближение заданий кпотребностям и основным тенденциям интеллектуального развития учащихся.
Рассмотрим требования к разработкесистемы познавательных заданий исторического характера. К ним относятся:
— глубокая научность материалазаданий;
— органическая связь с программой поматематике;
— направленность заданий наприобретение новых знаний, на повторение и закрепление их, на развитие умений инавыков, на использование различных источников и методов исследования;
— задания по возможности должныносить проблемный характер, ориентировать на самостоятельный поиск,исследование и вызывать повышенный интерес.
И вообще этап знакомства учеников состаринными задачами следует начинать со сведений о жизни и деятельностирусского математика и педагога Леонтия Филипповича Магницкого. Сообщениебиографических данных об этом самородке – математике служит средствомпробуждения интереса учащихся к математике.
Вот некоторые факты его биографии.
Родился Л.Ф. Магницкий 9 июня 1669года в Осташковской слободе Тверской губернии в семье крестьянина. Один из священниковтого времени писал, что мальчик с малых лет прославился в своей слободе тем,что сам научился писать и читать, «разбирать мудреное и трудное». Настойчивым иупорным трудом он приобрел глубокие познания в точных науках.
Знатные богомольцы перевезли мальчикав Москву.
В знак глубокого уважения кматематическому таланту царь Петр Ι предложил изменить Фамилию мальчикаТелятин на Магницкого, объясняя свое решение тем, что «как магнит привлекает ксебе железо, так и он своими природными и самообразованными способностямиобратил внимание на себя». Возможно поэтому именно ему было предложено написатьучебник по изучению математики для школы навигации, которая была открытавпервые в Москве в 1701 году по указу Петра Ι.
Л.Ф. Магницкий успешно справился спредложением Петра Ι, и в 1703 году в Москве была издана книга«Арифметика, сиречь наука числительная» на славянском языке. Эта книга названаеще энциклопедией математических знаний того времени.
Кроме основ арифметики, учебниксодержал элементы алгебры, геометрии, тригонометрии, астрономии и навигации,которые нужны были для учащихся школы навигации. Учебник насыщен задачами ипримерами, большинство из которых увлекательны по содержанию. Книга была вупотреблении почти до середины ΧVΙΙΙ века, являясь, пословам М. Ломоносова, «вратами своей учености».
Л.Ф. Магницкий работал не толькопреподавателем в навигационной школе, но в разное время исполнял и другиеправительственные поручения. Скончался Л.Ф. Магницкий 19 октября 1739 года.
2.1.3 Анализ методической литературы
В папирусах Древнего Египтасодержится большое число задач. В папирусе Райнда имеется задача наарифметическую прогрессию. «Тебе сказано: раздели 10 мер хлеба на 10 человек,если разность между
каждым человеком и следующим за нимсоставит 1/8 меры».
В клинописных текстах встречаютсяпервые задачи на проценты. В Древнем Вавилоне, стоявшие на перепутье торговыхкараванов, рано появились денежные знаки и кредит. Начисляли обычно 12 на 60,т.е. пятую часть, или, говоря современным языком 20%.
Слово «проценты» появилось в Европе,когда итальянские ростовщики, использующие десятичную систему счисления, сталиначислять рост долга на сто единиц кредита. Скажем, начисляли 20 на 100, т. е.20%.
Большое число арифметических задачсодержит «Книга абака» итальянского ученого Леонардо Пизанского. Его задачивплоть до наших дней переходят из одного учебника в другой.
Леонардо, известный также под именемФибоначчи был первым ученым Западной Европы, освоившим все достиженияматематиков стран ислама и продвинувшимся дальше них. Он родился в Пизе,крупном торговом городе Италии того времени. Путешествуя по Египту, Сирии,Индии, Сицилии, везде знакомился с правилами счета.
Под словом «абак» Леонардоподразумевает не счетную доску, а арифметику вообще. Его книга учит производитьоперации с целыми числами и с обыкновенными дробями. В ней изложены приемырешения задач коммерческой арифметики, задач на сплавы. Вот одна из задач.
30 птиц стоят вместе 30 монет.Куропатки — по 3 монеты,голуби — по две монеты, а воробьи — по монете за пару птиц.
Решение, разумеется, разыскивается вцелых положительных числах. Леонардо приводит единственное решение такого вида:3 куропатки, 5 голубей, 22 воробья.
В «Книге абака» впервые появилисьзадачи о наименьшем числе гирь, с помощью которых можно взвесить все целыевеса, меньшие некоторого данного. Леонардо так формулирует задачу: выбрать пятьгирь так, чтобы с их помощью можно было взвесить любой груз до 30 кг приусловии, что гири ставятся на одну чашку весов.
В учебной литературе арифметическиезадачи всегда занимали большое место. Для тренировки учащихся их часто давали взанимательной форме.
Математик и педагог Л. Ф. Магницкий вкниге «Арифметика, сиречь наука числительная» собрал большое число задач.Леонтий Филиппович родился в Тверской губернии, окончил Славяно-греко-латинскуюакадемию. С 1701 г. работал в Школе математических и навигационных наук,которая была организована в Москве по указу Петра 1. «Арифметика» Магницкогошироко использовалась в учебных заведениях России в течение полувека. По нейучился М. В. Ломоносов. Он назвал ее «вратами своей учености».
В 1725 г. в Петербурге открылисьАкадемия наук с университетом и гимназией. Молодой швейцарец Леонард Эйлер былприглашен в Россию. Став впоследствии крупнейшим математиком, он написалбольшое число учебников, в том числе «Руководство к арифметике» и«Универсальную арифметику» (1769). Они стали основой для большинствапоследующих учебников.
Таким образом, мы видим на скольковелик был труд многих древних ученых, открывших и донесших до наших дней то,без чего нельзя увидеть смысл и дух настоящей математики.
Но задания из выше приведенных книгметодической литературы применимы лишь на занятиях для школьников среднего истаршего звена.
Использование на уроках и внеклассныхзанятиях по математике элементов из ее истории является не только эффективнымсредством развития интереса учащихся к предмету, но также имеет познавательноеи воспитательное значение.
Однако освещать историю развитияизучаемых в начальных классах математических понятий на уроках непредставляется возможным. Можно сообщать лишь некоторые сведения из историиматематики. Один из эффективных методов проведения такой работы – решение науроках или внеклассных занятиях старинных задач.
В огромном мире пособий для учителейначальных классов не так уж много оригинальных материалов историческогохарактера, направленных на формирование интереса детей и развитию ихпознавательной активности. Проанализируем некоторые из них.
Перед нами книга И.Г. Сухина«Занимательные материалы», которая восполняет этот пробел. Здесь можно найтимножество занимательных математических задач, имеющие новые решения. Среди них:задачи с дополнительными условиями и подсказками, головоломки с одинаковыми инеповторяющимися цифрами, старинные математические фокусы и многое другое (см.Приложение). Для каждого из четырех классов начальной школы приведенысоответствующие задания. При этом автор данной книги постарался не сковыватьинициативу учителей, поэтому формы использования публикуемых могут быть самымиразнообразными.
Следующая книга «Старинныезанимательные задачи» под редакцией Олесник С.Н., Нестеренко Ю.В., ПотаповаМ.К. в ней собраны 170 занимательных задач, из русских рукописей и книг,опубликованных до 1800-го года (см. Приложение). Книга разделена на три части.В первую часть вошли задачи из рукописей и из книги Л.Ф. Магницкого«Арифметика». Во вторую часть — задачи из учебников, опубликованных в Россиипосле издания книги Магницкого, но до 1800-го года. В третью часть — задачи изкниг (последнего десятилетия XVIIIвека), целиком либо в значительной степени посвященных занимательным задачам.
Каждая часть состоит из разделов.Разделы внутри части расположены в порядке возрастания трудностей.
Многие задачи подвергалисьстилистической обработке.
В оглавлении после названия каждойзадачи в скобках указаны два числа: первое из них — номер страницы книги, накоторой приведен текст задачи, второе — номер страницы, на котором приведено еерешение.
Как правило, задачи решаются спривлечением минимальных сведений из арифметики, алгебры и геометрии, нотребуют сообразительности и умения логически мыслить.
А вот знаменитая книга В.Д. Чистикова«Старинные задачи по элементарной математике» — это сборник старинных задач,включающий задачи Вавилона, Египта, Греции, Китая, Индии, арабские и русскиезадачи, а также задачи Западное Европы. Состоит из двух частей: первая — текстызадач, вторая — исторические экскурсы, решения и указания. Все историческиесведения решения старинных задач даются в модернизированном виде с широкимиспользованием общепринятой символики. Книга может быть полезна учителю иучащимся.
Большинство задач собранных в этихкнигах оригинальны, но не все: некоторые из них общеизвестные. Но тем не менее,они являются методической базой для учителя начальной школы. Эти задачи,позволяют повысить интерес к решению задач младшими школьниками, заставятпроявить их интеллектуальные способности.
Литература
1. Баврин И.И.,Фрибус Е.А. Занимательные задачи по математике. М, 1999.
2. Баврин И.И.,Фрибус Е.А. Старинные задачи. М., 1994.
3. Бантова Н.А.,Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах: Учебноепособие для учащихся школ. Отделений пед.училищ. (Спец. № 2001)/Под ред. М.А.Байтовой — 3 изд., испр. — М.: Просвещение, 1984. — 335с, ил.
4. Белов В.Н.Головоломки из близкой дали.//Компьютерра 2000 №1.
5. Депнан И.Я.История арифметики. М, 1965.
6. Леман И.Увлекательная математика. М., 1985.
7. Нестеренко Ю.В., ОлесникС.Н., Потапов М.К. Старинные занимательные задачи. — 2-е изд., испр. — М:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1988. — 160 с.
8. Питерсон Л.Г.Математика, 1 класс, часть третья. — М.: «Баллас», «С — инфо», 2000. — 96с, ил.
9. Попов Г.Н. Сборникисторических задач по элементарной математике. М. — Л.: Главная редакция научнопопулярной и юношеской литературы, 1938.
10. Сухин И.Г.Занимательные материалы: начальная школа. — М.: ВАКО, 2004. — 240 с.(Мастерская учителя).
11. Чистяков В.Д.Старинные задачи по элементарной математике. — 3-е изд., испр. — Минск:«Высшейшая школа», 1978. — 272 с.
12. Штейнгаус Г. Стозадач: пер. с польск. — 3-е изд., стереотипн. — М.: Наука, 1982, 168 с.
Приложение
Г. Сухин. «Занимательные материалы».
1. Числовые горизонтали с пустымиклетками. (Задачи с дополнительными условиями) с.11.
В следующих задачах — равенствах впустые клетки нужно поместить такие цифры, чтобы примеры были решены правильно.При этом в одной клетке должна быть только одна цифра. 1.9 + = + - 4 = 5 +
Здесь нет одинаковых цифр.9 + — 1 +
4. В новом задании нет нуля иодинаковых цифр.9 + = 2 +
5. В двух новых задачах в пустых клетках — одинаковыецифры.6 - +
6.9 - = +
Ответы: 1.9 + 0-0 + 9
2. 9-4-5 + 0
3. 9 + 0=1+8
4. 9+1=2 + 8
5. 6-2-2 + 2
6. 9-3 = 3 + 3
2. Задача с одинаковыми цифрами, с40.
Во всех следующих задачах указаноцелое число, требуется выразить через некоторое количество одинаковых цифр, приэтом разрешается использовать только знаки «+» и «-» (скобки не применять).
Задача с двойками.
(Счет от 0 до 10)
1. Двумя двойкамиизобразите число 0.
2. Пользуясь тремяцифрами 2, выразите число 2.
3. Получите число 4по средствам двух цифр 2.
4. Представьте число6 с помощью трех 2. Ответ: 1. 0-2-2
2. 2-2 + 2-2 или 2-2+ 2
3. 4-2 + 2
4. 6 = 2 + 2 + 2
3.Заголовки с неповторяющимисяцифрами.
(Счет от 0 до 10).
Во всех последующих задачах решающемупредлагается некоторое количество последовательно расположенных однозначныхчисел (1, 2, 3, 4 и т.д.) между которыми в подходящих местах необходиморасставить знаки «+» и «-». Порядок расположения цифр ни в одном из заданиименять нельзя. Знаки умножения, деления и скобки не применять. Припооперационных вычислениях не должны получаться числа большие, чем 10, иотрицательные числа. Во всех числовых выражениях цифры должны располагаться попорядку с лева направо, начиная с единицы.
9.Пятью цифрами. Напишите число 9 спомощью цифр 1, 2,
3,4 и 5.
Ответ: 1+2-3 + 4 + 5
4.Старинный математический фокус, с184.
Запиши трехзначное число: такое,чтобы первая цифра была, по крайней мере, на 2 больше, чем третья. Например:755. запиши его цифрами в обратном порядке: 557. От первого вычти второе:получится 198. Это число снова запиши наоборот: 891. И два последние числасложи: 198 + 891 = 1089.
Удивительное дело, какие бы числа тыне брал, в ответе всегда будет 1089!
Теперь предложи провести все этидействия с числами кому-то из друзей. Представляешь, как они удивятся, когда тыне будешь у него спрашивать, сколько получилось в результате (как это бывает вдругих математических фокусах), а сам скажешь ответ.
Олехин С.Н. «Старинные занимательныезадачи». Частьпервая.
Т.Житейские истории. /. Жаркий день. с. 10.
Жаркий день 6 косцов выпили бочоноккваса за 8 часов. Нужно узнать, сколько косцов за три часа выпьют такой жебочонок кваса. Ответ:16. Часть вторая.
///. Сколько кому лет? 69. Скольколет сыну. с. 34.
«Сколько лет твоему сыну?» — спросилодин человек у своего приятеля. Приятель ответил: «Если к возрасту моего сынаприбавить столько же да еще половину, то будет 10 лет».
Сколько же лет сыну? Ответ: 4 года. Часть третья.
/. Задачи-шутки, задачи-загадки, 133.Сколько уток. с. 53.
Летели утки: одна впереди и двепозади, одна позади и две впереди, одна между двумя и две в ряд. Сколько всеголетело уток? Ответ: 3 утки.